与三角形有关的中线、中位线的证明题
三角形中位线定理2
矩形
（ 4） 顺次连结 正方 ） 顺次连结正方 形 各边中点所得的四 边 形 是 ___________ ？ 5）顺次连结梯形 梯形各边 （5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ______________？ ？ （6）顺次连结等腰梯形 ）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是__________？ ？
E
G C
猜想：顺次连结四边形各边中 猜想： 点所得的四边形是什么形状与 原四边形的 有关？ 有关？
B
F
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1、当原四边形的对 、当原四边形的对 角线相等时 角线相等时，会有 什么变化？ 什么变化？ 2、当原四边形的对 、当原四边形的对 角线垂直时 角线垂直时，会有 什么变化？ 什么变化？
（ 1） 顺次连结 对角线相等 ） 顺次连结对角线相等 的四边形各边中点所得的四 边形是什么？ 边形是什么？ （ 2） 顺次连结 对角线垂直 ） 顺次连结对角线垂直 的四边形各边中点所得的四 边形是什么？ 边形是什么？ （3）顺次连结对角线相等且 ）顺次连结对角线相等且 垂直的四边形各边中点所得 垂直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？ 的四边形是什么？
A
那么 ⑴ DE∥BC， ∥ ，
E
D
⑵ DE=1/2BC 定理的主要用途： 定理的主要用途： ① 证明平行 ② 证明一条线段是另一条线段 倍或1/2 的2倍或 倍或 解决“中点问题” ③ 解决“中点问题”
B
C
必做题： 必做题：P93 页 1 、2 、3 自选一个顺次连结特殊四边形中点的问 总结形成文字命题，并加以证明。 题，总结形成文字命题，并加以证明。 自选一种方法证明三角形中位线定理。 自选一种方法证明三角形中位线定理。 选做题： 选做题：用图形计算器探索梯形中位线 的性质。 的性质。
专题22 三角形中位线定理应用问题(解析版)
专题22 三角形中位线定理应用问题1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.对三角形中位线的深刻理解（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14 【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，1214∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC =EF AB =DE AC =12，∴△DEF ∽△ABC ，∴S △DEFS △ABC =（DE AC ）2＝（12）2=14， ∵等边三角形ABC 的面积为1，∴△DEF 的面积是14.【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A ．【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ＝BC ＝＝5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 为△BCD 的中位线，∴OE ＝CB ＝2.5。
【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。
【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．【解析】1．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB ，解得EF ＝2，则DH =12EF ＝1． 【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB ，即EF 6=BE 3BE ，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是 cm ．【答案】8．【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线结合【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A ．10B ．5C ．8D ．62．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-24．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．已知，如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AH 是高，已知AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，7cm 3CH BH -=，则△DHE 的周长为________cm ．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________．9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．三、解答题(共0分)12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度数；②求BN的长．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC边AB的中点M，连接ME，MD．特例感知：（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，则ME与MD的数量关系为______，∠EMD=______；（2）如图2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，请猜想ME与MD的数量关系以及∠EMD的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α时，连接DE，请猜想△DEM的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．18．（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．答案与解析【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A．10 B．5 C．8 D．6【分析】根据三角形中位线定理求出AC ，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，若DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BF 是AC 边上的中线，∴BF =12AC =10，故选：A ． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．2．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】先求出152DF AB AD BD ====，然后证明DE BC ∥，根据平行线分线段成比例可得=AE EC ，再根据三角形中位线定理求出DE 即可．【解答】解：AF BF ⊥，90AFB ∴∠=︒，10AB =，D 为AB 中点，152DF AB AD BD ∴====， ABF BFD ∠∠∴=，又BF 平分ABC ∠，ABF CBF ∠∠∴=，CBF DFB ∠∠∴=，∴DE BC ∥，∴=AD AE DB EC，182DE BC ∴==， 853EF DE DF ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明DE BC ∥是解答本题的关键．3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-2【答案】C【分析】取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．利用三角形的中位线定理求出DT ，利用直角三角形的中线的性质求出MT ，再根据DM MT DT ≥-，可得结论．【解答】解：如图，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．∵AD DB =，AT TC =，∴122DT BC ==． ∵CE AF ⊥，∴90AMC ∠=︒，∴132TM AC ==， ∴点M 的运动轨迹是以T 为圆心，TM 为半径的圆，∴321DM TM DT ≥-=-=，∴DM 的最小值为1，故选：C ．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72 【答案】D【分析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】∵CE=5，△CEF 的周长为18，∴CF+EF=18-5=13．∵F 为DE 的中点，∴DF=EF ．∵∠BCD=90°，∴CF=12DE ，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=2212DE CE -=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC－CE)=12(12－5)=3.5，故选D．【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．5．已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，7 cm 3CH BH-=，则△DHE的周长为________cm．【答案】496##186【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DH，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵点D是AB的中点，∴DH=12AB=12×6=3cm，∵D、E分别是BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=12×8=4cm，∵BE=EC，CH-BH=73 cm，∴HE=76 cm，∴△DHE的周长=DH+DE+HE=496cm，故答案为：496．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．【答案】3【分析】根据含30°的直角三角形的性质求出CD ，根据直角三角形的性质求出CD ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12．∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，∴EF ＝12CD ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．【答案】96【分析】连接,AC BD ，交于点O ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得10AD =，再根据三角形的中位线定理可得16AC =，然后根据菱形的性质和勾股定理可得12BD =，最后利用菱形的面积公式即可得．【解答】解：如图，连接,AC BD ，交于点O ，,5DE AB EF ⊥=，且点F 为边AD 的中点，210AD EF ∴==，点,F G 分别为边,AD DC 的中点，8FG =，216AC FG ∴==，四边形ABCD 是菱形，1,8,22AC BD OA AC BD OD ∴⊥===， 226OD AD OA ∴=-=，12BD ∴=，1116129622ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形， 故答案为：96．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________． 【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB =2DE ，再由三角形中位线的性质可得FG 的长；【解答】解：∵Rt △ABC 中，点E 是AB 的中点，DE =1，∴AB =2DE =2，∵点F 、G 分别是AC 、BC 中点，∴112FG AB ==，故答案为：1【点评】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．【答案】①②③④【分析】先根据SAS 定理证出ADF CDE ≅，再根据全等三角形的性质可得,DF DE ADF CDE =∠=∠，然后根据等腰直角三角形的判定即可判断①；先根据等腰直角三角形的性质可得45DEF DFE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等可得DNF BNE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理即可得判断②；连接BM DM ,，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12BM DM EF ==，再根据线段垂直平分线的判定即可判断③；取BE 的中点O ，连接MO ，先根据三角形中位线定理可得11,2MO BF MO BF ==∥，再根据等腰三角形的三线合一可得1452BCM BCD ∠=∠=︒，然后在Rt MOC 中，利用勾股定理即可得．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，,90,45AB AD CD BC A ABC BCD ADC CBD ∴===∠=∠=∠=∠=︒∠=︒，在ADF △和CDE 中，90AD CD A DCE AF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS ADF CDE ∴≅，,DF DE ADF CDE ∴=∠=∠，90EDF CDE CDF ADF CDF ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，DEF ∴为等腰直角三角形，结论①正确；45DEF DFE ∴∠=∠=︒，又45,CBD DNF BNE ∠=︒∠=∠，180180DNF CBD BN E E DF ∴︒-∠=︒-∠-∠∠-，即FDB FEC ∠=∠，结论②正确；如图，连接BM DM ,，M 为Rt DEF △和Rt BEF △斜边EF 上的中点，12BM DM EF ∴==， 又BC CD =，∴直线MC 是BD 的垂直平分线，结论③正确；如图，取BE 的中点O ，连接MO ，1121,22MO BF MO BF ∴==⨯=∥，90MOC ABC ∴∠=∠=︒，直线MC 是BD 的垂直平分线，BC CD =，1452BCM BCD ∴∠=∠=︒（等腰三角形的三线合一）， Rt COM ∴是等腰直角三角形，且1OC MO ==，222MC MO OC ∴=+=，结论④正确；综上，正确结论的有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．【答案】972【分析】取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，可得BE ＝EG ，再利用三角形中位线定理得BC ＝2DG ，DG BF ∥，利用ASA 证明△GDE ≌△BFE ，得DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，从而解决问题．【解答】解：取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，∵AB ＝4BE ，∴BE ＝EG ，∵D 为AC 边上的中点，G 为AB 的中点，∴DG 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2DG ，DG BF ∥， ∴∠GDE ＝∠F ，在△GDE 和△BFE 中，GDE F DEG FEB GE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△BFE （ASA ），∴DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，∴BC ＝6，∴CF ＝9，由勾股定理得，AC ＝8，∴CD ＝4，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，DF ＝22224997CD CF +=+=，∵∠ACB ＝90°，EF ＝DE ，∴CE ＝12DF ＝972， 故答案为：972． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点E 是DF 的中点是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．【答案】3m 7≤≤【分析】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，得到QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，求得QM 、CM 的长，在△QMC 中利用三角形三边关系得到CQ 的范围即可．【解答】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，∴QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，∴122QM AP ==，12CM AB =， 在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，∴226810AB =+=，∴CM =5，∵点P 是平面内一个动点，∴点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，∴C 、Q 、M 可以三点共线，∴CM -MQ ≤CQ ≤CM +MQ ，∴3m 7≤≤，故答案为：3m 7≤≤．【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等知识，分析点Q 的运动是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN ；(2)若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2．①求∠BMN 的度数；②求BN 的长．题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF//AC，根据平行线的性质证明结论；AC，等量代换证明结论．（2）根据直角三角形的性质得到EH＝12【解答】（1）∵D、F分别是△ABC两边中点，∴DF是△ABC的中位线，AC，∴DF//AC，DF＝12∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，AC，∴EH＝12由（1）得，DF＝12 AC，∴DF＝EH．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．∴EBFG是平行四边形，连接CG，∵G是OD的中点，而CO=12AC=12BD=AB=CD，∴CG⊥OD，而F是BC的中点，∴GF=12BC=BF，∴平行四边形EBFG是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．段CD上取一点G，使DG=DE，∵∠FDE=∠FDG，DF=DF，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴∠DFE=∠DFG=45°，EF=GF，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠GFC=90°，∠GFC+∠FGC=90°，∴∠EFB=∠FGC，∵∠EBF=∠FCG=90°，EF=GF，∴△EBF≌△FCG（AAS），∴EB=FC，BF=CG，设EB=FC=x，则22BF CG BC x x==-=-，∴222222(42)(22)DE AE AD x DG=+=-+=，∵222()(4222)DG CD GC x=-=-+，∴222 (4222)(42)(22)x x-+=-+，解得：423x，即423BE=；（3）解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接MH，NH，∵点A（0，4），B（4，0），D（2，6），∴42,210AB AC==，∵H为AC的中点，N为BC边的中点，∴1122,1022NH AB HM AC====，∵HM-NH≤MN≤HM+NH，∴MN的取值范围为10222210MN-≤≤+．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC 边AB 的中点M ，连接ME ，MD ．特例感知：（1）如图1，若AC =BC ，∠ACB =60°，∠CAE =∠CBD =45°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，则ME 与MD 的数量关系为______，∠EMD =______；（2）如图2，若∠ACB =90°，∠CAE =∠CBD =60°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC 是任意三角形，∠CAE =∠CBD =α时，连接DE ，请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）ME=MD ，∠EMD=90°；（2）ME=MD ，∠EMD=120°；（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α．【分析】（1）如图1，证明△EAM ≌△DBM ，可得EM=DM ，先根据三角形的中位线得：11FM AC MG BC 22===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12EF AC =，得EF=FM ，且顶角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得结论；（2）如图2，证明△MEF ≌△DMG ，可得EM=DM ，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°；（3）如图，作辅助线，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，同理可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1，证明△MEF ≌△DMG ．则EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ，代入可得结论．【解答】解：（1）ME=MD ，∠EMD=90°；理由是：如图1，∵AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，在 Rt △BCD 和Rt △ACE 中，∠CAE=∠CBD=45°，∴AC=2AE，BC=2BD，∴AE=BD，∵M是AB的中点，∴AM=BM，∵∠EAM=45°+60°=105°，∠DBM=45°+60°=105°，∴∠EAM=∠DBM，∴△EAM≌△DBM，∴EM=DM，∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FM=MG=12AC=CF=CG，∴四边形CFMG是菱形，∴∠FMG=∠BCA=60°，Rt△ACE中，∵F是斜边AC的中点，∴EF=12AC=FM，∵∠EFM=90°+60°=150°，∴∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，故答案为EM=DM，90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；证明：∵F，G，M是△ABC的三边AC，BC，AB的中点，∴FM=12BC=CG，FM∥BC，MG=12AC=CF，MG∥AC．∴四边形CFMG是平行四边形，∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．∵∠AEC=∠BDC=90°，F，G是AC，BC的中点，∴EF=AF=FC=12AC，CG=BG=DG=12BC．∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，∠4=∠1+∠CDG=2∠1.∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，∴∠1=∠2=30°．∴∠3=∠4=60°．∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．证明：取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，同（2）证法相同，可证出EF=MG，DG=FM，∠3=2∠2，∠4=2∠1．∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=α，∴∠1=∠2=90°-α．∴∠3=∠4=2（90°-α）．∴∠EFM=∠3+∠AFM=∠3+∠ACB，∠DGM=∠4+∠BGM=∠4+∠ACB．∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG．∴△DEM是等腰三角形；∵∠EMD=∠FME+∠FMG+∠DMG，由（2）知∠FMG=∠ACB，∴∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB．∵∠MDG+∠DMG=180°-∠DGM=180°-（∠4+∠ACB ）=180°-2（90°-α）-∠ACB=2α-∠ACB．∴∠EMD=2α-∠ACB+∠ACB=2α．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，并运用了类比的思想依次解决问题．∆中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(1)如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四形；(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据ASA求得BDE≅CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，从而证得AM=AN；（3）在（2）的条件下根据SSS 即可证明MED ≅NDF ，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD =∠FND ． （1）如图①，∵D 为BC 的中点，∴BD =CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE =∠DCH ，在BDE 与CDH 中，DBE DCH BD CD BDE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDE ≅CDH (AAS )，∴ED =HD ，∴四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②连接FD 、ED ，延长ED 交CF 于点H ，∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，）可知BDE≅CDHRt EHFRt AEBRt ACF在MED与NDF∴MED≅NDF。
三角形中位线定理专练
三角形中位线定理专练1．如图，在△ ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥ CD，垂足是E，F 是CB的中点．求证：BD=2EF．2．如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△ EFG是等腰三角形．3．在△ ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．4．如图，BE，CF是△ ABC的角平分线，AN⊥ BE于N，AM⊥ CF于M，求证：MN∥ BC．5．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ ABD、∠ ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠ DHF=∠ DEF．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD 的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．8．如图，M是△ ABC的边BC的中点，AN平分∠ BAC，BN⊥ AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ ABC的周长．三角形中位线定理专练参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（2014?山东模拟）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD 的中点，再求证EF为△BCD的中位线．【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且AE⊥CD，所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：E为CD的中点，又因为F是CB的中点，所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，因此EF=BD，即BD=2EF．【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理．2．（2015春?天津校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】由于E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，利用中位线定理，GF=AD，GE=BC，又因为AD=BC，所以GF=GE．【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．∴GF=AD，GE=BC．又∵AD=BC，∴GF=GE，即△EFG是等腰三角形．【点评】本题通过给出的中点，利用中位线定理，证得边相等，从而证明等腰三角形，是一道基础题．3．（2015秋?青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定．菁优网版权所有【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，MN∥BC且MN=BC，从而得到EF∥MN且EF=MN，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断．【解答】解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．4．（2015春?泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE 于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】延长AN、AM分别交BC于点D、G，根据BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG可知∠BAN=∠BGN故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AM=GN．同理AM=DM，根据三角形中位线定理即可得出结论．【解答】证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．5．（2015春?富顺县校级月考）如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．【解答】证明：∵AM⊥BM，∴∠AMB=∠DMB=90°，∵BM平分∠ABD，∴∠ABM=∠DBM，在△ABM与△DBM中，，∴△ABM≌△DBM（asa），∴AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，∴MN=DE=（DB+BC+CE）=（AB+BC+AC）．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（2014?宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题；几何综合题．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BA C，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．（2014?丹阳市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．【考点】三角形中位线定理；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．【解答】证明：取AD的中点G，连接EG，FG，∵G、F分别为AD、CD的中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GF=AC，同理可得，GE=BD，∵AC=BD，∴GF=GE=AC=BD．∴∠GFN=∠GEM，又∵EG∥OM，FG∥ON，∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，∴OM=ON．【点评】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．8．（2013?永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。
10、三角形的中位线定理
三角形的中位线定理【知识要点】问题1、什么是三角形的中线？什么是三角形的中位线？三角形有几条中位线？问题2、A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？例（1）：如图已知，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB、AC中点，求证：DE∥BC，且DE=1/2BC．三角形的中位线定理：．应用：已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、H、M分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：（1）AC和HG的关系；（2）AC和EF的关系；（3）四边形EFHM是平行四边形．【例题讲解】考点1、中位线定理的概念例题1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长是多少？训练1、如图, E、F分别是ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB 的关系是 .考点2、中位线定理解决周长相关的问题例题2、如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．40训练1、如果一个三角形的周长为10，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（）A．4B．5C．6D．12例题2-1、如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②∥PAB的周长；③∥PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∥APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）训练1、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．10 D．11训练2、如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.训练3、如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________.已知第一个三角形的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，以此类推，则第50个三角形的周长为（）A．（）50B．（）51C．（）49D．（）48考点3、中点四边形问题例题3、证明：顺次连接四边形各边重点所得到的四边形一定是（）；思考：什么情况下得到的平行四边形可以成为矩形？原来四边形的两条对角线连接四边中点所得到的四边形矩形菱形正方形平行四边形练习1.△ABC中，AB=3，BC=5，CA=7，顺次连结三边中点得△DEF的周长为_________.2．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形3.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A．矩形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形4.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【及时训练】1、如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）3．在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分△ABC．交DE于点F．AB=8，BC=6，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．44．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm5．如图所示，在△ABC中，△A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求△BHC的度数．6.如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分△BAC，CD△AD，点E是BC的中点，若AB=12，AC=10，求DE的长．7.如图，在△ABCD中，AB=3，AD=4，E是CD的中点，则EO等于（）A．3B．4C．1.5D．28.如图，在△ABC中，AD=DE=EF=FB，DG△EH△FI△BC，已知BC=a，则DG+EH+FI的长是（）A．B．C．2a D．9．（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有．（2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，△ABC=50°，△BCD=40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB=4，CD=6，求EF的长．【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1．如图，在∥ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∥A=50°，∥ADE=60°，则∥C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，∥ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）A．6B．7C．8D．125．如图，∥ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）A．2B．3C．4D．56．如图，等边∥ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∥DEC的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．如图∥ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8B．9C．10D．118．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）AB=24m B．MN△AB C．△CMN△△CAB D．CM：MA=1：25.如图，D是△ABC内一点，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．【课后练习】【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.。
完整版三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1 •连结三角形2 •三角形的中位线于第三边，并且等于3 •一个三角形的中位线有__________ 条.4. 如图△ ABC中，D E分别是ABAC的中点，则线段CD>^ ABC的_______ ,线段。
丘是厶ABC ___________5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点（1）如果EF= 4cm,那么BC= cm 如果AB= 10cm,那么DF= __________________________ cm（2） ________________________________ 中线AD与中位线EF的关系是____________________________6 .如图1所示，EF是厶ABC的中位线，若BC=8cm贝UEF=_________________________________________________cm7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 __________________ cm.8.在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为 ____________ .9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10. 如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（）A . 15mB . 25mC . 30mD . 20m11. 已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形，？再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( )A 1 1 1 1A、 B C D、2008 2009 20082 2009212.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC BC上的点，E,F分别是AP, RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定13.如图4,在厶ABC中, E, D, F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（）A . 10B . 20C . 30D . 40A__________ D的线段叫做三角形的中位线.14. 如图所示，口ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC.15. 已知矩形ABCD中，AB=4cm, AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；16 .如图所示，在△ ABC中，点D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求证:EF=1BD.217.如图所示，已知在口ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.18.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、arc CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.19.如图，点E, F, G, H分别是CD, BC, AB , DA的中点。
北师大版八年级下册数学 6.3三角形中位线定理的认识(含解析)
三角形中位线定理的认识一、选择题1、Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm2、如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DFB．EF=ABC．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC3、如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定4、如图，已知四边形ABCD中，R、P 分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D 移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长与点P的位置有关5、如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（）A．15米B．20米C．25米D．30米6、如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE为（）A．6B．4C．3D．27、如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形共有（）个．A．2B．3C．4D．58、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三边的中点，那么平移△ADE可以得到（）A．△DBF和△DEF B．△DBF和△ABCC．△DEF和△CEF D．△DBF和△EFC9、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC10、如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，那么的值是（）A．B．C．D．11、等边三角形的一条中线与一条中位线的比值是（）A．3：1B．：2D．：1C．：12、如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．不等边三角形13、如图，ABCD是等腰梯形，对角线AC与BD交于O点，AD=2，M、N分别是OB、OC的中点，AN与DM互相平分，则BC等于（）A．1B．2C．3D．414、如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（）A．点A落在BC边的中点B．∠B+∠1+∠C=180°C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC15、三角形的三条中位线长分别为6，8，10，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连DE、CE．则下列结论中不一定正确的是（）A．ED∥BC B．ED⊥AC C．∠ACE=∠BCE D．AE=CE二、填空题17、如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是__________m.18、如图，若D，E分别是AB，AC中点，现测得DE的长为10米，则池塘的宽BC是__________米。
1.中线定理(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为
1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
不用掌握12.西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角17.推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等18.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等19.推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项20.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项21.推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等斯特瓦特定理有三角形ABC，D为角A平分线与BC边的交点，则有以下定理：AB （2）·DC＋AC（2）·BD－AD（2）·BC=BC·BD·DC托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。
(完整版)三角形角平分线、中线、高线证明题
(完整版)三角形角平分线、中线、高线证明题2．证题的思路：找夹角（）性质 1、全等三角形的SAS已知两边 找直角（ HL ）对应角相等、对应边相找第三边（ SSS等。
）2、全等三角形的若边为角的对边，则找 随意角（ AAS）找已知角的另一边（ ）已知一边一角SAS 对应边上的 高对应相边为角的邻边 找已知边的对角（）AAS等。
找夹已知边的另一角（）ASA3、全等三角形的找两角的夹边（）对应角均分线相等。
已知两角ASA4、全等三角形的 找随意一边（）AAS对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形 周长相等。
( 以上能够简称 : 全等三角形的对应元素相等 ) 7、三边对应相等的两个三角形全等。
（ SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)全等三角形问题中常有的协助线的作法常有协助线的作法有以下几种：1) 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折” ．2) 碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转” ．3) 碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的均分线， 结构全等三角形， 利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法， 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明． 这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特别方法：在求相关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各极点的线段连结起来，利用三角形面积的知识解答．三角形协助线做法图中有角均分线，可向两边作垂线。
八下 9.5 三角形的中位线 含答案
9.5三角形的中位线一. 选择题1.如图，DE是^ABC的中位线，过点C作CF〃BD交DE的延长线于点F,那么下列结论正确的选项是（A. EF=CFB. EF=DEC. CF<BDD. EF>DE假设DE是^ABC的中位线，延长DE交^ABC的外角ZACM的平分线于点F,那么线段DF的长为（）A. 7B. 8C. 9D. 10 3.如图，在^ABC 中，ZACB=90°, AC=8, AB=10, DE 垂直平分AC 交AB 于点E,那么DE的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3 4.如图，在Z\ABC中，点D, E分别是边AB, AC的中点，AF±BC,垂足为点F,ZADE=30°, DF=4,那么BF 的长为（）A. 4B. 8C. 2扼D. 4扼5.如图，在RtAABC中，ZA=30°, BC=1,点D, E分别是直角边BC, AC的中点，那么DE的长为（）A. 1B. 2C. VS D・ 1+V36.在中，AB=3, BCM, AC=2, D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE,那么四边形DBEF的周长是（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11二. 填空题7.如图，在ZkABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8,那么DE=8.如图, AB、CD*目交于点0, 0C=2, 0D=3, AC〃BD, £「是左0DB的中位线,且EF=2,那么AC的长为ZACB=90°, M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D,使CD=^BD,连接DM、DN、MN.假设AB=6,那么DN=310.如图，ZkABC的面积为12cm2,点D、E分别是AB、AC边的中点，贝I」梯形ADBCE的面积为 ___ cm2.11.在Z\ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么Z\ADE的面积与Z\ABC的面积的比是___ .12.如图，在ZXABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA ±的中点，且AB=6cm, AC=8cm,那么四边形ADEF的周长等于____ c m.13.如图，EF为ZXABC的中位线，AAEF的周长为6cm,那么Z\ABC的周长为__ cm.14.如图，在RtAABC 中，ZA=90°, AB=AC, BC=20, DE 是ZXABC 的中位线，点M是边BC上一点，BM=3,点N是线段MC ±的一个动点，连接DN, ME, DN 与ME相交于点0・假设左0MN是直角三角形，那么DO的长是三. 解答题15.如图，/XABC, AD平分ZBAC交BC于点D, BC的中点为M, ME〃AD, 交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证：AE=AF；(2)求证：BE=1 (AB+AC).216.如图，^ABC中，D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连结DE (保存作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，假设DE=4,求BC的长.17.如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°, AC=AD, M, N分别为AC, CD的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM=MN；(2)ZBAD=60°, AC 平分ZBAD, AC=2,求BN 的长.18.如图，在Z\ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF〃AB,交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当AABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？A19. D、E分别是不等边三角形ABC （即AB尹BC尹AC）的边AB、AC的中点.0 是Z\ABC所在平面上的动点，连接OB、0C,点G、F分别是OB、0C的中点，顺次连接点D、G、F、E.（1）如图，当点。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
中考复习之三角形中位线定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半二、常见的题型题型一:求线段的长例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm. （2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长 15练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（）A.5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm【答案】B3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A.50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（）A. 20B. 16C. 12D. 8 【答案】D题型二：证明线段的倍分问题例1.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,BE=CF.(1)求证: △BDE ≌△CDF;(2)当∠B=60°时,G 、H 分别是AB 、AD 的中点,求证:GH=14AB证明：(1)∵AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵AD 为中线，∴BD=CD 又∵EB=FC ∴△BDE ≌△CDF(2)∵AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形 ∴BC=AB ∵G 、H 分别是AB 、AD 的中点 ∴GH=21BD=14BC 又∵BC=AB 所以GH=41AB. 练习：如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,E 为AB 中点,连结CE 、CD ， 求证：CD=2EC证明：延长CE 使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE ∵∠AEC=∠BEF E 是AB 中点，即AE=BE CE=EF∴△ACE ≌△BFE(SAS) ∴BF=AC ∠FBE=∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC∵BD=BA∴BF=BD∵BC=BC∠FBC=∠DBC∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD∴CD=2CE题型三：常规辅助线的添加一：利用角平分线+垂直，构造等腰三角形如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【解析】1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C． 3 D．7【答案】A3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．【答案】3如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A.3 B.5 C.2.5 D.1.5【答案】D二：取中点构造中位线如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，20,110,,,CBD BDA E F P ∠=︒∠=︒分别是AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.证明：连接PE ，20,11090CBD BDA EPF ∠=︒∠=︒⇒∠=︒，易得EF =.三：借助平行四边形的性质1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC+BD=24cm ，△OAB 的周长是18cm ，则EF 的长为________cm ．【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=1/2AB=3厘米．题型三借助平行四边形的性质边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、例3.如图，（1）E,F为ABCFH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。
三角形的中位线
如图1，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
ED C B A图12. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图1，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，12DE BC 。
3. 三角形中位线定理的证明教材上的证明方法如图2所示，延长DE 到点F ，使EF=DE ， FE D C B A图2连接CF ，进一步证明四边形DBCF 是平行四边形。
请写出定理的证明过程。
（1）三角形中位线的定义是判定的主要方法。
（2）如图5，运用定理“过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”来判定线段是三角形的中位线. ED C B A图5已知，△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE ∥BC ，试说明线段DE 是△ABC 的中位线。
5.三角形中位线定理的逆定理三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
”那么它的逆命题为______________________________________________________________________。
这个逆命题是真命题还是假命题？请作图并证明。
6.关于运用三角形中位线定理的题目特点：含有“中点”、“中线”之类的字眼，或者通过线段相等、平行四边形、等腰三角形三线合一等方式间接说明是中点，并且“中点”的数量一般不止一个。
方法：根据题目中的“中点”寻找或构造中位线模型，如下图。
ED A7.中点四边形：依次连接四边形各边的中点所得的四边形称为中点四边形。
1.画一个四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
2.画一个对角线相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
3.画一个对角线互相垂直的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
4.画一个对角线互相垂直且相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
三角形的中位线
探索
DE是△ABC的中位线，猜想DE 与BC有怎样的位置关系和数量关
系？为什么？
A
D
E
F
三角形的中位线平 行于第三边，并且等于 它的一半。
B
此性质的特点： 因为DE为ΔABC的中位线 1 所以①DE∥BC，②DE= 2 BC
↓ ↓
C
位置关系
数量关系
A、B两点被池塘隔开，如何才
能知道它们之间的距离呢？
A
D
E
B
F
C
A
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做 三角形的中位线
C
B
F
三角形的中位线与三角形的中线 的区别是什么？
答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是 顶点.
A
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
D B
E
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的 中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
H D A E B F G C
AB、AD的中点即EH是的△ABC中位线
所以EH//BD、EH BD
1 同样可以得到FG//BD、FG= 2 BD
所以EH//FG、EH=FG 所以四边形EFGH是平行四边形
议一议：
顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？
如果将“矩形”改成“菱形”呢？ 结论： ⑴顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 ⑵顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 ⑶顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 A B两点的距离是多少？为什么？
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
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P是BC 的中点。
求证：PM=PN
M
A
E
FN
B
P
C
3、已知：如图，△ABC中，点D是AB的中点，
MF ⊥AC,ME ⊥BC,垂足为E,F ,且∠MAF=∠MBE
求证:DE=DF
A
G
D
F
M
H
B
E
C
4、已知：如图，△ABC中，点D是BC的中点，
分别延长AC,AB到点E,F ,使DE=DF.过 E,F
与三角形中线、中位线有关的证明题
Hale Waihona Puke 1、已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别
以AB，AC为边向外侧作等边△ABM和等边
△CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF。 求证：DE=EF
M
A
N
D
G
HF
B
E
C
M
A
N
D
F
B
E
C
2、已知：如图，△ABC中，分别以AB，AC为
斜边在△ABC外侧作等腰直角三角形ABM和CAN，
分别作 AB，AC的垂线相交于点P.
求证: ∠PBE=∠PCF
A
B
D
C
E
F
GH
P
5、已知：△ABC的两条高BD，CE交于点F， 点M，N，分别是AF，BC的中点，连接ED，MN. (1)在图（1）中证明MN垂直平分ED； (2)如图(2),若∠EBD=∠DCE=45°,判断以M，E，N，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论. A
A
M E
M E
D
D
F
F
B
N
CB
C N