【新教材】空间向量的坐标与空间直角坐标系-人教B版高中数学
高中数学必修二课件-2.4.1 空间直角坐标系2-人教B版
x轴上的点的坐标的特点： y轴上的点的坐标的特点： z轴上的点的坐标的特点： xOy坐标平面内的点的特点： xOz坐标平面内的点的特点： yOz坐标平面内的点的特点：
Ｐ（m，0，０）
Ｐ（０，m，０ ）
Ｐ（０，0，m ） Ｐ（m，n，０ ）Ｐ（m，0，n ） Ｐ（０，m，n
Z
点
D'
C'
关
A'
B'
于
O
，建立空间直角 坐标系，写出长方体各个顶点 的坐标。
Z
A’ B’
A B X
A（0，0，0） A’（0，0，5）
B（12，0，0） B’（12，0，5 ）
D’ C（12，8，0） C’（12，8，5）
C’ D（0，8，0 D）
D’（0，8，5）
Y
C
长方体AC′中， AB=12，AD=8，AA′=5.如图 ，建立空间直角 坐标系，写出长方体各个顶点 的坐标。
zox 面
Ⅱ
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
Ⅴ(+,+,-) Ⅵ(-,+,-) Ⅶ(-,-,-) Ⅷ(+,-,-)
例题选讲:
例1 在空间直角坐标系中，作出点P（3，2，3）.
z
3 2
1
o
1 2 3
x
P（3，2，3 ）
y
12 3
P' (3,2,0)
例题选讲:
例2 长方体AC′中， AB=12，AD=8，AA′=5.如图
(3)与点M关于z轴对称的点 (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z) (5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z) (6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《空间向量的坐标与空间直角坐标系》教学设计第一课时◆教学目标1、在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示..提升学生的数学抽象素养.2、能正确地运用空间向量的坐标,进行向量的线性运算与数量积运算．提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．教学难点：掌握空间向量的坐标运算◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第17-19页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习空间向量的坐标与空间直角坐标系第一课时空间中向量的坐标及坐标运算的知识内容．（2）通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架. 平面向量中,我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量,引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标?这就是本小节我们要研究的内容（板书：空间向量的坐标系与空间直角坐标系第一课时）二、探索新知 第一部分 空间中向量的坐标问题2：如图所示，已知123,,===OA e OB e OC e ,且OADB-CEGF 是棱长为1的正方体,111111-OF E A A DC B 是一个长方体，1A 为OC 的中点，1FO=2,． （1）设1,,==OG a OC b 将向量,a b 都用123,,e e e 表示；（2）如果p 是空间中任意一个向量，怎样才能写出p 在基底{123,,e e e }下的分解式？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：123,=++a e e e 12312,2=-+b e e e 设计意图：问题既是对上一小节空间向量基本定理的检测与巩固,又为引出本小节的空间向量的坐标做了铺垫．追问：根据空间向量基本定理,任意向量p 都可以在基底{123,,e e e }下进行分解;如果123=++p xe ye ze ,那么它的坐标如何表示?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：如果123=++p xe ye ze ,那么它的坐标为（x ，y ，z ）．设计意图：把问题分解,分层次、设梯度来进行研究,培养学生的数学抽象核心素养．2、形成定义一般地,如果空间向量的基底{123,,e e e }中,123,,e e e 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果123=++p xe ye ze ,则称有序实数组(x ,y ,z )为向量p 的坐标,记作p =(x ,y ,z ),其中x ,y ,z 都称为p 的坐标分量.三、初步应用例1已知{123,,e e e }是单位正交基底，分别求出下列空间向量的坐标；（1）12323=++p e e e ；（2）1232=-+-q e e e ；（3）232=--r e e ；（4）0师生活动：学生根据所学知识做出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：（1）(2,3,1)=p ；（2）(1,1,2)=--q ；（3）(0,2,1)=--r ；（4）（0,0,0）设计意图：通过例题的训练，强化学生对概念的理解和简单应用．练习：已知{123,,e e e }是单位正交基底，分别求出下列空间向量的坐标；（1）13-2=+p e e ；（2）2132=-+-q e e e ；（3）3=-r e ；师生活动：学生根据例1的讲解做出解答，并由教师给出答案．预设的答案：（1）(-2,0,1)=p ；（2）(1,1,2)=--q ；（3）(0,0,1)=-r设计意图：通过练习题的训练，强化学生对概念的理解和简单应用．第二部分.空间向量的运算与坐标的关系问题3：与平面向量的坐标类似,空间向量有了坐标之后,向量的相等以及加法运算与它们对应的坐标之间有什么关系?师生活动：学生先由平面向量的坐标运算猜测空间向量的坐标运算，教师给出答案． 预设的答案：假设空间中两个向量,a b 满足111222(,,),(,,)==a x y z b x y z ,则121212,,=⇔===a b x x y y z z 121212(,,)+=+++a b x x y y z z ；121212(,,)+=+++ua vb ux vx uy vy uz vz设计意图：利用向量的加法、减法、数乘等运算来证明结论这种类比的探究对于建立新的数学概念、提出新的数学猜想、发现新的规律起着十分重要的作用,也有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养．追问：能否证明上述结论？师生活动：学生先尝试自己证明，教师给出证明过程．预设的答案：假设空间中两个向量,a b 满足111222(,,),(,,)==a x y z b x y z ，则111213212223,=++=++a x e y e z e b x e y e z e ，则当=a b 时，111213212223++=++x e y e z e x e y e z e 由{123,,e e e }是单位正交基底和空间向量基本定理可知，121212,,===x x y y z z ，反之，结论也成立，这就是说，空间两个向量相等的充要条件是他们的坐标分量相等．111213212223+=+++++a b x e y e z e x e y e z e =112112221323+++++x e x e y e y e z e z e =121122123)()()+++++（x x e y y e z z e ，所以，121212(,,)+=+++a b x x y y z z ．问题4：通过上面的学习，你是否可以得出,||,cos ,⋅〈〉a b a a b 的坐标运算公式？并给出证明？师生活动：学生先尝试自己得出结论并证明，教师给出证明过程．预设的答案：121212⋅=++a b x x y y z z ；21||=⋅=+a a a x211122cos ,||||⋅〈〉==+++a b a b a b x y z x y 证明：又因为{123,,e e e }是单位正交基底，所以1122331223311,0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=e e e e e e e e e e e e ，因此，⋅=a b 111213212223)()++⋅++（x e y e z e x e y e z e=121112221233122112)⋅+⋅+⋅++⋅（x x e e y y e e z z e e x y x y e e122123122131))++⋅++⋅（（y z y z e e x z x z e e 121212=++x x y y z z设计意图：利用向量的数量积等运算来证明结论这种类比的探究对于建立新的数学概念，有利于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养．初步应用例2：已知(2,3,5),(3,3,2)=-=-a b ，求下列向量的坐标；（1）-a b ；（2）2+a b ；（3）5-b师生活动：学生先自行解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：（1）-a b =(2,3,5)-(3,3,2)-5,6,3--=（） （2）2+a b =2(2,3,5)(3,3,2)-1,3,12-+-=（）；（3）5-53,3,2(15,15,10)-=-=--（）b设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，培养学生的数学运算数学学科核心素养．例3：已知(1,0,1),(2,2,0)==-a b ，求,〈〉a b ；师生活动：学生先自行解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：120(2)102⋅=⨯+⨯-+⨯=a b ，2||10=+=a2||2(=+=b ，所以，21cos ,2||||2⋅〈〉===⨯a b a b a b ，因此，,〈〉a b =60． 设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，也为后面学习直线与平面的夹角、二面角等做准备．培养学生的数学运算数学学科核心素养．练习：在例3的条件下，求：（1）⋅a b ；（2）在a b 上正射影的数量；师生活动：学生根据例题思路尝试自己解答，教师给出规范解答过程．预设的答案：（1）⋅a b =2；（2）2设计意图：空间向量坐标运算的简单应用，培养学生的数学运算数学学科核心素养．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是单位正交基底，单位正交分解，坐标，坐标分量？（2）空间向量的坐标运算有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(1)一般地,如果空间向量的基底{123,,e e e }中,123,,e e e 都是单位向量,而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果123=++p xe ye ze ,则称有序实数组(x ,y ,z )为向量p 的坐标,记作p =(x ,y ,z ),其中x ,y ,z 都称为p 的坐标分量.（2）121212,,=⇔===a b x x y y z z 121212(,,)+=+++a b x x y y z z ；121212(,,)+=+++ua vb ux vx uy vy uz vz121212⋅=++a b x x y y z z ；21||=⋅=+a a a x21cos ,||||⋅〈〉==+a b a b a b x设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量坐标运算的有关知识． 布置作业：教科书第25页练习A1,2题．五、目标检测设计1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则3a ＋b 为( )A ．(－2，－3，－2)B ．(2,3,2)C ．(－2,3,2)D ．(4,3,2)设计意图：考查学生对空间向量坐标运算的应用．2.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．设计意图：考查学生对空间向量夹角简单应用．3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．设计意图：考查学生对空间向量坐标概念的应用．参考答案：1．B[3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)．]2．120°[由于AB→＝(－2，－1,3)，CA→＝(－1,3，－2)，所以AB→·CA→＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB→|＝14，|CA→|＝14，所以cos θ＝cos〈AB→，CA→〉＝－714×14＝－12，则θ＝120°．]3．(－1,2,3)[p＝(－1,2,3)．。
人教B版高中数学选修空间向量的直角坐标运算课件
2．空间向量的坐标运算类似于平面两向量的坐标运算， 牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知 识解决立体几何问题提供了有力的工具．
3．运用空间向量的坐标运算证明平行、垂直问题时， 首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标， 进而写出向量的坐标，再结合向量平行、垂直的条件进行 论证，最后转化为几何结论．
[ 例 4] 如 图 所 示 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD—
A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分 别为x，y，z轴建立直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求 点M的坐标．
[分析] 借助于向量垂直、平行坐标运算建立方程， 进一步求解．
[解析] 设 M(x，y，z)，由图可知，A(a,0,0)，B(a， a,0)，C1(0，a，a)，则A→C1＝(－a，a，a)，A→M＝(x－a，y， z)，B→M＝(x－a，y－a，z)．
＝(0，－14，－1)．
∴|C→1G|＝
17 4.
又E→F·C→1G＝12×0＋12×(－14)＋(－12)×(－1)＝38，|E→F|＝ 23，
∴cos<E→F，C→1G>＝|E→E→FF|··C|C→→11GG|＝
51 17 .
即异面直线
EF
与
C1G
所成角的余弦值为
51 17 .
(3)∵F(12，12，0)、H(0，78，12)，
[解析] 以C为坐标原点，CB，CA，CC1所在直线分 别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz.
可得 M(0,0，26)，A1(0， 3， 6)，A(0， 3，0)，B1(1,0， 6)．
∴A→B1＝(1，－ 3， 6)，A→1M＝(0，－ 3，－ 26)． ∵A→B1·A→1M＝0，∴A→B1⊥A→1M. ∴AB1 与 A1M 所成角为 90°.
人教版高中数学B版目录
人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。
高三数学《师说》系列一轮复习 空间直角坐标系与空间向量的运算课件 理 新人教B
解析 由空间两点间的距离公式得|AB|＝
1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2
＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57.
当 x＝87时，|AB|有最小值 57＝ 735， 此时 A(87，277，97)，B(1，272，67)． 点评 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间 两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点 的坐标.
点评 把向量逐步分解，向已知要求靠近，应充分利用向量运
算法则.
变式迁移 3 如图所示，已知正方体 ABCD—A′B′C′D′，点 E、F 分 别是上底面 A′C′和侧面 CD′的中心，求下列各题中 x、y 的值．
(1)AC→′＝x(A→B＋B→C＋CC→′)； (2)A→F＝A→D＋xA→B＋yA→ A′.
(6)空间直角坐标系中，在 xOy 平面上的点的 z 坐标等于 0，所 以可记为(x，y,0)，同理，在 xOz 平面、yOz 平面上的点的坐标可分 别记为(x,0，z)，(0，y，z)．
(7)一些常用对称点的坐标： ①P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―x―O―y对―称→P1(x，y，－z)； ②P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―y―O―z对―称→P2(－x，y，z)； ③P(x，y，z)―关―于―坐―标 ――平―面―zO―x―对―称→P3(x，－y，z)； ④P(x，y，z)――关―于―x―轴―对―称―→P4(x，－y，－z)； ⑤P(x，y，z)―――关―于―y―轴―对―称――→P5(－x，y，－z)； ⑥P(x，y，z)―― 关―于―z轴―对―称 ―→P6(－x，－y，z)； ⑦P(x，y，z)―关―于―原――点―对―称→P7(－x，－y，－z)．
求证：①E、F、G、H 四点共面． ②平面 EG∥平面 AC.
高中数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案 新人教B版选修2-1(2021年整理)
2016-2017学年高中数学3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学3.1.4 空间向量的直角坐标运算学案新人教B版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点）3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．（难点、重点）[基础·初探］教材整理1 空间向量的直角坐标运算阅读教材P89～P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容,完成下列问题．1．单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底｛i，j，k},这个基底叫做单位正交基底．单位向量i,j，k都叫做坐标向量．2．空间向量的直角坐标运算(1）设a＝(a1,a2,a3)，b＝（b1,b2，b3)．向量坐标运算法则a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2,a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2,a3－b3),λa＝（λa1，λa2，λa3），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2）设A(x1,y1，z1)，B（x2，y2，z2),则错误!＝错误!－错误!＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．1．已知向量a＝（4，－2，－4）,b＝（6，－3,2)，则下列结论正确的是（）A．a＋b＝（10，－5，－6)B．a－b＝(2,－1，－6）C．a·b＝10D．2a＝(8，－4，－8)【解析】易验证A，B,C均不正确，D正确．【答案】D2．在空间直角坐标系中，若A(1,3，2)，B（0，2,4）,则向量错误!的坐标为______．【答案】（－1,－1,2）教材整理2 空间向量平行和垂直的条件阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题．a＝(a，a2，a3)，b＝(b1,b2,b3）1平行(a∥b)a∥b（b≠0)⇔a＝λb⇔错误!（λ∈R）垂直（a⊥b）a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)已知向量a＝(1，1，0)，b＝（－1,0，2),且k a＋b与2a－b互相垂直,则k＝（）A．1 B．错误!C。
人教版B版高中数学必修2空间直角坐标系共26页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
人教版B版高中数学必修2空间直角坐 标系
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
新教材高中数学第1章空间向量的坐标与空间直角坐标系学案含解析新人教B版选择性必修第一册
新教材高中数学：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系学习目标核心素养1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点)2．掌握空间向量的坐标运算．(重点)3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点)4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示．1．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝x e1＋y e2＋z e3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p ＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．思考1：若a＝x e1＋y e2＋z e3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？[提示]不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．2．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)若u，v是两个实数，u a＋v b＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝a·a＝x21＋y21＋z21；(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22． 思考2：若向量AB →＝(x ，y ，z )，则点B 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？ [提示] 不一定，A 点与原点重合时是，不重合时不是． 3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 4．空间直角坐标系(1)在空间中任意选定一点O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy ，然后过O 作一条与xOy 平面垂直的数轴z 轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz ．(2)在空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．(3)z 轴正方向的确定：在z 轴的正半轴看xOy 平面，x 轴的正半轴绕O 点沿逆时针方向旋转90°能与y 轴的正半轴重合．(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz 时，一般把x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直．(5)空间中一点的坐标：空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中x 叫做点M 的横坐标(或x 坐标)，y 叫做点M 的纵坐标(或y 坐标)，z 叫做点M 的竖坐标(或z 坐标)．(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy 的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy 的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x ，y ，z )|x ＞0，y ＞0，z ＞0}．5．空间向量坐标的应用(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离OP ＝x 2＋y 2＋z 2． (2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以原点为始点的向量OP →的坐标和点P 的坐标相同． ( ) (2)若a ·b ＝0，则a ⊥b ．( )(3)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点一定是(0，b ，c )．( )(4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标为(a,0，c )．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√[提示] (2)× a ＝0或b ＝0时，a 与b 不垂直． (3)× 坐标应为(a,0,0)．2．(教材P 19例2改编)已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)D [4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．] 3．已知{e 1，e 2，e 3}是单位正交基底，则p ＝－e 1＋2e 2＋3e 3的坐标为________． (－1,2,3) [p ＝(－1,2,3)．]4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是________． 关于x 轴对称 [点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．]空间向量的坐标运算【例1】 (1)如图，在棱长为1的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．①AE →，AG →，AF →； ②EF →，EG →，DG →．(2)已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p ＝AB →，q ＝CD →．求①p ＋2q ；②3p －q ；③(p －q )·(p ＋q )．[解] (1)①AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1．②EF →＝AF →－AE →＝(AA ′→＋AD →＋12AB →)－(AD →＋12AA ′→)＝12AA ′→＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EG →＝AG →－AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AA ′→＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，－12，DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0．(2)由于A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB →＝(2,1,3)，q ＝CD →＝(2,0，－6)．①p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； ②3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； ③(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26．用坐标表示空间向量的步骤(1)(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．[跟进训练]1．已知O 为坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求点P 的坐标，使(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．[解] AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)， ∴AB →－AC →＝(6,3，－4)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )， 则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)． ∵AP →＝12(AB →－AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2.即x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0．空间中点的坐标确定及应用【例211111G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．并求GH的长度．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标，y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12． 由F 作FM ⊥AD 于M 点、FN ⊥DC 于N 点，由平面几何知FM ＝12，FN ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0．点G 在y 轴上，其x 、z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0． 由H 作HK ⊥CG 于K 点，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12，CK ＝18．∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12．GH ＝错误!＝错误!．1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤：[跟进训练]2．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求线段MN 的长度．[解] 如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1． ∵M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得MN ＝错误!＝错误!．空间向量的平行与垂直[1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？[提示] (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直． 2．空间中三点共线的充要条件是什么？[提示] 三个点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)共线的充要条件是x 2－x 1x 3－x 1＝y 2－y 1y 3－y 1＝z 2－z 1z 3－z 1． 简证：三个点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)共线的充要条件为AB →＝λAC →，即向量AB →与向量AC →共线，其坐标对应成比例，从而有x 2－x 1x 3－x 1＝y 2－y 1y 3－y 1＝z 2－z 1z 3－z 1．【例3】 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →． (1)若|c |＝3，c ∥BC →．求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k ．[思路探究] 先求a ，b ，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解． [解] (1)因为BC →＝(－2，－1,2)，且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1．即c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )， 所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0． 即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝2k 2＋k －10＝0．解得k ＝2或k ＝－52．故所求k 的值为2或－52．1．(变条件)若将本例(1)中“c ∥BC →”改为“c ⊥a 且c ⊥b ”，求c ． [解] a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)． 设c ＝(x ，y ，z )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝9，x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0解得x ＝2，y ＝－2，z ＝1或x ＝－2，y ＝2，z ＝－1， 即c ＝(2，－2,1)或c ＝(－2,2，－1)．2．(变条件)若将本例(2)改为“若k a －b 与k a ＋2b 互相垂直”求k 的值． [解] ∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)． 所以k a －b ＝(k ＋1，k ，－2)，k a ＋2b ＝(k －2，k,4)．∵(k a －b )⊥(k a ＋2b )， ∴(k a －b )·(k a ＋2b )＝0，即(k ＋1，k ，－2)·(k －2，k,4)＝(k ＋1)(k －2)＋k 2－8＝0，解得k ＝－2或k ＝52．故所求k 的值为－2或52．解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a ＝(x ，y ，z )． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．利用坐标运算解决夹角、距离问题【例4】 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．[思路探究] 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．[解] (1)证明：如图所示，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz ，易知E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，H ⎝⎛⎭⎪⎫0，78，12．∵EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，B 1C →＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴EF →·B 1C →＝12×(－1)＋12×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝0，∴EF →⊥B 1C →，即EF ⊥B 1C ．(2)由(1)易知C 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，－1， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12，∴|C 1G →|＝174，|EF →|＝32，EF →·C 1G →＝12×0＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－1)＝38，∴cos〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|＝5117，即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117． (3)由(1)知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12， ∴FH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，12，．即FH 的长为418．通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便. [跟进训练]3．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值．[解] 如图，以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz ．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN →|＝1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为3．(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3．又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010，即BA 1→与CB 1→夹角的余弦值为3010．1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则3a ＋b 为( )A ．(－2，－3，－2)B ．(2,3,2)C ．(－2,3,2)D ．(4,3,2)B [3a ＋b ＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)．]2．在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( )A ．(－1,3，－5)B ．(1,3,5)C ．(1，－3,5)D ．(－1，－3,5)B [P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标为(1,3,5)．]3．点P ⎝⎛⎭⎪⎫66，33，22到原点O 的距离是( ) A ．306 B ．1C ．336D ．356 B [PO ＝错误!＝1．]4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是________． 75[由于k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， 2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为两向量互相垂直，则有(k －1)×3＋k ×2＋2×(－2)＝0，解得k ＝75．] 5．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [由于AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，所以AB →·CA →＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB →|＝14，|CA →|＝14，所以cos θ＝cos 〈AB →，CA →〉＝－714×14＝－12， 则θ＝120°．]。
人教B版高中数学选择性必修第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
答案:D
(2)向量a=(2,-3, 3 ),b=(1,0,0),则cos<a,b>=
.
·
解析:cos<a,b>=||||=
1
答案:2
2×1+0+0
22 +(-3)2 +( 3) 2 × 12 +02 +0 2
数乘
λa
λa=(λx1,λy1,λz1)
数量积
a·b
a·b=x1x2+y1y2+z1z2
激趣诱思
知识点拨
特别地,
(1)如果μ,v是两个实数,那么
μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2).
(2)|a|= · =
·
12 + 12 + 12 .
(3)cos<a,b>=|||| =
5
解得 k=2 或 k=- .
2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.判断空间向量垂直或平行的步骤.
(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的关系判断两向
量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或 1 = 1 = 1
3
所以 3a-3=-a,解得 a=4,所以点 P 的坐标为
由题意可设点 Q 的坐标为(b,b,0),
1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系(共2课时)高二数学(人教B版2019选择性必修第一册)
因为D是AB的中点，所以D(1，1，0),
同理可得E(0，1，2)，
所以DE= (0 − 1)2 +(1 − 1)2 +(2 − 0)2 = 5
B1
C
A
x
O
B y
当堂练习
1.(多选题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4
，AA1=3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立
五、对称点
在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有
P1(x,-y,-z)
• 点P关于x轴的对称点是_______
P2(-x,y,-z)
• 点P关于y轴的对称点是_______
P3(-x,-y,z)
• 点P关于z轴的对称点是_______
P4(-x,-y,-z)
• 点P关于原点的对称点是_______
使得n⊥c，且n⊥d.
解:(2)设n=(x，y，z)
− − + = 0
∙=0
则n⊥c，且n⊥d. ⇔
⇔
2 − 2 + 6 = 0
∙=0
取z=1，则x=-1，y=2，
可得满足条件的一个非零空间向量n=(-1,2,1)
当堂练习
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，
则Ԧ ∙ = (11 + 12 + 13) ∙ (21 + 22 + 23)
=1212+1222 + 1232 + (12 + 21)1 ∙ 2
+(12 + 21)1 ∙ 3+(12 + 21)2 ∙ 3
=12+12 + 12
人教版B版高中数学必修2空间直角坐标系共26页
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
高中数学必修二课件-2.4.1 空间直角坐标系3-人教B版
在长方体OABC DABC中， OA 3，OC 4，OD 2, 写出所有点的坐标.
z
2 D'(0, 0, 2)
C '0,4,2
3,0,2 A'
B '(3, 4, 2)
O 0,0,0
4y
3
x A(3, 0, 0)
C (0, 4, 0) B (3, 4, 0)
四. 空间点的对称问题
P3 (1, 1,1) z
z
P1(1, 1,1)
o
x
P2 (1,1,1)
P(1,1,1)
y
P3 (1,1, 1)
五. 空间点的对称问题
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(5)与点M关于平面xOy的对称点: (x,y,-z) (6)与点M关于平面yOz的对称点: (-x,y,z) (7)与点M关于平面zOx的对称点: (x,-y,z)
在如图的空间直角坐标系中, 每格表 示 1 个长度单位, 写出标有字母的各 点的坐标.
z
A
B
D
C
E
G
F
H
MO
xQ N
y
P S
R
课堂小结
1.空间直角坐标系的建立(右手系) 2.空间直角坐标系（原点，坐标轴，坐标平 面） 3.空间中点的坐标（p (x,y,z)) 4.空间点的对称问题(关于谁对称，谁不变，其余相反)
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
点P的 位置
原点O x轴上A y轴上B z轴上C
坐标形 式 (0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点P的 xOy面 yOz面 zOx面 位置 内D 内E 内F
高中数学：311《空间向量坐标》课件(新人教B版选修
VS
性质
向量积满足交换律和分配律，即 $mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$和 $(lambdamathbf{A}) times mathbf{B} = lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) = mathbf{A} times (lambdamathbf{B})$。
定义
两个向量的数量积的几何意义是它们 在夹角处的投影的乘积。
性质
数量积为正值时，两向量夹角为锐角 ；数量积为负值时，两向量夹角为钝 角；数量积为零时，两向量垂直。
03
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积的定义与性质
定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的 向量积是一个向量，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$，其模长为 $|mathbf{A} times mathbf{B}| = |mathbf{A}| cdot |mathbf{B}| cdot sin theta$，其中$theta$为$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$之间的夹角。
混合积的几何意义
表示三个向量共同围成的平行六面体的体积。如果$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) > 0$，则表示$mathbf{A}$、$mathbf{B}$和$mathbf{C}$的顺序 与平行六面体的相对顺序一致；如果$mathbf{A} cdot (mathbf{B一致。
04
向量在几何中的应用
向量在解决平面几何问题中的应用
平行与垂直
利用向量判断两条直线是否平行 或垂直，以及判断两条直线是否