高考复习精品课件-第十单元 平面解析几何
高考专题----平面解析几何
高考专题----平面解析几何一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π2 [答案] C[解析] 化为x21sinα＋y2－1cosα＝1，∴－1cosα>1sinα>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆x225＋y216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x±3y ＝0 B ．3x±4y ＝0 C ．4x±5y ＝0D ．5x±4y ＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b ＝c2－a2＝4， ∴渐近线方程为y ＝±43x ，即4x±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆x2a2＋y2b2＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( ) A.x24＋y22＝1 B.x23＋y2＝1 C.x22＋y24＝1D ．x2＋y23＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2， ∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为x24＋y22＝1.3．分别过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22[答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b ，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝c2a2<12，又∵e>0，∴0<e<22，故选B.4．椭圆x2100＋y264＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( ) A.6433 B.9133 C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2. 又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝2563， ∴S △F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝6433.5．(2010·济南市模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±2x C ．y ＝±4xD ．y ＝±14x[答案] A[解析] ∵由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，∴c2a2＝a2－b2a2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于( ) A.513B.1213C.35D.45[答案] A[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a 、b 、c ，则由条件知，b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9，又b2＝a2－c2＝(a ＋c)(a －c)＝36，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9a －c ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝132c ＝52，∴e ＝c a ＝513.(理)(2010·北京崇文区)已知点F ，A 分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足FB →·AB →＝0，则椭圆的离心率等于( ) A.3＋12 B.5－12 C.3－12D.5＋12[答案] B[解析] ∵FB →＝(c ，b)，AB →＝(－a ，b)，FB →·AB →＝0， ∴－ac ＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，∴a2－ac －c2＝0，∴e2＋e －1＝0， ∵e>0，∴e ＝5－12.7．(2010·浙江金华)若点P 为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1→·PF2→＝0，则1e12＋1e22＝( ) A ．2 B. 2 C. 3D ．3[解析] 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为a ′，焦距为2c ，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a ′，|PF1|＋|PF2|＝2a ，将两式两边平方相加得： |PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a ′2)，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a ′2＝2c2， ∴1e12＋1e22＝1⎝⎛⎭⎫c a 2＋1⎝⎛⎭⎫c a ′2＝a2＋a ′2c2＝2.8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆x24＋y22＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB|＝83；正确结论的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0[答案] A[解析] ∵a ＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a ＝8，故①正确；∵F2(2，0)，∴l ：y ＝x －2，原点到l 的距离d ＝|－0－2|2＝1，故②正确；将y ＝x －2代入x24＋y22＝1中得3x2－42x ＝0，∴x1＝0，x2＝423，∴|AB|＝1＋12⎪⎪⎪⎪⎪⎪423－0＝83，故③正确． 9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F1PA ，且PQ ⊥AF1， ∴Q 为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|， ∴|OQ|＝12|AF2|＝12(|PA|＋|PF2|)＝a ， ∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．10．(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，49B.⎝⎛⎭⎫23，1C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 [答案] C[解析] 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标⎝⎛⎭⎫c ，±b2a ，已知k ∈⎝⎛⎭⎫13，12，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b2a . 斜率k ＝b2a c ＋a ＝b2ac ＋a2＝a2－c2ac ＋a2＝1－e2e ＋1.由13<k<12，解得12<e<23.(理)(2010·宁波余姚)如果AB 是椭圆x2a2＋y2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则kAB·kOM 的值为( ) A ．e －1B ．1－eC ．e2－1D ．1－e2[答案] C[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，x12a2＋y12b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，作差得x1－x2x1＋x2a2＝y2－y1y2＋y1b2，∴kAB·kOM ＝y2－y1x2－x1·y1＋y2x1＋x2＝－b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.故选C.二、填空题11．(文)过椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________． [答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝12，即e ＝22.(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 [解析] 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故b>c ，∴b2>c2，即a2>2c2， ∴c a <22.12．(2010·南充市)已知△ABC 顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA ＋sinC sinB ＝________. [答案] 54[解析] 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC ＝8，由正弦定理知， sinA ＋sinC sinB ＝|BA|＋|BC||AC|＝54.13．(文)若右顶点为A 的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上存在点P(x ，y)，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________． [答案] 22<e<1[解析] 在椭圆x2a2＋y2a2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x2－ax ＋y2＝0与椭圆方程b2x2＋a2y2＝a2b2联立消去y 得 (a2－b2)x2－a3x ＋a2b2＝0，将a2－b2＝c2代入化为(x －a)(c2x －ab2)＝0， ∵x≠a ，∴x ＝ab2c2，由题设ab2c2<a ，∴a2－c2c2<1. 即e>22，∵0<e<1，∴22<e<1.(理)已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是________． [答案] 10＋210[解析] 如图，直线BF 与椭圆交于M1、M2.任取椭圆上一点M ，则|MB|＋|BF|＋|MA|≥|MF|＋|MA|＝2a ＝|M1A|＋|M1F|＝|M1A|＋|M1B|＋|BF| ∴|MB|＋|MA|≥|M1B|＋|M1A|＝2a －|BF|. 同理可证|MB|＋|MA|≤|M2B|＋|M2A|＝2a ＋|BF|， 10－210≤|MB|＋|MA|≤10＋210.14．(文)已知实数k 使函数y ＝coskx 的周期不小于2，则方程x23＋y2k ＝1表示椭圆的概率为________． [答案] 12[解析] 由条件2π|k|≥2，∴－π≤k≤π，当0<k≤π且k≠3时，方程x23＋y2k ＝1表示椭圆， ∴概率P ＝12.(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M ：x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________． [答案] x24＋y23＝1[解析] 平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤2|y|≤3是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a≤2,0<b≤3， 所以a ＝2，b ＝ 3.所以，椭圆M 的方程为x24＋y23＝1. 三、解答题15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标； (2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为kPM 、kPN ，当kPM·kPN ＝－14时，求椭圆的方程． [解析] (1)∵圆x2＋y2＝b2与直线y ＝x ＋2相切， ∴b ＝21＋1，得b ＝ 2.又2a ＝4，∴a ＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称， 不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x ，y)， 由于M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程， 即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1. 两式相减得：y2－y02x2－x02＝－b2a2.由题意可知直线PM 、PN 的斜率存在，则 kPM ＝y －y0x －x0，kPN ＝y ＋y0x ＋x0，kPM·kPN ＝y －y0x －x0·y ＋y0x ＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，则－b2a2＝－14，由a ＝2得b ＝1， 故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)由题意⎩⎨⎧a2＝b2＋c2a b ＝2 3c ＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C 的方程为x216＋y212＝1.(2)设P(x ，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x216＋y212＝1，故－4≤x≤4. 因为MP →＝(x －m ，y)， 所以|MP →|2＝(x －m)2＋y2＝(x －m)2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x216. ＝14x2－2mx ＋m2＋12＝14(x －4m)2＋12－3m2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]， 故有4m≥4，解得m≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．16．(2010·辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF2→＝2F2B →，求椭圆C 的方程． [解析] (1)设焦距为2c ，则F1(－c,0)，F2(c,0) ∵kl ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c) 即：3x －y －3c ＝0 ∵F 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c|32＋－12＝3c ＝2 3∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2x2a2＋y2b2＝1消去x 得，(3a2＋b2)y2＋43b2y －3b2(a2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧ y1＋y2＝－43b23a2＋b2 ①y1·y2＝－3b2a2－43a2＋b2② ∵AF2→＝2F2B →，∴－y1＝2y2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧ －y2＝－43b23a2＋b2 ③－2y22＝－3b2a2－43a2＋b2④③2④得12＝48b43a2＋b22·3a2＋b23b2a2－4＝16b23a2＋b2a2－4⑤ 又a2＝b2＋4 ⑥由⑤⑥解得a2＝9 b2＝5∴椭圆C 的方程为x29＋y25＝1. 17．(文)(2010·安徽文)椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．[解析] (1)由题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c又b2＝a2－c2＝3c2∴椭圆方程为x24c2＋y23c2＝1.又∵椭圆过点A(2,3)∴44c2＋93c2＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为x216＋y212＝1.(2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF2的方程为x ＝2.设P(x ，y)为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2| ∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x)即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0. 法二：设AM 平分∠F1AF2，则直线A F1与直线AF2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k.则直线AM 方程y －3＝k(x －2)．由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0设点F2(2,0)关于直线AM 的对称点F2′(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y0x0－2＝－1k y02－3＝k x0＋22－2解之得F2′(－6k ＋2k2＋21＋k2，61＋k2)． ∵直线AF1与直线AF2关于直线AM 对称，∴点F2′在直线AF1上．即3×－6k ＋2k2＋21＋k2－4×61＋k2＋6＝0. 解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，∴AF1→＝(－4，－3)，AF2→＝(0，－3)，∴AF1→|AF2→|＋AF2→|AF2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3) ＝－45(1,2)，∴kl ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0. [点评] 因为l 为∠F1AF2的平分线，∴AF1→与AF2→的单位向量的和与l 共线．从而可由AF1→、AF2→的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率．(理)(2010·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F 1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A 、B 两点关于原点O 不对称；(3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．[解析] (1)由椭圆定义知：2a ＝4，∴a ＝2，∴x24＋y2b2＝1把(1,1)代入得14＋1b2＝1∴b2＝43，则椭圆方程为x24＋y243＝1∴c2＝a2－b2＝4－43＝83，∴c ＝263故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0. (2)用反证法：假设A 、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB|＝22，取椭圆上一点M(－2,0)，则|AM|＝10∴|AM|>|AB|.从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．(3)设AC 方程为：y ＝k(x －1)＋1联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋1x24＋3y24＝1消去y 得(1＋3k2)x2－6k(k －1)x ＋3k2－6k －1＝0 ∵点A(1,1)在椭圆上∴xC ＝3k2－6k －13k2＋1∵直线AC 、AD 倾斜角互补∴AD 的方程为y ＝－k(x －1)＋1 同理xD ＝3k2＋6k －13k2＋1又yC ＝k(xC －1)＋1，yD ＝－k(xD －1)＋1 yC －yD ＝k(xC ＋xD)－2k所以kCD ＝yC －yD xC －xD ＝13即直线CD 的斜率为定值13.。
高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.12第十二节 抛物线与轨迹方程课件
x y
f（k）， g（k）.
(3)消去参数k,得M的轨迹方程.
(4)由k的范围确定x,y的范围.
【对点练·找规律】 1.长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,
AC＝2CB ,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9①,又
3
轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠ 3 时,方程变形为
4
x2 112
y2 =1,其中x∈
112
[-4,4].
162 9 162
当0<λ< 3 时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上
4
的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当 3 <λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上
4
的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
命题角度2 无明确等量关系求轨迹方程 【典例】已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于 A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的 轨迹方程为________.
【解析】不妨将抛物线翻转为x2=4y,设翻转后的直线l
的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2),联立
提醒:利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的 曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
考点二 相关点法求轨迹方程 【典例】(1)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P 在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的 轨迹方程是__________.
直线A2Q的方程为y=
平面解析几何-高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。
2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第7节 第1课时 抛物线的定义、方程与性质
|PF|=-y0+
2
x≥0,y∈R
向右
焦半径(其中 P(x0,y0)) |PF|=x0+2
y轴
F(0,2 )
2
F(0,-2 )
2
2
2
2
2
微点拨1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方
向,正确选择抛物线的标准方程.
2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦
D.y2=16x或y2=8x
解析 因为抛物线的准线方程是
所以点 M 的横坐标是
x=- ,而点
2
M 到准线的距离为 6,
6-2.所以点
又因为点 M 在抛物线上,所以
M 的坐标为(6-2,-4√2).
32=2p 6- ,解得 p=8 或 p=4,
2
故该抛物线的标准方程为 y2=16x 或 y2=8x.
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形 到抛物线顶
点的距离
顶点
对称轴
取决于一
焦点
次项变量
离心率
(x或y)的
准线方程 取值范围
范围
开口方向
原点
x轴
F(2 ,0)
F(-2 ,0)
e=1
x=-
x=
y=-
y=
x≤0,y∈R
向左
|PF|=-x0+
y≥0,x∈R
向上
|PF|=y0+
y≤0,x∈R
F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,
高三数学平面解析几何PPT教学课件
高考命题趋势 纵观2008年高考全国卷和有关省市自主命题卷，关于 解析几何的命题有如下几个显著特点： 1.高考题型：解析几何的试题一般是选择题、填空题、解答 题都会出现。 2.难易程度：考查解析几何的选择题、填空题为基础题或中 档题，解答题一般会综合考查，以中等偏难试题为主。 3.高考热点：解析几何的热点仍然是圆锥曲线的性质，直线 和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题，仍然以考查方程思 想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。坐标法使平面 向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。相关交 汇试题应运而生，涉及圆锥曲线参数的取值范围问题也是 命题亮点。
考题剖析
考点四：有关圆锥曲线的定义的问题 【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是 经常考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外， 经常在选择题、填空题中也有出现。
【命题规律】填空题、选择题中出现，属中等偏易 题。
考题剖析 例 7、（2008 辽宁理）在直角坐标系 xoy 中,点 P 到两
点 (0, 3),(0, 3) 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为 C,直线 y kx 1与 C 交于 A,B 两点. ⑴写出 C 的方程; ⑵若 OA OB ,求 k 的值;
考题剖析
例 4、(2008 重庆理)直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3) 相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为（0，1），则直线 l 的方程为
解：设圆心 O(1, 2) ，直线l 的斜率为 k ，
弦
AB
的中点为
P，PO
的斜率为
kop
， kop
2 1 1 0
，
因为 l PO，所以 k kop k (1) 1 k 1，
3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横 向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思 想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。
最新高考数学专题复习精品课件平面解析几何 新考点
—— 体验高考 ——
——主干知识 ——
⇒ 直线与圆 3．[2013· 陕西卷改编] 已知点 M(a， b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by 的位置关系 关键词： 直线、 ＝1 与圆 O 的 位置关系③ 是________． 圆、直线与圆的位 置关系，如②③. [答案] 相交
[解析] 由题意点 M(a，b)在圆 x2＋y2＝1 外，则满足 a2 1 ＋b2>1，圆心到直线的距离 d＝ 2 2<1，故直线 ax＋by a ＋b ＝1 与圆 O 相交．
⇒ 抛物线及 其几何性质 p 2p5－ ，因为圆过 N(0， 2) 关键词： 定义、 2 标准方程、简单几 p 2p5－ －2 何性质，如⑥. 2 2
p － 2 ³ p 5－ 2 ＝
－1.令
p p5－ ＝t，则 t2－4 2
2t＋8＝0，解得
t＝2 2，所以 p2－10p＋16＝0，解得 p＝2 或 p＝8.所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.
[答案] (1)0或7 (2)A
[解析] (1)当 a＝1 时， 两直线方程分别为 x＋2y＋1＝ 0，3x＋7＝0，显然不平行．当 a≠1 时，两直线平行的充
命 题 考 向 探 究
a 3a a 7 a 要条件是－ ＝－ 且－ ≠－ . 由方程－ ＝－ 2 2 2 a－1 a－1 3a ，即 a2－7a＝0，解得 a＝0 或 7，代入不等式检验可 a－1 知均符合要求，故所求的 a 值为 0 或 7.
——主干知识 ——
⇒ 双曲线及 其几何性质 关键词： 定义、 标准方程、简单几 何性质，如⑤.
核 心 知 识 聚 焦
—— 体验高考 ——
6． [2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] 设 抛物线⑥ C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F， 点 M 在 C 上，|MF|＝5.若以 MF 为直 径的圆过点 N(0，2)，则 C 的方程为 ________________________________ _________
2020届高考数学总复习第十章平面解析几何专题探究课(五)课件文新人教A版
(3)得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本
保证，如 3 ， 5 ， 7 .
[构建模板] 解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤
第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发， 得到目标关系所要探求的定点．
2018·全国卷Ⅰ，T20 2017·全国卷Ⅱ，T20 2017·全国卷Ⅲ，T20
2018·浙江卷，T21 2018·北京卷，T20
2017·全国卷Ⅲ，T20 2016·全国卷Ⅰ，T20
核心素养
1.直观想象 2.数学运算
1.直观想象 2.数学运算
1.数学运算 2.逻辑推理 1.逻辑推理 2.数学运算
热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题(满分示范) 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的 动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面 积、横(纵)坐标等的定值问题．
【例2】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)四点P1(1，1)，P2(0，1)，
所以x424x－4 1＝－x231－－41，即(x23－4)(x24－4)＋16x3x4＝0， 2x3
整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0， 将(*)式代入上式得k2＝14，所以k＝±12， 经检验，当k＝±12时，满足Δ>0， 所以直线m的方程为y＝±12x＋6.
于是有－2p＝xp1a－2xp21 ， 即x21－2ax1－4p2＝0. 同理，有x22－2ax2－4p2＝0， 因此，x1，x2是方程x2－2ax－4p2＝0的两根， 则x1＋x2＝2a，x1x2＝－4p2. 所以k1·k2＝xp1·xp2＝xp1x2 2＝－p42p2＝－4， 故k1·k2为定值得证．
高中数学《平面解析几何》知识点讲解附真题PPT课件
知识拓展 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A、B不同时为0),也可以 表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0; (2)平行于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线系方程:Ax+By+C0=0(C≠C0); (3)垂直于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线系方程:Bx-Ay+C0=0; (4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0( A12+ B12≠0)和l2:A2x+B2y+C2=0( A22+ B22≠ 0)交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,这个直线系不包 括直线l2:A2x+B2y+C2=0,解题时,注意检验l2的方程是否满足题意,以防丢解).
考点二 圆的方程
圆的方程
名称
方程
标准 方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
一般 方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心 (a,b)
- D,- E
22
半径 r
1 D2 E2-4F 2
温馨提示 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实数 r可以取负值.
(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中,若D2+E2-4F=0,方程表示点
-
D 2
,-
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
2-1
A( ,0),B(0,1-2k).
∵直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,
∴
2-1
> 0,
解得 k<0.
1-2 > 0,
∴|MA|·|MB|=
1
2
+ 1 ·√4 + 4 2 =
k<0,即 k=-1 时,等号成立.
(4)已知△ABC的顶点A(2,3),边AC,AB的中线方程分别为x-3y=0,5x+6y14=0,求直线BC的方程.
解 (1)当直线过原点时,方程为
当直线 l
3
y= x,即
2
不过原点时,设直线方程为
−
3x-2y=0.
=1.
将 P(2,3)代入方程,得 a=-1,所以直线 l 的方程为 x-y+1=0.
+2
上,则 2
−
32-5
=0,解得
4
c=4,所以点 C 的坐标为
(4,-1).
直线 BC 的斜率为
-1-0 1
k= 4-0 =-4,因此直线
BC 的方程为
1
y=-4x,即
x+4y=0.
规律方法 求直线方程的两种方法
考点三
直线方程的综合应用
例题已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B
3
故直线
1
l 的斜率的取值范围是[ , √3].
3
引申探究2(变条件变结论)若将本题组(2)中的B(0, √3 )改为B(2,-1),其他条
【走向高考】2012届高三数学一轮复习 9-1平面解析几何课件 北师大版.ppt
(2)在命题中，主要考查圆的方程的求法及直线与圆 的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质，直线 与圆锥曲线的位置关系，也是本单元的重点内容．
(3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与以往的高考相比，命题方向趋于稳定，难度有 所下降，但对于计算能力的考查有所提高．
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
1．本单元知识特点： (1)直线与方程、圆与方程是解析几何的基础．圆锥 曲线是解析几何的核心，也是高考重点考查的内容之一． (2)概念、公式较多，用坐标法研究平面几何的思想 在解题中显得内容多、难度大、综合性较强． (3)注重常规题型及常规方法在解决问题中的作用．
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第二章 函数与基本初等函数
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条
直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜
角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率
公式为k＝
.
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第二章 函数与基本初等函数
知识梳理 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交 的直线l，把x轴(正方向)按 逆时针 方向绕着交点旋转到和 直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角，当直线l和x轴 平行时，它的倾斜角为 0°. ②倾斜角的范围为 0°≤α<180° .
y＝0
高考数学一轮讲义：平面解析几何 椭圆
8．5 椭圆[知识梳理] 1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，且2a >|F 1F 2|}，|F 1F 2|＝2c ，其中a >c >0，且a ，c 为常数．注：当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a . 5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441答案 D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca ＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析 根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解 由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2， ∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]． ∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得： |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.题型2 椭圆的标准方程及应用典例1(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案 x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2(2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38，又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.85方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程．解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b 2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.4题型3 椭圆的几何性质典例 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)， 若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2. ∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c 2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.[条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca 直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2， 因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝ (2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎨⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2.4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°， 因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22 C.32 D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上， 连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1.13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)， 直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ， 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4， 令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)， 化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2. 又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.。
复习课(第2课时+平面解析几何)课件-高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
(2)两条直线垂直
若两条直线l1,l2的斜率都存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1.当一条直线的
斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线垂直.
7.点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式是什么?
提示:点到直线的距离公式
| 0 +0 +|
定是抛物线.( × )
专题归纳 核心突破
专题整合
专题一
直线方程的几种形式
【例1】 求过点(a,0),(0,b)和(1,7)三点,且a,b均为正整数的直线的方程.
分析:先确定a,b之间的关系,再确定a,b的值,最后求出直线方程.
解:由题意知,直线过点(a,0),(0,b),且 a,b 均为正整数,故可设直线的截距式方
解:(1)(方法一)设直线l'的斜率为k.
∵直线l'与直线l平行,∴k=-
3
.
4
又l'过点(-1,3),
∴直线l'的方程为y-3=-
3
(x+1),
4
即3x+4y-9=0.
(方法二)由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)的坐标代入解得m=-9.
故直线l'的方程为3x+4y-9=0.
人教B版 数学 选择性必修
第一册
复习课
第2课时
平面解析几何
知识梳理 构建体系
知识网络
要点梳理
1.点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式是怎样的?
提示:|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
高考数学第一轮学案和测评复习课件 第十单元 平面解析几何
举一反三
2. 直线 过l 点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线 的方l 程.
解析 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线 在l 两轴上的截距
都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程.
设直线l的方程为
x a
y,则 1a+b=12.
b
又直线l过a点=(9-3, ,4),则a=-a43,.b4 1
第十单元 平面解析几何
知识体系
第一节 直线与方程
基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①定义：x轴正向l与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角. l
②倾斜角的范围为0°≤α<180°. l
l
(2)直线的斜率
①定义:把直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率.
②过两点的直线的斜率公式
x y 1 ab
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０
A2 B2 0
不含直线 x x1 x1 x2
和直线 y y1 y1 y2
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线
平面直角坐标系内的直 线都适用
典例分析
题型一 直线的倾斜角和斜率
【例1】直线xcosα+ 3y+2=0的倾斜角的范围是 ( )
A.
6
错解 设所求的直线方程为
x y ab
.1
因为直线过点P（2，1），所以 2 1 ， 1
即a+2b=ab, 又由题意可得
a
1ab=4，即ab=8，
b①
②
2
由①，②可得
a
2b 解 得ab ab 8
a 4 b 2
故所求直线方程为x+2y-4=0.
高三数学一轮复习 专题6 平面解析几何的热点专讲课件 文 新人教
C. 3
43 D. 3
先根据双曲线的定义求|PF1|和|PF2|，再解三角形．
A
5
专讲一 专讲一 圆锥曲线的概念及标准方程
方法点津
设 P 点在双曲线右支上，由题意得||PPFF11||＋ －||PPFF22||＝ ＝62aa， ，故|PF1|＝4a，|PF2| ＝2a，由条件得∠PF1F2＝30°，由sin23a0°＝sin∠4PaF2F1，得 sin∠PF2F1 ＝1，∴∠PF2F1＝90°，在 Rt△PF2F1 中，2c＝ （4a）2－（2a）2＝2 3 a，∴e＝ac＝ 3，故选 C. C 构造三角形，利用曲线定义，转化三角形的边角关系．
设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到 y0＝2，所以 P(2 2，2) 或 P(－2 2，2)．
由P→F＝3
F→M得
M－2
3
2，23或
M2A3
2，23.
19
专讲二 专讲二 圆锥曲线的几何性质
分析
(2)求△ABP 面积最大值．
(2)利用直线与抛物线的位置关系列出方程组，再进一步求解面积的最大
x＝x2， 解得交点 D 的坐标为y＝yx1x12，
注意到 x1x2＝－8 及 x21＝4y1， 则有 y＝y1xx121x2＝－48y1y1＝－2. 因此 D 点在定直线 y＝－2 上(x≠0)．A
证明
26
专讲三 专讲三 直线与圆锥曲线的综合交汇问题
分析 证明
(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y＝2 相交于点 N1，与(1)中 的定直线相交于点 N2，证明：|MN2|2－|MN1|2 为定值，并求此定值． (2)先利用判别式求出切线方程，再证明、求值． (2)依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 y＝ax＋ b(a≠0)，代入 x2＝4y 得 x2＝4(ax＋b)， 即 x2－4ax－4b＝0. 由 Δ＝0 得(4a)2＋16b＝0，化简整理得 b＝－a2. 故切线 l 的方程可写为 y＝ax－a2.
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举一反三
举一反三
考点演练
第三节 圆的方程
基础梳理
典例分析
举一反三
解析：
考点演练
第四节 直线与圆的位置关系
基础梳理
+
+ +
典例分析
举一反三
举一反三
+
考点演练
第五节 椭圆
基础梳理
典例分析
举一反三
举一反三
考点演练
第六节 双曲线
基础梳理
数学
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第十单元 平面解析几何
知识体系
基础梳理
第一节 直线与方程
正向与直线l向上方向之间的角a叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或 重合时，规定它的倾斜角为0度
。
2.直线方程的五种形式
典例分析
举一反三
考点演练
第二节 直线的位置关系
基础梳理举一反三
考点演练
基础梳理
第七节 抛物线
典例分析
举一反三
举一反三
考点演练