2020-2021学年河北省定州市高二上学期期末考试文数试卷
河北省高二上学期数学期末考试试卷
河北省高二上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二上·鱼台月考) 已知，，若，则常数（）A . -6B . 6C . -9D . 9【考点】2. （2分）设为虚数单位，则复数=（）A .B .C .D .【考点】3. （2分） (2019高三上·绵阳月考) “ ”是“直线与垂直”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】4. （2分）已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则=（）A . 35B . 33C . 31D . 29【考点】5. （2分）(2020·肥东模拟) 已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则（）A . 1B .C . 2D .【考点】6. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A . （﹣∞，0）B . （0，+∞）C . （﹣∞，e4）D . （e4 ，+∞）【考点】7. （2分）(2019·丽水月考) 如图，正四面体中，是棱上的动点，设（），记与所成角为，与所成角为，则（）A .B .C . 当时，D . 当时，【考点】8. （2分） (2020高二下·顺德开学考) 函数的图象在处的切线斜率为（）A . 3B .C .D . e【考点】9. （2分）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A .B .C .D .【考点】10. （2分） (2019高一上·珠海期中) 已知为奇函数，当时，，则在上是（）A . 增函数，最小值为B . 增函数，最大值为C . 减函数，最小值为D . 减函数，最大值为【考点】二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2020高二下·河西期中) 设i是虚数单位， ________.【考点】12. （1分）(2019·天津模拟) 已知，则 =________.【考点】13. （1分） (2017高二上·泰州月考) 已知函数在处取得极小值10，则的值为________．【考点】14. （1分） (2016高二下·东莞期中) 下列四个命题中正确的有________（填上所有正确命题的序号）①若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1②若z为复数，且|z|=1，则|z﹣i|的最大值等于2③任意x∈（0，+∞），都有x＞sinx④定积分 dx= ．【考点】15. （1分） (2019高三上·通州月考) 设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________.【考点】三、解答题 (共5题；共25分)16. （5分）(2017·柳州模拟) 已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．【考点】17. （5分）(2019·河南模拟) 如图，在四棱锥中，且和分别是棱和的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.【考点】18. （5分） (2020高二上·林芝期末) 已知点（1，2）是函数的图象上一点，数列的前项和是 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和【考点】19. （5分）(2020·日照模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线C：（）的焦点为（1）动直线l过F点且与抛物线C交于M，N两点，点M在y轴的左侧，过点M作抛物线C准线的垂线，垂足为M1 ，点E在上，且满足连接并延长交y轴于点D，的面积为，求抛物线C的方程及D点的纵坐标；（2）点H为抛物线C准线上任一点，过H作抛物线C的两条切线 , ，切点为A，B，证明直线过定点，并求面积的最小值.【考点】20. （5分）(2018·邵东月考) 已知函数 .（1）求的单调性；（2）设，若关于的方程有解，求的取值范围.【考点】参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共25分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：第21 页共21 页。
河北省2020-2021学年高二上学期期末考试数学模拟试题2套(含答案)
河北省高二上学期期末模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若0a b <<，则（ ） A ．11a b < B ．01a b << C. 2ab b > D ．b a a b> 2.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A ．1x = B ．1y = C. 1x =- D ．1y =-3.已知直线l 的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数)，则直线l 的普通方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y -+= C. 0x y += D ．20x y +-= 4.观察下列各图，其中两个分类变量,x y 之间关系最强的是（ ）A ．B ． C.D ．5.椭圆3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ是参数）的离心率是（ ）A ．35B ．45 C. 925 D ．16256.若,x y 是正数，且141x y+=，则xy 有（ ）A ．最大值16B ．最小值116 C. 最小值16 D ．最大值1167.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比 上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4 层的灯盏数应为（ ） A ．3 B ．12 C. 24 D ．368.对任意的实数x ，不等式210mx mx --<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,0- B ．(]4,0- C.[]4,0- D ．[)4,0- 9.设变量,x y 满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．1B ．14 C. 12D ．2 10.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.那么p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．412.在函数()()2ln 1f x a x x =--的图象上，横坐标在()1,2内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞ C. [)6,+∞ D ．()6,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a = ．14.过点()4,1Q 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被Q 所平分，则弦AB 所在直线方程为 ．15.已知函数()32113f x x ax x =+++有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．16.已知命题1:12p x ≤≤，命题()():10q x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ()sin cos 1C c A =+. （1）求角A ；（2）若2316bc a =-，ABC ∆的面积S =,b c 的值. 18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*13122n n S a n n n N +=--+∈.（1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T . 19.已知函数()22x f x e x ax =-+.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2） 若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为2，椭圆与x 轴左交点与点F 的距1. （1）求椭圆方程；（2） 过点()0,2P 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，当OAB ∆时，求AB . 21.已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,P p 的直线l 与抛物线相交于A B 、两点，分别过点A B 、作抛物线的两条切线1l 和2l ，记1l 和2l 相交于点M . （1）证明：直线1l 和2l 的斜率之积为定值； （2） 求证：点M 在一条定直线上.22.已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++-∈.（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a =时，设函数()()()22g x xf x k x =-++，若函数()g x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADB 6-10: CCBBA 11、12：BC二、填空题13. 17 14. 4150x y --= 15. ()(),11,-∞-⋃+∞ 16.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 解：（1)()sin cos 1C c A =+，()sin sin cos 1A C C A =+，cos 1A A -=，故1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由0A π<<，得3A π=.(2)在ABC ∆中，22163bc b c bc -=+-， ∴()216b c +=，故4b c +=.①又ABC S ∆==， ∴4bc =.②联立①②式解得2b c ==.18.解：（1）∵213122n n a S n n +=--+，①∴当1n =时，121a =-，则112a =-，当2n ≥时，()()2111311122n n a S n n --+=----+， ② 则由①—②得121n n a a n --=--，即()121n n a n a n -+=+-， ∴()1122n n b b n -=≥，又11112b a =+=， ∴数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列， ∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）得2n nn nb =. ∴234112*********n n nn nT --=++++++，③ 232123412122222n n n n nT ---=++++++，④. 由④-③得2111112222n n n n T -=++++-1122212212nn nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--. 19.解：（1）∵()22x f x e x '=-+，∵()1f e '=，即(),11k e f e ==+ ∴所求切线方程为()()11y e e x -+=-，即10ex y -+=（2）()22x f x e x a '=-+，∵()f x 在R 上单调递增，∴()0f x '≥在R 上恒成立，∴2x e a x ≥-在R 上恒成立，令()2x e g x x =-，()112xe g '=-，令()0g x '=，则ln2x =，∵在(),ln 2-∞上()0g x '>；在()ln 2,+∞上，()0g x '<， ∴()g x 在(),ln 2-∞单调递增，在()ln 2,+∞上单调递减， ∴()()max ln 2ln 21g x g ==-，∴ln21a ≥-，∴实数a的取值范围为[)ln 21,-+∞. 20.解：（1）由题意可得2c a =，1a c -，又222a b c -=，解得221,2b a ==，所以椭圆方程为2212x y +=（2）根据题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y 由方程组22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的方程()2212860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则有0∆>，即222(1)6424216240k k k -+=->， 得：232k >，由根与系数的关系得122122812612k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩，故12AB x x =⋅又因为原点O 到直线l的距离d =， 故OAB ∆的面积12S AB d =⋅==2=，得k =32AB =. 21.解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx p =+， 将其代入22x py =，消去y 整理得22220x pkx p --=. 设,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ， 则2122x x p =-.将抛物线的方程改写为212y x p =，求导得1y x p'=. 所以过点A 的切线1l 的斜率是11x k p =，过点B 的切线2l 的斜率是22xk p=， 故121222x x k k p ==-， 所以直线1l 和2l 的斜率之积为定值2-.（2）设(),M x y .因为直线1l 的方程为()111y y k x x -=-，即()21112x x y x x p p -=-， 同理，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-，联立这两个方程，消去y 得()()2212212122x x x x x x x x p p p p -=---， 整理得()121202x x x x x +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，注意到12x x ≠，所以122x x x +=.此时()2211111212112222x x x x x x x x y x x x p p p p p p p⎛⎫+=+-=+-==- ⎪⎝⎭. 由（1）知，122x x pk +=，所以122x x x p +==k R ∈， 所以点M 在定直线y p =-上.22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()f x 的导数为()()()()11110ax x f x ax a a x x--'=-++-=->， ①当()0,1a ∈时，11a>. 由()0f x '<，得1x a>或 1x <. 当()10,1,,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为()0,+∞； ③当()1,a ∈+∞时，11a<. 由()0f x '<，得1x >或1x a<. ∴当()10,,1,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上，当()0,1a ∈时，()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当()1,a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）()()2ln 22g x x x x k x =--++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令函数()2ln 22x x x h x x -+=+，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()2232ln 42x x x h x x +--'=+.令函数()232ln 4p x x x x =+--，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()()212x x p x x-+'=在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥. 故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.∵()10p =，∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有() 0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，有() 0p x > 即()0h x '>， ∴()h x 单调递增.∵19ln 22105h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11h =，()10210ln 21021023110121232h h --⎛⎫=>=> ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦.数学试题卷二第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样2.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）A ．28B ．23C ．18D ．133.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()112mod3=.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．244.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg )分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A. 12,,,n x x x 的平均数B. 12,,,n x x x 的标准差C.12,,,n x x x 的最大值D. 12,,,n x x x 的中位数5.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥；④若//m l ，则αβ⊥.其中正确的命题是（ ） A.①④B.③④C.①②D.②③6.供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A.12月份人均用电量人数最多的一组有400人B.12月份人均用电量不低于20度的有500人C.12月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)30,40—组的概率为1107.已知,x y 满足条件002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．148.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）A ．30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．324ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，9.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=（ ）(其中e 为自然对数的底）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e + 10.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，163,6,2AB AC AE ED ===，则AE EB ⋅等于（ ）A ．14-B ．9-C ．9D ．1411.如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（ ）A ．23π B ．34π C ．56π D ．35π 12.在直角坐标系内，已知()3,5A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A )重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-=，其中点()(),0,0M m N m -、，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，有,,,,,A B C D E 5组数据，去掉 组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用A B C D E 、、、、作答）14.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A B 、两点，则AB = ．15.已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点若2212F A F B +=，则AB = ．16.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元， 该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，120C =︒. （1）若1c =，求ABC ∆面积的最大值； （2） 若2a b =，求 t tan A .18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：()() ()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-）参考数据：1125132912268161092⨯+⨯+⨯+⨯=，22221113128498+++=.19.如图，四面体ABCD中，O E、分别是BD BC、的中点，2CA CB CD BD====,2AB AD==.（1）求证：//OE平面ACD；（2）求直线OC与平面ACD所成角的正弦值.20.遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停：（1）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2, 3, 4, 5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由.（2）根据以往经验，甲船将于早上7:00〜8:00到达，乙船将于早上7:30〜8:30到达，请求出甲船先停靠的概率.21.如图三棱柱111ABC A B C-中，侧面11BB C C为菱形，1AB B C⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若11,,3AC AB CBB AB BC π⊥∠==，求二面角111A A B C --的余弦值.22.已知椭圆()2222 0:1x y C a ba b =>>+的右焦点()1,0F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点()(),00T t t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDCCA 6-10: CBBAD 11、12：AB二、填空题13. D 14.16315. 8 16. 27 三、解答题17. 解：设（1）由余弦定理得222cos1201a b ab +-︒=，22123a b ab ab ab ab ++=≥+=，当且仅当a b =时取等号；解得13ab ≤，故1sin 2ABC S ab C ∆==≤ABC ∆. （2）因为2a b =，由正弦定理得sin 2sin A B =，又120C =︒，故60A B +=︒，∴()sin 2sin 60sin A A A A =︒-=-，2sin A A =，∴tan A 18.（1）由数据求得11,24x y == 由公式求得187b =再由307a y bx =-=-所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =-（2）当10x=时，1507y=，1502227-<；同样，当6x=时，787y=，781227-<所以，该小组所得线性回归方程是理想的.19.（1）证明：连结OE,∵O E、分别是BD BC、的中点.∴//OE CD, 又OE⊄平面ACD,CD⊂平面ACD,∴//OE平面ACD（2）法一：连结OC,∵,BO DO AB AD==,∴AO BD⊥.∵,BO DO BC CD==,∴CO BD⊥.在AOC∆中，由已知可得1,3AO CO==.而2AC=,∴222AO CO AC+=,∴AO OC⊥.∵BD OC O⋂=,∴AO⊥平面BCD.以OB OC OA、、分别为x y z、、轴，建立如图所示的直角坐标系()()()()0,0,1,1,0,0,0,3,0,1,0,0A B C D-设平面ACD的法向量(),,x y zη=，由()()1,0,1,1,3,0DA DC==则有030x zx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x=-，得31,,1η⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭又因为()0,3,0OC=，所以7sinOCOCηαη⋅==故直线OC与平面ACD所成角的正弦值为:7.法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC O ADC V V --=，有1111113232d ⨯⨯=⨯，得d =故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =. 20.（1）这种规则是不公平的设甲胜为事件A ，乙胜为事件B ,基本事件总数为5525⨯=种 . 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,2,4,3,1,3,3,3,5, ()()()()()4,2,4,4,5,1,5,3,5,5，∴甲胜的概率()1325P A =乙胜的概率()()12125P B P A =-= ∴这种游戏规则不公平.（2）设甲船先停靠为事件C ,甲船到达的时刻为x ,乙船到达的时刻为y ，(),x y 可以看成是平面中的点，试验的全部结果构成的区域为(){},78,7.58.5x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个正方形区域，面积111S Ω=⨯=，事件C 所构成的区域为(){},,78,7.58.5A x y y x x y =>≤≤≤≤，111712228A S =-⨯⨯=，这是一个几何概型，所以()78A S P C S Ω==.21.（1） 连接1BC ,交1BC 于点O ,连接AO ,因为侧面11BB C C 为菱形, 所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 及1BC 的中点，又11,AB B C AB BC B ⊥⋂= 所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO , 故1B C AO ⊥.又1B O CO =,故1AC AB =. （2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，. 所以AO CO =.又因为AB BC =,所以BOA BOC ∆≅∆,故OA OB ⊥, 从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz - 因为13CBB π∠=,所以1CBB ∆为等边三角形，又ABBC =，则()13330,0,,1,0,0,0,,0,0,,0A B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1330,,AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,,0B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33030y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以可取()1,3,3n = 设m 是平面111A B C 的法向量，则11110m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取()1,3,3m =-1cos ,7n m n m n m⋅==所以二面角111A A B C --的余弦值为17.22.解：（1)由题意知1c =，又tan603bc=︒=23b =， 2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=.（2）当0k =时，0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：()()1,0y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：()22223484120k x k x k +-+-=，故 0∆>，则,0k R k ∈≠ 设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,R x y ，则()2120002243,123434x x k kx y k x k k +===-=-++， 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得: ()()20PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为:2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++， 因为()20,k ∈+∞，所以()2344,k +∈+∞，所以10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以线段OF 上存在点(),0T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
河北省保定市定州市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
河北省保定市定州市2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)垂直的概率为( )A ．16B ．13C ．14D ．122．手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，严重影响了自己的学业，某学校随机抽取20个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线的方程为22149y x -=，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）A ．虚轴长为4B ．焦距为C D ．渐近线方程为230x y ±= 4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件5．为了解某校高二1000名学生的体能情况，随机抽查部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（ ）A ．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有200人B ．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有20人C ．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25.25次D ．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次6．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：221169x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）.A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能7．设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为那么|PF|=A ．B ．8C ．D ．168．已知双曲线22x a －22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．53B ．43C ．2D ．739．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．12x x >，12s s <B ．12x x =，12s s <C ．12x x =，12s s >D ．12x x <，12s s >10．命题:“∀x ∈R,220x x -+≥”的否定是( )A ．∃x ∈R,220x x -+≥B ．∀x ∈R,220x x -+≥C ．∃x ∈R,220x x -+<D ．2,20x R x x ∀∈-+<11．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ）A B ．13 C ．12 D ．312．已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y -+=上任意一点，则2||PA PQ的最小值为( )A ．3B ．4C ．D ．4二、填空题13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．14．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是______.15．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为________.16．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，()0,2A -，()0,2B ，延长AD 至点P ，使得PD BD =，则点P 的轨迹方程为______.三、解答题17．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D 、E 两点，且OD OE ⊥.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.18．随着经济的发展，个人收入的提高，自2021年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（2）某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？19．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．y （微克） x （千克）38 11 10其中2x ω= （I ）根据散点图判断，ˆybx a =+与2ˆy dx c =+，哪一个适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(Ⅱ)若用解析式2ˆy dx c =+作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程，求出ˆy 与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1)(Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数2.236≈)附：参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()()121ˆˆˆ,ni ii n i i x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑ 20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()()2,0P n n >在抛物线C 上，3PF =，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点．（1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；（2）求PA PB ⋅的最大值．21．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，左顶点()2,0A -，离心率12e =，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点（不同于点A ）.（1）求椭圆C 的方程；（2）当APQ ∆的面积7S =时，求直线PQ 的方程； （3）求OP FP ⋅的范围.22．在平面直角坐标系中,已知点(1,0)E -和(1,0)F ,圆E 是以E 为圆心,半径为圆,点P 是圆E 上任意一点，线段FP 的垂直平分线l 和半径EP 所在的直线交于点Q . （1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程T ；（2）已知M ，N 是曲线T 上的两点，若曲线T 上存在点P ，满足OM ON OP λ+=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围.参考答案1．A【分析】根据分步计数乘法原理求得所有的(),m n )共有12个，满足两个向量垂直的(),m n 共有2个，利用古典概型公式可得结果.【详解】集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m ,有4种方法；从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n ，有3种方法，所以，所有的(),m n 共有4312⨯=个，由向量(),a m n =与向量()11b =-,垂直,可得0a b n m ⋅=-=，即m n =, 故满足向量(),a m n =与向量()11b =-,垂直的(),m n 共有2个：()()3,3,5,5， 所以向量(),a m n =与向量()11b =-,垂直的概率为21126=，故选A. 【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n=求得概率. 2．A【分析】本题可以先算出在每一组内的数据有几个，再算出每一组所对应的概率，最后通过概率除以组距，绘出图像，得出结果．【详解】由茎叶图可知数据分别为：3、7、10、13、14、14、16、17、20、22、23、24、25、25、27、30、33、34、35、38， 在[0,5)内有一个；在[5,10)内有两个；在[10,15)内有四个；在[15,20)内有两个；在[20,25)内有四个；在[25,30)内有三个；在[30,35)内有三个，在[35,40]内有两个，由此可知在[0,5)内的概率为0.05；在[5,10)内的概率为0.1；在[10,15)内的概率为0.2； 在[15,20)内的概率为0.1；在[25,30)内的概率为0.15；在[30,35)内的概率为0.15；在[35,40]内的概率为0.1；再根据频率除组距画出图像，由此可知，故选A ．【点睛】本题主要考查频率分布直方图，需要明确每一组所对应的频率除组距的值．3．D【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，双曲线的方程为22149y x -=，其中b=3，虚轴长为6，则A 错误；对于B ，双曲线的方程为22149y x -=，其中a=2，b=3，则c ==则焦距为则B 错误；对于C ，双曲线的方程为22149y x -=，其中a=2，b=3，则c ==c e a ==，则C 错误； 对于D ，双曲线的方程为22149y x -=，其中a=2，b=3，则渐近线方程为230x y ±=，则D 正确.故选D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.4．A【分析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面和充要条件的判定方法，即可求解．【详解】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A ． 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和充分不必要条件的判定，其中解答中熟记平面的基本性质和充分不必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 5．B 【详解】图像的纵坐标是频率比组距，故仰卧起坐的次数超过30次的频率为004502..⨯=，故人数有0.2⨯1000=200，A 是正确的；同理次数少于20次的频率为0.1，人数为100人，故B 是错误的；高二学生1分钟仰卧起坐的次数中位数为25+x ，则0.1+0.3+0.4x=0.5,x=0.25.故得到中位数为：25.25.故C 是正确的；众数即出现最多的次数，频率最大的，在25到30之间，取中间值27.5即可．故D 也是正确的． 故答案为B ． 6．C 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案． 【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题. 7．B 【解析】 设A （-2，t ），∴，∴∴PF =88．A 【分析】先设P 的坐标（x ，y ），焦半径得丨PF 1丨＝ex +a ，丨PF 2丨＝ex ﹣a ，根据|PF 1|＝4|PF 2|，进而可得e 的关于x 的表达式．根据p 在双曲线右支，进而确定x 的范围，得到e 的范围． 【详解】设P （x ，y ），由焦半径得丨PF 1丨＝ex +a ，丨PF 2丨＝ex ﹣a ， ∴ex +a ＝4（ex ﹣a ），化简得e ＝53ax， ∵p 在双曲线的右支上， ∴x ≥a ， ∴e ≤53，即双曲线的离心率e 的最大值为53. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得e ；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将b 用,a c 表示,令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 9．B 【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小． 【详解】 由题可知，11(91415151621)156x =+++++=，21(71315151723)156x =+++++=，1S =2S = 所以12x x =，12s s <． 故选：B ． 【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定． 10．C 【解析】全称命题的否定为存在命题，命题:“2,20x R x x ∀∈-+≥”的否定是2,20x R x x ∃∈-+<.11．D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|m ，故离心率e＝121222F F c a PF PF ===+ D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12．B 【分析】设(),P x y ，利用三角形知识得到22||||1PA PA PQ PF ≥+，转化成22||293PA x x PQ x ++≥+，令()33x t t +=≥，将2293x x x +++转化成124y t t =+-，问题得解． 【详解】 设(),P x y ，由抛物线28y x =方程可得：抛物线的焦点坐标为()2,0F ，由抛物线定义得：2PF x =+又1PQ PF QF PF ≤+=+,所以2||PA PQ ()22238||29133x x PA x x PF x x -+++≥==+++， 当且仅当,,P Q F 三点共线时（F 点在PQ 中间），等号成立，令()33x t t +=≥，2293x x x +++可化为：()()2323912444t t y t tt -+-+==+-≥=，当且仅当t =3x =时，等号成立． 故选B 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题． 13．34【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解. 【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15， 所以射击4次至少击中3次的概率为153204=. 故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．13【分析】当区域A 标记的数字是2，区域B 标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大． 【详解】由题知，当区域A 标记的数字是2，区域B 标记的数字是1时， 恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大， 此时所在的小方格个数5630n =⨯=， 标记为1的区域中小方格的个数10m =，所以，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是101303P ==． 故答案为：13． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【解析】∵椭圆方程为2215y x +=∴1a b ==∴2514c =-=，即2c =，则椭圆的焦点为()0,2± 不妨取焦点()0,2 ∵抛物线2x ay = ∴抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F∴24a=,即8a =,则抛物线方程为28x y =准线方程为2y =- ∵4AF =∴A 到准线的距离为4,24y +=，即A 点的纵坐标为2y = ∵点A 在抛物线上 ∴点A 的横坐标为4x =±不妨取点A 的坐标4,2,A 关于准线的对称点的坐标为()4,6B -则PA PO PB PO OB +=+≥，即,,O P B 三点共线时，有最小值，且最小值为AB ==故答案为点睛：本题主要考查运用抛物线与椭圆的简单性质解决最小值问题，解答本题的关键是对称性化简求值及两点之间线段最短． 16．()22220x y ++=【分析】由已知可得，(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，再由已知结合椭圆定义可得点P 的轨迹是以A 为圆心，以 【详解】 如图，由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，所以2c ==，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，所以||||2DA DB a +== 由于||||PD BD =，则||||||||||PA PD DA BD DA =+=+=所以点P 的轨迹是以A 为圆心，以22(2)20x y ++=． 故答案为：22(2)20x y ++=． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，运用了椭圆的标准方程、椭圆定义和焦点坐标，同时考查数学转化思想方法，是中档题．17．（1）28y x =；（2）(8,0).【分析】（1）根据线段AB 的中点的纵坐标为4，直线AB 的斜率为1，利用抛物线的方程，求解4p =，即可得到抛物线的方程；（2）设直线l ：(0)y kx b b =+≠，联立方程组，利用根与系数的关系，求得128by y k=，2221212264y y b x x k==，再由OD OE ⊥得8b k =-，即可得到结论．【详解】（1）设A ，B 两点的坐标分别为(),A A x y ，(),B B x y ，则22A A y px =，22B B y px =，两式相减得()()()2A B A B A B y y y y p x x +-=-.即()2A BA B A By y y y p x x -+⋅=-，又线段AB 的中点的纵坐标为4，直线AB 的斜率为1，∴82p =，∴4p =. 即抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线l ：()0y kx b b =+≠与抛物线C ：28y x =交于点()11,D x y ，()22,E x y ，则28y kx b y x =+⎧⎨=⎩，2880ky y b ⇒-+=，∴064320k kb ≠⎧⎨->⎩，∴128b y y k =，2221212264y y b x x k==，由OD OE ⊥得12120x x y y +=，即8bk=-，8b k =-， 直线为()8y k x =-，∴l 过定点()8,0. 【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．（1）()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩；()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩（2）47（3）220元.【分析】（1）依题意，根据个人所得税税率表调整前后的计算方法，分别求出小红调整前后关于x 的函数表达式；（2）根据分层抽样算出抽取7人，其中[)3000,5000占3人，用列举法和古典概率的公式即可求出概率，（3）分别计算出按调整起点前应交纳个税为295元，按调整起点后应交纳个税为75元，由此可知，调整后应交纳个税少交220元，即为增加的收入数． 【详解】已知，x 表示总收入，y 表示应纳的税，小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元， 根据个人所得税税率表调整前后的计算方法，得：调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩. （2）由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人， 其中[)3000,5000占3人，分别记为A ，B ，C ，[)5000,7000中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB ，AC ，1A ，2A ，3A ，4A ，BC ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，12，13，14，23，24，34，共21种情况，其中不在同一收入人群的有：1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，共12种，所以所求概率为124217P ==. （3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为15003%250010%295⨯+⨯=元；按调整起征点后应纳个税为25003%75⨯=元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元， 所以小红的实际收入增加了220元. 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，还涉及分层抽样和列举法求古典概率等基础知识，属于基础题．19．（1）见解析； （2）2ˆ 2.060.0y x =-+；（3）需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜.【分析】（I ）根据散点图判断2ˆydx c =+适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型；（II ）令2x ω=，先建立y 关于w 的线性回归方程，平均数公式可求出ω与y 的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式()()()81821751= 2.0374ˆi i i i i w w y y d w w ==---=≈--∑∑， =38ˆˆ211=60cy dw =-+⨯，可得y 关于w 的回归方程，再代换成y 关于x 的回归方程可得结果；（III ）解关于x 的不等式，求出x 范围即可. 【详解】（I ）根据散点图判断2ˆydx c =+适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型； （Ⅱ）令2w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821751= 2.0374ˆi i i i i w w y y d w w ==---=≈--∑∑，∴=38ˆˆ211=60c y dw =-+⨯． ∴y 关于w 的线性回归方程为 2.060.ˆ0yw =-+， ∴y 关于x 的回归方程为22.06.0ˆ0yx =-+． (Ⅲ)当ˆ20y<时，22.060.020x -+<， 4.5x >≈ ∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜． 【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.20．（1）24y x =，(2,P ；（2）9．【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，即可求抛物线C 的方程从而可得解；（2）设直线l 的方程为：x +my ﹣1＝0，代入y 2＝4x ，得，y 2+4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B（x 2，y 2），则y 1+y 2＝﹣4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2＝2+4m 2，x 1x 2＝1，PA =（112x y --，，PB =（x 2﹣2，2y -，由此能求出PA PB ⋅的最大值． 【详解】（1）∵点F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，P （2，y 0）是抛物线上一点，|PF |＝3， ∴22p +=3， 解得：p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，∵点P （2，n ）（n ＞0）在抛物线C 上，∴n 2＝4×2＝8，由n ＞0，得n ＝，∴P （2，）．（2）∵F （1，0），∴设直线l 的方程为：x +my ﹣1＝0，代入y 2＝4x ，整理得，y 2+4my ﹣4＝0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1，y 2是y 2+4my ﹣4＝0的两个不同实根，∴y 1+y 2＝﹣4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2＝（1﹣my 1）+（1﹣my 2）＝2﹣m （y 1+y 2）＝2+4m 2，x 1x 2＝（1﹣my 1）（1﹣my 2）＝1﹣m （y 1+y 2）+m 2y 1y 2＝1+4m 2﹣4m 2＝1，PA =（112x y --，，PB =（x 2﹣2，2y -），PA PB ⋅=（x 1﹣2）（x 2﹣2）+（1y -）（2y -＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4)12128y y y y +-++＝1﹣4﹣8m 2+4﹣m +8＝﹣8m 2+5＝﹣8（m 2-）2+9． ∴当m 2=时，PA PB ⋅取最大值9． 【点睛】 本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．（1）22143x y +=（2）10x y +-=或10x y --=.（3）()2,6 【分析】（1）由已知条件推导出2a =，12c e a ==，由此能求出椭圆方程． （2）椭圆右焦点(1,0)F ． 设直线PQ 方程为)1(x my m R =+∈．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线PQ 的方程． （3）设P 的坐标0((x ，0)y ，由已知条件推导出22000113(2)244OP FP x x x =-+=-+，由此能求出OP FP 的范围．【详解】 （1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由已知2a =，12c e a ==， 所以1c =，2223b a c =-=，∴椭圆方程为22143x y +=. （2）椭圆右焦点()1,0F ，设直线PQ 方程为()1x my m R =+∈.由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=.① 显然，方程①的>0∆.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则有122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 由APQ ∆的面积12172S AF y y ==⋅-= 解得：1m =±. 所以直线PQ 方程为1x y =±+，即10x y +-=或10x y --=.（3）设P 的坐标()00,x y ，则2200143x y +=，∴2200334y x =-， 故()()220000000,1,x y x y x x y OP FP =⋅-=-⋅+ ()220001132244x x x =-+=-+， 因为022x -<<，所以OP FP ⋅的范围为()2,6.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（1）2212x y +=；（2）22λ-<<. 【分析】（Ⅰ）连结QF ，由已知条件推导出|QP |＝|QF |，从而得到|QE |+|QF |＝PE ＝，由此推导出点Q 的轨迹方程T 是以E （﹣1，0）和F （1，0）为焦点的椭圆，进而能求出点Q 的轨迹方程T ．（Ⅱ）设直线l 的方程为y ＝kx +m ，把y ＝kx +m 代入椭圆2212x y +=，得（1+2k 2）x 2+4kx +2m 2﹣2＝0，分m ＝0和m ≠0两种情况进行讨论，能求出实数λ的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）如图，连结QF ，∵点E （﹣1，0）和F （1，0），圆E 是以E 为圆心，半径为P 是圆E 上任意一点，线段FP 的垂直平分线l 和半径EP 所在的直线交于点Q ，∴|QP |＝|QF |，∴|QE |+|QF |＝PE ＝∴点Q 的轨迹方程T 是以E （﹣1，0）和F （1，0）为焦点的椭圆，且2a ＝a =c ＝1，∴b ＝1，∴点Q 的轨迹方程T ：2212x y +=． （Ⅱ）设经过点M 、N 的直线为l ，由题意和l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，把y ＝kx +m 代入椭圆2212x y +=， 整理，得（1+2k 2）x 2+4kx +2m 2﹣2＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， 则122412km x x k +=-+，x 1x 2222212m k-=+， ∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m 2212m k =+， ①当m ＝0时，点M ，N 关于原点对称，则λ＝0；②当m ≠0时，点M ，N 不关于原点对称，则λ≠0，∵OM ON OP λ+=，∴x 1+x 2＝λx 0，y 1+y 2＝λy 0， ∴()1202412x x km x k λλ+==-+，y 0()122212y y m k λλ+==+， ∵点P 在2212x y +=上， ∴[()2412km k λ-+]2+2[()2212m k λ+]2＝2， 化简，得4m 2（1+2k 2）＝λ2（1+k 2）2，∵1+2k2≠0，∴4m2＝λ2（1+2k2），①又∵△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（1+2k2﹣m2）＞0，∴1+2k2＞m2，②联立①②及m≠0，得λ2＜4，∴﹣2＜λ＜2，且λ≠0．综上所述，实数λ的取值范围是（﹣2，2）．【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的简单性质，注意分类讨论思想的合理运用．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期期末数学试题及参考答案
河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知直线l 经过(A -，(3,B -两点，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．在等比数列{}n a 中，21983a a a =，则必有（ ） A ．133a = B ．139a = C ．123a =D ．129a =3．已知a ，b 是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．()222a ba b ⋅=⋅B ．()222a ba b +=+C ．()222a a λλ=D ．a b a b⋅=4．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（ ） A ．1n a n =- B ．14n na =C ．2251n a n n =-+D ．13,2,2,2n n n n a n -+≤⎧=⎨>⎩5．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图①所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m ，深度为0.6m ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）A ．1.35mB ．2.05mC ．2.7mD ．5.4m6．设P 为椭圆C ：221259x y +=上一点，1F ，2F 分别为左、右焦点，且213PF PF =，则2PF =（ ） A ．32B ．52C ．72D ．1527．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，圆锥PO 的轴截面P AE 是边长为2的等边三角形，ABC 是底面圆的内接正三角形．则PB PC →→⋅=（ ）A ．32B ．52C ．72D ．928 ）A ．5B ．2C ．6D ．1二、多选题9．已知曲线C 的方程为()22220ax ay x y a +--=∈R ，则（ ）A ．曲线C 可能是直线B ．当1a =时，直线30x y +=与曲线C相切C ．曲线C 经过定点D ．当1a =时，直线20x y +=与曲线C 相交10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差为d ，890a a +>，90a <，则（ ） A ．0d <B ．当8n =时，n S 取得最大值C ．45180a a a ++<D ．使得0n S >成立的最大自然数n 是1511．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AD BC ，点E 为P A 的中点，1AB BC ==，2AD =，PA = ）A ．3BE CP ⋅=B ．异面直线BE 与CDC ．点B 到平面PCD 的距离为12D ．BC 与平面PCD 所成的角为π612．已知A ，B ，C 是椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>上三点，且A （A 在第一象限），B 关于原点对称，AB AC ⊥，过A 作x 轴的垂线交椭圆M 于点D ，交BC 于点E ，若直线AC 与BC 的斜率之积为12-，则（ ）A ．椭圆M 的离心率为2 B ．椭圆M 的离心率为14C ．12AE AD=D ．13AEAD = 三、填空题13．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：230x y +-=平行，则双曲线C 的离心率是______．14．已知数列{}n a 满足11232422n n na a a a -+++⋅⋅⋅+=，将数列{}n a 按如下方式排列成新数列：1a ，2a ，2a ，2a ，3a ，3a ，3a ，3a ，3a ，…，()21,,,n n nn a a a -⋅⋅⋅项，…．则新数列的前70项和为______． 四、双空题15．将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第______页第______行．（用数字作答）16．设()0,4A -，()0,4B ，2PB PA -=，则动点P 的轨迹方程为______，P 到坐标原点的距离的最小值为______． 五、解答题17．已知圆O ：221x y +=与圆C ：()223x y m -+=．(1)在①3m =，①4m =这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答． 若______，判断这两个圆的位置关系；(2)若5m =，求直线10x y +-=被圆C 截得的弦长．注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分． 18．等比数列{}n a 中，11a =，979a a =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若61m S =，求m 的值． 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23522n S n n =+. (1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．如图，在多面体ABCEF 中，ABC 和ACE 均为等边三角形，D 是AC 的中点，//EF BD ．(1)证明：AC BF ⊥．(2)若平面ABC ⊥平面ACE ，求二面角A BC E --的余弦值. 21．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，()132n n a b n -+=≥． (1)若n n a b =，求{}n a 的通项公式；(2)若10b =，()112n n a b n -+=≥，证明{}n a 为等差数列，并求{}n a 和{}n b 的通项公式．22．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()0,2M x 为抛物线C 上一点，且2MF =．(1)求抛物线C 的方程：(2)若以点(),P t s 为圆心，PF 为半径的圆与C 的准线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作准线的垂线交抛物线C 于D ，E 两点，若21t s =-，证明直线DE 过定点．参考答案：1．C 【解析】 【详解】设直线l 的倾斜角为α，由题意可得直线l 的斜率k ==tan α=①)0,180α⎡∈⎣ ，①直线l 的倾斜角为120︒，故选：C . 2．A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得821913a a a a =，再结合已知条件，即可判断选项哪一个正确. 【详解】{}n a 是比数列，所以821913a a a a = ，而21983a a a = ，故81383a a a = ， 所以133a =， 故选：A. 3．C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义及运算性质逐一分析各选项即可得答案. 【详解】解：对A ：因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，所以()2222cos a b a b a b ⋅=⋅<⋅>，故选项A 错误；对B ：因为()2222a ba ab b +=+⋅+，故选项B 错误；对C ：因为()222a a λλ=，故选项C 正确；对D ：因为cos ,a b a a b b⋅=<>，故选项D 错误．故选：C. 4．C 【解析】 【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A ，B 选项对应数列是递减数列．对于C 选项，1430n n a a n +-=->，故数列{}n a 是递增数列．对于D 选项，由于23a a >．所以数列{}n a 不是递增数列． 故选：C. 5．A 【解析】 【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点()0.6,1.8A 在抛物线上，代入方程求得p 值，进而求得焦点到顶点的距离. 【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy ，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O 重合，焦点F 在x 轴上．设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由已知条件可得，点()0.6,1.8A 在抛物线上， 所以21.2 1.8p =，解得 2.7p =，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m ， 故选：A. 6．B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义写出12210PF PF a +==，再根据条件213PF PF =即可解得答案. 【详解】根据P 为椭圆C ：221259x y +=上一点，则有12210PF PF a +===， 又213PF PF =，所以210542PF ==， 故选：B. 7．B 【解析】 【分析】先求出PO =. 【详解】解：由题得PO ==120BOC ∠=,21531122PB PC PO OB PO OC PO OB OC →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B8．C【解析】 【分析】设x =24x y =的右半部分上一点P 与()1,5A 的距离加上P 到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解. 【详解】设x =()240x y y =≥，则曲线x =24x y =的右半部分．抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，设点()1,5A 到准线l ：1y =-的距离为d ，点P 为抛物线24x y=的右半部分上一点，设P 到准线l ：1y =-的距离为1d ，1516PF PA d PA =+=+≥+=．故选：C 【点睛】本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利用数形结合思想和抛物线的性质进行求解. 9．ACD 【解析】 【分析】当0a =时，写出曲线C 的方程，可知表示直线，故A 正确；将曲线C 的方程转化为()2222a x y x y +=+，令220220x y x y ⎧+=⎨+=⎩求出,x y ，即可判断C 选项；当1a =时，得曲线C 的方程()()22112x y -+-=，可知此时曲线C 表示圆，且圆心为()1,1C ，半径R =点到直线的距离公式，分别求出()1,1C 到直线30x y +=和到直线20x y +=的距离，并与R =BD 选项.【详解】解：当0a =时，曲线C 的方程为：220x y --=，表示直线，故A 正确；由22220ax ay x y +--=，得()2222a x y x y +=+，令220220x y x y ⎧+=⎨+=⎩，得0x y ==，所以曲线C 经过定点()0,0，故C 正确； 当1a =时，曲线C 的方程为：22220x y x y +--=，即()()22112x y -+-=，此时曲线C 表示圆，且圆心为()1,1C ，半径R =因为()1,1C 到直线30x y +=的距离1d =≠ 所以直线30x y +=与曲线C 不相切，故B 错误；()1,1C 到直线20x y +=的距离2d =< 所以直线20x y +=与曲线C 相交，故D 正确. 故选：ACD. 10．ABC 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项的性质，求和公式及单调性分别判断. 【详解】因为890a a +>，90a <， 所以80a >，则0d <， 当8n =时,n S 取得最大值， 45181932430a a a a d a ++=+=<，因为158150S a =>，()168980S a a =+>，179170S a =<， 所以使得0n S >成立的最大自然数n 是16， 故选：ABC ． 11．BCD 【解析】 【分析】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，然后逐项求解判断.【详解】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D，(P，E ⎛ ⎝⎭． 所以()1,1,0CD =-，(1,CP =--，BE ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0BC =， 则1012BE CP ⋅=++=．cos ,2CD BE CD BE CD BE⋅===，则异面直线BE 与CD 设平面PCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00,CD m CP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x yx y -+=⎧⎪⎨--=⎪⎩解得,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，则1y =，z =PCD 的一个法向量为(1,1,2m =． 则2121BC mm⋅==， 所以点B 到平面PCD 的距离为12，又1BC=，所以BC 与平面PCD 所成的角为π6．故选：BCD 12．AC 【解析】 【分析】设出点()00,A x y ，()00,B x y --，()11,C x y 的坐标，将点()00,A x y ， ()11,C x y 分别代入椭圆方程，两式作差，构造直线AC 和BC 的斜率之积，得到2212b a =，即可求椭圆的离心率，利用CB EB k k =，求出0m =，可知点E 在x 轴上，且为AD 的中点,则12AE AD=. 【详解】设()00,A x y ，()11,C x y ，()0,E x m ，则()00,B x y --，2200221x y a b +=，2211221x y a b +=，两式相减并化简得()()2101021010y y y y b a x x x x ----=⋅---， 即2212CA CB b k k a ⋅=-=-，则c e a ===,则A 正确； ①00AB y k x =，AB AC ⊥，①00CA x k y =-，又①12CA CB k k ⋅=-，①002CB y k x =，即000022CB EB m y y k k x x +===， 解得0m =，则点E 在x 轴上，且为AD 的中点即12AE AD=，则C 正确. 故选：AC . 13【解析】 【分析】先用两直线平行斜率相等求出2ba=，再利用离心率的定义求解即可. 【详解】由题意可得双曲线C 的一条渐近线方程为by x a =-，则2b a -=-，即2b a=， 则222222221c a b b e a a a+===+， 故双曲线C的离心率e =14．4716##2.9375【分析】先根据题干条件得到12n na =，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和. 【详解】11232422n n na a a a -+++⋅⋅⋅+=①，当1n =时，112a =；当2n ≥时，2123112422n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=①，①-①得：1122n n a -=，即12n n a =． 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =．由()21352164n n +++⋅⋅⋅+-==，得8n =．令238135152222S =+++⋅⋅⋅+，则234911351522222S =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得22389911111111151157492222212222222251212S ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-=+-=-，则749256S =． 所以新数列的前70项和为9749675247256225616+==． 故答案为：471615． 7 17 【解析】 【分析】首先求出等差数列的通项公式，即可得到5555为第1852项，再根据每行每页的项数计算可得； 【详解】解：由2，5，8，11，14，…组成的等差数列的通项公式为31n a n =-，令315555n -=，解得1852n =．又1321273⨯=，185********=⨯+，21413166=⨯+．所以555在第7页第17行． 故答案为：7；1716． ()221015x y y -=< l【分析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出P 到坐标原点的距离的最小值； 【详解】解：因为28PB PA -=<，所以动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为22a =，28c =，所以1a =，4c =，22215b c a =-=，所以动点P 的轨迹方程为()221015x y y -=<．故P 到坐标原点的距离的最小值为1a =． 故答案为：()221015x y y -=<；1；17．(1)选①:外离；选①：相切;(2)【解析】 【分析】(1)不论选①还是选①，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；(2)根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解. (1) 选①．圆O 的圆心为()0,0O ，半径为l ；圆C 的圆心为()3,0C 因为两圆的圆心距为3OC =，且两圆的半径之和为13<，所以两圆外离． 选①．圆O 的圆心为()0,0O ，半径为1．圆C 的圆心为()3,0C ，半径为2． 因为两圆的圆心距为3OC =．且两圆的半径之和为123+=，所以两圆外切． (2)因为点C 到直线10x y +-=的距离d ==所以直线10x y +-=被圆C 截得的弦长为18．(1)()13n n a -=-或13-=n n a ；(2)5. 【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，解方程869q q =即得解； （2）分两种情况解方程即得解. (1)解：设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得869q q =，解得0q =（舍去），3q =-或3q =． 故()13n n a -=-或13-=n n a ．(2)解：若()13n n a -=-，则()134nn S --=．由61m S =，得()3243m-=-，解得5m =． 若13-=n n a ，则312n n S -=．由61m S =，得3123m =，因为m +∈N ，所以此方程没有正整数解． 综上，5m =． 19．(1)31n a n =+； (2)31216n nT n =+.【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-，结合已知条件，即可容易求得通项公式；（2）根据（1）中所求，对数列13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭进行裂项求和，即可求得n T .(1)当1n =时，1135422a S ==+=. 当2n ≥时，2213535(1)(1)312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎢⎥⎣⎦， 因为当1n =时，3114⨯+=， 所以31n a n =+. (2) 因为13311(31)(34)3134n n a a n n n n +==-++++， 所以1111111134771031344341216n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故数列13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =31216nn +. 20．(1)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到AC BD ⊥、AC DE ⊥，即可得到AC ⊥平面BDE ，再根据//EF BD ，即可得证；（2）由面面垂直的性质得到DE ⊥平面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，即可得到点B ，C ，E 的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值； (1)证明：连接DE ．因为AB BC =，且D 为AC 的中点，所以AC BD ⊥． 因为AE EC =，且D 为AC 的中点，所以AC DE ⊥．因为BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，且BD DE D ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ． 因为//EF BD ，所以BF ⊂平面BDE ，所以AC BF ⊥．(2)解：由（1）可知DE AC ⊥． 因为平面ABC ⊥平面ACE ，平面ABC平面ACE AC =，DE ⊂平面ACE ，所以DE ⊥平面ABC ，所以DC ，DB ，DE 两两垂直．以D 为原点，分别以DC ，DB ，DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设2AB =．则()B ，()1,0,0C ，(E ．从而()1,BC =，(CE =-．设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n BC x n CE x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩令x =()3,1,1n =．平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =． 设二面角A BC E --为θ，由图可知θ为锐角，则1cos cos ,5n m n m n m θ⋅====． 21．(1)()131122n n a -=+⨯- (2)证明见解析，1n a n =+，1n b n =- 【解析】 【分析】（1）代入n n a b =可得13n n a a -=-+，变形得13322n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭构造等比数列求{}n a 的通项公式；（2）先由已知得()1122n n a a n +--=≥，先分别求出{}21k a -，{}2k a 的通项公式，然后合并可得{}n a 的通项公式，进而可得{}n b 的通项公式． (1)当n n a b =，2n ≥时，11n n a b --=，所以13n n a a -+=，即13n n a a -=-+， 整理得13322n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以32n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13122a -=为首项，1-为公比的等比数列．故()131122n n a --=⨯-，即()131122n n a -=+⨯-． (2)当2n ≥时，由13n n a b -+=，11n n a b -+=，得13n n a b ++=， 所以()1122n n a a n +--=≥． 因为10b =，所以23a =，则{}21k a -是以12a =为首项，2为公差的等差数列，()212122k a k k -=+-⨯=，*k ∈N ；{}2k a 是以23a=为首项，2为公差的等差数列，()231221k a k k =+-⨯=+，*k ∈N ．综上所述，1n a n =+．所以()111n n a a n n --=+-=，2n ≥， 故{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列．当2n ≥时，111n n b a n -=-=-，且10b =满足1n b n =-， 所以1n b n =-． 22．(1)24y x =； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）解方程042px =和022px +=即得解； （2）设211,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y E y ⎛⎫⎪⎝⎭，将1x =-与圆P 的方程联立得到韦达定理，再写出直线DE 的方程即得解. (1)解：因为()0,2M x 为抛物线C 上一点，且2MF =， 所以()0,2M x 到抛物线C 的准线的距离为2． 则042px =，022px +=， 则244p p =-，所以2p =，故抛物线C 的方程为24y x =． (2)证明：由（1）知()1,0F ，则圆P 的方程为()()()22221x t y s t s -+-=-+．设211,4y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y E y ⎛⎫⎪⎝⎭，将1x =-与圆P 的方程联立，可得2240y sy t -+=，则122y y s +=，124y y t =．当122=0y y s +=时，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨令((,1,E E --，则11,,22D E ⎛⎛ ⎝⎝，此时1:2DE x =；当1220y y s +=≠时，直线DE 的斜率为12221212444y y y y y y -=+-，则直线DE 的方程为2221244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即121242221x y y x t x s y y y s s+++-===+，即()2110x s y -+-=，令210x -=且10y -=，得1,12x y ==，直线过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭；综上，直线DE 过定点1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。
2020年河北省石家庄市定州中学高二数学文测试题含解析
2020年河北省石家庄市定州中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中,,,则（）A．B．C． D．1参考答案：B略2. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A. 假设a、b、c都是偶数B. 假设a、b、c都不是偶数C. 假设a、b、c至多有一个偶数D. 假设a、b、c至多有两个偶数参考答案：B【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设a、b、c都不是偶数”，故选B。
【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3. 已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件可得得x02+y02 ＞4，再利用点到直线的距离公式求得圆心C（0，0）到直线l的距离d小于半径，可得结论．【解答】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．4. 下列命题正确的是（）A. 直线与平面不平行，则直线与平面内的所有直线都不平行B．如果两条直线在平面内的射影平行，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线与平面不垂直，则直线与平面内的所有直线都不垂直参考答案：A5. 命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是（）A．对任意的x∈R，log2x＜0 B．对任意的x∈R，log2x≥0C．不存在x∈R，log2x≥0D．存在x0∈R，log2x0≥0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可．【解答】解：命题“存在x0∈R，log2x0＜0”的否定是“对任意x∈R，log2x≥0”．故选：B．6. 若是定义在上的函数，且对任意实数，都有≤，≥，且，，则的值是A. 2014B. 2015C. 2016D. 2017参考答案：C7. 已知x, y满足, 若的最大值为, 最小值为,则的取值范围是( )A.≤-1或≥1 B.0≤≤1 C.-1≤≤0 D.-1≤≤1参考答案：D8. 不等式对于恒成立，那么的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略9. 设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】根据分式的意义将分式进行化简，结合斜率的意义，得到的最小值是，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：z===1+2?，若z=的最小值为，即1+2?的最小值为，由1+2?=，得的最小值是，作出不等式组对应的平面区域，即的几何意义是区域内的点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率的最小值是，由图象知BD的斜率最小，由得，即B（3a，0），则=，即3a+1=4，则3a=3，则a=1，故选：A．10. 圆上的点到直线的距离的最小值为( )A.6B.2C.3D.4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班有名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计该班学生成绩在以上的人数为人。
河北省保定市定州市2020-2021学年高二政治上学期期末考试答案
高二政治试题参考答案1——24 DCDCD DBCBA CBCCC DCBBC ABBB25.（10分）①实践具有能动性。
嫦娥五号地外天体采样之旅是在人的意识指导下按照预定的计划有步骤地进行的。
（2分）②实践具有社会历史性。
嫦娥五号实现了我国首次地外天体采样返回之旅、首次地外天体起飞和月球轨道交会对接，体现了实践活动是历史地发展着的。
（2分）③实践是认识发展的动力。
采样返回探测，将月壤样品运回地面供科学家研究，将进一步深化对月球形成演化的认识。
（2分）④实践是检验认识真理性的唯一标准。
嫦娥五号如期完成任务成功返回地面验证了我国从月球返回地球的技术能力和探月工程设计的正确性。
（2分）⑤实践是认识的目的。
我国在探月实践中积累的关键性技术为未来的载人登月、建设月球科研站及开展深空探测奠定坚实基础。
（2分）（如答出“实践具有客观物质性”可得1分，答出“实践是认识的基础”可得1分，但总分不能超出该题满分。
）26.答案示例一：（8分）①我国全海深载人潜水器的发展过程是量变和质变的统一。
（2分）②量变是质变的必要准备，要重视量的积累。
从百米浅海到万米深海，从“蛟龙”号到“深海勇士”号再到“奋斗者”号载人潜水器，中国载人深潜事业劈风斩浪的几十年，先后积累了多项核心深潜技术。
（2分）③质变是量变的必然结果，要抓住时机，促成质变。
中国“奋斗者”号载人潜水器，融合了之前两代深潜装备的优良血统，突破了一系列关键核心技术，创造了10909米的中国载人深潜新纪录，使我国在大深度载人深潜领域达到世界领先水平。
（2分）④质变又为新的量变开辟道路，使事物在新质的基础上开始新的量变。
事物发展就是由量变到质变，又在新质的基础上开始新的量变，如此循环往复，不断前进。
在探索海洋的道路上，中国不会止步，在认识、保护、开发海洋的道路上，人类的新征程刚刚启动。
（2分）答案示例二：（8分）①辩证的否定是事物自身的否定，即自己否定自己，自己发展自己。
河北省保定市定州英才实验中学2020年高二数学文期末试题含解析
河北省保定市定州英才实验中学2020年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则下列k值中能使△ABC是直角三角形的一个值是（）A． B．1－ C．1－ D．－参考答案：C 解析：若∠BAC是直角，则，得k＝－若∠ABC是直角，则解得k＝若∠ACB是直角，则解得k＝52. 数列{a n }的前n项和为S n，且Sn =(3n－1)a，a1=2,则a5=（A）486 （B）242 （C）242a （D）162参考答案：D3. 如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A．2B．4C．4 D．8参考答案：C【考点】平面图形的直观图．【分析】用斜二侧画法的法则，可知原图形是一个两边分别在x、y轴的直角三角形，x轴上的边长与原图形相等，而y轴上的边长是原图形边长的一半，由此不难得到平面图形的面积．【解答】解：设原图形为△A′OB′，∵OA=2，0B=2∠AOB=45°∴OA′=4，OB′=2，∠A′OB′=90°因此，Rt△A′OB′的面积为S=×4×2=4故选C【点评】本题要求我们将一个直观图形进行还原，并且求出它的面积，着重考查了斜二侧画法和三角形的面积公式等知识，属于基础题．4. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线A1 D与BE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A5. 抛物线的准线方程为，则的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：B略6. 双曲线－y2=1(n>1)的焦点为F1、F2，，P在双曲线上，且满足：｜PF1|+|PF2|=2，则ΔPF1F2的面积是A、1B、2C、4D、参考答案：A错因：不注意定义的应用。
7. 已知复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D由题得,所以复数z对应的点为（2，-1），所以复数z对应的点在第四象限.故选D.8.若直线的倾斜角为，则（）A．等于0 B．等于 C．等于 D．不存在参考答案：C9. 若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）．A． B． C． D．参考答案：B略10. 设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设等差数列的前n项和为,若,则参考答案：2n根据题意，由于等差数列的性质可知等差数列的前n项和为,若,，故可知数列2n，故答案为2n。
保定市定州市2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)
保定市定州市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。
)1.已知命题p：对于函数y＝f(x)，∀x1，x2∈R使得(f(xz)－f(x1))(x－划)≥0成立，则命题p的否定是(9－)A.对于函数y＝f(x)，∀x1，x2∈R，使得(f(x2)－f(x2))(x2－x2)<0成立；B.对于函数y＝f(x)；∀x1，x2∈R，使得(f(x2)－f(x2))(x2－x2)≥0成立；C.对于函数y＝f(x)，∃x1，x2∈R，使得(f(x2)－f(x2))(x2－x2)<0成立；D.对于函数y＝f(x)，∃x1，x2∈R，使得(f(x2)－f(x2))(x2－x2)≥0成立；2.抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离为A.pB.2pC.12pD.14p3.总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成。
利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 4826 62 21 58 61 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11A.23B.21C.24D.154.命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是A.a≥1B.a≥8C.a≥9D.a≥105.在某次选拔比赛中，六位评委为A，B两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中x为数字0～9中的一个)，分别去掉一个最高分和一个最低分，A，B两位选手得分的平均数分别为a，b，则一定有A.a>bB.a<bC.a＝bD.a，b的大小关系不能确定6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡一共征集487人，问需从各乡征集多少人”。
2021年河北省保定市定州中山中学高二数学文期末试卷含解析
2021年河北省保定市定州中山中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 送快递的人可能在早上6:30—7:30之间把快递送到张老师家里, 张老师离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 则张老师离开家前能得到快递的概率为（）A．12.5% B．50% C．75% D．87.5%参考答案：D2. 已知定义在R上的函数的图像关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B． C. D．参考答案：A∵定义在R上的函数的图像关于对称∴函数为偶函数∵∴∴，，∵当时，单调递减∴.3. 平面内的，是的斜线，，，那么点到平面的距离是A B. C. D.参考答案：A略4. 已知点P（x，y）是平面区域内的动点，点A（1，﹣1），O为坐标原点，设|﹣|（λ∈R）的最小值为M，若M≤恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，+∞）参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】分m＞0，m=0，m＜0三种情况作可行域，然后分析使|﹣|取最小值时的P点在可行域内的位置，由M≤得到m的取值范围．【解答】解：直线x=m（y﹣4）恒过定点（0，4），当m＞0时，由约束条件作可行域如图，|﹣|的最小值为M=0，满足M≤；当m=0时，直线x=m（y﹣4）与y轴重合，平面区域为图中y轴右侧的阴影区域，|﹣|的最小值为M=0，满足M≤；当m＜0时，由约束条件作可行域如图阴影部分，当P点与B重合时，|﹣|（λ∈R）的最小值M=，联立，解得B（）．，由，解得： m．∴．综上，实数m的取值范围是[﹣，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，关键是对题意的理解，是难题．5. 函数有（）A．极小值，极大值 B．极小值，极大值C．极小值，极大值 D．极小值，极大值参考答案：D略6. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（）A．至少有1名男生与全是女生 B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生 D．恰有1名男生与恰有2名女生参考答案：D7. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A． 1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4参考答案：D8. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.参考答案：9. 下列结论正确的是( )A．当 B．C. D．参考答案：B10. （5分）（2013?铁岭模拟）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设方程x3=7-2x的解为x0则关于的不等式x-2<x0的最大整数解为参考答案：3略12. 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，若为等边三角形，的面积为，则的值为，圆的方程为．参考答案：3，13. 设，其中m，n是实数，则__________．参考答案：【分析】根据复数相等求得，利用模长的定义求得结果.【详解】由题意得：，本题正确结果：【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的问题，属于基础题.14. 若圆x2+y2=4与圆x2+（y﹣3）2=r2（r＞0）外切，则实数r的值为．参考答案：1略15. 对任意实数x，若不等式恒成立，则k的取值范围是_______．参考答案：【分析】构造函数y＝|x+1|﹣|x﹣2|，根据绝对值的几何意义，得函数的值域，根据不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则y min＞k，构造关于k的不等式，进而得到k的取值范围．【详解】对任意实数，若不等式恒成立，而表示数轴上的对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3，故有，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是绝对值不等式，其中熟练掌握绝对值的几何意义，并分析出绝对值函数的值域是解答此类问题的关系，本题也可以用零点分段法，将构造的函数表示为分段函数，然后求出值域，但过程较为复杂．16. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为__________．参考答案：两曲线相交：，解出交点横坐标为，所求面积，．17. 若，则________；________参考答案：，【分析】用两角和的正弦公式将展开，即可求出，再结合同角三角函数的基本关系及倍角公式，可求出。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【最新】河北省定州市高二上学期期末考试文数试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“x >5”是“x >2”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要必要条件D ．即不充分也不必要条件2．曲线22y x x =-在点(0,0)处的切线方程为A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．0x y -=D ．0x y += 3．双曲线x 24−y 23=1的渐近线所在直线方程为（ ） A ．x =±√33y B ．y =±√33x C ．y =±√32x D ．x =±√32y 4．函数321393y x x x =--+ 的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．执行图中程序框图，若输入x 1=2,x 2=3,x 3=7，则输出的T 值为（ ）A ．3B ．4C ．113D ．56．命题“∀x ∈R ，使得x 2+x +1>0”的否定是 （ ）A ．∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1>0B ．∀x ∈R ，使得x 2+x +1>0C ．∀x ∈R ，使得x 2+x +1≤0D ．∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1≤07．将一条5米长的绳子随机地切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为( )A．15B．25C．35D．458．在平面直角坐标系中，已知定点A(0,−√2),B(0,√2)，直线PA与直线PB的斜率之积为−2，则动点P的轨迹方程为（）A．y22+x2=1B．y22+x2=1(x≠0)C．y22−x2=1D．x22+y2=1(y≠0)9．如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S′(t)的图象大致为（）A．B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（）A ．100i <B ．100i ≤C ．99i <D ．98i < 11．设函数()(sin cos )(04)x f x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的所有极大值之和为A ．e πB ．2e e ππ+C ．3e e ππ-D ．3e e ππ+ 12．如图动直线:l y b =与抛物线24y x =交于点A ，与椭圆2212x y +=交于抛物线右侧的点,B F 为抛物线的焦点，则AF BF AB ++的最大值为（ ）A ．B ．C ．2D ．二、填空题 13．某校老年教师90人、中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为__________．14．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是5y x =-+，则()()3'3f f +=__________．15．某地区2007年至2013 年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：y关于t的线性回归方程ŷ=0.5t+2.3，则a的值为__________．16．如图，过椭圆22221(1)x ya ba b+=>>上顶点和右顶点分别作圆221x y+=的两条切线，两切线的斜率之积为2-，则椭圆的离心率的取值范围是__________．三、解答题17．一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球.（1）从盒中任取两球，求取出的球的编号之和大于5的概率.（2）从盒中任取一球，记下该球的编号a，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b，求|a−b|≥2的概率.18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且经过点(1,√32),F1,F2是椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆上运动，求|PF 1|·|PF 2|的最大值.19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）,一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照[0,0.5),[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值；(2)若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由； (3）估计居民月均用水量的中位数（精确到0.01）20．已知函数f(x)=x 2−2x,g(x)=ax −1，若∀x 1∈[−1,2],∃x 2∈[−1,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，求a 的取值范围.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M:(x +1)2+y 2=494的圆心为M ，圆N:(x −1)2+y 2=14的圆心为N ，一动圆M 内切，与圆N 外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(1,0)的直线l 与曲线P 交于A,B 两点.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，求直线l 的方程.22．已知函数f(x)=(x +1)2−alnx .（Ⅰ）谈论函数的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)在区间(0,+∞)内任取有两个不相等的实数x 1，x 2，不等式f(x 1+1)−f(x 2+1)x 1−x 2>1恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．A【解析】解析：因x >5⇒x >2成立，故“x >5”是“x >2”的充分条件；因x >2⇒x >5不成立，故“x >5”是“x >2”的不必要条件，则“x >5”是“x >2”的充分不必要条件，应选答案A 。
2．D【解析】因为41y'x =-，所以0'|411x y x ==-=-，所以有点斜式可知，曲线22y x x =-在点()0,0处的切线方程为y x =-，即0x y += ，故选D.3．C【解析】由双曲线的渐近线概念可知，双曲线x 24−y 23=1的渐近线所在直线方程为y =±√32x ，故选C.4．C【解析】因为2'23y x x =--，令2'230y x x =-->，可知函数321()393f x x x x =--+在区间()3,+∞和(),1-∞-上单调递增，在区间()1,3-单调递减；所以()f x 的极大值为(3)=0f ，极小值为32(1)=03f ->，所以由此可知函数321393y x x x =--+的零点个数为2个，故选C.5．B【解析】解析：当i =1≤3时，故S =0+x 1=2,T =2 ；当i =2≤3时，故S =2+x 2=5,T =52 ；当i =3≤3时，故S =5+x 3=12,T =4，当i =4>3时，则输出T =4，应选答案B 。
6．D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∀x ∈R ，使得x 2+x +1>0”的否定是：∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1≤0,故选D.7．C由题意，只要在距离两端分别至少为1米处剪断，满足题意的位置由3米，由几何概型公式得到所求概率为5−25=35；故选C ． 8．B【解析】设动点P(x,y)，由题意可知y+√2x ⋅y−√2x =−2(x ≠0) ，化简的y 22+x 2=1(x ≠0)，故选B.9．A【解析】解析：设正六角边长为a ，当t ∈[0,√32a]时，S(t)=√34t 2 ；当t ∈[√32a,√3a]时，S(t)=−√34(t 2+3at)；当t ∈[√3a,3√32a]时，S(t)=√34(t 2+2at)；当t ∈[3√32a,2√3a]时，S(t)=−√34(t 2+3at)。
应选答案A 。
10．A【解析】 本程序框图的主要功能是计算数列()11i i +的前n 项和； 由于()11111i i i i =-++可知，数列()11i i +的前i 项和为1111111 (122311)i i i -+-++-=-++，由于输出S 的值为0.99，所以99i = ，因此 判断框内可填入的条件是100i <，故选A.11．D【解析】∵函数()()sin cos x f x e x x =- ，∴()()()()sin cos sin cos 2sin x x x f x e x x e x x e x '='-+-'= ，∵(22)x k k πππ∈+，时，()0(222)f x x k k ，，ππππ'>∈++ 时，()0f x '< ，∴(22)x k k πππ∈+，时原函数递增，(222)x k k ，ππππ∈++ 时，函数()()sin cos x f x e x x =- 递减，故当2x k ππ=+ 时，()f x 取极大值，其极大值为()()()22sin 2cos 2k f k e k k ππππππππ+⎡⎤+=+-+⎣⎦ ()()2201k k e e ππππ++=⨯--= ，又04x π≤≤ ，∴函数()f x 的各极大值之和3S e e ππ=+ ．故选D ．【解析】抛物线的准线1l x =-： ，焦点()10F ， ；椭圆2212x y +=的右焦点亦为()10F ，；由抛物线定义可得1A AF x =+，由椭圆的性质可知B BF x =；∴()1122A B A B B B AF BF AB x x x x x x ++=++-+=+，由椭圆的性质可知， (B x ∴∈ ， B x ∴AF BF AB ++取得最大值，最大值为故选D ．点睛：由抛物线定义和椭圆的性质可知1A AF x =+和2B BF x =，由此可得12B B AF BF AB x x ++=++，然后再根据椭圆横坐标的范围即可求出最大值. 13．18 【解析】由题意，老年和青年教师的人数比为90：160=9：16， 因为青年教师有32人，所以老年教师有18人.14．1【详解】由图可知()()()()32,'31,3'31f f f f ==-∴+= .15．4.8【解析】解析：因t =7(1+7)2×7=4,y ̅=17(2.9+3.3+3.6+4.4+a +5.2+5.9)=25.3+a 7，则25.3+a 7=2+2.3，解之得a =4.8，应填答案4.8。