J0026,华中师大一附中2011届高二上学期数学独立作业(10)
2011年华中师大一附中高考数学知识专题检测---直线、平面、简单几何体
知识专题检测八 立体几何一、选择题（共10 小题，每小题3分，共30分）1．表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．3B ．13π C ．23π D．32．（06北京）平面α的斜线A B 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与A B 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是A ．一条直线B . 一个圆C ．一个椭圆D . 双曲线的一支3．已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于A. 22B.332 C. 324 D. 3344．（06湖北）关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：① 若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ② 若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③ 若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④ 若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 5．（06湖南）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面 如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是A.2B.26．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有A ．S 1<S 2 B. S 1>S 2 C. S 1=S 2 D. S 1，S 2的大小关系不能确定7. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为A.316 B. 916 C. 38 D. 9328．(06上海)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件；C. 充要条件；D. 非充分非必要条件 9．（06四川）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n ββ⊥⊥，则,m n 所成的角为A.030 B.060 C.090 D.0120 10.（06浙江）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两 两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是A.4πB.3πC.2πD.42π二、填空题（共6小题，每小题4分 ，共24分）11.（06北京）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，A C B C ⊥，且A B R =那么,A B 两点的球面距离为__________，球心到平面ABC 的距离为__________.12．过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有 条. 13.（06江西）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8， 一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长 为__________.14. 水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面 α的距离是__________.15.（06天津）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中， 1.A B =若二面角1C AB C --的大小为60o ，则点C 1到直线A B 的距离为__________.16．（06浙江）如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，平面α过棱 AB ， 且 CD ∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是__________. 三．解答题（共4小题，10+12+12+12=46，共46分）17. （06安徽）如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。
华中师大一附中2011届高三(理科)数学独立作业(16)
华中师大一附中2009—2010学年度第一学期高二年级数学独立作业（16）一. 选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1. 若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥 2. 一个棱柱是正四棱柱的条件是A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱3. 设三棱柱A BC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且P A =QC 1，则四棱锥B —A PQC 的体积为A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V4. 若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85. 右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①BM 与ED 平行②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM成60°角④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 A ． ①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④ 6. 棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a7. 平行六面体ABCD-A´B´C´D´的六个面都是菱形，那么顶点B 在平面ACB´上的射影一定是⊿ACB´的A ．重心B ． 外心C ．内心D ．垂心8. 正六棱柱A BCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长 为2，则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 A ．90° B ．60° C ．45° D ． 30°9. 如图，在多面体 A BCDEF 中，已知A BCD 是边长为1的正方形，且△A DE 、△BCF 均为正三角形，EF//A B ，EF=2，则该多面体的体积为A ．32 B ．33 C ．34 D ．2310. 棱长为a 的正四面体中，高为H ，斜高为h ，相对棱间的距离为d ，则a ．H ．h ．d 的大小关系正确的是 A ．d h H a >>> B ．d H h a >>> C ．H d h a >>> D ．H h d a >>>二. 填空题：本大题满分25分，每小题5分，各题只要求直接写出结果． 11. 有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0a (a 5,a 4,a 3>.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.12. 正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，E 是1AA 的中点，在对角面D D BB 11上取一点M ，使AM+ME 最小，其最小值为__________.13. 一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为__________（写出一个可能值）．14. 如图，在直三棱柱A BC —A 1B 1C 1中，A B=BC=2，BB 1=2， 90ABC =∠， E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度 为__________.15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为__________. 三. 解答题：本大题满分75分．16. （15分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213, 试求第三条侧棱长的取值范围．17. （15分）四棱锥V －A BCD 的底面是边长分别为6和8的矩形，且侧棱和底面所成角都是60°，E 为棱VC 上的一点V A ∥平面EBD ，求截面三角形EBD 的面积.18. （15分）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论．19. （15分）如图，在四棱锥P —A BCD 中，底面A BCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面A BCD ，A B=3，BC=1，P A =2，E 为PD 的中点.（1）求直线A C 与PB 所成角的余弦值；（2）在侧面P A B 内找一点N ，使NE ⊥面P A C ，并求出N 点到A B 和A P 的距离.20. （15分）如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点． （1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥ABC —S 的体积为63，且BAC ∠为钝角，求二面角ABC ——S 的平面角的正切值；（3）在（2）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．华中师大一附中2009—2010学年度第一学期高二年级数学独立作业（16）参考答案一. 选择题：每小题5分，共50分．1．D 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．A 10．B 二. 填空题：本大题满分25分，每小题5分． 11．315a 0<< 12．a 23 13．242 14．223 15．635π三. 解答题：本大题满分75分．16. 解：如图, 四面体ABCD 中,AB=BC=CA=1（2分）, DA=DC=213, 只有棱DB 的长x 是可变的．在三角形ACD 中, M 为AC 的中点, MD=32121322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛．MB=23由MF-MB<BD<MD+MB, (MF=MD) 得:.23323<<BD17. 解：过V 作VO ⊥平面A BCD ，O 为垂足， 因为侧棱和底面所成角都是60°，所以△V A O ≌△VBO ≌△VCO ≌△VDO ，所以A O=BO=CO=DO ，即O 为四边形对角线A C 、BD 的交点.V A ∥平面EDB ，所以V A ∥EO ，所以E 为VC 的中点，过E 作EH ⊥A C ，H 为垂足.作EF ⊥BD ，F 为垂足.因为平面V A C ⊥平面A BCD ，所以EH ⊥平面A BCD.所以HF ⊥BD ，且H 为OC 的中点A C=BD=22BCAB +=10，所以OC=5，VC=10，VO=53，EH=235.过C 作CG ⊥BD ，G 为垂足，则HF ∥CG 且HF=21CG.CG=BDDC BC ⋅=524，HF=512.所以EF=22)512()235(+=102451， 所以S △EBD =21×10×102451=2245118. 解：（Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1．证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B ． ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1．（Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的 距离． 在Rt △ADC 中，AC=2CD=.23,a AD a =∴所求的距离.43a ACAD CD DE =⋅=解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ，∵体积111ACC D ACD CV V --= .21318331112x CC a CC a ⋅⋅⋅=⋅⋅∴ABCDFMDABCVO EH F,43a x =∴即点D到平面ACC 1的距离为a43．（Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ，又DF ⊂ 平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1．证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ，∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ⊂平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1． 19. 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标 为A （0，0，0）、B （3，0，0）、C （3，1，0）、D （0，1，0）、P （0，0，2）、E （0，21，1），从而).2,0,3(PB ),0,1,3(AC -==设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723|PB ||AC |PB AC cos ==⋅⋅=θ ∴A C 与PB 所成角的余弦值为1473（2）由于N 点在侧面P A B 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面P A C 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到A B 、A P 的距离分别为1，63.20. 解：（1）因为SB 在底面ABC 上的射影AB 与AD 不垂直，否则与AB =AC 且D 为BC 的中点矛盾，所以AD 与SB 不垂直；（2）设θ=∠B AC ，则632121312=θ⨯⨯⨯⨯=si n V 解得 23=θsin ，所以060=θ（舍），0120=θ．⊥SA 平面ABC ，AB =AC ，D 为BC 的中点BC SD BC AD ⊥⊥,，则S D A ∠是二面角S —BC —A 的平面角．在SDARt ∆中，4==∠ADSA SDA tan ,故二面角的正切值为４；（3）由（2）知，⊥BC 平面SDA ，所以平面SBC ⊥平面SDA ，过点A 作AE ⊥SD ，则AE ⊥平面SBC ，于是点A 到平面SBC 的距离为AE,从而17172=∠=SDA AD AE sin 即A 到平面SBC 的距离为17172．。
华中师大一附中高二语文2010—2011学年度上学期期末检测
华中师大一附中高二语文2010—2011学年度上学期期末检测高三2011-01-26 13:47华中师大一附中2010—2011学年度上学期期末检测高二语文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）和答题卷三部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至7页。
试卷满分150分。
考试限时150分钟。
注意：答案一律写在答题卷上。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、（15分，每小题3分）1．下列各组词语中加点的字，读音全都正确的一组是A．推衍（yǎn）山鹬（yù）宿（sù）将扪（mèn）心自问B．蹩（biē）进璇（xuán）玑毗（pǐ）邻负荆（jīng）请罪C．马厩（jiù）属（zhǔ）文蟊（máo）贼封妻荫（yìn）子D．磕（kē）头墙隅（yǔ）恓（xī）惶虚与委蛇（yí）2．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．孱头孟浪节牦尽落残羹冷炙B．赋予渊源拾人牙慧共商国是C．梦靥甘霖牛山濯濯精思傅会D．骸骨针砭见微知著舍生求法3．下列各句中加点的成语使用不恰当的一句是A．荷尔德林三十岁时踏进十九世纪的门槛。
充满苦难的几度春秋使他写就扛鼎之作，他找到了抒情诗的形式，创造了伟大的诗篇。
B．2010年过后，当更严重的危机将你我的生活撕裂得鸡零狗碎时，你是选择恐慌还是冷静应对？C．不干不湿的大草原才是狮子真正喜欢住的地方，它所以显得那么不可一世、威风凛凛，被称作兽中之王，乃是因为它习惯猎取原野上较大的动物，常要一跑好远。
D．庄子思想的最高境界是“天地与我并存，万物与我为一”，这方面表现出民胞物与的胸怀，另方面又呈现着艺术精神的和谐关照。
4. 下列各句中没有语病的一项是A．《楚天都市报》（1月4日）讯：连日大雪，导致部分公交线路受阻，武汉市公交集团通报称，部分线路将临时缩短线路或绕道行驶，确保行车安全。
B．河州东乡，它外壳温和，貌不惊人，极尽平庸贫瘠之相，掩藏着腹地惊心动魄的深沟裂隙、悬崖巨谷。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学_学年高二数学上学期期末考试试题理【含答案】
华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期末检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围是A ．141<<m B ．1>mC ．41<mD ．41<m 或1>m 2．双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则=rA ．3B ．2C ．3D ．63．我校某高一学生为了获得华师一附中荣誉毕业证书，在“体音美2+1+1项目”中学习游泳。
他每次游泳测试达标的概率都为60%，现采用随机模拟的方法估计该同学三次测试恰有两次 达标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数随机数，指定1，2，3，4表示未达标，5，6， 7，8，9，0表示达标；再以每三个随机数为一组，代表三次测试的结果，经随机模拟产生 了如下20组随机数：917 966 891 925 271 932 872 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 507 989 据此估计，该同学三次测试恰有两次达标的概率为A ．0.50B ．0.40C ．0.43D ．0.484．如图给出的是计算20161614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，则 判断框内应填入的条件是A ．1007≤iB ．1008≤iC ．1008>iD ．1007>i5．学校在高二年级开设选修课程，其中数学开设了三个不同的班， 选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修 班每班至多可接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种 6．10101010310321021109090)1(9090901C C C C C k k k ++-++-+-ΛΛ除以88的余数是A ．1-B ．1C ．87-D ．877. 设函数2()2f x x x m =-+，m ∈R ．若在区间[]2,4-上随机取一个数x ，()0f x <的概率为23，则m 的值为 A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．下面茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A ．107 B ．103 C ．51 D ．549．若83)(x ax +（0>a ）的展开式中当且仅当第6项系数最大，则实数a 的取值范围是A ．245<<aB ．245≤≤aC ．272≤≤aD ．272<<a10．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的 6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为A ．91 B ．641 C ．81D ．16111．袋中有白球和红球共6个，若从这只袋中任取3个球，则取出的3个球全为同色球的概率的 最小值为A ．31B ．519C ．101D ．20112．点A 是椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点，B 、C 是该椭圆的另外两点，且△ABC 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，若满足条件的△ABC 只有一个，则椭圆的离心率e 的范围是A ．133<≤e B ．330≤<e C ．360≤<e D ．136<≤e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．=)2(1101011 )5(．14．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数 气温(℃) 18 13 10 1- 用电量(度)24343864由表中数据可得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2-=b ，预测当气温为5℃时，该单位用电 量的度数约为 度．15．华师一“长飞班”由m 位同学组成，学校专门安排n 位老师作为指导老师，在该班级的一次 活动中，每两位同学之间相互向对方提一个问题，每位同学又向每位指导老师各提出一个问 题，并且每位指导老师也向全班提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51 个问题，则=+n m ．16．设椭圆11216:221=+y x C 与抛物线x y C 8:22=的一个交点为P (x 0, y 0)，定义⎪⎩⎪⎨⎧>-<<=)(1623)0(22)(020x x x x x x x f ，若直线a y =与)(x f y =的图象交于A 、B 两点，且已知定点N (2, 0)，则△ABN 的周长的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(解析版)
华中师大一附中2023-2024学年度上学期高二期中检测数学试题时限：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c === ，则BM = （ ）A. 1122−+ a b cB. 1122++a b cC. 1122−−+ a b cD. 1122a b c −++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.【详解】1111111111111()()()22222BM BB B M BB A D A B AA AD AB c b a a b c =+=+−=+−=+−=−++.故选：D2. 平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 以上选项都不对【答案】D 【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.【详解】因为(6,0)A −、(0,8)B ，所以10AB ==，而平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为一条射线.故选：D3. “4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++−+=表示圆的方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据()22250x y kx k y +++−+=表示圆得到2k <−或4k >，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】若()22250x y kx k y +++−+=表示圆，则()222450k k +−−×>，解得2k <−或4k >， 4k >可以推出()22250x y kx k y +++−+=表示圆，满足充分性， ()22250x y kx k y +++−+=表示圆不能推出4k >，不满足必要性， 所以4k >是()22250x y kx k y +++−+=表示圆的充分不必要条件. 故选：A.4. 已知椭圆22:141x y C k +=+的离心率为12，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2或7C. 2或133D. 7或133【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.【详解】由题意，椭圆22:141x y C k +=+，则10k +>，且14k +≠，由离心率12c e a ==，解得：2234b a =，若椭圆的焦点在x 轴上，则221344b k a +==，解得：2k =； 若椭圆的焦点在y 轴上，则224314b a k ==+，解得：133k =； 综上知，2k =或133. 故选：C.5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上．由椭圆的一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =．若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，且1290F PF ∠=°，则12PF F △的面积为（ ）A. 2B.C.D. 5【答案】D 【解析】【分析】由椭圆定义12||||6PF PF +=，根据1290F PF ∠=°，结合勾股定理可得可得12||||F P P F ⋅的值，则即可求12F PF △的面积．【详解】由112BF F F ⊥，1||F B =12||4F F =，得213||3BF ==， 则椭圆长轴长122||||6a F B F B =+=，由点P 在椭圆上，得12||||26PF PF a +==，又1290F PF ∠=°， 则2222121212121216||||||(||||)2||||362||||F F PF PF PF PF PF PF PF PF =+==+−=−， 因此12||||10PF PF ⋅=，所以12F PF △的面积为121||||52PF PF ⋅=. 故选：D6. 已知圆221:()(3)9C x a y −++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（ ）A. 2B.C.52D. 3【答案】D 【解析】【分析】利用两圆外切求出,a b 的关系，再利用基本不等式求解即得.【详解】圆221:()(3)9C x a y −++=的圆心1(,3)C a −，半径13r =，圆222:()(1)1C x b y +++=的圆心2(,1)C b −−，半径21r =，依题意，1212||4C C r r =+=， 于是222()24a b ++=，即22122224a b ab ab ab ab =++≥+=，因此3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ab 的最大值为3. 故选：D7. 如图所示，三棱锥A BCD −中，AB ⊥平面π,2BCD BCD ∠=，222BC AB CD ===，点P 为棱AC 的中点，,E F 分别为直线,DP AB 上的动点，则线段EF 的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立EF 的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥A BCD −中，过C 作Cz ⊥平面BCD ，由π2BCD ∠=，知BC CD ⊥， 以C 为原点，直线,,CD CB Cz 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，如图，由AB ⊥平面BCD ，得//AB Cz ，则1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,)2C D B A P ，令1(1,1,)(,,)22t DE tDP t t t ==−=− ，则(1,,)2tE t t −，设(0,2,)F m ，于是||EF ==≥， 当且仅当33,224t tm ===时取等号，所以线段EF. 故选：B8. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.45C.D.56【答案】C 【解析】【分析】根据124AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=°，再结合124AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，由124AF BF =，得12//AF BF ，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，由梯形12AF F B 的高为c ，得2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则有1230PF F ∠=°，1230AF F ∠=°， 在12AF F △中，设1AF x =，则22AF a x =−，22221121122cos30AF AF F F AF F F =+−°，即()22224a x x c −=+−，解得1AF x ==，在12BF F △中，21150BF F ∠=°，同理2BF =，又124AF BF =，所以4=，即3a =，所以离心率c e a ==. 故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 直线:10l x y −+=与圆22:()2(13)C x a y a ++=−≤≤的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线l 距离的取值范围，即可判断得解.【详解】圆22:()2C x a y ++=的圆心(,0)C a −，半径r =当13a −≤≤时，点(,0)C a −到直线l 的距离d， 因此直线l l 与圆C 的公共点个数为1或2. 故选：BC10. 下列四个命题中正确的是（ ）A. 过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y −−=B. 过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x = C. 若直线10kx y k −−−=和以(3,1),(3,2)M N −为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤−或32k ≥D. 若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}−【答案】BC 【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A ；求出圆的切线方程判断B ；求出直线斜率范围判断C ；利用三条直线不能构成三角形的条件求出a 值判断D.【详解】对于A ，过点(3,1)在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为13y x =，A 错误；对于B ，圆:C 22(1)(3)4x y ++−=的圆心(1,3)C −，半径2r =，过点(1,0)斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，当切线斜率存在时，设切线方程为(1)y k x =−2=，解得512k =−，此切线方程为51250x y +−=，所以过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x =，B 正确； 对于C ，直线10kx y k −−−=恒过定点(1,1)P −，直线,PM PN 的斜率分别为 ()()211131,312312PN PM k k −−−−====−−−−，依题意，PM k k ≤或PN k k ≥，即为12k ≤−或32k ≥，C 正确；对于D ，当直线0,3x y x ay a +=+=−平行时，1a =，当直线0,3x y x ay a −=+=−平行时，1a =−，显然直线0,0x y x y +=−=交于点(0,0)，当点(0,0)在直线3x ay a +=−时，3a =， 所以三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，实数a 的取值集合为{}113−,,，D 错误. 故选：BC11. 已知椭圆2225:1092x y C k k+=<<的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y −+−=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4（ ）A. k =B. 12PF PF ⋅的最大值为5C. 存在点P 使得12π3F PF ∠= D. 2||PQ PF −的最小值为6−【答案】ABC 【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断E 在椭圆外部，在2|||PQ PF PE +≥求出2EF ，即可求出k ，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B 、C ，根据椭圆的定义判断D.【详解】椭圆2225:1092x y C k k+=<<，则3a =，所以1226PF PF a +==，圆22:(2)(4)2E x y −+−=的圆心为()2,4E ，半径r =所以2222419k+>，所以点E 在椭圆外部，又2|||PQ PF PE +≥，当且仅当E 、P 、2F 三点共线（P 在E 2F 之间）时等号成立，所以24EF ，解得2c =，所以294k −=，解得k =（负值舍去），故A 正确；()()1212PF PF PO OF PO OF ⋅=+⋅+21122PO PO OF PO OF OF OF +⋅+⋅+⋅()21121PO PO OF OF OF OF +⋅+−⋅22214PO OF PO =−=− ，又PO ∈ ，所以[]25,9PO ∈ ，所以[]121,5PF PF ⋅∈ ，即12PF PF ⋅的最大值为5，当且仅当P 在上、下顶点时取最大值，故B 正确；设B 为椭圆的上顶点，则OB =，22OF =，所以2tan OBF ∠> 所以2π6OBF ∠>，所以12π3F BF ∠>，则存在点P 使得12π3F PF ∠=，故C 正确；因为()121||||6||6PQ PF PQ PF PQ PF −=−−=+−11||666PE PF EF ≥+−≥−−，当且仅当E 、Q 、P 、1F 四点共线（且Q 、P 在E 1F 之间）时取等号，故D 错误.故选：ABC12. 在棱台1111ABCD A B C D −中，底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形，侧面11CDD C 和侧面11BCC B 均为直角梯形，且113,CC CC =⊥平面ABCD ，点P 为棱台表面上的一动点，且满足112PD PC =，则下列说法正确的是（ ）A. 二面角1D AD B −−B. 棱台的体积为26C. 若点P 在侧面11DCC D 内运动，则四棱锥11P A BCD −D. 点P 【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B 选项，利用棱台体积公式求出答案；C 选项，设出(),0,P u v ，求出轨迹方程，得到P 点的轨迹，从而得到点P 到平面11A BCD的最短距离为43PF EF EP =−=−，利用体积公式求出答案；D 选项，考虑点P 在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案. 【详解】A 选项，因为1CC ⊥平面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD ， 所以11,CC BC CC CD ⊥⊥，又底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形， 故BC CD ⊥，故1,,CC BC CD 两两垂直，以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系， 则()()()()112,0,3,4,4,0,4,0,0,0,0,3D A D C ，平面ADB 的法向量为()0,0,1n =，设平面1D AD 的法向量为()1,,n x y z =，则()()()()111,,0,4,040,,2,4,32430n AD x y z y n AD x y z x y z ⋅=⋅−=−= ⋅=⋅−−=−−+= ， 解得0y =，令3x =得，2z =，故()13,0,2n =，则111cos ,n n n n n n ⋅==⋅， 又从图形可看出二面角1D AD B −−为锐角， 故二面角1D ADB −−A 正确；B选项，棱台的体积为(221243283V=+×=，B 错误；C 选项，若点P 在侧面11DCCD 内运动，112PD PC =， 设(),0,P u v，整理得()22216339u v ++−=， 故P 点的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面11DCC D 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QW 即为所求，过点E 作EF ⊥1CD 于点F ，与圆弧QW 交于点P ， 此时点P 到平面11A BCD 的距离最短，由勾股定理得1CD =，因为11128233ED EC CD =+=+=，1111sin C C CD C CD ∠=1118sin 3EF D E CD C =∠=故点P 到平面11A BCD 的最短距离为43PF EF EP =−=−， 因为11A D 与BC 平行，且BC ⊥平面11CDD C ， 又1CD ⊂平面11CDD C ，所以BC ⊥1CD ，故四边形11A BCD 为直角梯形，故面积为()1112A D BC CD +⋅=，则四棱锥11P A BCD −体积的最小值为1433 ×× ，C 正确； D 选项，由C 选项可知，当点P 在侧面11DCC D 内运动时，轨迹为圆弧QW ，设其圆心角为α，则1213cos 423C E EW α===，故π3α=， 所以圆弧QW 的长度为π433⋅当点P 在面1111D C B A 内运动时，112PD PC =， 设(),,3P s t整理得2221639s t ++=，点P 的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面1111D C B A 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QR 即为所求轨迹，其中1213cos 423C E QER ER ∠===，故π3QER ∠=， 则圆弧QR 长度为π44π339⋅=，若点P 面11BCC B 内运动时，112PD PC =， 设()0,,P k l，整理得()22433k l +−=，点P 的轨迹为以()10,0,3C 11BCC B 内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧GH 即为所求，此时圆心角1π2GC H =， 故圆弧GH长度为π2经检验，当点P 在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点P的轨迹长度为π4π29×=，D 正确. 故选：ACD在【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(,4)P m Q m −，且直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，则实数m 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】首先求出直线l 的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为1−，即可求出PQ k ，再由斜率公式计算可得.【详解】因为直线:20+−=l x y 的斜率1k =−， 又直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，所以1PQ k =，即412m m−=−−，解得1m =.故答案为：114. 以椭圆2251162x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．【答案】221916y x −=【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.【详解】椭圆2251162x y +=的长轴端点为(0,5),(0,5)−，焦点为(0,3),(0,3)−，因此以(0,3),(0,3)−为顶点，(0,5),(0,5)−4=，方程为221916y x −=. 故答案为：221916y x −=15. 椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=的最远距离为______．【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，再利用点到直线距离公式，结合三角函数性质求解即得.【详解】设椭圆22:14x E y +=上的点(2cos ,sin )(02π)P θθθ≤<，则点P到直线20x y +−=的距离：π2sin 4dθ=−+， 显然当5π4θ=时，max d =， 所以椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=16. 已知点A 的坐标为(0,3)，点,B C 是圆22:25O x y +=上的两个动点，且满足90BAC ∠=°，则ABC 面积的最大值为______．【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，由题意求解P 的轨迹方程，得到AP 的最大值，写出三角形ABC 的面积，结合基本不等式求解． 【详解】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，点B ，C 为圆22:25O x y +=上的两动点，且90BAC ∠=°，∴121225y x =+，222225x y +=①，122x x x +=，122y y y +=②，1212(3)(3)0x x y y +−−=③由③得1212123()90x x y y y y +−++=，即121269x x y y y +=−④， 把②中两个等式两边平方得：221122224x x x x x ++=，222121224y y y y y ++=， 即221212502()44x x y y x y ++=+⑤，把④代入⑤，可得2234124x y+−= ，即P 在以30,2为半径的圆上．则AP 的最大值为．所以()22222111244ABC S AB AC AB AC BC AP =≤+==≤ ．当且仅当AB AC =，P 的坐标为 时取等号．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 的顶点(4,1)A ，边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，边AC 上的中线BM 所在的直线方程为310x y −−=． （1）求点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程． 【答案】（1）(1,4)−−；（2）7110x y ++=. 【解析】【分析】（1）由垂直关系求出直线AB 的方程，再求出两直线的交点坐标即得.（2）设出点C 的坐标，利用中点坐标公式求出点C 坐标，再利用两点式求出直线方程. 【小问1详解】由边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，得直线AB 的斜率为1， 直线AB 方程为14y x ，即3y x =−，由3310y x x y =− −−=，解得1,4x y =−=−， 所以点B 的坐标是(1,4)−−.【小问2详解】由点C 在直线10x y +−=上，设点(,1)C a a −，于是边AC 的中点2,122a a M+−在直线310x y −−=上，因此3611022a a+−+−=，解得2a =−，即得点(2,3)C −，直线BC 的斜率4371(2)k −−==−−−−， 所以直线BC 的方程为37(2)y x −=−+，即7110x y ++=. 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中底面为正三角形，1114,2,120AA AB A AB A AC ==∠=∠=°．（1）证明：1AA BC ⊥；（2）求异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到10AA BC ⋅=，即可得证； （2）取AB 中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，即可得到COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】因为BC AC AB=−，所以()1111AA BC AA AC AB AA AC AA AB ⋅=⋅−=⋅−⋅1111cos ,cos ,0AA AC AA AC AA AB AA AB =⋅−⋅=，所以1AA BC ⊥，即1AA BC ⊥.【小问2详解】取AB 的中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，则O 为1AC 的中点，所以1//OM BC ，所以COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角， 在等边三角形ABC中CM =在平行四边形11ACC A 中()222211112AC AC AA AC AC AA AA =−=−⋅+22122244282−×××−+，所以1A C =，所以OC =，因为1AA BC ⊥，11//AA BB ，所以1BB BC ⊥， 在矩形11BCC B中1BC，所以OM =在OCM中由余弦定理cos COM ∠=的所以异面直线1BC 与1AC.19. 已知圆C 的圆心在x 轴上，其半径为1，直线:8630l x y −−=被圆CC 在直线l 的下方．（1）求圆C 的方程；（2）若P 为直线1:30l x y +−=上的动点，过P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，当||||PC AB ⋅的值最小时，求直线AB 的方程．【答案】（1）()2211x y −+=（2）2x y +=【解析】【分析】（1）设圆心C (),0a ，根据直线l 被圆Ca ，然后写圆的方程即可； （2）根据等面积的思路得到当1PC l ⊥时，PC AB 最小，然后根据直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线求直线方程.【小问1详解】设圆心C (),0a 到直线l 的距离为d，则12d =1a =或14−， 因为点C 在直线l 的下方，所以1a =，()1,0C ， 所以圆C 的方程为()2211x y −+=. 【小问2详解】因为12PACB S PC AB PA AC =⋅==，所以PC AB 最小即PC 最小， 当1PC l ⊥时，PC 最小，所以此时1PC k =，PC 的直线方程为：1y x =−，联立130y x x y =− +−= 得21x y = = ，所以()2,1P ，PC 中点31,22 ，PC =所以以PC 为直径的圆的方程为：22311222x y −+−=， 直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线，联立()222231122211x y x y −+−=−+= 得2x y +=， 所以直线AB 的方程为2x y +=. 20. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，离心率e =，点B 为椭圆上的一动点，且12BF F △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，点(,)P m n 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，且PAQ △为等边三角形，求点P 的横坐标．【答案】（1）22142x y += （2）25− 【解析】【分析】（1）根据三角形12BF F 的面积、离心率以及222a b c =+列出关于,,ab c 的方程组，由此求解出,a b的值，则椭圆C 的方程可求；（2）表示出AP 的垂直平分线方程，由此确定出Q 点坐标，再根据PAQ △为等边三角形可得AP AQ =，由此列出关于,m n 的等式并结合椭圆方程求解出P 点坐标.【小问1详解】依题意当B 为椭圆的上、下顶点时12BF F △面积的取得最大值，则2221222c ab c a b c = ×= =+，解得2a b = = ， 所以椭圆C 方程为：22142x y +=. 【小问2详解】依题意(,)P m n ，则22142m n +=，且()2,0A −， 若点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，则4AP =，AQ =， 此时PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以2m ≠±，0n ≠.设线段PA 中点为M ，所以2,22m n M −， 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=−， 因为直线PA 的斜率2AP n k m =+，所以直线MQ 的斜率2MQ m k n +=−， 又直线MQ 的方程为2222n m m y x n +− −=−−， 令0x =，得到()()2222Q m m n y n+−=+， 因为22142m n +=，所以2Q n y =−， 因为PAQ △为正三角形，的所以AP AQ =，即， 化简，得到2532120m m ++=， 解得25m =−，6m =−（舍） 故点P 的横坐标为25−.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问关键在于AP 垂直平分线方程的求解以及将PAQ △的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用P 点坐标符合椭圆方程去简化运算. 21. 如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,AC DE AC CD N ⊥为AB 的中点，点M 为线段DF 上一动点，且2,120BC AC DE DCB =∠=°．（1）若点M 为线段DF 的中点，证明：//MN 平面ACDE ；（2）若平面BCDF ⊥平面ACDE ，且2DE=，问：线段DF 上是否存在点M ，使得直线MN 与平面的ABF 所成角的正弦值为310?若存在，求出DM DF的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在，1DM DF=−【解析】【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到MN DG ∥，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.【小问1详解】取AC 中点G ，连接NG ，GD ，因为,N G 分别为,AB AC 中点，所以NG BC ∥，12NG BC =， 因为四边形BCDF 为菱形，M 为DF 中点， 所以DM BC ∥，12DM BC =， 所以NG DM ∥，NG DM =，则四边形NGDM 为平行四边形，所以MN DG ∥，因为MN ⊄平面ACDE ，DG ⊂平面ACDE ，所以MN ∥平面ACDE .【小问2详解】取DF 中点H ，连接CH ，CF因为平面BCDF ⊥平面ACDE ，平面BCDF ∩平面ACDE CD =，AC CD ⊥，AC ⊂平面ACDE ， 所以AC ⊥平面BCDF ，因为CH ⊂平面BCDF ，CB ⊂平面BCDF ，所以AC CH ⊥，AC CB ⊥，因为120DCB ∠=°，四边形BCDF 为菱形，所以三角形DCF 为等边三角形，因为H 为DF 中点，所以CH DF ⊥，CH CB ⊥，所以,,CH CB AC 两两垂直，以C 为原点，分别以,,CA CB CH 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()N ，()4,0,0A，()0,B，()F，()0,D，()0,DF =，()4,AB =−，()AF =−，()2,ND =−− 设DM DF λ=，则()0,,0DM DF λ==，()2,NM ND DM =+=−− ， 设平面ABF 的法向量为(),,m x y z = ，则40430m AB x m AF x z ⋅=−+= ⋅=−++=，令x =2y =，z =，所以m = ，3cos ,10NM m NM m NM m ⋅==，解得1λ=或1+（舍去）， 所以线段DF 上存在点M ，使得直线MN 与平面ABF 所成角的正弦值为310， 此时1DM DF =−22. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，过点A 且斜率为(0)k k ≠的直线l交椭圆C 于点P ．（1）若||AP =k 的值； （2）若圆F 是以F 为圆心，1为半径的圆，连接PF ，线段PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，使得QT BT ⋅ 为定值，证明：点Q 在定直线上．【答案】（1）1±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设():2l y k x =+，(),P P P x y ，联立直线与椭圆方程，求出P 点坐标，再由两点间的距离公式求出k ；（2）由P 点坐标可求得PF 斜率，进而得到PF 方程，与圆的方程联立可得T 点坐标；设()(),2Q m k m +，利用向量数量积坐标运算表示出()224841k m QT BT k −⋅=+ ，可知若QT BT ⋅ 为定值，则2m =，知()2,4Q k ；当直线PF 斜率不存在时，验证可知2m =满足题意，由此可得定直线方程.【小问1详解】依题意可得()2,0A −，可设():2l y k x =+，(),P P P x y ， 由()222143y k x x y =+ += ，消去y 整理得()2222341616120k x k x k +++−=， ()22Δ483441440k k ∴=+−=>，221612234P k x k −∴−=+， 226834P k x k −∴=+，222681223434P k k y k k k −=+= ++ ， 2226812,3434k k P k k −∴ ++，所以A P=21k =或23132k =−（舍去）， 所以1k =±.【小问2详解】 由（1）知2226812,3434k k P k k − ++，()1,0F ， 若直线PF 斜率存在，则2414PF k k k =−，∴直线214:14k PF x y k−=+，由()222141411k x y k x y −=+ −+= 得222441k y k = + ，又点T 线段PF 上， 所以22241441x k ky k = + = + ，即2224,4141k T k k ++ ，又()2,0B ， 22284,4141k k BT k k ∴=− ++， 设()(),2Q m k m +，则()()322242242,4141m k m k mk m QT k k −++−−+−= ++， ()()()()()()()22422222228421628448414141k mk m m k m k k m k QT BT k k −+−++−−+∴⋅=++ ()224841k m k −=+； 当480m −=时，0QT BT ⋅= 为定值，此时2m =，则()2,4Q k ，此时Q 在定直线2x =上；当480m −≠时，QT BT ⋅ 不为定值，不合题意；若直线PF 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设31,2P ，从而有()1,1T ，()2,0B ， 此时12AP k =，则直线()1:22AP y x =+， 设()1,22Q m m +，则()11,122QT m m =−−+ ，()1,1BT =− ，112QT BT m ∴⋅=− ， 则2m =时，0QT BT ⋅=，满足题意； 综上所述：当0QT BT ⋅= 为定值，点Q在定直线2x =上.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与向量的综合应用问题，涉及到椭圆中的向量数量积问题的求解；本在题求解点Q 所在定直线的关键是能够根据Q 点横纵坐标之间的关系，结合向量数量积坐标运算化简QT BT ⋅ ，将QT BT ⋅ 化为关于Q 点横坐标和直线斜率的关系式，从而分析确定定值后，再得到Q 点坐标的特征.。
华中师大一附中2011届高三(文科)数学独立作业(25)
高三文科数学独立作业（25）一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集U = {1，3，5，7}，M = {1，a －5}，∁U M = {5，7}，则实数a 的值为 A ．－2 B ．2 C ．－8 D ．82. 已知向量a = (1，n )，b = (－1，n )，若a 与b 垂直，则| a |等于 A ．1 B ．2 C ．2 D ．43. 已知函数2log 0()30x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩…，则1[()]4f f 的值是A ．19-B ．19C ．－9D ．94. 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π,则该函数图象A ．关于直线4x π=对称B ．关于点(3π，0)对称 C ．关于点(4π，0)对称 D ．关于直线3x π=对称5. 对于平面α和直线m 、n ，给出下列命题：①若m n ，则m 、n 与α所成的角相等；②若m α ，n α ，则m n ；③若m α⊥，m n ⊥，则n α ；④若m 与n 是异面直线，且m α ，则n 与α相交．其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 6. 设奇函数)(x f 在(0，＋∞)上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)7. 袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为A ．12344812161040C C C C CB ．21344812161040C C C C C C ．23144812161040C C C C CD ．13424812161040C C C C C8. 如图，直线MN 与双曲线22221y xa b-=的左右两支分别交于M 、N 两点，与双曲线的右准线交于P 点，F 为右焦点，若|FM | = 2|FN |，MP PN λ=，则实数λ的取值为A ．12B ．1C ．2D ．139. 设P 表示平面图形，m (P )是P 表示的图形面积．已知222{()()()}A x y x ay b r =-+-，…，{()2350}B x y x y =+-，…，且1()()2m A B m A =，则下列恒成立的是 A ．2350a b +-… B ．2350a b +-… C ．2350a b +-=D ．2350a b +-<10. 已知图一中的图像对应的函数为()y f x =，则图二中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能M NP F y xO是A ．(||)y f x =-B ．(||)y f x =C ．|()|y f x =D ．|(||)|y f x =--二. 填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。
华中师大一附中_2011年高中招生考试理科综合测试数学部分(word版附答案)(图清晰版)
华中师大一附中2011年高中招生考试理科综合测试数学部分2011．4．24 考试时间：120分钟卷面满分：200分说明：l．本试卷为数学、物理、化学合卷，其中数学100分，物理60分，化学40分。
2．所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
可能用到相对原子的质量：H：1 C：12 O：16 Na：23 C1：35.5 S：32 Ca：40一、选择题（本大题共14小题，每小题只有一个选项符合题意．l —10题每小题5分，11一14题每小题3分，共62分）1．若a＜b，化简二次根式的结果是2．如图，C为⊙O的直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF上AB于点 F ，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列图象中，能正确地表示y的x的函数关系式的图象大致是3．对于每个正整数n，抛物线与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1＋A2B2＋…＋A2011B2011的值是4．如图．AB是⊙O的直径．弦AC．BD相交于E、则等于5．a，b，c为正整数，则过点M（1，11）的抛物线y=ax2+bx+c的条数是A．45 B．44 C．43 D．42（一）填空题（本题共3个小题，请将正确答案填在答题卡相应的位置．每小题6分，满分18分）15．若这里a，b是有理数．则a＋b＝．16．将正整数依下表规律排成数表：设2011位于该数表的第m行，第n列。
则（m，n）= ．17．关于x的方程Ⅱ恰有5个不同的实数根，则实数C的值为．（二）解答题18．（本小题满分13分）善于不断改进学习方法的小迪发现，对知识进行回顾反思，学习效果更好．有一天，小迪有40分钟时间可用于自由学习．假设小边用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图（1）所示，用于回顾反思的时间x单位：分钟）与学习收益量y的关系如图C）所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（I）求小边解题的学习收益量y与用于解题的时间X之间的函数关系式；（Ⅱ）求小追回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（Ⅲ）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这40分钟的学习收益总量最大？19．（本小题满分14分）在等腰直角三角形ABC的直角边CA，CB上分别取点D，E，使得CD＝CE．由点D，C向直线AE引垂线并延长分别交斜边AB于点K，L．若KL=a，求LB．20．（本小题满分14分）己知直线y=x与反比例函数的图象交于两点A,，B，且点A的横坐标为2．（I）求k的值；（Ⅱ）过原点O的另一条直线l交反比例函数的图象于点P，Q(P在第一象限），若以A，B，P，Q为顶点的四边形的面积为12，求点P的坐标．21．（本小题满分16分）已知正数a，b，c满足a＋b＋c=1．求的最大值，并指明取得最大值时a，b，C的值（己知对于任意的正数=an时，不等式取等号；反之，不等式取等号时。
J0036,华中师大一附中2011届高二下学期期中考试数学试卷
华中师大一附中2009—2010年度第二学期期中检测高二年级（理科）数学试题一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5个人分4张不同电影票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是A ．5432⨯⨯⨯B ．54 C ．45 D ．54324!⨯⨯⨯2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ． 恰有1个白球；恰有2个白球B ．至少有1个白球；至少有1个红球C ． 至少有1个白球；都是白球D ．至少有1个白球；都是红球．3．设地球半径为R ，地球上两地A 、B 都在北纬同一个纬线圈上，它们的经度差为90°，且两地的球面距离为R 3π，则A 、B 两地所在纬线的度数为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对 5．有6名志愿者（其中4名男生，2名女生） 义务参加某项宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有A ．40种B ．48种C ．60种D ．68种6．一个棱长为1的无盖的正方体盒子，上口放着一半径为2的钢球，则球心到盒底的距离为A ．213B ．215C ．1213+ D ．1215+ 7．将正方体1111ABCD A B C D -的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现有5种不同的颜色，并且已涂好了过顶点A 的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有A ．15种B ．14种C ．13种D ．12种 8． 6个人站成一排，要求甲乙相邻，且与丙、丁均不相邻，有多少种不同的站法A ．24B ．48C ．72D ．96 9．将一枚骰子连续掷两次得到的点数分别为m , n ，则直线n y x m=与圆4)3(22=-+y x 相交的概率是 A ．59 B ．518 C ．125 D ．53610．设5522105)2()2()2(1x a x a x a a x -++-+-+=+ ，那么2135a a a a ++的值为A ．80123-B ．80121-C ．80123D ．80121二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他至少击中目标1次的概率是1-0.14 ②他第3次击中目标的概率是0.9； ③他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；其中正确结论的序号是 （写出所有正确的结论的序号）. 12．在623)1)(21(xx x +-的展开式中，常数项为_______________； 13．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 取最大值时该篮球运动员投篮一次得分的方差是___________． 14．已知正四棱锥S -ABCD 内接于球O ，且侧棱长为32，底面边长为6，则经过S 、A 两点的球面距离为 ．15．现有m n ⨯个球，其中一个黑球，一个白球，其余全是红球，把这m n ⨯个球任意放入m 个不同的口袋中，每袋n 个，则白球与黑球在同一个口袋中的概率为 ．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题12分）由0、2、5、7、8、9可以组成多少个没有重复数字的 （1）五位数； （2）五位数偶数； 17．（本小题12分）求10展开式中的常数项及系数最小的项．18．（本小题12分）设随机变量ξ的概率分布为() (1,2,3,4,5,6,7)7kP ak k ξ===， （1）求a 的值； （2）求39()1414P ξ<<； （3）记“以（ξ，1）为坐标的点在直线2328=-y x 的左上方”为事件A ，求()P A ． 19．（本小题12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A 项技术指标达标的概率为43，有且仅有一项技术指标达标的概率为125．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，并用一个零件经过检测为合格品的概率代替本批产品的合格率．（1）求一个零件经过检测为合格品的概率；（2）随机抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率； （3）随机抽出该种零件6个，设ξ表示其中合格品的个数，求E ξ与D ξ．20．（本小题13分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关．若T ≤1，则销售利润为0元；若1<T ≤3，则销售利润为100元；若T >3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1、1<T ≤3，、T >3这三种情况发生的概率分别为1p ，2p ，3p ，又知1p ，2p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且2p =3p ．（1）求1p ，2p ，3p 的值；（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （3）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的数学期望． 21．（本小题14分）在超负荷的工作状态下试验某种产品的质量，每件产品通过试验的概率都为21，且相互独立．试验中，当遇到不能通过试验的产品就立即停止试验，设ξ为停止试验时所通过的产品个数．（1）当ξ=5时，求其对应的概率P (ξ=5)； （2）求ξ的分布列；（3）记)(k p =ξ为k =ξ时的概率，若2122()1(1)2(2)n n g n C p C p ξξ==+=2()nn n C p n ξ++= ，求证：对任意n ∈N*有2()3n g n -≤．高二年级（理科）数学试题参考答案二、填空题： 11． ①②12．313．3214．34π 15．11n mn --三、解答题：16解：（1）由0、2、5、7、8、9组成没重复数字的五位数有：4556A A -=600（个）. （2）个位是0的五位数有：45A （个）；个位为2或8的五位数有：341412A C C （个），故由0、2、5、7、8、9组成没有重复数字的五位偶数有45A +341412A C C =312（个）.17.解：展开式的通项为105101036110((1)3rr r rr rr r C T C x --+=⋅=-。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文
华中师大一附中2015—2016学年度第一学期期中检测高二年级数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．若直线过点A (1, 2)，B (4, 2＋3)，则此直线的倾斜角为 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．点)1,2(-a a 在圆04222=--+y y x 的内部，则a 的取值范围是 A ．11<<-aB ．10<<aC ．511<<-aD ．151<<-a3．在极坐标系中，点)4,2(π到曲线01sin cos =--θρθρ上的点的最小距离等于A ．22B ．2C ．223 D ．24．已知双曲线)0(1122>=--a a y a x 的离心率为2，则a 的值为 A ．21 B ．22C ．31D ．33 5．以椭圆1492422=+y x 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是 A ．1242522=-y xB ．1252422=-y xC ．1242522=-x yD ．1252422=-x y 6．过点(3, 1)作一直线与圆9)1(22=+-y x 相交于M 、N 两点，则MN 的最小值为 A ．52B ．2C ．4D ．67．直线∈=--k kx y (01R )与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是 A ．(0, 1) B ．(0, 5) C ．),5()5,1[+∞ D ．),1[+∞8．已知F 1, F 2为双曲线222=-y x 的左，右焦点，点P 在C 上，||2||21PF PF =，则=∠21cos PF F A ．41B ．53C ．43D ．54 9．已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，直线)1(3-=x y 与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若 FB m AF =，则m 的值为 A ．3B ．23C ．2D ．310．椭圆1162522=+y x ＝1的左、右焦点分别为F 1, F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆周长为π，A , B 两点的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2)，则||21y y -的值为 A ．35 B ．310 C ．320 D ．35 11．已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3=，则=||QF A ．25B ．38C ．3D ．612．已知F 2，F 1是双曲线)0,0(2222>>-b a bx a y 的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，| OF 1 |为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且仅有三个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的值为____________．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y tx (4⎩⎨⎧+==为参数) ．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=，则直线l和曲线C 的公共点有____________个．15．设P 是双曲线116922=-y x 上一点，M ，N 分别是两圆：4)5(22=+-y x 和1)5(22=++y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为____________．16．椭圆a y ax (15222=+为定值，且)5>a 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆相交于点A 、B ， △FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。
湖北省华师一附中2011年高中自主招生数学试题(word含答案)
师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分 考试时间120分钟题号一 二 三总 分复 核1 2 3 4 5 得分 阅卷教师一、选择题（每小题6分，共30分。
每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是………………【 】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。
若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【 】A 、甲比乙更优惠B 、乙比甲更优惠C 、甲与乙相同D 、与原标价有关 4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右则3121455x x ++= 。
8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道。
三、解答题（本大题6小题，共72分）1、（10分）在ABC ∆中，AC AB =， 45=∠A 。
AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，连结CD ，如果1=AD ，求：BCD ∠tan 的值。
2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。
现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。
解析几何 华中师大一附中高二(上)期中数学试卷解析版
2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（5分）直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则m的值为（）A．0B．1C．2D．0或13．（5分）在下列四个命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B．过点P（x0，y0）的直线方程都可以表示为：y﹣y0＝k（x﹣x0）C．经过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程都可以表示为：（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝04．（5分）已知直线l：x+y﹣4＝0上动点P，过点P向圆x2+y2＝1引切线，则切线长的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F1，F2分别为椭圆E：＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（）A．x2+9y2＝1B．x2+9y2＝1（y≠0）C．D．6．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点关于直线y＝x的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）过椭圆C：＝1（a＞b＞0）左焦点F（﹣c，0）作倾斜角为的直线l，与椭圆C交于A，B两点，其中P为线段AB的中点，线段PF的长为c，则椭圆C 的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知过定点（2，﹣2）的直线l与圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0相交于A，B两点，当线段AB的长为整数时，所有满足条件直线l的条数为（）A．11B．20C．21D．22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）对于曲线C：＝1，下面说法正确的是（）A．若k＝3，曲线C的长轴长为4B．若曲线C是椭圆，则k的取值范围是2＜k＜7C．若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是k＞7D．若曲线C是椭圆且离心率为，则k的值为（多选）10．（5分）已知两圆方程为x2+y2＝4与（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），则下列说法正确的是（）A．若两圆外切，则r＝3B．若两圆公共弦所在的直线方程为3x﹣4y﹣2＝0，则r＝5C．若两圆的公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝4（多选）11．（5分）已知A，B两点的距离为定值2，平面内一动点C，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形的面积为S，下面说法正确的是（）A．若，则S最大值为2B．若，则S最大值为C．若a+b＝4，则S最大值为D．若，则S最大值为1（多选）12．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，下列说法正确的是（）A．若点T的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段PT长度的最小值为B．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是C．若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是D．若点T的坐标为（0，b），椭圆上存在点P使得，则椭圆E的离心率的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为（2，0），则a＝．14．（5分）写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为.（写出一个即可）15．（5分）已知椭圆E：＝1的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是（1，3），则|PQ|+|PF|的最大值是．16．（5分）已知直线l：3x+y+m＝0与圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16相交于A，B两点，O 为坐标原点，若A，B，C，O四点共圆，则m的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）直线l过点A（1，1），且倾斜角比直线y＝x+1的倾斜角大．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且距离为，求直线m的方程．18．（12分）已知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）都在圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2上．（1）试求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，且以AB为直径的圆恰好过点C，求直线l的方程．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0．（1）求过点（2，0）且与圆C相切的直线方程；（2）已知点A（﹣2，0），B（2，2）．则在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2＝28？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．（1）若G是线段PC的中点，试证明EG∥平面PAD；（2）已知直线AG与平面AEF所成角为45°．①若△PEG和△PBC的面积分别记为S1，S2，试求的值；②求三棱锥的P﹣EFG体积．21．（12分）已知椭圆E：的离心率为，点在椭圆E 上，F为其左焦点，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．22．（12分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足＝0，且△MF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1＝2k2.过点B作直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】根据直线l的方向向量写出倾斜角的正切值，进而求出倾斜角的值．【解答】解：∵直线l的方向向量是，∴倾斜角α的正切值为tanα＝＝﹣；又α∈[0，π），则l的倾斜角为α＝，故选：C．【点评】本题考查三角函数的公式与应用问题，也考查了直线方向向量的应用问题，是基础题目．2．（5分）直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则m的值为（）A．0B．1C．2D．0或1【分析】利用直线垂直的性质求解．【解答】解：∵l1⊥l2，∴1×m+m（m﹣2）＝0，∴m2﹣m＝0，∴m＝0或m＝1，故选：D．【点评】本题考查直线垂直的性质．属于基础题．3．（5分）在下列四个命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B．过点P（x0，y0）的直线方程都可以表示为：y﹣y0＝k（x﹣x0）C．经过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程都可以表示为：（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0【分析】利用直线的斜率以及直线的点斜式方程等逐项判断即可．【解答】解：倾斜角的范围为（0，）时，直线斜率k＞0；倾斜角的范围为（，π）时，直线斜率k＜0，故A错误；B、当过点P（x0，y0）的直线斜率不存在时，直线方程不能表示为y﹣y0＝k（x﹣x0），本选项错误；C、经过两个不同点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线的方程无论斜率存在不存在，都可表示为（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1），本选项正确，由于经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线可能经过原点，此时直线方程为y＝x，故D错误．故选：C．【点评】本题考查直线方程的几种形式：直线的两点式方程，截距式方程，点斜式方程以及斜截式方程，属基础题．4．（5分）已知直线l：x+y﹣4＝0上动点P，过点P向圆x2+y2＝1引切线，则切线长的最小值是（）A．B．C．D．【分析】根据切线的性质可得切线长＝＝，要使切线长最短，则要求OP最短，当OP⊥l时，满足要求．利用点到直线距离公式、勾股定理即可得出结论．【解答】解：根据切线的性质可得切线长＝＝，要使切线长最短，则要求OP最短，当OP⊥l时，满足要求．此时OP＝＝2，∴切线长的最小值＝＝，故选：A．【点评】本题考查了圆的方程、切线的性质、勾股定理、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）已知F1，F2分别为椭圆E：＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（）A．x2+9y2＝1B．x2+9y2＝1（y≠0）C．D．【分析】根据三角形的重心坐标公式及“相关点“法即可求解．【解答】解：设G（x，y），（y≠0），设P为（m，n），又易知F1（﹣，0），F2（，0），∴根据三角形的重心坐标公式可得：，∴，∴P（3x，3y），又P在椭圆E：＝1上，∴，（y≠0），即x2+9y2＝1（y≠0），∴G的轨迹方程为x2+9y2＝1（y≠0），故选：B．【点评】本题考查“相关点“法求轨迹方程，三角形的重心坐标公式，属基础题．6．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点关于直线y＝x的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先求出点关于直线y＝x的对称点，接着根据题意建立方程，再转化为e的方程，最后解方程即可求解．【解答】解：∵点关于直线y＝x的对称点为（，），∴根据题意可得，∵，∴，∴2（1﹣e2）2﹣5（1﹣e2）+2＝0，解得1﹣e2＝2或，又e2∈（0，1），∴，∴e＝．故选：D．【点评】本题考查点关于线对称问题，方程思想的应用，属中档题．7．（5分）过椭圆C：＝1（a＞b＞0）左焦点F（﹣c，0）作倾斜角为的直线l，与椭圆C交于A，B两点，其中P为线段AB的中点，线段PF的长为c，则椭圆C 的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆中倾斜角的焦半径公式即可求解．【解答】解：根据椭圆中倾斜角的焦半径公式可得：，（θ为过焦点的直线的倾斜角），设B点在x轴上方，A点在x轴下方，又θ＝，∴，∴AB＝BF+AF＝，∴PF＝＝，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∴e＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆中倾斜角的焦半径公式的应用，属中档题．8．（5分）已知过定点（2，﹣2）的直线l与圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0相交于A，B两点，当线段AB的长为整数时，所有满足条件直线l的条数为（）A．11B．20C．21D．22【分析】圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0配方化为：（x+3）2+（y﹣3）2＝54．可得圆心C（﹣3，3），半径r＝．由|PC|＝＜，可知定点P（2，﹣2）在圆C内部．过定点P（2，﹣2）的直线l与圆C相交时，最长弦长为2r＝；CP与直线l垂直时，弦长|AB|最短，进而判断出距离．【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0配方化为：（x+3）2+（y﹣3）2＝54．可得圆心C（﹣3，3），半径r＝．由|PC|＝＝＜，可知定点P（2，﹣2）在圆C内部．过定点P（2，﹣2）的直线l与圆C相交时，最长弦长为2r＝，CP与直线l垂直时，弦长|AB|最短，最短弦长＝2＝2＝4，因此4≤|AB|≤，又14＜＜15，因此满足条件直线l的条数＝（14﹣4）×2+1＝21．故选：C．【点评】本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）对于曲线C：＝1，下面说法正确的是（）A．若k＝3，曲线C的长轴长为4B．若曲线C是椭圆，则k的取值范围是2＜k＜7C．若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是k＞7D．若曲线C是椭圆且离心率为，则k的值为【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质即可求解．【解答】解：对A选项，若k＝3，则曲线C可化为：，∴曲线C的长轴长为2a＝4，∴A选项正确；对B选项，若曲线C是椭圆，则，解得2＜k＜7，且k≠，∴B选项错误；对C选项，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，∴k＞7，∴C选项正确；对D选项，若曲线C是椭圆且离心率为，则或，解得k＝或k＝，∴D选项正确．故选：ACD．【点评】本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．（多选）10．（5分）已知两圆方程为x2+y2＝4与（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），则下列说法正确的是（）A．若两圆外切，则r＝3B．若两圆公共弦所在的直线方程为3x﹣4y﹣2＝0，则r＝5C．若两圆的公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝4【分析】根据题意，由圆的方程求出圆的圆心和半径和圆心距，据此依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，圆（x﹣3）2+（y+4）2＝r2的圆心为（3，﹣4），半径为r，两圆的圆心距d＝＝5，据此依次分析选项：对于A，两圆外切，则d＝2+r＝5，则r＝3，A正确，对于B，，联立可得：6x﹣8y﹣29+r2＝0，若两圆公共弦所在的直线方程为3x﹣4y﹣2＝0即6x﹣8y﹣4＝0，则有r2﹣29＝﹣4，则r＝5，B正确，对于C，若两圆的公共弦长为，则圆x2+y2＝4的圆心（0，0）到6x﹣8y﹣29+r2＝0的距离为1，可得1＝＝1，可得r2＝19或39，故r＝或，故C 不正确，对于D，若两圆在交点处的切线互相垂直，则有r2+4＝25，则r＝，D不正确；故选：AB．【点评】本题考查圆与圆位置关系，涉及圆的标准方程，属于中档题．（多选）11．（5分）已知A，B两点的距离为定值2，平面内一动点C，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形的面积为S，下面说法正确的是（）A．若，则S最大值为2B．若，则S最大值为C．若a+b＝4，则S最大值为D．若，则S最大值为1【分析】由平面向量数量积的运算，结合圆锥曲线的几何性质逐一判断即可得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），设C（x，y），对于选项A，若，则点C的轨迹方程为x2+y2＝1，（x≠±1），则S＝，即S的最大值为1，即选项A错误；对于选项B，若，则，即（x﹣3）2+y2＝8，（y≠0），则，则，则S的最大值为，即选项B 正确；对于选项C，若a+b＝4，由椭圆的定义可得，点C的轨迹方程为，（y≠0），即，则，则S的最大值为，即选项C正确；对于选项D，若，则，即x2+4y2＝1，（y≠0），则，即，则S的最大值为，即选项D错误，故选：BC．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了圆锥曲线的几何性质，属中档题．（多选）12．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，下列说法正确的是（）A．若点T的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段PT长度的最小值为B．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是C．若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是D．若点T的坐标为（0，b），椭圆上存在点P使得，则椭圆E的离心率的取值范围是【分析】A选项，设出P（m，n），m∈[﹣a，a]，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段PT长度的最小值，A错误；B选项，先得到上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，再数形结合得到F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆与于不同于上下顶点的P1，P2两点，列出不等式组，求出答案；C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，∠OPB最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；D选项，设P（m，n），m∈[﹣a，a]，n∈[﹣b，b]，则，表达出，问题转化为在[﹣b，b]上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围．【解答】解：设P（m，n），m∈[﹣a，a]，则，＝，若b＜c，此时，此时当时，|PT|2取得最小值，最小值为，线段PT长度的最小值为；若b≥c，此时，此时当m＝a时，|PT|2取得最小值，最小值为，故A错误；如图，椭圆左右顶点为A，B，上下顶点为C，D，显然上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，要想椭圆上佮有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，以F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆于不同于上下顶点的P1，P2两点，则要满足|F1A|＜|F1Q|，且|F1C|≠|F1P1|，即，解得：，且，故椭圆E的离心率的取值范围是，B正确；若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时a2≥4（a2﹣c2），即；若，即时，如图所示：连接OP，OB，显然，则，因为y＝sin x在上单调递增，要想∠OPB最大，只需sin∠OPB最大，故当|OP|最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，∠OPB最大，故当时满足要求，所以，即，所以a2≥3（a2﹣c2），解得：，所以．综上：若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确；设P（m，n），m∈[﹣a，a]，n∈[﹣b，b]，则，＝，椭圆上存在点P使得，即在[﹣b，b]上有解，即在[﹣b，b]上有解，令，注意到，，故只需满足，由①得：，由②得：或，综上：，则椭圆E的离心率的取值范围是，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为（2，0），则a＝1．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b即可．【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程是y＝x，可得＝，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c＝2，即a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，所以双曲线方程为x2﹣＝1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题．14．（5分）写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为1.（写出一个即可）【分析】由原方程组得方程所对应的两直线平行，得，再解方程即可．【解答】解：，则，∵关于x、y的方程组无解，即方程所对应的两直线平行，可得，∴a2﹣1＝0，解得a＝±1，故a的值可以为1．故答案为：1．【点评】本题考查了两直线的位置关系，关键是把解二元一次方程组转化成两直线的位置关系求解，是基础题．15．（5分）已知椭圆E：＝1的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是（1，3），则|PQ|+|PF|的最大值是13．【分析】根据椭圆的几何性质及三角形的性质即可求解．【解答】解：由题意可得椭圆E：＝1的左焦点F′为（﹣3，0），Q（1，3），又|PQ|+|PF|＝|PQ|+（2a﹣|PF′|）＝|PQ|﹣|PF′|+2a≤|QF′|+2a＝+2×4＝13，当且仅当F′，P，Q三点共线时，取得等号，∴|PQ|+|PF|的最大值是13，故答案为：13．【点评】本题考查椭圆的几何性质，三角形的性质，属基础题．16．（5分）已知直线l：3x+y+m＝0与圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16相交于A，B两点，O 为坐标原点，若A，B，C，O四点共圆，则m的值为4．【分析】由圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16可得圆心C，半径r，线段AB的垂直平分线所在直线方程为：x﹣3y+t＝0，由于此直线经过圆心，可得t．线段OC的垂直平分线方程为：x﹣y﹣2＝0．联立，解得坐标设为G，求出点G到直线l的距离h，点C到直线l的距离d，|AB|＝2，根据A，B，C，O四点共圆，可得+h2＝|OG|2，即可得出m．【解答】解：由圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16可得圆心C（2，﹣2），半径r＝4，线段AB的垂直平分线所在直线方程为：x﹣3y+t＝0，由于此直线经过圆心，∴2﹣3×（﹣2）+t＝0，解得t＝﹣8．∴直线方程为x﹣3y﹣8＝0，线段OC的垂直平分线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1，化为x﹣y﹣2＝0．联立，解得，设为G（﹣1，﹣3），点G到直线l的距离h＝＝，点C到直线l的距离d＝＝，|AB|＝2，∵A，B，C，O四点共圆，∴+h2＝|OG|2，∴16﹣+＝（﹣1）2+（﹣3）2，解得m＝4．【点评】本题考查了圆的方程、垂直平分线的性质与方程、点到直线距离公式、弦长公式、四点共圆，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）直线l过点A（1，1），且倾斜角比直线y＝x+1的倾斜角大．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且距离为，求直线m的方程．【分析】（1）根据已知条件，结合直线的斜率倾斜角的关系，以及正切函数的两角和公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，即可求解．【解答】解：（1）设直线l的倾斜角为α，直线y＝x+1的倾斜角为β，∵倾斜角比直线y＝x+1的倾斜角大，∴，，∴＝，∵直线l过点A（1，1），∴直线l的方程为y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0．（2）∵直线m与直线l平行，∴可设直线m的方程为3x﹣y+n＝0，∵直线m与直线l的距离为，∴，解得n＝8或n＝﹣12，故直线m的方程为3x﹣y+8＝0或3x﹣y﹣12＝0．【点评】本题主要考查两直线平行的距离公式，属于基础题．18．（12分）已知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）都在圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2上．（1）试求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，且以AB为直径的圆恰好过点C，求直线l的方程．【分析】（1）由题意知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的△OPQ是以PQ为斜边的直角三角形，覆盖它且面积最小的圆是△OPQ的外接圆，结合直角三角形的性质进而圆心与半径，即可得出圆C的方程．（2）设直线l的方程是：y＝x+b，根据CA⊥CB，可得圆心C到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式可得关于b的方程，解得b即可得出结论．【解答】解：（1）由题意知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的△OPQ是以PQ为斜边的直角三角形，∴覆盖它且面积最小的圆是△OPQ的外接圆，故圆心是PQ的中点（2，1），半径r＝|PQ|＝＝，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．（2）设直线l的方程是：y＝x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是×＝，解得：b＝﹣1±．∴直线l的方程是：x﹣y﹣1+＝0或x﹣y﹣1﹣＝0．【点评】本题考查了圆的方程、直角三角形的性质、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0．（1）求过点（2，0）且与圆C相切的直线方程；（2）已知点A（﹣2，0），B（2，2）．则在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2＝28？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由．【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解；（2）由题意列式得P轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解．【解答】解：（1）由题意圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，圆心C（3，2），半径r＝1，①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝2，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程l：y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，则圆心C到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为即3x﹣4y﹣6＝0，综上，直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣6＝0；（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，又PA2+PB2＝（x+2）2+（y﹣0）2+（x﹣2）2+（y﹣2）2＝28，即x2+（y﹣1）2＝9，P的轨迹是圆心为（0，1），半径为3的圆．因为，所以圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1与圆x2+（y﹣1）2＝9相交，所以点P的个数为2．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两个圆相交的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．（1）若G是线段PC的中点，试证明EG∥平面PAD；（2）已知直线AG与平面AEF所成角为45°．①若△PEG和△PBC的面积分别记为S1，S2，试求的值；②求三棱锥的P﹣EFG体积．【分析】（1）根据题意，由中位线定理可得EG∥BC，又BC∥AD，则EG∥AD，由线面平行的判定定理，即可得出答案．（2）分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设平面AEF的法向量，则，解得，设（0＜λ＜1），由直线AG与平面AEF所成角为45°，则sin45°＝|cos＜，＞|，解得λ；①由＝，即可得出答案．②因为，且，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：因为E，G分别为线段PB，PC，所以EG∥BC，又因为BC∥AD，所以EG∥AD，EG⊄面PAD，AD⊂面PAD，所以EG∥面PAD．（2）分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，A（0，0，0），，，P（0，0，2），D（0，2，0），，F（0，1，1），，，设平面AEF的法向量，则，所以，取＝（，1，﹣1），设（0＜λ＜1），则，则，整理得8λ2﹣2λ﹣3＝0，解得或（舍去），①，②因为，且，所以．【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．21．（12分）已知椭圆E：的离心率为，点在椭圆E 上，F为其左焦点，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．【分析】（1）根据椭圆的离心率，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，利用韦达定理及弦长公式，换元，结合对勾函数的图像与性质，即可求得△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．【解答】解：（1）根据题意可得：，，又a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，故椭圆C的标准方程为：．（2）①当直线l斜率为零时，显然不满足题意；②直线l的斜率不为零，设其方程为：x＝my﹣1，联立椭圆方程：可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，，点O到直线AB的距离，，令，则m2＝t2﹣1，故，对函数，t∈[1，+∞），易知在[1，+∞）单调递增，所以在[1，+∞）单调递减，故，当且仅当t＝1，即m＝0时取得等号；故△OAB面积的最大值为，此时直线l的方程x＝﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用对勾函数的单调性求得最值，考查转化思想，属于中档题．22．（12分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足＝0，且△MF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1＝2k2.过点B作直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．【分析】（1）方法一：由，利用三角形的面积公式及勾股定理和椭圆的定义，可求得a和b的值，求得椭圆方程，方法二：利用焦点三角形的面积公式结合，即可求得b的值，再利用，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）由题意可知，直线l的斜率必存在且不为0，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及直线的斜率公式，化简，可得直线PQ恒过定点M，因此点H在以BM为直径的圆上，点T为BM的中点．【解答】解：（1）方法一：因为，所以，即，所以，所以|MF1|⋅|MF2|＝4，又|MF1|+|MF2|＝2a，，，所以，即4a2﹣2×4＝8，所以a2＝4，所以b2＝a2﹣c2＝2，所以椭圆方程为；方法二：因为，所以，即，由△MF1F2的面积，所以b2＝2，由，则，a2＝b2+c2＝4，所以椭圆方程为；（2）存在定点，使得|TH|为定值．依题意A（﹣2，0），B（2，0），设，Q（x2，y2），若直线PQ的斜率为0，则P，Q关于y轴对称，必有k AP＝﹣k BQ，不合题意．所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x＝ty+n（n≠±2），与椭圆C联立，整理得：（t2+2）y2+2tny+n2﹣4＝0，所以Δ＝4t2n2﹣4（t2+2）（n2﹣4）＝8（2t2﹣n2+4）＞0，且，，因为P（x1，y1）是椭圆上一点，即，所，则，即4k BP⋅k BQ＝﹣1，因为，得4y1y2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝0，即＝＝，因为n≠2（4+t2）（n+2）﹣2t2n+（n﹣2）（t2+2）＝0，4n+8+t2n+2t2﹣2t2n+nt2+2n﹣2t2﹣4＝0，整理得6n+4＝0，解得，直线PQ恒过定点．所以点H在以BM为直径的圆上，点为BM的中点．【点评】本题考查椭圆的标准方程，焦点三角形的面积公式，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，直线恒过定点问题，考查转化思想，计算能力，属于难题．。
华师一附中2024届高三数学独立作业(10)--答案
华师一附中高三独立作业10参考答案：1．A【分析】利用方程的根结合整数、自然数化简集合，再利用交集运算求解即可.【详解】因为{}{}29,1,9M a ax x =∈=∈=NZ ∣，{}{}29,1,3,1,3N x ax a =∈=∈=--Z N ∣，所以{}1M N ⋂=.故选：A.2．C【分析】由2490a a +=结合()32413113q a a a a a a a a =++++求解即可.【详解】因为13430,120a a S +==，所以2490a a +=，则()324131133a a a a a a a a q q +++===+.故选：C 3．A【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.【详解】由()()33e e e e x x x xx xf x f x ----===--且定义域{|0}x x ≠，即()f x 是偶函数，排除D ；当0x >时，e 1e x x ->>，即e e 0x x -->，此时()0f x >，排除C ；当x 趋向+∞时，3x 、e e x x --均趋向+∞，但随x 变大，e e x x --的增速比3x 快，所以()f x 趋向于0，排除B.故选：A.4．A【分析】根据三角函数图象变换可得()y f x =的表达式，结合对ππ,312x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()0f x <成立可得相应不等式，结合πϕ≤，即可求得实数ϕ的取值范围，即得答案.【详解】由题意得()πsin 26f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当ππ,312x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭时，πππ2,623x ϕϕϕ⎛⎫++∈-+ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误9．ACD从而可得12301e x x x <<<<<由1122ln e x x x x =，得1212ln ln e ex x x x =，即又()f x 在()0,1上单调递增，则【点睛】关键点点睛：设BC是解决本题的关键.13．13【分析】利用向量的数量积公式求出)不妨设12x x <，∴12120e 1,x x <<<<号，令l (n )x t x x =，)ln 1(x x t '+=，显然即1ln ex x ≥-，∴1()f x x ≥-，当且仅当1x =时取等号，由图可知21211e (e 1)1x x x x m m m -<-=++=+'+'，∴12e 111x x m+<---①，令2(1)()ln 1x x x x ϕ-=-+，()()()222114()011x x x x x x ϕ-'=-=>++，又(1)0ϕ=，可得当1x >时，()0x ϕ>，即令1b x a =>，0b a >>，则2(1)ln 1bb a b a a->+，即2()ln ln b a b a b a -->+，即ln b b --120x x <<，则2212x x <，又22()ln ,()ln f x x x m f x x x m ====，则2222212212222ln ln x x x x x x x m +>=-⎛--。
湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试化学试题 含答案
湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期末考试化学试题第I卷（选择题共54分）一、选择题（下列各题只有一个选项符合题意。
每小题3分，共54分）1．下列化合物中含2个手性碳原子的是A． B． C．D．2．同一周期的4种元素，原子半径从小到大的顺序为C<A<D<B （不包括稀有气体元素），则最有可能形成共价化合物的是A. C与AB. C与DC. D与BD. B与C3．根据价层电子对互斥模型，判断下列分子或者离子的空间构型不是三角锥形的是A．PCl3 B. H3O+ C. NO3- D. PH34．某种熔融碳酸盐燃料电池以Li2CO3、K2CO3为电解质、以CH4为燃料时，该电池工作原理见下图，下列说法正确的是A．正极电极反应式为O2+2CO2+4e-=2CO32- B． CO32-向正极移动C．此电池在常温时也能工作 D． a为CH4，b为CO25．下列不熊说明氯元素的非金属性比硫元素的强的有几项：①HCl比H2S稳定：②HClO的氧化性比H2SO4强③HClO4的非羟基氧数目比H2SO4的非羟基氧数目多；④Cl2能与H2S反应生成S；⑤Cl原子最外层有7个电子，S原子最外层有6个电子；⑥Cl2与Fe反应生成FeCl3，S与Fe生成FeS；⑦HCl的酸性比H2S的酸性强；⑧沸点：H2S>HCl。
A．2项 B．3项 C．4项 D． 5项6．下面是元素周期表的一部分（表中数字和X代表原子序数），其中X为35的是A． B． C． D．7．短周期元素A、B、C的原子序数依次增大，其原子的最外层电子数之和为10，且A与C在周期表中位置上下相邻，B原子最外层电子数等于A原子次外层电子数，下列有关叙述不正确的是（）A．原子半径：A＜B＜CB．A的氢化物的稳定性大于C的氢化物的稳定性C．A的最高价氧化物与B的单质可以发生置换反应D．C的氧化物的熔点比A的氧化物熔点低8．下列说法正确的是A．测定HCl和NaOH中和反应的反应热时，单次实验均应测量3个温度，即盐酸起始温度、NaOH溶液起始温度和反应终止温度B．若2C(s)+O2(g)=2CO(g)△H=-221.0kJ/mol，则碳的燃烧热为110.5KJ/molC．需要加热的反应一定是吸热反应,常温下能发生的反应一定是放热反应D. 已知I：反应H2(g)+Cl2(g)＝2HCl(g)；△H=-akJ/molII:且a、b、c均大于零，则断开1molH-Cl键所需的能量为2(a+b+c)kJ/mol9．由IIIA 族元素A和VIA 族元素B组成的阴离子结构如下：则所带电荷X、Y、Z依次为多少？A. 4、4、2B. 4、3、2C. 3、3、2D.4、2、210．氨是生产氮肥、尿素等物质的重要原料。
华师一附中2024届高三数学独立作业(10)--试卷
华师一附中2024届高三独立作业（10）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一1．已知集合{}{}229,,9,M a ax x N x ax a =∈=∈=∈=∈NZ Z N ∣∣，则（）A ．{}1M N ⋂=B ．N M⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N⊆2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为134,30,120n S a a S +==，则其公比q =（）A ．1B ．2C ．3D ．1或33．函数()3e e x xxf x -=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4．已知πϕ≤，将()sin y x ϕ=+向左平移π6个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数()y f x =.若对ππ,312x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()0f x <成立，则实数ϕ的取值范围是（）A ．ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知直线y ax b =+与曲线()ln e y x =相切，则a b +的最小值为（）A ．12B ．1C ．2D ．36．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2,11f x f x f x f x +=-+=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-+，若()()2f a f b =，其中[]51,2,2,2a b ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，则当121a b +-取最小值时，()f a =（）A ．12B ．34C ．78D ．897．设1110sin0.1,cos ,20sin 2020a b c ===，则（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．a b c<<三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)。
华中师大一附中2020级高二上学期数学独立作业(2)
华中师大一附中2020级高二上学期数学独立作业（2）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．三棱柱111ABC A B C -中,N 是1A B 的中点,若CA a =，CB b =，1CC c =,则CN = （ ） A ．()12a b c +- B ．()12a b c ++ C ．12a b c ++ D ．()12a b c ++ 2．直线x sin α-y +2=0的倾斜角的取值范围是 （ ）A ．[0,)πB ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 3．直线1:10l ax y ++=与22:3(2)40l x a y a +-+-=平行，则实数a 的值是( )A ．-1或3B ．-1C ．-3或1D ．34．直线l ：320x y -+=与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则cos α=（ ）A ．624+-B ．264-C ．624+D ．624- 5．如图，四边形ABCD ，4AB BD DA ===，22BC CD ==，现将ABD ∆沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在2[,]33ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为 ( )A ．2268-B ．6224-C ．2268+D ．2264+ 6．已知向量()123a =，，，()246b =---，，，14c =，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为 ( ) A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 7．过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．设点M 是棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ） A ．222 B ．455 C ．2 D ．263二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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华中师大一附中2009—2010学年度第一学期数学独立作业（10）第一卷 新知预习一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分．）1． 异面直线是指 （ D ）A ．不相交的两条直线B . 分别位于两个平面内的直线C ．一个平面内的直线和不在这个平面内的直线D ．不同在任何一个平面内的两条直线2. 如果 //O A O A '',//O B O B '' 那么A O B ∠和A O B '''∠ （ C ） A 相等 B 互补 C 可能相等，可能互补 D 大小无关3. 两条异面直线的距离是 （ C ）A 和两条异面直线都垂直相交的直线 B. 和两条异面直线都垂直的线段 C. 它们的公垂线夹在垂足间的线段长 D. 两条直线上任意两点间的距离 4 异面直线a,b 分别在平面α、β内,α∩β=l 则l 与a 、b 的位置关系是 (B ) A. 与a,b 均相交 B. 至少与a,b 中一条相交C.与a,b 均不相交D. 至多与a,b 中一条相交 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分．） 5．三条直线a 、b 、c ，有命题：（1）若a//b,b//c,则a//c; (2)若a ⊥b,c ⊥b,则a//c;(3)若a//c,c ⊥b,则b ⊥a; (4)若a 与b, a 与c 都是异面直线, 则b 与c 也是异面直线.其中正确的命题是____________ (1) (3) 6．A 、B 是直线a 上两点，直线b 与a 异面，C 、D 是直线b 上两点，AB=8，CD=6，M 、N 是AD 、BC 的中点，且MN=5，则a ,b 所成的角大小为_______________. 90° 7. 若E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG=3，FH=4， 则AC 2+BD 2= . 50 三、解答题（本大题共2小题，满分18分，其中第8题8分，第9题10分．）8. 已知空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,AC=BD 。
求证：EFGH 是 菱形。
9. 如图，已知长方体的棱AB=BC=5，AA 1=5，求:（1）BC 与A 1D 1的距离 （2）C 1D 1与AD 的距离 （3）BC 1与A 1D 1所成角的正切值 （4）BC 1与B 1D 1所成角的余弦值是 解:（1(2 （35(4)6第二卷 旧知反馈一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分．）1. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，设BC+AD=2a ，则MN 与a 的大小关系是（ C ）A 1ABCA ．MN>aB ．MN=aC ．MN<aD ．不能确定2. 两平面l =⋂βα, 若第三个平面γ不经过l, 则三平面α、β、γ把空间分成的部分数为 ( C )A. 8B. 7或8C. 6或7或8D.4或6或7或83. 在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点如果EF 与HG 交于点M, 则（ A ）A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在AC 上，也可能在BD 上D ．M 不在AC 上，也不在BD 上4. 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≤-+00010103012512y x y x y x ，若点A(32，54)的坐标是目标函数z=kx －y 的一个最优解，则实数k 的取值范围是 ( D )A. (－∞，－512)∪(－103，+∞) B. (－∞，－512]∪[－103，+∞) C.(－512，－103)D.[－512，－103] 5. 两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y=-2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为12且x 2-x 1=65，则椭圆C 的方程为（ A ）A ．22143xy+= B ．22186xy+= C ．2211612xy+= D ．22413x y +=二、填空题（本大题共3小题，每小题7分，满分21分．）6. 已知双曲线C 过点A(－3，0)和B(3，0)，它的一个焦点为F(0，－4)，则它的另一个焦点F 1的轨迹方程为___________ . x=0(y≠±4)或162522yx +=1(y≠±4)7. 若曲线0||22=--y x x 与直线0=++n my x 没有公共点，则m _____且n ________. m =0 2(-∈n , 0) 8. 过点M(1,作互相垂直的直线1l 和2l ，1l ，2l 分别与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （[0,2)θπ∈），交于A,C 和B,D 则四边形ABCD 的面积最大值为__________. 5三、解答题（本大题共3小题，满分34分．）9．（10分） 已知椭圆C ：41222yx+=1，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求△AOB 面积的最大值.解：⑴若l ⊥x 轴，不妨设l ：x=3,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1341222y xx 解得⎪⎩⎪⎨⎧±==33y x ,∴A(3，±3)，B(3， 3)∴S △AOB =21·23·3=3.⑵ 若直线l 不与x 轴垂直，设l ：y=kx+m.∵点O 到直线l 的距离为3,∴1||2+k m =3,∴m 2=3(k 2+1)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x mkx y 消去y 得: (3k 2+1)x 2+6kmx+(3m 2－12)=0,∴Δ=12(12k 2－m 2+4)=12(9k 2+1)＞0∴|AB|=222)13()19(122)1(++⋅+k k k ,∴S △AOB =21·222)13()19(122)1(++⋅+k k k ·3=32224)13(1109+++k k k .设t=3k 2+1≥1，则S △AOB =3234342tt t -+=31)(1342134+⋅+-t t=334221134)(+--t ,∴当t=2即k=±33时(S △AOB )max =23.综合⑴、⑵: (S △AOB )max =23.10. (12分) 如图，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴，其顶点A 、B 向平行虚轴的动弦PQ 所张角 PAQ ∠，PBQ ∠互补（1）求双曲线离心率；（2）若双曲线C 与圆13)6()4(:22=-+-y x D 的两交点M 、N 的连线恰好是圆D 的直径，求双曲线C 的方程。
解:（1）由题设知，双曲线方程可设为0(12222>=---a bx ay , )0>b .设P (x 0, y 0)，0(x Q -, y 0) PQ 与y 轴交于E ,∵︒=∠+∠180PBQ PAQ ,∴︒=∠+∠90PBE PAE ,∴1tan tan =∠⋅∠PBE PAE ,即1||||||||0000=+⋅-a y x a y x ,∴12202=-a y x ,又∵12222=-bx a y ,∴122=ab ,∴2222=+==ab a ac e .（2）由（Ⅰ）知双曲线为222a x y =-.设M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)是圆D 与双曲线交点2222222121ax y ax y =-=-∴21212121y y x x x x y y ++=-- 而MN 中点是(4, 6),∴32128==MN k .直线MN ：)4(326-=-x y 代入圆的方程得到13)4(94)4(22=-+-x x ,∴7=x 或1,∴M 点坐标(7, 8)或(1, 4).把(7, 8)代入双曲线方程得 152=a .(1, 1)代入也得152=a ,∴双曲线方程1522=-x y .11．（12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率3e =3.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足QR RS ⊥，当R 点移动时求Q S的取值范围。
解：（1）由3e =23a b =，23ac=得b a ==,∴椭圆1C 的方程为：221:132x y C +=. （2）如图所示，由平面几何性质得2M P M F =，则动点M 的轨迹是以直线1:1l x =-为准线，2F 为焦点的抛物线,∴点M 的轨迹2C 的方程为：24y x =. （3）如图所示，(0,0)Q ，设221212(,),(,)44y yR y S y ,∴222121121(,),(,)44y y y QR y RS y y -==- ,又0Q R R S = .得222121121()()016y y y y y y -+-=,∵12y y ≠,∴21116y y y =--,∴22212125632y y y=++3264≥=当且仅当2121256y y =.即14y =±时取等号,∵Q S==∴当2264y =，即28y =±时，m inQ S= ,故Q S的取值范围为)+∞.)1。