2009年中考数学复习课件第二章第四课时一元二次方程根的判别式
中考数学复习《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》
专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。
九年级数学中考复习课件：专题一元二次方程
知识 结构 一般情势 ax2+bx+c=0（a≠0）
一 元 二 次 方
解法
直接开平方法 (x a)2 bb 0
配方法 公式法
x2
bx
b 2
2
x
b 2 2
cc
0
x b b2 4ac 0
2a
因式分解法 (x a)(x b) 0
程
根的判别式： b2 4ac
（2）3x²- y -1=0
（4）x
+
1 x
=0
例2：已知方程 2x m 1 2x 3 是关于x的一
元二次方程，则m=__________
【变式训练】
关于x的方程(a 1) xa2 2a1 x 5 0
是一元二次方程，则a=__________
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法 2. 配方法
根与系数的关系：x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
应用 实际应用
思想方法 转化思想；整体思想;配方法、换元法
判断是否是一元二次方程的条件： 一元、二次、整式方程
ax2+bx+c=0：是一元二次方程的条件： a≠0
例：1、判断下列方程是不是一元二次方程
（1）4x- 1 x²+
2
3 =0
（3）ax²+ｂx+c=0
关键：方程的两边同时加上一次项系数一半的平方 注意：如果二次项系数不是1的要先把二次项系数转化为1
• 二.一元二次方程的解法 • 1．直接开平方法
2. 配方法 3. 公式法
基本步骤：
x= -b b2 4ac（b2 4ac 0） 2a
中考数学总复习考点知识讲解课件30---一元二次方程及其应用
C．x2－x＋1＝0
D．x2＝1
百变四：已知方程系数关系，判断方程根的情况 4．(2016·河北)a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2 ＋bx＋c＝0的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
【解析】 ∵(a－c)2＝a2＋c2－2ac＞a2＋c2，∴ac＜0.∴在方程ax2＋bx＋ c＝0中，b2－4ac≥－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数 根．故选B.
【自主解答】 解：(1)四 x＝ (2)x2－2x－24＝0， 移项，得x2－2x＝24， 配方，得x2－2x＋1＝24＋1， 即(x－1)2＝25， 两边开平方，得x－1＝±5， ∴x1＝6，x2＝－4.
解一元二次方程的注意点
(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定 a，b，c的值，否则易出现符号错误； (2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为 0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以含有未知数 的相同因式； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增 根．
知识点二 一元二次方程的解法
x＝b b2 4ac 2a
知识点三 一元二次方程根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．判别式 的符号决定了方程根的情况，即
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个 _不__相__等__的实数根；
(2)b2－4ac_＝__0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程__没__有___实数根．
【分析】由每个月的平均增长率相同，可分别表示二月份和三月份的工业 产值，再结合第一季度总产值为175亿元列方程即可． 【自主解答】由平均每月增长的百分率为x，则二月的工业产值为50(1＋x) 亿元，三月的工业产值为50(1＋x)2 亿元，则根据题意可得方程：50＋ 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175，故选D.
一元二次方程根与系数关系复习课件
应用
通过根的和与积，可以快 速求解一元二次方程的根 。
根的判别式与系数的关系
判别式
应用
一元二次方程的判别式等于方程的一 次项系数平方减去四倍的常数项除以 二次项系数。
通过判别式与系数的关系，可以判断 方程的根的情况，进而解决实际问题 。
判别式与系数的关系
判别式的值可以判断一元二次方程的 根的情况，如有两个实的过程中，要注意归纳总结，将知识点串联起来形成知识网 络，有助于加深理解和记忆。
积极参与课堂讨论
在课堂上要积极参与讨论，通过与老师和同学的交流，可以发现自 己的不足并及时纠正。
THANKS
感谢观看
高阶习题
总结词
考察创新思维
VS
详细描述
题目难度较大，需要学生具备较高的数学 素养和创新能力。这类题目通常会涉及到 一些较为复杂的数学问题，需要学生通过 创新思维和数学方法的综合运用来解答。
05
总结与回顾
重点回顾
根与系数的关系
一元二次方程的根的和等于方程 的一次项系数除以二次项系数所 得的商的相反数；根的积等于常 数项除以二次项系数所得的商。
根与系数关系的理解
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其根的和等于-b/a，根的积等于c/a，但在使用时需要 注意a≠0且Δ≥0。
根的性质的运用
一元二次方程的实根具有对称性，但需要注意这个性质只适用于实根，不适用于虚根。
学习建议
强化练习
通过大量的练习题来巩固对一元二次方程根与系数关系的理解和 应用，特别是对于易错点和难点要重点练习。
判别式
总结词
判别式 Δ = b^2 - 4ac 是用于判断一元二次方程解的个数的 工具。
详细描述
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
一元二次方程复习课件
O
B
Q C
（3）x(x-2)+x-2=0
(4) x² +3x+2=0
综合练习：使用不同方法解题。
3 x 3 5 x( x 3 )
解：方法一(配方法)： 整理，得 2x2＋ 3x＝9， 化二次项系数为 1，得 x2＋
2
3 3 3 3 2 9 2 75 配方，得 x ＋ x＋ ＝ ＋ ，即x＋ ＝ ， 2 2 16 4 16 4
效果检测
6.把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式,在 方程的两边需同时加上的式子是 9 2 2 9 2 2 2 2 A. 9m B. 9m x C. m D. m x
4
4
7.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是 A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2 8.已知两数的和是4,积是1，则此两数为 .
例7. 4x² ＋4x＋10＝1－8x 4x² +12x+9=0 a=4,b=12,c=9 12 122 4 4 9 3 x1, 2 2 4 2 1.整理成一般式； 2.找系数a,b,c; 3.带入求根公式计 算。
5.因式分解法 例8.（1）x² -2x=0 （2）(x-4)² =(5-2x)²
(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 两个相等 实数根； 没有 实数根． (3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
注意： 只有一元二次方程，才有根的判别式.在逆用判别式 时，一定要保证二次项系数不等于零.
例9.当m为何值时，方程 m 1 x 2mx m 3 0
x 1 3 的解相同。 x 1
一元二次方程及其应用复习课件
4.（20页9题）
B
5.(28页1题）
C
6.(28页2题）
A
7.（28页4题）
解：
8.（ 28页3题）
9.（29页7题）
75
10.（29页8题）
11：已知关于 x 的方程 x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求 出以此两根为边长的直角三角形的周长．
防错 使用根与系数的关系时注意：在方程有实数根 提醒 的前提下考虑。
考点5
一元二次方程的应用
等量关系
应用类 型
设 a 为原来的量，m 为平均增长率，b 为连 增长率 续两次增长后的量，则( a(1＋m)2＝b ) ， 问题 当 m 为平均下降率时，则（ a(1－m)2＝b ） 利率 (1)本息和＝( 本金＋利息 ) 问题 (2)利息＝( 本金×利率×时间 ) (1) 单件利润＝( 售价－进价 ) 销售利 (2) 总利润＝( 单件利润×销售量 ) 润问题 (3) 利润＝( 进价×利润率 )
2
2
2
考点3
一元二次方程的根的判别式
根的 判别 式定 义 判别 式与 根的 关系 防错 提醒 关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的 根的判别式为 b2－4ac
2
一元 二次 方程 根的 判别 式
两个不相等 的实数根； (1)b2－4ac>0⇔方程有____________ 2 (2)b －4ac＝0⇔方程有___________ 两个相等 的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程________ 没有 实数根
12：一元二次方程 mx2－2mx＋m－2＝0， (1)若方程有两实数根，求 m 的取值范围； (2)设方程两实数根分别为 x1，x2，且|x1－x2|＝1， 求 m 的值． 分析：本题考查了一元二次方程根的判别式和一 元二次方程根与系数的关系，解题的关键是理解一元 二次方程根与系数的关系．
人教版中考数学专题课件：一元二次方程
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一元二次方程
利用因式分解法解一元二次方程时，当等号两边含有相 同的因式时，不能随便先约去这个因式，否则会出现失根的 错误，如：解方程 2(x－3)＝3x(x－3)．
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一元二次方程
变式题 [2012· 佛山] 用配方法解一元二次方程 x2－2x －3＝0 时， 方程变形正确的是 A．(x－1)2＝2 C．(x－2)2＝1 B．(x－1)2＝4 D．(x－2)2＝7 ( B )
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一元二次方程
考点2 一元二次方程的四种解法
直接开 适合于 x2＝a 或(x＋a)2＝b(b≥0)形式的方程． 平方法 ①化二次项系数为 1；②把常数项移到方程的另一边； ③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把 配方法 方程整理成(x＋a)2＝b 的形式； ⑤运用直接开平方法解 方程． 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，且 b2－4ac≥0 时，则 x
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一元二次方程
探究三 一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
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一元二次方程
例 3 [2013· 北京] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋ 2k－4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
－（－10）± 64 x＝ ，∴x1＝1，x2＝9. 2×1
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九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式公开课课件省市一等奖完整版
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
2. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0) 有两个不相等
的实数根，则b2－4ac满足的条件是 ( ) B
A．b2－4ac＝0
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
把方程ax2+bx+c = 0(a≠0) 配方后得到：
x2ba2b24a42ac
由于a≠0，所以 4 a 2 ＞0 ，因此我们不难发现：
（1）当
b24ac>0时，b
2 4ac 4a 2
>0.
由于正数有两个平方根，所以原a c , x 2 b b 2 a 2 4 a c .
D．b2－4ac≥0
2.3 一元二次方程根的判别式
教学目标
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推 理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
新课引 入
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（2）
当
b24ac=0时，b2 4ac
4a 2
= 0.
由于0的平方根为0，所以原方程的根为 x1x22ba，
此时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当
b24ac<0时，b
2 4ac 4a 2
< 0.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以 原方程没有实数根.
课堂练习
一元二次方程复习课件
=16-4b=0 b 4 a 1, b 4, c 4
以a, b, c为边的ABC为等腰三角形。
二、强化训练
2
5. 已知关于x的方程x ＋(m＋2)x＋2m－1＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？ 并求出此时方程的解．
2
（三）配方法解一元二次方程
完全平方 形式来 配方法是通过配成__________ 解一元二次方程的方法． 1.填空： （ 1） 2 2
5 2 2 （2）4x 2 4x ___ 1 (2x __) 1
x
1 1 2 ( ) 2 x ___ 5 5 ( x __)
2.用配方法解方程： 2 （1）x －6x－1＝0
学习目标
(1)、理解一元二次方程的定义及解的定义。 (2)、会用因式分解法、直接开平方法、配方 法、公式法解一元二次方程。 (3)、会用一元二次方程根的判别式及根与系 数的关系解题。
方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数 ax²+bx+c=0（a0） 求知数的最高次数是2
2 化成 x m m 0 x m 直接开平方法
方程则m ≠－ 2
。
m2 2
2、若方程 (m 2) x
(m 1) x 2 0
是关于x的一元二次方程，则m的值为
2
。
3、已知关于x的一元二次方程（k-1)x2-6x+k2k=0的一个根为0，则k= ； 2
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程
x1 2 2, x2 2 2
(六)因式分解法解一元二次方程
《一元二次方程》复习课件
3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式
是 (x－1)2=3；此方程的根是 x 1 3 .
4、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为
(D )
A.(x+4)2=7
B.(x+4)2=－9
C.(x+4)2=25
D.(x+4)2=－7
第二环节 基础知识重现
5、解下列一元二次方程 (1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解) (3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)
(20－16+x)((200－10x)=1350 解得x1=11，x2=5 当x=11时，200－10x=200－10×11=90; 当x=5时，200－10x=200－10×5=150 答：当每支钢笔涨价11元或5元时，月利润可达1350元. 当每支钢笔涨价11元时，应进货90支；当每支钢笔涨价 5元时，应进货150支.
3、王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有
到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435
次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同
x(x 1) 435
学共有x人，则根据题意，可列方程： 2
.
4、初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自
己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班
6、用一块面积为888cm2的矩形材料做一个无盖的长 方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为高的2倍，盒 子的宽和高应为多少？
第四环节：巩固提高
7、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接
到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北
中考数学大一轮数学复习专题ppt课件：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为________．
(1)b2－4ac>0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________实数
根，即x1，2＝________． (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________相等
1 2 3
13
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热点看台 快速提升
易错题跟踪 1. (2014·湖北襄阳)若正数a是一个一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a 是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是____5____． 2. (2014·湖北鄂州)一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求m的取值范围． (2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m.
课后总结
1
学生：同伴之间相互交流学习心得。
2 师生：共同归纳本课学习知识。
16
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作业
1
教科书本课课后习题。
2
课时达标册本课练习习题。
17
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下课啦！
18
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谢谢 指导
2022
19
中考大一轮复习讲义◆ 数学 20
D. m≤12
1
5. (2013·山东滨州)对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2－2(k＋1)x－k2＋2k
－1＝0 的根的情况为( C )
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
初三上数学课件(华东师大)-一元二次方程根的判别式
知识点一：根的判别式
对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)我们称“ b2－4ac ”为一元二次
方程的根的判别式．
1．方程 x(x＋8)＝－16 的根的判别式的值为 0 .
2．若方程 x2－4x＋m＝0 的根的判别式的值为 4，则 m＝ 3 ，方程的根为
x1＝1，x2＝3
.
知识点二：利用判别式判断一元二次方程根的情况
会根据方程根的情况求未知系数的值或范围． 【例 2】已知关于 x 的方程(a＋2)x2－(2a－1)x＋a＝0 有两个不相等的实数 根，求 a 的取值范围． 【规范解答】∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，且 a＋2≠0， 即[－(2a－1)]2－4(a＋2)a＞0，且 a＋2≠0.解得 a＜112且 a≠－2. 【方法归纳】方程有两个不相等的实数根隐含它是一元二次方程，易忽略 a≠0 的条件．
14．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－21)＝0. (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形 ABC 的一边长 a＝4，另两边 b、c 恰好是这个方程的两个 实数根，求△ABC 的周长． (1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×4(k－21)＝4k2＋4k＋1－16k＋8＝4k2－12k ＋9＝(2k－3)2≥0，故这个方程总有两个实数根； (2)解：若底边为 a＝4，则 b＝c，Δ＝(2k－3)2＝0，∴k＝23，x1＝x2＝2，有 b＋c＝a 不能构成三角形；若腰为 a＝4 时，显然 4 是该方程的一个根，代 入可求 k＝25，从而解得 x1＝2，x2＝4，∴三边为 4,4,2，周长为 10.
3．一元二次方程 x2－x－1＝0 的根的情况为( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
初中数学中考综合复习---9一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是： △＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25-∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k ∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
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D.k>1
y x 2m
3.(2008年·桂林市)如果方程组 数解，那么m的值为
y2 3x
只有一个实 (A)
A. -3/8
B.3/8 C. -1
D.-3/4
课前热身
4.(2008年·南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= 2 .
5.(2008年·上海市)关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
∵m为整数∴m=2，从而n=3. 16
22
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项二次方程x2+2x+4=0的根的情况
是
(D)
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
2.(2008年·安徽) 方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根
3.(2008年·长沙)下列一元一次方程中，有实数根的是 (C )
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
第二章第四课时：
一元二次方程 根的判别式
要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
课时训练
4.(2008年·湖北黄冈)关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有
实数根，则下列结论正确的是
( D)
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数
B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数
D.当k≤1/4时，方程有实数根
5.若一n元二次方程 x2 mx n 0 有两个相等的实数根，
解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
典型例题解析
【例1】 已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0， 当m为何非负整数时： (1)方程只有一个实数根；当m-2=0即m=2时 x=3/2,成立 (2)方程有两个相等的实数根；m=3 (3)方程有两个不等的实数根. m=0，1
那么 m 的值为
(C )
A.-4 B.4
C. 1/4 D.- 1/4
【例2】 已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0 有两个相等的实根，且满足2a-b=0. (1)求a、b的值； a=1,b=2 (2)已知k为一实数，求证：关于x的方程 (-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.
将a=1,b=2代入方程得x2+2kx+2k-3=0. 又∵Δ′=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+8＞0∴方程有两个不等的实根.
ax2 2 b2 c2 x 2( b c) 2a
有两个等根，试判断△ABC的形状.
解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
典型例题解析
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值.
课前热身
1.(2008年·西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0
有实数根，则m的取值范围是
(D )
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
2.(2008年·昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
( A)
A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n.
又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，
方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，
∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0.
把4n=m2+8m-8代入上两式得 20 m 45
典型例题解析
【例3】 (2008年·黑龙江)关于x的方程 kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围；k＞-1/2，且k≠0. (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
不存在，理由略。
【例4】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程