2018年高考数学(理科)二轮复习：寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)含解析

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2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-6函数的性质及图像精品

[函数的周期性、对称性] (1)(2016·马鞍山质检)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝1，其对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则 f(2 015)＋f(2 016) ＝________．
【解析】令 x＝－3，故 f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又 f(－ 3)＝－f(3)，故 f(3)＝0，故 f(x＋6)＝f(x)，故 f(2 015)＝f(5)＝f(－ 1)＝－f(1)＝－1，f(2 016)＝f(0)＝0，故 f(2 015)＋f(2 016)＝－1.
【答案】 C
(5)(2016·郑州质检)已知函数 f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1
∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围
为( )
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【审题】对∀x1，∃x2 使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
【解析】由题意知，mx2－6mx＋m＋8≠0 对一切实数 x 都成立，即 mx2－6mx＋m＋8＝0 在实数集上无解．当 m＝0 时，定义域为 R，满足题意；当 m≠0 时，由 Δ＝(－6m)2－4m(m＋8)<0，解得 0<m<1.综上，实数 m 的取值范围是[0，1)．
【答案】 [0，1)
【答案】 A
【回顾】 (1)①若 f(x＋T)＝f(x)，则 T 为周期；②若 f(x＋ a)＝－f(x)，则 T＝2a；③若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a；④若 f(x ＋a)＝－f（1x），则 T＝2a.
(2)①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，即 f(x)＋f(2a －x)＝2b，则 y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称；②若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)成轴对称；③若 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称，若 y＝f(x＋a)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．

2018届高考数学二轮复习函数与导数函数的图象与性质(理)专题卷

2
解析：易知 f(x)＝
4 4 m 16 8 ＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝ . 3－2 4－2 M 6 3 答案：D e 5．(2017·太原市模拟试题)函数 f(x)＝的图象大致为(
x
x
)
e xe －e x－1e 解析：由 f(x)＝，可得 f′(x)＝＝，则当 x∈(－∞， 0)和 x∈(0,1) 2 2
a
答案：A 10．奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，且 f(1)＝2 017，则 f(2 016)＋
f(2 017)的值为(
A．2
) B．2 017
C．－2 017 D．－2 解析：由函数 f(x)为 R 上的奇函数，可得函数 f(x)的对称中心为 O(0,0)，且 f(0)＝0. 又函数 f(x＋1)为偶函数，可知函数 f(x)的对称轴为 x＝1. 所以函数 f(x)的周期为 T＝4(1－0)＝4. 故 f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(1＋4×504)＝f(1)＝2 017. 所以 f(2 016)＋f(2 017)＝0＋2 017＝2 017. 答案：B 11．(2017·广西三市第一次联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞， 0]上单调递增，若实数 a 满足 f(2log3a)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是( A．(－∞， 3) C．( 3，＋∞) B．(0， 3) D．(1， 3) )
fx1－fx2 [fx1－x1]－[fx2－x2] <1，可得 <0. x1－x2 x1－x2
令 F(x)＝f(x)－x，由题意知 F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，且 F(2)＝0，F(－2)＝0，所以结合图象，令 F(x)>0，得 x<－2 或 0<x<2.故选 C. 答案：C 9．已知函数 f(x)＝loga(3 ＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则 a，b 满足的关系是( )

2018届高考数学二轮复习函数的图象专题

函数的图象专题[基础达标](30分钟50分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.下列函数f(x)的图象中，满足f14>f(3)>f(2)的只可能是()D【解析】因为f14>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除选项A，B；又选项C中，f14<f(0)=1，f(3)>f(0)，即f14<f(3)，所以排除选项C，故选项D正确.2.函数f(x)与g(x)在同一直角坐标系下的图象如图所示，则f(x)与g(x)的解析式可以是()A.f(x)=1+log2x与g(x)=21-xB.f(x)=1-log2x与g(x)=21-xC.f(x)=1+log2x与g(x)=21+xD.f(x)=1-log2x与g(x)=21+xA【解析】由于图中的两条曲线可分别视为f(x)=a x(0<a<1)与f(x)=log a x(a>1)分别向右移与向上移而得到，对比给出的函数解析式可知只有选项A符合，因为f(x)=1+log2x是由f(x)=log2x的图象向上平移一个单位得到，g(x)=21-x=2-(x-1)可视为函数f(x)=2-x的图象向右平移一个单位得到.3.函数y=x2(x<0)，2x-1(x≥0)的图象大致是()B【解析】当x<0时，函数的图象是抛物线y=x2(x<0)的图象；当x≥0时，函数的图象是指数函数y=2x(x≥0)的图象向下平移一个单位所得到的图象，所以选B.4f(x)=sin x·ln(x2+1)的部分图象可能是()B【解析】由题可知，f(x)为奇函数，且sin x存在多个零点导致f(x)存在多个零点，故函数f(x)为奇函数且其图象与x轴有多个交点.5f(x)=1x+1(0<x≤2)，ln x(x>2)，如果关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是()A.(1，+∞)B.32，+∞C.[e 32，+∞) D.[ln 2，+∞)B【解析】在同一坐标系中作出函数y=f(x)，y=k的图象如图，由图象可知当k≥32时，y=f(x)与y=k的图象有两个不同的交点，所以关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，故实数k的取值范围是32，+∞.6x轴上，另两个顶点在函数y=2x1+x(x>0)的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是()A.πB.π3C.π4D.π2A【解析】设矩形的高为k(0<k<1)，则2x1+x=k，即kx2-2x+k=0，则矩形的另一边长为|x1-x2|=4k2-4，将此矩形绕x轴旋转而成的几何体是圆柱，其体积为V=πk2|x1-x2|=2πk2·1k -1=2πk2-k4=2π- k2-122+14，当k2=12时，V max=2π14=π.7f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3的对称中心为()A.(-4，6)B.(-2，3)C.(-4，3)D.(-2，6)B【解析】由题意可得f(-x-4)=x+4x+3+x+3x+2+x+2x+1，则f(-x-4)+f(x)=2x+6x+3+2x+4x+2+2x+2x+1=6，则函数f(x)的图象关于点(-2，3)对称.二、填空题(每小题5分，共15分)8.若函数y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象的对称轴方程是.x=1【解析】因为函数y=f(2x+1)是偶函数，所以f(-2x+1)=f(2x+1)，记t=2x，则f(1-t)=f(1+t)，则函数y=f(t)的对称轴为t=1，所以函数y=f(x)的图象的对称轴方程是x=1.9.已知x2>x 1，则实数x的取值范围是.(-∞，0)∪(1，+∞)【解析】分别画出函数y=x2与y=x 1的图象，如图所示，由于两函数的图象都过点(0，0)，(1，1)，则由图象可知不等式x2>x 1的解集为{x|x<0或x>1}.10.若函数y=12|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是.[-1，0)【解析】首先作出y=12|1-x|的图象如图，若y=12|1-x|+m的图象与x轴有交点，则-1≤m<0.[高考冲关](25分钟40分)1.(5分P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的重心，设点P走过的路程为x，△OAP 的面积为f(x)(当A，O，P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为()A【解析】当x∈[0，a]时，f(x)=12x×36a=312ax，对应图象是线段，排除B；由题意当x=32a时，f(x)=0，当x∈ a，32a 时，f(x)=12×23×32a×32a-x =34a2-36ax，对应图象是线段，排除C和D.2.(5分y=f(x)的曲线如图所示，则方程y=f(2-x)的曲线是()C【解析】由题可知作f(x)关于y轴对称的图象，得到y=f(-x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y=f(-(x-2))=f(2-x)的图象，结合选项知选C.3.(5分f(x)=|x e x|，又g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R)，若满足g(x)=-1的x有四个，则t的取值范围为()A.-∞，-e 2+1 eB.e 2+1e，+∞C.-e 2+1e，-2D.2，e 2+1 eA【解析】f(x)=|x e x|=x e x(x≥0)，-x e x(x<0)，易知f(x)在[0，+∞)内是单调递增函数，当x∈(-∞，0)时，f(x)=-x e x，f'(x)=-e x·(x+1)，故f(x)在(-∞，-1)上是增函数，在(-1，0)内是减函数，作出f(x)的图象如图，且f(-1)=1e，若方程f2(x)+tf(x)+1=0有四个实根，则关于m的方程m2+tm+1=0有两个不相等的实根m1，m2，且m1∈0，1e，m2∈1e ，+∞，所以0+0+1>0，1e2+te+1<0，解得t<-e2+1e.4.(12分)已知a>0，且a≠1，f(x)=x2-a x，当x∈(-1，1)时，均有f(x)<12，求实数a 的取值范围.【解析】由题知，当x∈(-1，1)时，f(x)=x2-a x<12，即x2-12<a x.在同一坐标系中分别作出二次函数y=x2-12，指数函数y=a x的图象，当x∈(-1，1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需满足0<a<1，a≥12，或a>1，a-1≥12，解得12≤a<1或1<a≤2，故实数a的取值范围是12，1∪(1，2].5.(13分)已知函数f(x)=2x-a2x.将y=f(x)的图象向右平移两个单位，得到y=g(x)的图象.(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)若函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象关于直线y=1对称，求函数y=h(x)的解析式.【解析】(1)由题可知g(x)=f(x-2)=2x-2-a2x-2.(2)设(x，y)在y=h(x)的图象上，其关于直线y=1对称的点(x1，y1)在y=g(x)的图象上，则x1=x，y1=2-y，即2-y=g(x)，y=2-g(x).即h(x)=2-2x-2+a2x-2.。

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (1)函数的图象与性质

2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (1) 函数的图象与性质【2018年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象和性质，分0<a <1和a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况． 5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.高考题型 1、函数的性质及其应用【例1】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333x x x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1(1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解．【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域．题型 2、函数的图象及其应用【例2】【2016高考新课标1卷】函数2y x e=-在[]2x-的图像大致为2,2（A）（B）（C）（D）【答案】D【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【举一反三】(1)(2015·四川卷)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )(2)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1 x 1＝f x 2 x 2＝…＝f x n x n，则n 的取值范围是( )A.{3,4} B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}(1)答案：C解析：由已知3x－1≠0⇒x ≠0，排除A ；又∵x <0时，3x －1<0，x 3<0，∴y ＝x 33x －1>0，故排除B ；又y ′＝x 2[3x 3－x ln 3 －3]3x －1 2，当3－x ln 3<0时，x >3ln 3>0，y ′<0，所以D 不符合．故选C. (2)答案：B解析：f x 1 x 1＝f x 1 －0x 1－0表示(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率； f x 1 x 1＝f x 2 x 2＝…＝f x n x n表示(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点连线的斜率相等，而(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个数有几种情况．如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选B.【变式探究】 (1)若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x －k )的图象是( )(2)(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)【命题意图】(1)本题主要考查函数的奇偶性，单调性的概念以及指数、对数函数的图象．(2)本题主要考查方程的根与函数的零点，意在考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力．【方法技巧】1．关于判断函数图象的解题思路(1)确定定义域；(2)与解析式结合研究单调性、奇偶性；(3)观察特殊值．2．关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点(1)方程f(x)＝g(x)解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)交点的个数；(2)不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))解集为函数y＝f(x)位于y＝g(x)图象上方(下方)的那部分点的横坐标的取值范围．题型 3、函数性质的综合应用例3、【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣ （B ）(][)0,13,+∞（C ）()⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞ 【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【变式探究】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）b c a <<【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【举一反三】【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【答案】2，(,1)-∞-.【感悟提升】(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．【举一反三】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案：1解析：∵ f (x )为偶函数，∴ f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴ －x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴ x ln a ＝0恒成立，∴ ln a ＝0，即a ＝1.【变式探究】(1)(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式、奇偶性和求函数的值，意在考查考生的转化思想和方程思想．求解此题的关键是用“－x ”代替“x ”，得出f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.(2)本题主要考查奇函数的性质、分段函数以及函数的最值与恒成立问题，意在考查考生应用数形结合思想，综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．【答案】(1)C (2)B【解析】(1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.(2)当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x ≤2a 2，x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66，故选B. 【方法技巧】函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质来相互转化解决相对综合的问题．主要的解析：奇偶性主要转化方向是f (－x )与f (x )的关系，图象对称问题；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解；周期性主要转化方向是利用f (x )＝f (x ＋a )把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性、奇偶性解决相关问题．。

专题02 函数的图像与性质(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(解析版)

函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．预计2018年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．1．函数(1)映射：集合A(A 中任意x)――→对应法则f集合B(B 中有唯一y 与A 中的x 对应)．(2)函数：非空数集A ―→非空数集B 的映射，其三要素：定义域A 、值域C(C ⊆B)、对应法则f. ①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零； (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(Ⅴ)正切函数y ＝tan x 中，x 的取值范围是x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z.②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法．③函数图象在x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y 轴上的正投影对应函数的值域． 2．函数的性质 (1)函数的奇偶性如果对于函数y ＝f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，那么函数f (x )就叫做奇函数(或偶函数)．(2)函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(或f (x 1)>f (x 2))，则称f (x )在区间D 上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增(减)函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f (x )在给定区间(a ，b )上恒有f ′(x )>0(f ′(x )<0)，则f (x )在区间(a ，b )上是增(减)函数，(a ，b )为f (x )的单调增(减)区间．判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等． (3)函数的周期性设函数y ＝f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．(4)最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (或f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值(或最小值)． 3．函数图象(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． (2)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )，y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k .③对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.考点一函数表示及定义域、值域例1、(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12，选B.答案：B(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ， x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12【变式探究】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78C.34D.12解析：基本法：f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ，即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去．综上，b ＝12，故选D.答案：D考点二函数的奇偶性对称性例2、【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使()11f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足()121f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.【变式探究】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：基本法：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B.|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.速解法：y ＝f (x )是奇函数，则y ＝|f (x )|为偶函数．故f (x )·g (x )＝奇，A 错，|f (x )|g (x )＝偶，B 错． f (x )|g (x )|＝奇，C 正确．答案：C【变式探究】已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a ＞0)上的奇函数，若g (x )＝f (x )＋2 016，则g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．1C ．2 016D ．4 032答案：D考点三函数单调性、周期性与对称性例3、(1)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：基本法：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )对任意x 恒成立，令x ＝1，得f (1)＝f (3)＝3， ∴f (－1)＝f (1)＝3.速解法：由题意y ＝f (x )的图象关于x ＝0和x ＝2对称，则周期T ＝4. ∴f (－1)＝f (－1＋4)＝f (3)＝3. 答案：3(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2]解析：基本法：∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.答案：C 【方法技巧】1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x ＜，a －x ＋4a x满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是________．解析：基本法：因为对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0成立，所以f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0a －＋4a ，解得0＜a ≤14，即a ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：⎝⎛⎦⎤0，14 考点四比较函数值的大小例4、(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b解析：基本法：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22，∴12＜a ＜1,0＜b ＜12，c ＞1， ∴c ＞a ＞b .故选D.速解法：分别作出y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，在图象中作出a 、b 、c 的值，观察其大小，可得c ＞a ＞b .答案：D(2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x【变式探究】设a ＝，b ＝2，c ＝3，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：基本法：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝＞0，∴a ＞b ＞c ，选A.答案：A考点五指数函数、对数函数图象的变换与应用例5、【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 【变式探究】(1)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4答案：C(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)解析：基本法：易知0＜a ＜1，则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12＞2，解得a ＞22， ∴22＜a ＜1，故选B.速解法：若a ＞1，∵x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，显然log a x ＜0，原不等式不成立，∴0＜a ＜1. 若a ＝12，当x ＝12时，log a x ＝1,4x ＝412＝2，显然不成立，∴故只能选B.答案：B【变式探究】若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案：B1.【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使()11f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足()121f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.2.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 3.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A4.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m=单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 5.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 2.【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（）A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C【解析】A ：由0>>y x ，得y x 11<，即011<-yx ，A 不正确； B ：由0>>y x 及正弦函数的单调性，可知0sin sin >-y x 不一定成立； C ：由1210<<，0>>y x ，得y x )21()21(<，故0)21()21(<-y x ，C 正确； D ：由0>>y x ，得0>xy ，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C. 3.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D4.【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C 。

2018年高考数学理科二轮复习：数学函数图像及其综合应用(链接高考解析版)

函数图像及其综合应用（链接高考解析版）基础知识回顾:1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。

（1）平移变换（左加右减，上加下减）把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a +的图像，把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a -的图像，把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a +的图像，把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个a 单位，得到函数()f x a -的图像。

（2）伸缩变换①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w1倍得()y f x ω=(0<ω<1)②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()y f x ω=(ω>1)③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω=(ω>1)④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω=(0<ω<1)(3)对称变换①y ＝f(x)――→关于x 轴对称 )(x f y -=； ②y ＝f(x)――→关于y 轴对称)(x f y -=； ③y ＝f(x)――→关于原点对称 )(x f y --=； ④y ＝a x(a>0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称x y a log =. (a>0且a ≠1)⑤对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=（4）翻折变换：①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；②保留y 轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数()y f x =的图像。

2018高考数学(理)二轮复习试题专题一第1讲函数的图象与性质

2．对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如 f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
[变式训练] (1)(2017· 郑州模拟)函数 y＝ a－ax(a＞ 5 48 0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则 loga ＋loga ＝ 6 5 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2016· 江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的
x＋a，－1≤x＜0，函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝2 其－x，0≤x＜1， 5
5 9 中 a∈R.若 f－2＝f2，则 f(5a)的值是________．
解析：(1)当 x＝1 时，y＝0，则函数为减函数，故 a ＞1. 所以当 x＝0 时，y＝1，所以 y＝ a－1＝1.所以 a－ 1＝1，所以 a＝2.
3x2 [例 1] (1)函数 f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是 1－x ( )(导学号 54850014)
1 A.－3，1 1 1 C.－3，3 1 B.－3，＋∞ 1 D.－∞，－3
(2)(2015· 全国卷 Ⅱ) 设函数
专题一
函数与导数、不等式
第 1 讲函数的图象与性质
sin x 1．(2017· 全国卷Ⅲ)函数 y＝1＋x＋ 2 的部分图象 x 大致为( )
sin x 解析：法一易知 g(x)＝x＋ 2 为奇函数，其图象 x sin x 关于原点对称．所以 y＝1＋x＋ 2 的图象只需把 g(x)的 x 图象向上平移一个单位长度．选项 D 满足．
B．[－1，1] D．[1，3]
解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(－1)＝－f(1)＝1，于是－1≤f(x－2)≤1 等价于 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，

2018届高考数学二轮复习寒假作业(打包29套_有答案)理

寒假作业(一) 集合与常用逻辑用语(注意解题的速度)一、选择题1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．(2017·沈阳一检)命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12解析：选D 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可．3．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 4．若集合M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0，N 为自然数集，则下列选项中正确的是( )A ．M ⊆{x |x ≥1}B ．M ⊆{x |x >－2}C ．M ∩N ＝{0}D ．M ∪N ＝N解析：选C ∵M ＝⎩⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＋2x －1≤0＝{x |－2≤x <1}，N 为自然数集，∴M ⊆{x |x ≥1}错误，M ⊆{x |x >－2}错误，M ∩N ＝{0}正确，M ∪N ＝N 错误．5．(2018届高三·洛阳五校联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 由Venn 图知阴影部分表示的集合为(∁R A )∩B ，依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，故(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}．6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D 由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.7．已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,4} B ．{－2，－1,0} C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}解析：选D ∵A ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0，x ∈N}＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．8．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． 9．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m 0>0，直线x ＋m 0y －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是真命题； ③命题“(綈p )∨q ”为真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 为假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 为真命题，綈q 为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．故正确的命题有2个．10．下列说法中正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的充要条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1<0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”解析：选D 当f (0)＝0时，函数f (x )不一定是奇函数，如f (x )＝x 2，所以A 错误；若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0，所以B 错误；p ，q 只要有一个是假命题，则p ∧q 为假命题，所以C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D 正确．11．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕：A i ⊕A j ＝A k ，k 为i ＋j 除以4的余数(i ，j ＝0,1,2,3)，则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 因为x ∈S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，故x 的取值有四种情况．若x ＝A 0，根据定义得，(x ⊕x )⊕A 2＝A 0⊕A 2＝A 2，不符合题意，同理可以验证x ＝A 1，x ＝A 2，x ＝A 3三种情况，其中x ＝A 1，x ＝A 3符合题意，故选C.12．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选D P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3.二、填空题13．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝________. 解析：因为A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2,3)，所以A ∪∁R B ＝[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)14．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.答案：2 315．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x≤16＝{x |22≤2x －2≤24}＝{x |4≤x ≤6}＝[4,6]，∵A ⊆B ，∴a ≤4，b ≥6，∴a －b ≤4－6＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]16．设全集U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤2x }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4x }，给出以下命题：①A ∩B ＝A ，②A ∪B ＝B ，③A ∩(∁U B )＝∅，④B ∩(∁U A )＝U ，其中正确命题的序号是________．解析：集合A 表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B 表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A ⊆B ，利用Venn 图可知，①②③正确，④错误．答案：①②③寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a－2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x)(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a . 若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax－2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax－2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln －x ＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m <ln 12－2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0. 11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x－12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e)D ．(0， e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a < e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝( )A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1＋12＝32.13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln 1＋x 1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln 1＋x 1－x，则g (－x )＝(－x )2ln 1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x 1－x ＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －a t，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选 C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选 C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2327，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1，由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意；当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④寒假作业(三) 基本初等函数、函数与方程(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．(2018届高三·吉林实验中学摸底)若f (x )是幂函数，且满足f 9f 3＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.12 B.14 C ．2D ．4解析：选B 设f (x )＝x α，由f 9f 3＝9α3α＝3α＝2，得α＝log 32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 32＝14. 2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 由题意知，f (0)＝c ＞0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)＞0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则－1＜x 1＜x 2＜0，根据图象知，x 1＜p ＜x 2，故p ＋1＞0，f (p ＋1)＞0.3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象(图略)，可知函数g (x )与h (x )在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.4．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a解析：选C ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b ，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715>1，c ＝log 279<log 21＝0，∴c <b <a .5．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4]D ．[4,5]解析：选B ∵函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，∴函数f (x )的零点位于区间[2,3]内．6.(2017·潍坊模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝log a (x －b )的图象大致是( )解析：选B 法一：结合二次函数的图象可知，a >1，－1<b <0，所以函数g (x )＝log a (x －b )单调递增，排除C ，D ；把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b |个单位，得到函数g (x )＝log a (x －b )的图象，排除A ，选B.法二：结合二次函数的图象可知，a >1，－1<b <0，所以a >1,0<－b <1，在g (x )＝log a (x －b )中，取x ＝0，得g (0)＝log a (－b )<0，只有选项B 符合，故选B.7.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞0，gx ，x ＜0.若f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＋21－x －1，1－x ≤0，|lg 1－x |－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg 1－x |－1，x <1.易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点，当x <1时，函数有两个零点，所以函数g (x )的零点共有3个．9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，g (a )＝f (a )－f (a ＋1)，则g (a )的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,2)D ．(－∞，2)解析：选A ∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，∴a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a .∵a <－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >3，则23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)解析：选A ∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．11．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0,2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．－4解析：选B ∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )， ∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，又由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.12．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：选D 函数f (x )＝ex －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g 0≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.13．(2017·陕西质检)已知函数y ＝4a x －9－1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则log m n＝________.解析：依题意知，当x －9＝0，即x ＝9时，y ＝4－1＝3，故定点为A (9,3)，所以m ＝9，n ＝3，故log m n ＝log 93＝12.答案：1214．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．解析：在同一平面直角坐标系内，画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y ＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案：(0,1)15．对于实数a 和b ，定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a b ＋1，a ≥b ba ＋1，a <b，则ln e 2*⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝________.解析：∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋1，a ≥b ，b a ＋1，a <b ，ln e 2＝2<⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝3，∴ln e 2]19－12＝3×(2＋1)＝9.答案：916．(2018届高三·河北衡水中学月考)已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋|f 1x －f 2x |2，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g x 1－g x 2x 1－x 2＞0恒成立，则b －a 的最大值为________．解析：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x2＋f 1x －f 2x2＝f 1(x )；当f 1(x )＜f 2(x )时，g (x )＝f 1x ＋f 2x 2＋f 2x －f 1x2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 1x ≥f 2x ，f 2x ，f 1x ＜f 2x ，即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，如图所示，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在[0，＋∞)上单调递增，又g (x )在[a ，b ]上单调递增，故a ，b ∈[0,5]，所以b －a 的最大值为5.答案：5二、能力拔高练1．若函数y ＝a －a x(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x在[0,1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3. 2．已知函数f (x )＝4x－m ·2x＋1只有一个零点，则m ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：选C 依题意，方程4x－m ·2x＋1＝0只有一个实数根，设t ＝2x(t >0)，则t 2－mt ＋1＝0，由Δ＝m 2－4＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，t ＝1，即2x ＝1，则x ＝0；当m ＝－2时，t ＝－1，即2x＝－1(舍去)．故函数只有一个零点时，m ＝2.3．(2017·云南一检)已知a ，b ，c ，d 都是常数，且a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选 D f (x )＝2 017－(x －a )·(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.4．(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (2)<g (3)<g (π)C ．g (π)<g (2)<g (3)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选B 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22⇒a ＝12.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且f (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选B.5．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为M ，N ，且M N .若对任意的x ∈M ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )是f (x )的“拓展函数”．已知f (x )＝13log 2x ，若g (x )是f (x )的“拓展函数”，且g (x )为偶函数，则符合条件的函数g (x )的一个解析式是________．解析：由题意可知，当x >0时，g (x )＝13log 2x ，又函数g (x )是偶函数，故当x <0时，g (x )＝13log 2(－x )，所以g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)．答案：g (x )＝13log 2|x |(x ≠0)(其他符合条件的函数也可以)6．(2017·云南玉溪统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．答案：[－1,2)寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt 0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10π rad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎛12(x －a )d x ＝⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B ⎠⎛12(x －a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎜⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1.6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3解析：选A21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43.8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e 4解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx ，则切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝ex ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t4x －t4ln t 4＋t2＋1，所以由题意，得－t4ln t 4＋t2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f′(1)<f′(2)<f (2)－f (1)B ．f′(2)<f (2)－f (1)<f′(1)C ．f′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f′(1)<f (2)－f (1)<f′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2－f 12－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f2－f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上．二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________．解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________．解析：f (m )＝⎠⎛1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x | m1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________．解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋32 16．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， ∴k ＝－4e x＋1e x ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π寒假作业(五) 导数的应用(注意命题点的区分度)一、选择题1．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e解析：选C f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0 解析：选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又当x <－1时f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3．(2017·长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1＜f x 2e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)． 4．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18解析：选D f ′(x )＝3x 2－3a ，因为x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，所以f ′(2)＝12－3a ＝0，解得a ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，f ′(x )＝3x 2－12.由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数f (x )在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x＝－3，则结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0) .6．(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选D 由f ′(x )的图象知，f ′(x )的图象有三个零点，故f (x )在这三个零点处取得极值，排除A 、B ；记导函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C ，故选D.7．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 D ．不确定解析：选C 因为f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.因为f ′(x )＝－sin x ＋1≥0恒成立，所以f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. 8．(2018届高三·黄冈调研)定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f 2f 1<16 B ．4<f 2f 1<8C ．3<f 2f 1<4 D ．2<f 2f 1<3 解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 2′＝f ′x ·x 2－2xf x x 4＝xf ′x －2f x x 3>0， ∴y ＝f xx 2在(0，＋∞)上单调递增， ∴f 222>f 112，即f 2f 1>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 3′＝f ′x ·x 3－3x 2f x x 6＝xf ′x －3f x x 4<0， ∴y ＝f xx 3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f 223<f 113，即f 2f 1<8.综上，4<f 2f 1<8. 9．(2017·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π3，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )， ∴f (2cos x )>32－2sin 2x 2，即g (2cos x )>0， ∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.10．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数。

江苏省2018届高三数学二轮专题复习(第2层次)专题2函数的图象与性质

专题2：函数的图象与性质班级姓名一、前测训练1．求下列函数的值域：（1）y ＝sin(2x ＋π3) x ∈[0，π6] （2）y ＝1－x 21＋x 2（3）y ＝x ＋1－x（4）f (x )＝(12)x －x ，x ∈[－1，2] （5）f (x )＝x 2＋2x 2＋1 （6）f (x )＝x ln x答案：（1）[32，1]；（2）(－1，1]；（3）(－∞，54]；（4）[－74，3]；（5）[22－1，＋∞)；（6）[－1e，＋∞).2．（1）f (x )＝x (12x －1＋12)的奇偶性为．（2）若f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 的值为．答案：（1）偶函数；（2）12．3．（1）函数f (x )＝2x ＋1x ＋1的增区间为； (2)f (x )＝log 12(x 2－2x )的增区间为；(3)f (x )＝ln x －2x 2的减区间为．答案：（1）(－∞，－1)和(－1，＋∞)；（2）(－∞，0)；（3）(12，＋∞) ．4．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3x ，则f (x ) ＝．（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2) 0，则f (x )＜0的x 的取值范围是．答案：（1）⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3x ，x ＜00， x ＝0 1＋3x ， x ＞0；（2）(－2，2).5．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，(1)则f (7.5)＝；(2)当x ∈[4，6]时，f (x )＝．答案：（1）－12；（2）⎩⎨⎧x －4，4≤x ≤56－x ，5＜x ≤66．（1）已知函数f (x )＝ln(2x ＋1)，①将函数y ＝f (x )图象向右平移2个单位后的解+析式为．②与函数y ＝f (x )图象关于y 轴对称的函数解+析式为．（2）方程1－x 2＝x ＋m 有一个实数解，则m 的取值范围为．答案：（1）①y ＝ln(2x －3)；②y ＝ln(1－2x )；（2）[－1，1)∪｛2｝.7．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ．（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝．则实数a ＝．答案：（1）log 2(4－x )；（2）0或－3．二、方法联想1．值域求法（1）单调性法；（2）基本不等式法；（3）部分函数有界性法；（4）判别式法．注意：单调性法是最基本最一般的方法，配方、换元等是变形的手段．变式1、若函数)1,0(.9,3log 4,9,223)(≠>⎩⎨⎧>-≤-=a a x x x x x f a 的值域是[),,5+∞则实数a 的取值范围是 . 答案：(]3,1(分段函数的值域是各段函数值域的并集)变式2、定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}2min 23,1,53f x x x x =++-，则()f x 的最大值是__________答案：2（数形结合求值域)变式3、函数y =+_________答案：)+∞（构造图像求值域）2．判断函数奇偶性方法1 定义法；方法2 图象法．优先考虑用图象法，定义法前先判断定义域．但证明奇偶性只能用定义法．已知函数奇偶性方法1 若函数为奇函数且0在定义域内，用f (0)＝0；方法2 利用特殊值法；方法3 利用定义．优先用方法1，再用方法2，注意检验．但如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性．变式1、设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x +2x+b (b 为常数)，则f (-1)= .答案：-3（已知函数奇偶性求值）变式2、已知a 为非零常数111lg)(++-=xxa x f ,满足1)5.0(l g -=f ,则=)2(lg f .(熟悉常见函数的奇偶性) 3．判断函数单调性方法1 导数法；方法2 定义法；方法3组合函数法；方法4 复合函数法．判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑组合函数法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别忘了定义法．注意：单调性证明只能用导数法和定义法．变式1、设函数a x x x f -=)(,若对任意的[)2121,,2,x x x x ≠+∞∈,不等式0)()(2121>--x x x f x f 恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案：(]2,∞-(注意单调性的不同表现形式,数形结合)变式2、已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若()()()21f a f a f -+≤，则a 的取值范围是 . 答案：[]1,1-（分段函数的奇偶性、单调性结合）4．奇偶性、单调性应用处理函数问题，如最值、解不等式、图象等，可分析函数的奇偶性，判断函数的单调性，其中奇(偶)函数y 轴两侧单调性口诀：奇同偶反．变式1、若ax x f x++=)110lg()(是偶函数,则=a .答案: 21- (应用定义代数运算)变式2、已知函数,2,2,cos )(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=ππx x x x f 则满足)3()(πf a f >的a 的取值范围是 .(函数解+析式隐含函数性质)5．奇偶性、对称性、周期性的综合常用结论：①如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝ f (x )，则称f (x )为周期函数．②若函数满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期为2a ． ③若函数满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的周期为2a ．④若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的周期为2a ．变式1、设)(x f 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1-∈x 时，⎩⎨⎧<≤<≤---=-.10,2,01),(log )(2x x x x f x则=))23((f f .答案：0(转化到已知范围内)变式2：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )对一切实数x 都成立，若f (1)＝0，则关于x 的方程f (x )＝0在[0，10]上的解的个数为______________．（函数的周期性与奇偶性结合）答案：116．函数图象变换(一) 平移变换； (二) 对称变换处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法．作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本函数问题．我们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域)，反过来要考虑函数的性质对函数作图的作用．变式1、已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩，，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________. 答案：(3,)+∞ (图形对称)变式2、定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()3212x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭答案： 14-（函数周期性的拓展） 7．图象的对称问题方法1 相关点法；方法2 特殊值法．常用结论：①若函数满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )图象关于直线x ＝a ＋b2对称． ②若函数满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝m ，则f (x )图象关于点(a ＋b 2，m2)对称．③函数y ＝f (a ＋x )与函数 y ＝f (a －x ) 图象关于直线x ＝0即y 轴对称．④函数y ＝f (a ＋x )与函数 y ＝－f (a －x ) 图象关于点(0，0)及坐标原点对称．变式1、已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（）答案： 12-（运用函数周期性求函数的最小值）变式2、设函数)(x f 是定义在R 上的增函数,且对于任意的x 都有0)1()1(=++-x f x f 恒成立.如果实数 n m ,满足不等式组⎩⎨⎧<-++->.0)8()236(,322n n f m m f m 那么22n m +的取值范围是 . 答案：(13,49)(题意转化,数形结合)三、例题分析例1.已知函数f (x )＝－3x ＋a3x ＋1＋b．（1）当a ＝b ＝1时，求满足f (x )≥3x 的x 的取值范围；（2）若y ＝f (x )的定义域为R ，又是奇函数，求y ＝f (x )的解+析式，判断其在R 上的单调性并加以证明. 解：（1）x 的取值范围为(－∞，－1]．（2）f (x )＝1－3x 3×(3x＋1)＝13(－1＋23x ＋1). f (x ) 在R 上单调递减.【教学建议】1.本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性.第一问中涉及指数不等式的解法，第二问涉及等式恒成立问题.2.本题的易错点是第二问中忽视由“f (x )的定义域为R ”所得到的“b ≥0”的条件.3.单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间.4.判断函数的单调性的常用方法有：①能画出图象的一般用数形结合法去观察；②由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；③对于解+析式较复杂的一般用导数法；④对于抽象函数的一般用定义法.例2. 已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．（1）若a ＝1，作函数f (x )的图象；（2）设f (x )在区间[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；（3）设h (x )＝f (x )x ，若函数h (x )在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）作图象如右图所示．（2）g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <14，2a －14a －1， 14≤a ≤12，3a －2， a >12.（3）实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1．【教学建议】1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问中二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，既可等价转化为h ′(x )≥0对于任意的x ∈[1，2]恒成立来解决，也可以用定义法来解决．2.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好图象，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的问题，要抓住“三点一轴”，“三点”指区间的两个端点和区间的中点，“一轴”指的是抛物线的对称轴.3.本题的易错点有三个，一是第（2）问中容易遗漏“a ＝0”的情况；二是第三问用导数解决函数的单调性问题时，误将“h ′(x )＝a －2a －1x 2≥0在[1，2]上恒成立”写成“h ′(x )＝a －2a －1x 2＞0在[1，2]上恒成立”；三是无论用导数还是单调性的定义，都忽视了“a ＝0”的情形.例3.设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2..（1）解不等式f (x )≤x ；（2）设集合A ＝{0，1，2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ；（3）探求f 2 014⎝⎛⎭⎫89；（4）若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0，2]}，证明：B 中至少包含有8个元素．解：（1）解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤2. （2）证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1， ∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0；当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1；当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2.即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x . （3）149.（4）由（1）知，f ⎝⎛⎭⎫23＝23，∴f n ⎝⎛⎭⎫23＝23. 则f 12⎝⎛⎭⎫23＝23.∴23∈B .由（2）知，对x ＝0，或1，或2，恒有f 3(x )＝x ， ∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x . 则0，1，2∈B .由（3）知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ， ∴89，29，149，59∈B . 综上所述23，0，1，2，89，29，149，59∈B .∴B 中至少含有8个元素．【教学建议】1.本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识并直接套用，第三问则需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．2.形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；对于分段函数的求值（解不等式）问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.3.自定义问题是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，它要求在短时间内通过阅读、理解，解决题目给出的问题.解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从新定义中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决.4.周期性是函数在定义域上的整体性质，本题体现的是函数值的周期性.四、反馈练习(专题2：函数的图象与性质)1.函数)32lg()(xx x f -=的定义域为；答案 )0,(-∞(考查函数的定义域).2.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f ；答案 2-(考查函数的奇偶性).3.已知偶函数)(x f 在[)+∞,0单调递减，.0)2(=f 若,0)1(>-x f 则x 的取值范围是；答案 )3,1(-(考查函数的奇偶性和单调性).4.设奇函数),)((R x x f y ∈=满足对任意R t ∈都有),1()(t f t f -=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 时，,)(2x x f -=则=-+)23()3(f f ；答案 41-(考查函数图像的对称性).5.已知函数)1(2log -=ax y 在（1,2）上单调递增，则实数a 的取值范围是；答案[)+∞,1(考查复合函数的单调性).6.函数)(x f 对一切实数x 都满足)21()21(x f x f -=+，并且方程0)(=x f 有三个实根，则这三个实根的和为；答案23(考查函数图像的对称性,函数零点). 7. 已知函数)(x f 对任意R x ∈满足)()(x f x f =-，且当0≥x 时，.1)(2+-=ax x x f 若)(x f 有4个零点，则实数a 的取值范围是；答案 ),2(+∞(考查函数图像的对称性,函数零点).8.已知函数x x x f +=3)(，对任意的[]2,2-∈m ，0)()2(<+-x f mx f 恒成立，则x 的取值范围是；答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2(考查函数的奇偶性和单调性).9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=.1,2,1,5)3()(x xa x x a x f 是()+∞∞-,的减函数，那么a 的取值范围是；答案 (]2,0(考查分段函数的单调性).10.若不等式xx x a 2log 221≥-+在)2,21(∈x 时恒成立,则实数a 的取值范围为 . 答案 [)+∞,1 (考查函数图像,不等式恒成立).11.设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++<≤-+=,10,12,01,1)(x x bx x ax x f 其中.,R b a ∈若)23()21(f f =，则b a 3+的值为；答案 10-(考查分段函数,函数的周期性).12．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-.0,12,0,2)(x ax x e x f x (a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)；④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜.2)()(21x f x f + 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．答案 ①③④(考查分段函数的单调性,函数图像).13.已知函数)(x f 是定义在R 上的单调递增奇函数，若当20πθ≤≤时，0)22()s i n 2(c o s 2<--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.答案 21->m (考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).14. 已知函数)()(R x e e x f xx∈-=-，其中e 为自然对数的底. （1）判断函数)(x f 的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.答案 (1)奇函数，单调增；（2）21-=t .(考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).15.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72. (2)f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，∴－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. ∴a ＋3>0，a >－3.∴0<a ≤1.③当a >1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2，2a ＋2>0，显然成立．综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，＋∞)．(考查函数的单调性,不等式恒成立).16.设函数xxa ka x f --=)((a ＞0且a ≠1)是奇函数．(1)求k 的值；(2)若f (1)＞0，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0；(3)若f (1)＝32，且)(2)(22x mf a a x g x x -+=-在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．解 (1)因为f (x )是奇函数，且f (0)有意义，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，k ＝1.(2)因为f (1)＞0，所以a －1a ＞0，∴a ＞1，∴f (x )＝a x －a －x 是R 上的单调增函数．于是由f (x 2＋2x )＞－f (x －4)＝f (4－x )，得x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，解得x ＜－4或x ＞1.(3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，解得a ＝2(a ＞0)，所以g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x )＋2.设t ＝f (x )＝2x －2－x ，则由x ≥1，得t ≥f (1)＝32，g (x )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2. 若m ≥32，则当t ＝m 时，y min ＝2－m 2＝－2，解得m ＝2.若m＜32，则当t＝32时，y min＝174－3m＝－2，解得m＝2512(舍去)．综上得m＝2.(考查函数的奇偶性和单调性).11。

2018届高考数学(理)二轮复习课件(一) 送分专题(二) 函数的图象与性质

5．已知函数
1－2ax＋3a，x<1， f(x)＝ x－1 ，x≥1 2
的值域为 R，则实
数 a 的取值范围是________．
解析：当 x≥1 时，f(x)＝2x－1≥1， ∵函数
1－2ax＋3a，x<1， f(x)＝ x－1 ，x≥1 2
的值域为 R，
∴当 x<1 时，y＝(1－2a)x＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有
送分专题(二) 函数的图象与性质
[全国卷 3 年考情分析]
年份卷别 2017 考查内容及考题位置利用函数的单调性、卷Ⅰ 奇偶性求解不等式·T 5 分段函数与不等式的卷Ⅲ 解法·T 15 命题分析 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第 5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断． 2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
答案：B
3．设函数
2 m＋x ，|x|≥1， f(x)＝ x，|x|<1
的图象过点(1,1)，函数 g(x)
是二次函数，若函数 f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数 g(x) 的值域是 A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．[0，＋∞) ( )
B．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．[1，＋∞)
－
函数在(e－1，＋∞)上单调递增，结合图象可知 D 正确，故选 D. 答案：D
2．已知函数 f(x－1)是定义在 R 上的奇函数，且在[0，＋∞) 上是增函数，则函数 f(x)的图象可能是 ( )

2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题一第二讲函数图象与性质

专题一　集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲　函数图象与性质高考导航对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练．2．对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息.4－x21．(2017·山东卷)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)[解析]　由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，故选D.[答案]　D2．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( )xA．y＝B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x[解析]　A项中的函数为非奇非偶函数，B项和C项中的函数是偶函数，D项中的函数满足奇函数的定义，故选D.[答案]　D3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3][解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.[答案]　D4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )[解析]　f (2)＝2×22－e 2＝8－e 2，因为0<8－e 2<1，所以0<f (2)<1，排除选项A ，B.当0≤x ≤2时，y ′＝4x －e x ，在平面直角坐标系中分别作出当0≤x ≤2时函数y 1＝4x ，y 2＝e x的图象，如图所示．可知，当0≤x ≤x 0时，e x >4x ，y ′<0，即y ＝2x 2－e |x |单调递减；当x 0<x ≤2时，4x >e x ，y ′>0，即y ＝2x 2－e |x |单调递增，故选D.[答案]　D5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ＋f (1)＝________.(－52)[解析]　因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x )＝－f (－x )，又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－1)＝－f (1)＝f (1)，因此f (1)＝0.又f ＝f ＝－f ＝－2，故f ＋f (1)＝－2.(－52)(－12)(12)(－52)[答案]　－2考点一　函数及其表示1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[对点训练]1．(2017·广东深圳一模)函数y ＝的定义域为( )－x 2－x ＋2ln x A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1][解析]　由题意得Error!解得0<x <1，故选C.[答案]　C2．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14]C. D.(13，83][13，83)[解析]　因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x <5，所以0≤x ＋2<7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1<7，解得≤x <，故y ＝f (3x －1)的定义域1383是，故选D.[13，83)[答案]　D3．(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋的值域为2x －1________．[解析]　由题意得2x －1≥0，解得x ≥，12又∵f (x )＝x ＋在上为增函数，2x －1[12，＋∞)∴当x ＝时，f (x )取最小值，f (x )min ＝f ＝，且f (x )无最大值．12(12)12∴f (x )的值域为.[12，＋∞)[答案]　[12，＋∞)4．(2017·福建厦门一模)已知函数f (x )＝Error!的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．[解析]　当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝Error!的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则Error!解得0≤a <.12[答案]　[0，12)(1)函数定义域问题的3种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式(组)求解即可．②抽象函数：根据f [g (x )]中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解．③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)函数值域问题的4种常用方法公式法、分离常数法、图象法、换元法．考点二　函数的图象及其应用1．作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．识图从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．3．用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．角度1：以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式【例1－1】　(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝的部分图象大致sin2x1－cos x 为( )[思维流程]　看条件――→奇偶性单调性析选项――→特殊点、线得结果[解析]　由题意，令函数f (x )＝，其定义域为sin2x1－cos x {x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝＝＝－f (x )，所以sin (－2x )1－cos (－x )－sin2x1－cos x f (x )＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为sin2x1－cos x f ＝＝0，f ＝＝<0，所以排除A ；f (π)＝(π2)sin π1－cos π2(3π4)sin 3π21－cos 3π4－11＋22＝0，排除D.故选C.sin2π1－cos π[答案]　C角度2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、比较大小等【例1－2】　(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝Error!有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C. D ．(0，＋∞)(0，12)[思维流程]　→→理解伙伴点组当x <0时，作y ＝f (x )的对称图形→画y ＝kx －1与y ＝ln x (x >0)图象由相切时的k 值求范围[解析]　依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝，1x 则km －1＝ln m ，k ＝，解得m ＝1，k ＝1，1m 可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．[答案]　B识别函数图象应关注的5点(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势．(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性．(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复．(5)取特殊值代入进行检验．[对点训练]1．[角度1](2017·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝B ．f (x )＝ln|x |x e x xC ．f (x )＝－1D ．f (x )＝x －1x 21x[解析]　由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.1x [答案]　A2．[角度2](2017·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝Error!若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．[解析]　令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝2－≥－，若函数f (x )与y ＝m (x ＋12)1414的图象有三个不同的交点，则－<m ≤0，即实数m 的取值范围是14.(－14，0][答案]　(－14，0]考点三　函数的性质及其应用1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．函数的周期性对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；(2)若f (x ＋a )＝，则T ＝2a ；1f (x )(3)若f (x ＋a )＝－，则T ＝2a .(a >0)1f (x )4．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝对称．a ＋b 2角度1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例2－1】　(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x －x ，则f (x )( )(13)A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数[解析]　易知函数f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝3－x －－x ＝x －3x ＝－f (x )，(13)(13)∴f (x )为奇函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝－x 在R 上是增函数，(13)∴f (x )＝3x －x 在R 上是增函数．故选A.(13)[答案]　A 角度2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合[思维流程]　f (x )是R 上的偶函数且在(－∞，0)上单调递增――→对称性 →→f (x )在(0，＋∞)上单调递减脱去“f ”解关于a的不等式[解析]　解法一：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－)，f (－)＝f ()，故0<2|a －1|<，则|a －1|<，所以222212<a <.1232解法二：依题意，令f (x )＝－|x |，由f (2|a －1|)>f (－)，得－|2|a －1||>－|－|，22则|a －1|<，解得<a <.121232[答案]　(12，32)函数3个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．【易错提醒】　在确定函数的奇偶性和单调性时，不能忽略函数的定义域．[对点训练]1．[角度1]下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )A ．y ＝x 2＋2B ．y ＝－4x 3C ．y ＝－x ＋D ．y ＝x |x |1x [解析]　∵函数y ＝x 2＋2是偶函数，∴选项A 不满足题意；∵x 增大时，－4x 3减小，即y 减小，∴y ＝－4x 3为减函数，∴选项B 不满足题意；y ＝－x ＋在定义域内不单调，∴选项C 不满足题意；1x y ＝x |x |为奇函数，且y ＝x |x |＝Error!∵y ＝x 2在[0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 2在(－∞，0)上单调递增，且y ＝x 2与y ＝－x 2在x ＝0处的函数值都为0，∴y ＝x |x |在定义域内是增函数．故选D.[答案]　D2．[角度2](2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >时，f＝f 12(x ＋12).则f (6)＝( )(x －12)A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2[解析]　由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)12＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.[答案]　D热点课题2　函数图象辨析[感悟体验]1．(2017·长沙模拟)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为( )[解析]　由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ，当x ∈时，f (x )[0，π2]＝cos x ·sin x ＝sin2x ；当x ∈时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－sin2x ，12(π2，π]12故选B.[答案]　B2．(2017·南昌二模)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )[解析]　当x ∈时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率(0，22]越来越大；当x ∈时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率[22，2)越来越小，故选C.[答案]　C。

2018高考理科数第二轮复习专题一第一讲函数的图像与性质

1 (a 0且f ( x) 0), 则f ( x)是周期函数， 4 若f x a f ( x) 2a是它的一个周期；
1+f ( x) (a 0且f ( x) 1), 则f ( x)是周期函数， 5 若f x a 1 f ( x) 4a是它的一个周期；
3、周期性是函数的整体性质，一般地，对于函数f(x), 如果对于定义域中任意一个x的值： (1)若f(x+T)=f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期； (2)对f(x+a)=f(x+b)（a≠0）, 则f(x)是周期函数，∣ba∣是它的一个周期； (3)若f(x+a)=f(x-a)(a≠0),则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期;
在积累、归纳、提炼中升华
——二轮专题复习的有效策略

通过第一轮复习，大家能够较为系统地掌握高中数学知识，并初步形成知识体系，积累比较丰富的解题经验.
第二轮复习应该做什么？怎么做？
关键是要弄清楚自己目前的水平离高考的要求还有多大差距。具体地说，二轮复习就是针对高考的重点、难点，以专题的形式进行知识与方法的横、纵向联系，以强化综合能力、思维能力、运算能力和应试能力为主要目标的一种复习方式.
(-2,2/3) f ( x) 0恒成立，则x的取值范围为 ____________ .

总结：函数性质的综合应用主要包括求值与解不等式两个方面：求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值。解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系.
2、对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的，一般地，若f（x）的图像有两条对称轴x=a和 x=b(a≠b),则f(x)必为周期函数，且2∣b-a∣是它的一个周期；若f(x)的图像有两个对称中心（a,0）和（b,0）(a≠b)，则f(x)必为周期函数，2∣b-a∣为它的一个周期;若f(x)的图像有一条对称轴x=a和一个对称中心（b,0）(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且它的一个周期是4∣ba∣.

2018届江苏高考数学二轮专题复习函数的图象与性质

解析
5 5 1 1 由已知 f －2＝f －2＋2＝f －2＝－2＋a，
9 9 1 2 1 1 － f 2＝f 2－4＝f 2＝＝ . 5 2 10
化为给出解析式的范围内的函数值.
思维升华
解析
答案
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a| － a(a∈R). 若 ∀x∈R ， f(x ＋ 2 016)>f(x) ，则实数 a 的取值范围是 (－∞，504) ____________. 思维升华的形式. 利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f(x1)<f(x2)
5 从而 f －2＋f(1)＝－2.
解析
答案
(2)(2017· 江苏溧水高级中学质检 ) 若函数 f(x) 是定义在 R 上的
奇函数，且在 ( － ∞ ， 0) 上是增函数，又 f(2) ＝ 0 ，则不等式
xf(x＋1)<0的解集为________________. (－3，－1)∪(0,1)
x f 1＋f x2 x1＋x2 . ③ 2 <f 2
②③ 把所有正确结论的序号都填写在横线上) 其中正确的结论是______.(
解析
答案
热点三指数、对数函数的图象与性质例3 (1)若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值

(16，64) 取值范围是_________. 思维升华判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对
原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后，导函数发生了变化，
故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的

2018届高考数学理科二轮总复习高考小题分项练 2 含解

高考小题分项练2 函数的图象与性质1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为________．答案 [0，＋∞)解析当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数． 2．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数，∴对称轴x ＝－1－a2＝0，∴a ＝1.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥4，f (x ＋3)，x <4，则f (f (－1))＝________.答案 0解析 f (f (－1))＝f (f (2))＝f (f (5))＝f (1)＝f (4)＝0.4．若函数f (x )＝x 2－6x ＋m 在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m 的值为________．答案 6解析函数f (x )＝x 2－6x ＋m 的对称轴是x ＝3，开口向上，所以函数f (x )在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得最小值．由f (3)＝32－6×3＋m ＝－3，解得m ＝6. 故实数m 的值为6.5．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析当x ≥0时，y ＝|x |(1－x )＝x (1－x )＝x －x 2 ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14；当x <0时，y ＝|x |(1－x )＝－x (1－x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14. 故y ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0，函数图象如图所示．所以函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，12. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x >0，g (x )，x <0是奇函数，则f (g (－2))＝________.答案 1解析方法一当x <0时，－x >0，g (x )＝－f (－x )＝－(2－x －3)＝3－⎝⎛⎭⎫12x ，所以g (－2)＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝3－2＝1.方法二因为g (－2)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (g (－2))＝f (－f (2))＝f (－(22－3))＝f (－1)＝－f (1)＝1.7．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1,1]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2)解析当a ＞1时，f (x )在[－1,1]上是增函数， ∵在x ∈[－1,1]上恒有f (x )＜2， ∴f (1)<2，∴1＜a ＜2.当0＜a ＜1时，f (x )在[－1,1]上是减函数， ∵在x ∈[－1,1]上恒有f (x )＜2，∴f (－1)<2， ∴1a ＜2且0＜a ＜1，∴12＜a ＜1. 综上所述，实数a 的取值范围为12＜a ＜1或1＜a ＜2.8．当函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点时，a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤0或a >1}解析 ∵f (1)＝lg 1＝0，∴当x ≤0时，函数f (x )没有零点，故－2x ＋a >0或－2x ＋a <0在(－∞，0]上恒成立，即a >2x 或a <2x 在(－∞，0]上恒成立，故a >1或a ≤0.9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n 的最小值为________．答案 92解析由题意得点A (－2，－1)，故－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2.∴2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝n m ＋m n ＋2＋12≥4＋12＝92，当且仅当m ＝n ＝23时，等号成立．10．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在x ∈[2，＋∞)上恒有|y |>1，则a 应满足的条件是________．答案 12<a <1或1<a <2解析若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1. 由题意知log a 2<－1，∴a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1. 由题意知log a 2>1，∴a ∈(1,2)．综上可知，12<a <1或1<a <2.11．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析二次函数y ＝x 2－2x －t 在[0,3]上的最大值为2或最小值为－2，f (1)＝1－2－t ＝－1－t ＝－2，∴t ＝1，或f (3)＝3－t ＝2，∴t ＝1.综上t ＝1.12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)，满足f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,2)时，f (x )＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．答案 7解析由题意作出y ＝f (x )在区间[－2,4]上的图象，与直线y ＝1的交点共有7个，故函数y ＝f (x )－1在区间[－2,4]上的零点个数为7.13．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数：f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝a －|x |(a >1)．当K ＝1a 时，函数f K (x )的单调减区间是________．答案 (1，＋∞)解析由题意知，当K ＝1a(a >1)时，令f (x )≤1a ，即a －|x |≤1a，解得x ≤－1或x ≥1；令f (x )>1a ，即a －|x |>1a ，解得－1<x <1.所以f K (x )如图实线所示．由图象知，f K (x )在(1，＋∞)上为减函数．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．若直线y ＝k (x ＋1)(k＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，13解析根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1.作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.。

2018年高考数学二轮复习习题：第一部分专题一第二讲函数的图象与性质第二讲函数的图象与性质

限时规范训练 A 组——高考热点强化练一、选择题1．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]．∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝[－2,1)．故选D. 答案：D2．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C.19D ．9解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧，x >0，3x ，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－2)＝19.答案：C3．(2017·湖南东部六校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减解析：因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称，可得y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B. 答案：B4．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x 的图象为( )解析：由题设条件，当x ≥1时，f (x )＝22log x－⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝1x；当0<x <1时， f (x )＝22log x －－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝x .故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，x ，0<x <1.其图象如图所示．故选D.答案：D5．(2017·西安模拟)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足：x 1＝n n ＋1x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝( ) A ．7 554 B ．7 540 C ．7 561D ．7 564解析：∵数列{x n }满足x 1＝1，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，∴x n ＋1＝f (x n )，∴由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，…，∴数列{x n}是周期为4的周期数列，∴x1＋x2＋…＋x2 017＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＝504×15＋1＝7 561.故选C.答案：C6．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝log a(x＋b)的图象可能是( )解析：由题图可知0<a<1,0<b<1.故选C.答案：C7．(2016·福州质检)已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a解析：因为f(x)为偶函数，故f(－4)＝f(4)．因为(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(－4)＝f(4)>f(3)>f(1)，即a>c>b，故选C.答案：C8．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.答案：D9．(2017·高考山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，f (1a)＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，∴a ＝14，∴f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f (1a)＝6.故选C.答案：C10．(2017·山西四校联考)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：画出y 1＝f (x )，y 2＝12log 2|x |的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.答案：A11.(2017·天津模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．x 2cos xB ．sin x 2C ．x sin xD ．x 2－16x 4解析：由图象可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，故可排除A 选项．由于函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上先增后减，而函数y ＝x sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增(因为y ＝x 及y ＝sin x 均在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且函数取值恒为正)，故排除C 选项．对函数y ＝x 2－16x 4而言，y ′＝2x －23x 3＝23x (3－x 2)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ′＝23x (3－x 2)>0，故y ＝x 2－16x 4在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上单调递增，与图象不符，故排除D 选项．故选B.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：由f (x －4)＝－f (x )得f (x ＋2－4)＝f (x －2)＝－f (x ＋2)，由f (－x )＝－f (x )得f (－x －2)＝－f (x ＋2)，所以f (－2＋x )＝f (－2－x )，所以直线x ＝－2是函数f (x )图象的一条对称轴．同理得直线x ＝2是函数f (x )图象的一条对称轴，所以函数f (x )的周期是8，所以f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝f (1)，f (80)＝f (0)．由f (x )是奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，得f (0)＝0，f (1)>0，－f (1)<0，则－f (1)<f (0)<f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．故选D. 答案：D 二、填空题13．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：法一：令x ＞0，则－x ＜0.∴f (－x )＝－2x 3＋x 2. ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)．∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 答案：1214．若函数f (x )＝2x＋a ·2－x为奇函数，则实数a ＝________. 解析：依题意得f (0)＝1＋a ＝0，所以a ＝－1. 答案：－115．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋f (0)＋f (2 016)＋f (2 017)＝________.解析：因为f (x )＝22x ＋1＋sin x ，所以f (－x )＝22－x ＋1－sin x ＝2·2x2x ＋1－sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2.则f (2 017)＋f (－2 017)＝2，f (2 016)＋f (－2 016)＝2.而f (0)＝220＋1＋sin 0＝1，所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋f (0)＋f (2 016)＋f (2 017)＝5. 答案：516．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；②∀x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋x ； ③当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－34时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)．则f (2 017)＝________.解析：由①知f (x )为奇函数．又由②可得f (x )是以3为周期的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 2[－3×(－1)＋1]＝－log 24＝－2. 答案：－2B 组——12＋4高考提速练一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：当a ≤0时，2a－2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74，故选D.答案：D2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－(13)x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝(13)x 在R 上是减函数，∴函数y ＝－(13)x在R 上是增函数．又∵y ＝3x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．故选A.答案：A3．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析：易判断函数为奇函数，由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0，故选B. 答案：B4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，x ≥0，－x 1－x ，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增，故选B.答案：B5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则实数a 的值是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即－1－a ＝4，∴a ＝－5. 答案：C6．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝e1－x2B ．f (x )＝e x 2－1 C ．f (x )＝e x 2－1D ．f (x )＝ln(x 2－1)解析：A 中，令f (x )＝e u，u ＝1－x 2，易知当x <0时，u 为增函数，当x >0时，u 为减函数，所以当x <0时，f (x )为增函数，当x >0时，f (x )为减函数，故A 可能是；B 、C 中同理可知，当x <0时，f (x )为减函数，当x >0时，f (x )为增函数，故B 、C 不是；D 中，当x ＝0时，无意义，故D 不是，选A. 答案：A7．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B.45 C ．－1D ．－45解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)可得f (x )＝f (x ＋4)．因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1，故选C. 答案：C8．(2017·陕西宝鸡中学第一次月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，log a x ， x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析：依题意f (x )单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，3a －1＋4a ≥log a 1，解得17≤a <13，故选C.答案：C9．对于函数f (x )，使f (x )≤n 成立的所有常数n 中，我们把n 的最小值G 叫做函数f (x )的上确界．则函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≥0，⎛⎭⎪⎫12－x ，x <0的上确界是( )A ．0B.12 C ．1D ．2解析：∵f (x )在(－∞，0)上是单调递增的，在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (x )在R 上的最大值是f (0)＝1， ∴n ≥1，∴G ＝1.故选C. 答案：C10．(2017·重庆一中模拟)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13C.23 D ．1解析：依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C. 答案：C11．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[－5,0]C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析：因为f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，即|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x－1，而1x－1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，由x －2≤ax ＋1，得a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．答案：D12．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：依题意a ＝g (－log 25.1)＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)．因为f (x )在R 上是增函数，可设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)．从而x 1f (x 1)＜x 2f (x 2)，即g (x 1)＜g (x 2)．所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数．又log 25.1＞0,20.8＞0,3＞0，且log 25.1＜log 28＝3,20.8＜21＜3，而20.8＜21＝log 24＜log 25.1，所以3＞log 25.1＞20.8＞0，所以c ＞a ＞b .故选C.答案：C二、填空题13．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解析：f (－x )＝ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln 1＋e 3x e3x －ax ＝ln(1＋e 3x )－3x －ax ，依题意得，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即ln(1＋e 3x )－3x －ax ＝ln(1＋e 3x )＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R)，因此2a ＋3＝0，解得a ＝－32. 答案：－3214．(2017·高考山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数，∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.答案：615．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a －2>0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >2，a －2－1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >2，a ≤3，解得2<a ≤3，即a 的取值范围是(2,3]．答案：(2,3]16．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f (x －12)＞1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0. 当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14. 答案：(－14，＋∞)。

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寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝( ) A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＝18. 4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为()解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫72 解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝⎛⎭⎫72<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫52，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a－x是奇函数，且g (x )在x＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax －2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln (－x )＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝⎛⎭⎫1m <ln 12－2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0. 11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x －12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e)D ．(0， e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a < e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝( ) A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f ⎝⎛⎭⎫16＝12f ⎝⎛⎭⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝⎛⎭⎫19≤f ⎝⎛⎭⎫18≤f ⎝⎛⎭⎫17≤f ⎝⎛⎭⎫16＝12，所以f ⎝⎛⎭⎫18＝f ⎝⎛⎭⎫17＝12，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝1＋12＝32. 13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12×12＝－12. 答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln 1＋x 1－x在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln 1＋x1－x，则g (－x )＝(－x )2ln 1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x1－x ＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a2x 在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪t －at 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x 为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x 趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤2327，1 B.⎣⎡⎦⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x ∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎡⎭⎫0，23上单调递减，在⎝⎛⎦⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝⎛⎭⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎡⎦⎤－427，0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤－2327，1. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1，由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意；当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)有下列判断：①函数y＝f(x)是偶函数；②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；④函数y＝f(x)在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y＝f(x)的图象可以判断出，图象关于y轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

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