中考复习：三角形
2024年中考数学复习 全等三角形的六种模型全梳理(原卷+答案解析)
全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形是中考数学中的一个重要内容，考查学生对于三角函数的理解和运用能力。
下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。
一、基本概念1.直角三角形：一个内角为直角（90°）的三角形。
2.角的三要素：角的名称、角的度数、角的符号（顺时针为负，逆时针为正）。
二、特殊角度的三角函数值1.0°和90°的三角函数值：正弦函数sin：sin0° = 0，sin90° = 1；余弦函数cos：cos0° = 1，cos90° = 0；正切函数tan：tan0° = 0，tan90° 不存在。
2.30°和60°的三角函数值：正弦函数sin：sin30° = 1/2，sin60° = √3/2；余弦函数cos：cos30° = √3/2，cos60° = 1/2；正切函数tan：tan30° = 1/√3，tan60° = √3三、三角函数在特定角度的性质1. 正弦函数sin的性质：当角A的终边经过点(x,y)时sinA = y/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
2. 余弦函数cos的性质：当角A的终边经过点(x,y)时cosA = x/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
3. 正切函数tan的性质：当角A的终边经过点(x,y)时tanA = y/x其中x不等于0。
4.三角函数的周期性：三角函数sin、cos、tan均是周期函数，其中sin和cos的周期是360°或2π弧度，tan的周期是180°或π弧度。
四、特殊角的三角函数值的计算1.特殊角度的三角函数值：根据三角函数在标准位置上的定义，可以计算出不同角度的三角函数值。
2.夹角的三角函数值：两个夹角相等的三角函数值相等，例如sin(A+B)=sinC。
中考数学专题复习：专题五 三角形
专题五三角形【专题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等．对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；三角形在中考中的比重约为15%～20%.【解题方法】解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【知识结构】【典例精选】：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )A．3 B．4 C．6 D．5【思路点拨】过点D作DF⊥AC，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可求出AC的长．答案：A已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．【思路点拨】(1)由AB＝AC及AE∥BC易得∠B＝∠CAE，然后由AD是中线可得∠ADB＝∠CEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)由(1)可得AE＝BD，结合已知条件AE∥BC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等．【自主解答】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°. ∴∠CEA＝∠ADB.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)．(2)解：AB∥DE且AB＝DE.由(1)△ABD≌△CAE可得AE＝BD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB＝DE.规律方法：在求线段，角，的长度，度数或证明线段，角相等时，利用全等三角形的对应边，角相等，可将对应边，角进行转化，从而建立已知与未知之间的联系.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)试证明△ABC是直角三角形；(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明) 【思路点拨】(1)分别求出△ABC三边的长度，利用勾股定理进行判断；(2)分别求出△DEF三边的长度，计算△DEF与△ABC三边长度的比值，进而作出判断；(3)观察图形，所求作的三角形满足其三边与△ABC三边的比值相等即可．【自主解答】(1)证明：根据勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5；显然有AB2＋AC2＝BC2，根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．(2)解：△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得DE＝42，DF＝22，EF＝210.∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝522.∴△ABC∽△DEF.(3)解：如图，△P2P4P5即为所求．规律方法：在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据三组对应边的比相等，得两三角形相似.如图，港口B位于港口O正西方向120 km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以v km/h的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【思路点拨】(1)根据题意可知∠CBO＝60°，∠COB＝30°，∴∠C＝90°，在Rt△BOC中，根据cos ∠CBO＝BCBO，求出BC，根据“路程＝速度×时间”求出时间即可；(2)根据题意游船共行驶了3个小时，所以行驶路程为 3v km，设相会点为点E，作CD⊥OA，分点E在线段OD上和在射线DA上两种情况，解非直角三角形OCE，根据DE＝90－3v或DE＝3v－90，利用CD2＋DE2＝CE2，求出速度v和路程OE即可．【自主解答】解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cos 60°＝120×12＝60(km)，∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为6060＝1(h)．(2)过点C作CD⊥OA，设相遇处为点E.则OC＝OB·cos 30°＝603(km)，CD＝12OC＝303(km)，OD＝OC·cos 30°＝90(km)．分两种情况：当点E在线段OD上时，如图①，DE＝(90－3v)km，∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，∴(303)2＋(90－3v)2＝602，∴v＝20或v＝40.∵90－3v>0，∴v＝20.当点E在射线DA上时，如图②，DE＝(3v－90)km，∵CE＝60 km，CD2＋DE2＝CE2，∴(303)2＋(3v－90)2＝602，∴v＝20或v＝40.∵3v－90>0，∴v＝40.∴当v＝20 km/h时，OE＝3×20＝60(km)；当v＝40 km/h时，OE＝3×40＝120(km)．规律方法：解决此类问题的关键在于将斜三角形转化为直角三角形，而转化的关键是作出三角形的某一条高.【能力评估检测】一、选择题1．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( C )A．45° B．54° C．40° D．50°2．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( B )A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对3．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在( A )A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为( B )A. 3 B．1 C. 2 D．25.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连结FB，则tan∠CFB的值等于( C )A.33B.233C.533D．5 36.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是( C )A．2海里 B．2 sin 55°海里C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里7．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12.正方形DEFG的顶点E，F在△ABC 内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( ) A．1B．2C．122－6D．62－6【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，BH＝12BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝182－62＝122，易知D，G分别是AB，AC的中点，则I为AH的中点，IH＝62，DG＝12BC＝6，则正方形DGFE的边长FG＝6，于是点F到BC的距离＝62－6.故选D.答案: D8．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s【解析】根据题意，设当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x s，①若△ADE∽△ABC，则ADAB＝AEAC，∴x6＝12－2x12，解得x＝3；②若△ADE∽△ACB，则ADAC＝AEAB，∴x12＝12－2x6，解得x＝4.8.∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3 s或4.8 s．故选A.答案: A二、填空题9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝15 °.10．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为13.11．如图，已知AC＝BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是答案不唯一，如AB＝CD或∠ACB＝∠DBC(填一个即可)．12．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为 .【解析】在△ABC中，∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△AFH≌△ACH.∴AF＝AC＝3.∵AB＝5，∴BF＝2.∵AF＝AC，CH⊥AE，∴FH＝HC.∵AD为△ABC的中线，∴DH为△CBF的中位线，DH＝12BF＝1.答案: 1三、解答题13．已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.(1)如图①，连结BD，AF，则BD________AF(填“＞”“＜”或“＝”)．图①(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连结BH，GF.求证：BH＝GF.图②(1)解：＝(2)证明：如图，将△DEF沿FE方向平移，使点E与点C重合，设ED平移后与MN相交于R.∵MN∥BC，RC∥EH，∴∠GRC＝∠RHE＝∠DEF，∠RGC＝∠GCB. ∴∠GRC ＝∠RGC，∴CG＝CR.又∵MN∥BF，CR∥EH，∴CR＝EH.∴CG＝EH.由平移的性质得BC＝EF，∴BC＋CE＝CE＋EF，即BE＝CF.又∵∠HEB＝∠GCF，∴△BEH≌△FCG(SAS)，∴BH＝FG.14．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82， tan 35°≈0.70)解：如图，过点A′作A′H⊥OA于点H，由旋转可知，OA′＝OA＝80 cm，在Rt△OA′H中，OH＝OA′cos 35°≈80×0.82＝65.6(cm)．∴AH＝OA－OH＝80－65.6＝14.4≈14(cm)．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14 cm.15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．(1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF；(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值．(1)证明：如图，连结AC，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠B＝60°.∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC.又∵△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)解：当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4 3.理由如下：由(1)知，S△ABE＝S△ACF.∴S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE ＝S△ABC＝12×4×4×sin 60°＝4 3.△CEF的面积发生变化，其最大值为 3.∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝43－34×AE2，当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin 60°，即AE＝4×32＝23，∴S△CEF的最大值为43－34×(23)2＝ 3.。
初中三角形总复习+中考几何题证明思路总结
初中三角形总复习【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。
4.⋅S SABE∆基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160° ∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选C例3. 如图，已知：在∆ABC 中，AB AC ≤12，求证：∠∠C B <12。
中考解直角三角形知识点整理复习
x tan 21°
8 3
x
；
B
D
第 19 题图
在
Rt△CEG 中， tan
CGE
CE GE
，则 GE
tan
CE CGE
x tan 37°
4 3
x
∵ EF FG EG，∴ 8 x 50 4 x ． x 37.5 ，∴ CD CE ED 37.51.5 39 （米）．
3
3
答：古塔的高度约是 39 米． ························ 6 分
a2 b2
a 由 Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c2 - a2
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA
A bC 一
和
角 一锐角
锐角，对边 （如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如 c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
2、测量物体的高度的常见模型
35º 40
CB
D
面 CD 有多长
º
(结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º ≈，cos40º ≈，sin35º ≈，tan35º ≈
（2012）20.（8 分）
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分 6 分）
解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．
数学模型
所用 应测数据
工具
α β x
h1
h
皮尺
αβ a
h x
侧倾 器
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β
高度
数量关系
2023年中考数学专题复习——三角形、全等三角形、等腰三角形自我评估
2023年中考数学专题复习——三角形（一）自我评估（时间：分钟满分：100分）（班级：姓名：得分：）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A. 6 cm，8 cm，15 cmB. 7 cm，5 cm，12 cmC. 4 cm，6 cm，5 cmD. 8 cm，4 cm，3 cm2. 如图，AB∥DF，AC⊥CE于点C，BC与DF交于点E.若∠A=20°，则∠CEF等于（）A. 110°B. 100°C. 80°D. 70°第2题图第3题图第4题图第5题图3. 将一副三角尺按如图方式重叠，则∠1的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°4. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A. AB=BCB. EC=BFC. ∠A=∠DD. AB=CD5. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE∥BD，交CB的延长线于点E.若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD，交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A. BC=ECB. BC=BEC. EC=BED. AE=EC第6题图第7题图第8题图第9题图7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°8. 如图，在边长为12的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD=12CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF，DF，M，N分别为EF，DF的中点，连接MN，则MN的长为（）A. 3B. 2C. 23D. 49. 如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上10. 如图，等边三角形A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于点D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边三角形A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于点D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边三角形A3C3C4……且点A1，A2，A3，…，A n都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△A n C n C n+1（n≥2，且n为整数）的周长和为（）A.11212nn---B.212nn-C.1212nn--D.1212nn+-第10题图二、填空题（每小题4分，共24分）11. 如图，∠1=∠2，BC=EC，请补充一个条件：能使用“AAS”方法判定△ABC≌△DEC.第11题图第12题图第13题图第14题图12. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是.13. 如图所示是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3= °.14. 如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE.若∠EDM=84°，则∠A= °.15. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下列问题：如图，BD是ABCD的对角线，点E在BD 上，DC=DE=AE，∠1=25°，则∠C的大小是.第15题图第16题图16. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD=AC，E是AD延长线上一点，且AE=AB，过点E作EF ⊥AB于点F，则以下结论：①BD=EC；②∠ACE+∠BED=180°；③EC∥AB，④2AF=AC+AB；⑤△BEC 为等腰三角形.其中正确的有.（填序号）三、解答题（共46分）17.（8分）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E.求证：BC=ED.第17题图18.（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE.第18题图19. （12分）图中是一副三角尺，含45°角的三角尺Rt△DEF的直角顶点D恰好在含30°角的三角尺Rt△ABC 斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于点M.（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于点N，求证：AM=DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于点H，作HN⊥AB于点N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由.①②第19题图20.（14分）（1）已知，△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°，如图①所示，求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否成立，并说明理由.①②第20题图三角形（一）自我评估一、1. C 2. A 3. C 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A 9. D 10. C二、11. ∠A=∠D 12. 1 13. 135 14. 21 15. 105°16. ①②④⑤三、17. 证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD. 又AB=AE，∠B=∠E，所以△ABC≌△AED.所以BC=ED.18.（1）解：因为AB=AC，所以∠B=∠C=42°.因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°.所以∠BAD=90°-∠B=90°-42°=48°.（2）证明：因为AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠CAD.因为EF∥AC，所以∠F=∠CAD.所以∠BAD=∠F.所以AE=FE.19.（1）证明：因为∠ACB=90°，D是AB的中点，所以CD=AD=BD.因为∠B=90°-∠A=60°，所以△BCD是等边三角形.因为CN⊥DB，所以DN=12 DB.因为∠EDF=90°，△BCD是等边三角形，所以∠ADG=30°.因为∠A=30°，所以GA=GD.因为GM⊥AB，所以AM=12AD.所以AM=DN.（2）解：因为DF∥AC，所以∠FDB=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°.所以∠ADG=60°.因为∠B=60°，AD=DB，所以△ADG≌△DBH.所以AG=DH.因为GM⊥AB，HN⊥AB，所以∠GMA=∠HND=90°.因为∠A=∠FDB，所以△AMG≌△DNH.所以AM=DN.20.（1）证明：如图①，过点D作DF∥BC，交AC于点F.因为△ABC是等腰三角形，∠A=60°，所以△ABC是等边三角形.所以∠ABC=60°.因为DF∥BC，所以∠ADF=∠ABC=60°，∠FDC=∠DCE.所以△ADF是等边三角形.所以AD=DF，∠AFD=60°.所以∠DFC=180°-60°=120°.因为∠EBD=180°-60°=120°，所以∠DFC=∠EBD.因为∠DCE=∠DEC，所以∠FDC=∠DEC，ED=CD.所以△DBE≌△CFD.所以EB=DF.所以EB=AD.①②第20题图（2）解：EB=AD成立.理由如下：如图②，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F.同（1）可证△A D F是等边三角形.所以AD=DF，∠A FD=60°.因为∠DBE=∠A BC=60°，所以∠DBE=∠A FD.因为∠FD C=∠DCE，∠DCE=∠DEC，所以∠F DC=∠DEC，ED=CD.所以△DBE≌△CFD.所以EB=DF.所以EB=AD.。
2022年中考数学专题复习：三角形
2022年中考数学专题复习：三角形一、单选题1．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 交于点G ．若6BG =，则EG =（ ）A ．4.5B ．4C ．3.5D ．3 2．若一个三角形的三边长分别是15，20，25，则这个三角形最长的边上的高等于( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 3．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB B =，6AC =，M 为BC 上的一动点，ME AB ⊥于E ，MF AC ⊥于F ，N 为EF 的中点，则MN 的最小值为（ ）A ．4.8B ．2.4C ．2.5D ．2.6 4．如图，在边长为1的正方形网格中，平行四边形ABCD 的顶点在格点上，平行四边形EFGH 的顶点E 、F 在边CD 上，且AD ∥EH ， AD ＝EH ，AG 交CD 于点O ，则S 阴影为（ ）A ．7平方单位B ．8平方单位C ．14平方单位D ．无法确定5．如图，等腰直角△ABC 中，∥B ＝90°，AB ＝BC ＝10cm ，将△ABC 沿AC 方向平移得到△DEF ，则两个三角形重叠部分△DGC 的面积为（ ）2D．2A．18cm2B．25cm2C．6．如图，在∥ABCD中，∥DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∥ABC的平分线.利用尺规在∥ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（）B．3C．5D．A．7．如图，AD为ABC的中线，E为AD的中点，连接BE．已知ABC的面积为12，则△的面积等于（）ABEA．2B．3C．4D．68．如图，在∥ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∥ABD，∥ACE，∥BCF都是等边三角形，下列结论中：∥AB∥AC；∥四边形AEFD是平行四边形；∥∥DFE＝150°；∥S四边形AEFD＝8．错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．如图，∥ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∥BAC，过点D作DM∥AB于点M，则BM＝_____．10．如图，在Rt∥ABC中，BD是∥ABC的平分线，DE∥AB于E，则DE与DC的关系是__________．11．如图，在∥ABC中，AB=AC，∥A=54°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AB于D．交AC于E，则∥DCB的度数为___度．12．如图，在ΔABC中，∥C=90°，∥ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=13cm，BC=12cm，则点D到直线AB的距离是_______CM．13．如图，AD，AE为∥ABC的高线，角平分线，DF∥AE于点F．当∥DAC＝21°，∥B＝25°时，∥EDF的度数为______．14．如图，点D ，E 是ABC ∆的边AB ，AC 上的点，已知F ，G ，H 分别是DE ，BE ，BC 中点，连接BE ，FH ，若BD=8，CE=6，，∥FGH=90°，则FH 长为_______.15．如图，在等边ABC ∆中，10AB =，4BD =，2BE =，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连接PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边DPF ∆，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是__．16．如图，在Rt∥ABC 中，∥C ＝90°，以项点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则∥ABD 的面积是__________；17．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，12AC =，分别以点A 、B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交AB 于点D ，连接CD ，则CD 的长是__________．18．如图，已知等边三角形∥ABC，点D，E 分别在CA，CB 的延长线上，且BE=CD，O为BC 的中点，MO∥AB 交DE 于点M，OM=AD=2，则AB=________________．19．如图，在∥ABC中，AF平分∥BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∥B=70°，∥FAE=19°，则∥C=______度．三、解答题20．如图，在∥ABCD中，∥ADC的平分线经过BC的中点E，与AB的延长线交于点F．求证：AE∥DF．21．在∥ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D在BC上，求出当AD＝13时BD的长．22．在Rt∥ABC 中，∥BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，DE ∥DA 且DE ＝DA ，AE 交边BC 于点F ，连接CE ．(1)如图（1），当AD ＝AF 时，∥求证：BD ＝CF ；∥求∥ACE 的度数．(2)如图（2），若CD ＝8，DF ＝5，求AE 的长．23．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，延长AB 至点D ，使DB AB =，连接CD ，以CD 为直角边作等腰直角三角形CDE ，其中90DCE ∠=︒，连接BE ．(1)求证：E ACD BC ≅∆∆；(2)若3AC =，求BE 的长．。
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
最新九年级中考数学专题复习：全等三角形
在△EDM和△FDN中，源自∠EDM ∠FDNDM
DN
,
∠DME ∠DNF
∴△EDM≌△FDN(ASA)，
∴DE＝DF.
两边及其夹角对 三边对应相等的两
应相等的两个三 个三角形全等.
角形全等.
两角及其夹边对应 相等的两个三角形 全等.
两角及其中一个角 的对边对应相等的 两个三角形全等.
斜边和一条直角边对应相 等的两个直角三角形全等.
模型一、平移模型
知识点3：全等模型
模型展 示
模型特 沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE＝CF)
证明：∵AD∥BC，∠A＝90°，∠1＝∠2， ∴∠A＝∠B＝90°，DE＝CE. 在Rt△ADE和Rt△BEC中，
AD DE
BE EC
,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；
模型四、一线三等角模型
知识点3：全等模型
一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，证三角形全等时必须还有一组边相等这个条件. 常见基本图形如 下： 1.两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上，已知：∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD.
模型应用
2. 如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折 叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.若矩形ABCD的周 长为18，则△EFC的周长为___9_____．
模型三、一线三垂直模型
知识点3：全等模型
常用三个垂直作条件进行角度等量代换，即同(等)角的余角相等，相等的角就是 对应角，证三角形全等时必须还有一组边相等． 基本图形1 如图①，已知：AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD，AB＝CE.
锐角一线三等角
钝角一线三等角
结论：△CAP≌△PBD.
数学中考三角形知识加例题（含答案）
a60第4题图题图NPOA三角形复习★知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
顺次相接组成的图形叫做三角形。
★知识点2.三角形的分类（1） 按角分类按角分类(2) 按边分类按边分类例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（么这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形、锐角三角形B 、直角三角形、直角三角形C 、钝角三角形、钝角三角形D 、正三角形、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。
答案B 练习：如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON ＝600，填空：，填空：（1）当OP ＝ 时，△AOP 为等边三角形；为等边三角形； （2）当OP ＝ 时，△AOP 为直角三角形；为直角三角形； （3）当OP 满足满足 时，△AOP 为锐角三角形；为锐角三角形； （4）当OP 满足满足 时，△AOP 为钝角三角形。
为钝角三角形。
答案：（1）a ；（2）a 2或2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2a或OP ＞a 2 ◆知识点3.三角形三条重要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点：握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点：三角形三角形锐角三角形锐角三角形 直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形三角形三角形 不等边三角形不等边三角形等腰三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角等边三角形等边三角形2A 1A 3题图题图DC B A（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。
中考数学专题复习 三角形与多边形
第四章 三角形
第2节 三角形与多边形
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·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的 关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之 和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索 并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心 三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等 点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有 点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.
初中数学中考一轮复习专题6 三角形 重点、考点知识、方法总结及真题练习
A.
B.
【答案】A.
C.
D.
【解析】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
知识点 2 等腰三角形
等腰三角形的概念不性质
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三
边叫做三角形的底.
2、等腰三角形的性质
①等腰三角形的腰相等
②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）
2.如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于
点 D，连结 BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为 度．
【答案】37 【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°， 又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD= ∠ACB=37°．
．
【答案】40° 【解析】解：∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
3.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数
是
．
【答案】3
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC 是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB=
=72°，
BD 平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，
∴在△ABD 中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD 是等腰三角形，
中考数学三角形复习试题以及答案
三角形的概念及其性质1.三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的分类(1)按边分类：(2)按角分类：3.三角形的内角和外角(1)三角形的内角和等于180°.(2)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.4.三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.5.三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边;在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.6.三角形具有稳定性.知识点二、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1.内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2.外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3.重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4.垂心：三角形三条高线的交点.5.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点诠释：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.知识点三、全等三角形1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.性质：(1)对应边相等(2)对应角相等(3)对应角的平分线、对应边的中线和高相等(4)周长、面积相等3.判定：(1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS)(4)边边边(SSS)(5)斜边直角边(HL)(适用于直角三角形)要点诠释：判定三角形全等至少必须有一组对应边相等.知识点四、等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念;(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.知识点五、直角三角形1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2.性质：(1)直角三角形中两锐角互余;(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;(7)SRt△ABC= ch= ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高.3.判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形;(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.知识点六、线段垂直平分线和角平分线1.线段垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线的定理：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.2.角平分线的性质：(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等;(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上;(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合.四、规律方法指导1.数形结合思想本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题.2.分类讨论思想在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种情况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.3. 化归与转化思想在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时，通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，已知与未知之间的转化;数与形的转化;一般与特殊的转化.4.注意观察、分析、总结应将三角形的判定及性质作为重点，对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养，淡化纯粹的几何证明.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中的分析，综合，转化等数学思想.经典例题透析考点一、三角形的概念及其性质1.(1)(2010山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形思路点拨：三角形的内角和为180°，三个内角度数的份数和是9，每一份度数是20，则三个内角度数分别为40°、60°、80°，是锐角三角形.答案：B(2)三角形的三边分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是( )A.-6-2思路点拨：涉及到三角形三边关系时，尽可能简化运算，注意运算的准确性.解析：根据三角形三边关系得：8-3<1-2a<8+3，解得-5举一反三：【变式1】已知a，b，c为△ABC的三条边，化简得_________.思路点拨：本题利用三角形三边关系，使问题代数化，从而化简得出结论.解析：∵a，b，c为△ABC的三条边∴a-b-c<0， b-a-c<0∴ =(b+c-a)+(a+c-b)=2c.【变式2】有五根细木棒，长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能( )A.1种B.2种C.3种D.4种解析：只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种.应选C.【变式3】等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________.思路点拨：要分类讨论，给出的边长中，可能分别是腰或底.注意满足三角形三边关系.解析：(1)当腰为3时，周长=3+3+4=10;(2)当腰为4时，周长=3+4+4=11.所以答案为10或11.2.(1)(2010宁波市)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( )A.5个B.4个C.3个D.2个考点：等腰三角形答案：A(2)如图在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______.考点：直角三角形两锐角互余.解析：△ABC 中，∠C=∠ABC-∠A =90°-50°=40°又∵BD∥AC，∴∠CBD=∠C=40°.3.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形中( )A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形考点：三角形内角和180°.思路点拨：会灵活运和三角形内角和等于180°这一定理，即∠B+∠C=180°-∠A.解析：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B+∠C=180°-∠A∵∠B+∠C=3∠A，∴180°-∠A=3∠A，∴ ∠A=45°，∴选A，其它三个答案不能确定.举一反三：【变式1】下图能说明∠1>∠2的是( )考点：三角形外角性质.思路点拨：本类题目考查学生了解三角形外角大于任何一个不相邻的内角.解析：A中∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2;B中∠1和∠2是同位角，若两直线平行则相等，不平行则不一定相等;C中∠1是三角形的一个外角，∠2是和它不相邻的内角，所以∠1>∠2.D中∠1和∠2的大小相等.故选C.总结升华：三角形内角和180°以及边角之间的关系，在习题中往往是一个隐藏的已知条件，在做题时要注意审题，并随时作为检验自己解题是否正确的标准.【变式2】如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定思路点拨：理解直角三角形定义，结合三角形内角和得出结论.解析：若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A+∠B=∠C又∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠C=180°，可得∠C=90°，所以选C.【变式3】下列命题：(1)等边三角形也是等腰三角形;(2)三角形的外角等于两个内角的和;(3)三角形中最大的内角不能小于60°;(4)锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是( )A.0 个B.1个C.2个D.3个思路点拨：本题的解题关键是要理解定义，掌握每种三角形中角的度数的确定.解析：(2)中应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和;三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故(3)正确;(4)三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形.所以中有(2)错，故选B.考点二、三角形的“四心”和中位线4.(1)与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( )A.二条中线的交点B. 二条高线的交点C.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点考点：线段垂直平分线的定理.思路点拨：三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.答案D若改成二边中垂线的交点也正确.(2)(2010四川眉山)如图，将第一个图(图①)所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图(图②);再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图(图③);再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形.考点：三角形中位线找规律思路点拨：图①有1个正三角形;图②有(1+4)个正三角形;图③有(1+4+4)个正三角形;图④有(1+4+4+4)个正三角形;图⑤有(1+4+4+4+4)个正三角形;….答案：175.一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形考点：三角形角平分线定理.思路点拨：本题考查三角形的内心是三角形角平分线的交点，若内心在一条高线上，又符合三线合一的性质.所以该三角形是等腰三角形.故选B.举一反三：【变式1】如图，已知△ABC中，∠A=58°，如果(1)O为外心;(2)O为内心;(3)O为垂心;分别求∠BOC的度数.考点：三角形外心、内心、垂心性质.解析：∠A是锐角时，(1)O为外心时，∠BOC=2∠A =116°;(2)O为内心时，∠BOC=90°+ ∠A=119°;(3)O为垂心，∠BOC=180°-∠A=122°.【变式2】如果一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.只有两边相等的锐角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或直角三角形解析：三角形的内心都在三角形内部;锐角三角形外心在三角形内部;直角三角形的外心在三角形斜边的中点上、钝角三角形的外心三角形外部.故选A.【变式3】能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的( )A.中线B.高线C.边的中垂线D.角平分线思路点拨：三角形面积相等，可利用底、高相等或相同得到.解析：三角形的一条中线分得的两个三角形底相等，高相同.应选A.6.(1)(2010广东茂名)如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是( )A、15米B、20米C、25米D、30米考点：三角形中位线定理.思路点拨：BE=AE=5 ，CF=FA=5，BC=2EF=10答案：C。
2023年九年级中考数学复习讲义 三角形及其全等
2023年中考数学复习讲义三角形及其全等第一部分：知识点精准记忆一、三角形的基础知识1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2.三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4.三角形中的重要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边一半．二、全等三角形1.三角形全等的判定定理：（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）；（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．2.全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．三、线段垂直平分线与角平分线1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2.定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．4.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．5.性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．第二部分：考点典例剖析考点一： 三角形的三边关系【例1-1】（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是________．（写出一个即可）【例1-2】（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．考点二： 三角形的内角和外角【例2-1】（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【例2-2】（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠C =30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则∠BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【例2-3】（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，，连结CD ，BE ．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．考点三：三角形中的重要线段【例3-1】（2022•大庆）下列说法不正确的是( )A ．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B ．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C ．有两个角互余的三角形是直角三角形D ．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形ABC 40A ∠=︒BD BC CE ==80ABC ∠=︒BDC ∠ABE ∠BEC ∠BDC∠【例3-2】（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）A ．点B ．点C ．点D ．点【例3-3】如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠D ．AD 一定经过ABC 的外心考点四： 垂直平分线与角平分线的性质 【例4-1】（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【例4-2】在△ABC 中，∠BAC =115°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG 的度数为 A B C D E F G ABC∆D E FGA ．50°B ．40°C ．30°D ．25°【例4-3】如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．考点五： 全等三角形的性质与判定【例5-1】2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F ，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例5-2】（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．【例5-3】（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，，，ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒,BD CE AF BD CE =BF CF ⊥AF CAD ∠45AFE ∠=︒//BD AC BD BC =E BC BE AC =D ABC ∠=∠//AB CD A D ∠=∠，证明：．【例5-4】（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1），在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AC 、AB 上．若CE ＝BD ，则线段AE 和线段AD 的数量关系是 ．（拓展延伸）在△ABC 中，∠BAC ＝（90°＜＜180°），AB ＝AC ＝m ，点D 在边AC 上． （1）若点E 在边AB 上，且CE ＝BD ，如图（2）所示，则线段AE 与线段AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E 在BA 的延长线上，且CE ＝BD ．试探究线段AE 与线段AD 的数量关系（用含有a 、m 的式子表示），并说明理由．【例5-5】（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．考点六： 三角形全等综合【例6-1】（2022·北京）在ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC = BE CF =AE DF=αα（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥； （2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．【例6-2】（2022·山东泰安·中考真题）正方形ABCD 中，P 为AB 边上任一点，AE DP ⊥于E ，点F 在DP 的延长线上，且DE EF =，连接AF BF 、，BAF ∠的平分线交DF 于G ，连接GC ．(1)求证：AEG △是等腰直角三角形；(2)求证：2AG CG DG +=；(3)若2AB =，P 为AB 的中点，求BF 的长．第三部分：中考真题一．选择题1．（2022•鄂尔多斯）如图，15AOE ∠=︒，OE 平分AOB ∠，//DE OB 交OA 于点D ，EC OB ⊥，垂足为C ．若2EC =，则OD 的长为( )A ．2B ．23C ．4D ．43+2．（2022•荆门）数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得30AC =，45A ∠=︒，90C ∠=︒，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．203B ．60C ．302D ．303．（2022•湘西州）如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作//CG AB ，交HM 的延长线于点G ，若8AC =，6AB =，则四边形ACGH 周长的最小值是( )A ．24B ．22C ．20D ．184．（2022•西宁）若长度是4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是( )A ．2B ．5C ．10D ．117．（2022•西宁）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点P ，画射线OP ；连接AB ，AP ，BP ，过点P 作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ．则以下结论错误的是( )A ．AOB ∆是等边三角形B ．PE PF =C ．PAE PBF ∆≅∆D ．四边形OAPB 是菱形5．（2022•西藏）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是()A．5-B．4C．7D．86．（2022•大连）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒．分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若3AB=，则CD的长是()A．6B．3C．1.5D．1 7．（2022•青海）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE BC=，连接DE，F为DE中点，连接BF．若16AC=，12BC=，则BF的长为( )A．5B．4C．6D．88.（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，2OA=，1OB=，3OC=，则AOB∆与BOC∆的面积之和为()A 3B3C33D39．（2022•长沙）如图，在ABC∆中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若22AB=AM的长为()A．4B．2C3D2 10．（2022•海南）如图，直线//m n，ABC∆是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是()A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒11．（2022•黑龙江）如图，ABC∆中，AB AC=，AD平分BAC∠与BC相交于点D，点E 是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若ABC∆的面积是24， 1.5PD=，则PE的长是()A ．90ADC ∠=︒B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =12．（2022•广东）下列图形中有稳定性的是( )A ．三角形B ．平行四边形C ．长方形D ．正方形13．（2022•贺州）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．34︒B ．44︒C ．124︒D ．134︒14.（2022•永州）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，点D 为边AC 的中点，2BD =，则BC 的长为( )A 3B ．23C ．2D ．415．（2022•荆州）如图，直线12//l l ，AB AC =，40BAC ∠=︒，则12∠+∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒16．（2022•宜昌）如图，在ABC ∆中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD ∆的周长为( )A ．25B ．22C ．19D ．1817．（2022•岳阳）如图，已知//l AB ，CD l ⊥于点D ，若40C ∠=︒，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒18．（2022•台湾）如图，ABC ∆中，D 点在AB 上，E 点在BC 上，DE 为AB 的中垂线．若B C ∠=∠，且90EAC ∠>︒，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？( )A ．12∠=∠，13∠<∠B ．12∠=∠，13∠>∠C ．12∠≠∠，13∠<∠D ．12∠≠∠，13∠>∠19．（2022•宜宾）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ，那么四边形AEDF 的周长是( )A ．5B ．10C ．15D ．2020.（2022•广元）如图，在ABC ∆中，6BC =，8AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为( )A ．2.5B ．2C ．3.5D ．321.（2022•宜宾）如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC ∆内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则23CE =+．其中含所有正确结论的选项是( )A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④22.（2022•杭州）如图，CD AB ⊥于点D ，已知ABC ∠是钝角，则( )A ．线段CD 是ABC ∆的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC ∆的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC ∆的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC ∆的AC 边上的高线二．填空题1.（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC 中，AC ＝4，∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC 边的垂直平分线DE 交AB 于点D ，连接CD ，则AB 的长为_________________．4题4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为()1,0-，点A的坐标为()3,3-，将点A 绕点C 顺时针旋转90︒得到点B ，则点B 的坐标为_____________．5.（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．6．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且3AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是__________．7.如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．三．解答题1.（2022铜仁）如图，点C 在BD 上，,,,⊥⊥⊥=AB BD ED BD AC CE AB CD ．求证：ABC CDE △≌△．2.（2022福建）如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，BF ＝EC ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ．求证：∠A ＝∠D ．3.（2022广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．4.（2022大庆）如图，在四边形ABDF 中，点E ，C 为对角线BF 上的两点，,,AB DF AC DE EB CF ===．连接,AE CD ．（1）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（2）若AE AC =，求证：AB DB =．5.（2022云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF =90°（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．6.（2022梧州）如图，在ABCD 中，E ，G ，H ，F 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且,BE DH AF CG ．求证：EF HG =．7.（2022遵义）将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所示摆放，顶点D 与顶点H 重合，菱形EFGH 的对角线HF 经过点B ，点E ，G 分别在AB ，BC 上．（1）求证：ADE CDG ≌；（2）若2AE BE ==，求BF 的长8.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．（1）求证：ABE FMN ≌△△；（2）若8AB =，6AE =，求ON 的长．9.（2022安徽）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ．连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．（1）如图1，若∥DE BC ，求证：四边形BCDE 是菱形；（2）如图2，连接AC ，设BD ，AC 相交于点F ，DE 垂直平分线段AC ．（ⅰ）求∠CED 的大小；（ⅱ）若AF ＝AE ，求证：BE ＝CF ．10.（2022玉林）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB AC = ②DB DC = ③BAD CAD ∠=∠若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究ABD △与ACD △全等．问题解决：（1）当选择①②作为已知条件时，ABD △与ACD △全等吗？_____________（填“全等”或“不全等”），理由是_____________；（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求ABD ACD △≌△的概率．11.（2022北部湾）已知MON α∠=，点A ，B 分别在射线,OM ON 上运动，6AB =．（1）如图①，若90α=︒，取AB 中点D ，点A ，B 运动时，点D 也随之运动，点A ，B ，D 的对应点分别为,,A B D '''，连接,OD OD '．判断OD 与OD '有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图②，若60α=︒，以AB 为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC ，求点O 与点C 的最大距离：（3）如图③，若45α=︒，当点A ，B 运动到什么位置时，AOB 的面积最大?请说明理由，并求出AOB 面积的最大值．。
中考数学一轮考点复习：三角形(考点解读+考题精析)
三角形考点解读1、了解三角形的有关概念，并探索其性质。
会证三角形全等2、能运用有关三角形的知识解决问题。
3、重点、易错点分析：4、通过证明线段或角相等来考虑三角形的性质和判定；运用勾股定理解决实际问题，三角形中重要线段的性质和判定。
确定边长的取值范围时，容易忽略是不是能构成三角形；等腰三角形注意解的不唯一性。
考题解析1．如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；=S△ABC④S四边形AEPF上述结论始终正确的有（）A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④【考点】KY：三角形综合题．【分析】连接AP，判断出△APE≌△CPF，可得①③结论正确，同理证明△APF ≌△BPE，即可得到④正确；【解答】解：连接AP，EF，∵AB=AC，∠A=90°，∴AP⊥BC，∴∠APC=90°，∴∠APF +∠CPF=90°，∵∠EPF=∠APE +∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF ，在等腰直角三角形ABC 中，AP ⊥BC ，∴∠BAP=∠CAP=∠C=45°，AP=CP ，在△APE 和△CPF 中， ∴△APE ≌△CPF ，∴S △APE =S △CPF ，AE=CF ，PE=PF ，∵∠EPF=90°，∴△EPF 是等腰直角三角形；即：①③正确；同理：△APF ≌△BPE ，∴S △APF =S △BPE ，∴S 四边形AEPF =S △APE +S △APF =S △ABC ，即：④正确；∵△△EPF 是等腰直角三角形，∴EF=PE ，当PE ⊥AB 时，AP=EF ，而PE 不一定垂直于AB ， ∴AP 不一定等于EF ，∴②错误；故选C ．2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF 不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π．其中错误结论的个数是（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】KY：三角形综合题．【分析】①正确．连接CD．只要证明△ADE≌△CDF（SAS），即可解决问题．②错误．当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形．=××4×4=4，为定值．③错误．四边形CEDF的面积=S△ABC④错误．以EF为直径的圆的面积的最小值=π•（•2）2=2π．【解答】解：连接CD，如图1，∵∠C=90°，AC=BC=4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∴∠DCB=∠B=45°，∴∠A=∠DCF，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE，∴CE=CF=DE=DF，而∠ECF=90°，∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE=S△CDF，∴S四边形CEDF =S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ADC=S△ABC=××4×4=4，所以③错误；∵△CEF和△DEF都为直角三角形，∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DE，当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=AC=2，∴EF的最小值为2，∴以EF为直径的圆的面积的最小值=π•（•2）2=2π，所以④错误；故选C．3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB 的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选B．4．如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（）A．2 B．2 C．2+D．2+【考点】KQ：勾股定理；KJ：等腰三角形的判定与性质；KO：含30度角的直角三角形．【分析】根据三角形的内角和得到∠AED=∠ACB=60°，根据三角形的外角的性质得到∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，根据等腰三角形的判定得到BE=EF=CF=CD，于是得到四边形AEFC的周长=AB+AC．【解答】解：∵∠A=90°，∠B=∠D=30°，∴∠AED=∠ACB=60°，∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACD=∠∠CFD+∠D=60°，∴∠EFB=∠CFD=30°，∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，∴BE=EF=CF=CD，∴四边形AEFC的周长=AB+AC，∵∠A=90°，AE=AC=1，∴AB=AB=，∴四边形AEFC的周长=2．故选B．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（）A．12 B．18 C．24 D．48【考点】KQ：勾股定理．【分析】根据已知条件得到AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE=AD，AE=CD=3，由已知条件得到∠BAE=90°，根据勾股定理得到BE==2，于是得到结论．【解答】解：∵S1=3，S3=9，∴AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，AE=CD=3，∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AEB+∠ABC=90°，∴∠BAE=90°，∴BE==2，∵BC=2AD，∴BC=2BE=4，∴S2=（4）2=48，故选D．6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．7．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（）A．50m B．48m C．45m D．35m【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m．【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵DE=24m，∴AB=2DE=48m，故选B．8．如图，E是△ABC中BC边上的一点，且BE=BC；点D是AC上一点，且AD= AC，S△ABC=24，则S△BEF﹣S△ADF=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】K3：三角形的面积．【分析】过D作DG∥AE交CE于G，根据已知条件得到CG=3EG，求得AE=DG，CE=CG，求出S△ABD=S△ABC=6．由EC=2BE，S△ABC=24，得到S△ABE=S△ABC=8，于是得到结论．【解答】解：过D作DG∥AE交CE于G，∵AD=AC，∴CG=3EG，∴AE=DG，CE=CG，∵EC=2BE，∴BE=2EG，∴EF=DG，∴AF=DG，∴EF=AF，=24，∵S△ABC∴S △ABD =S △ABC =6．∵EC=2BE ，S △ABC =24，∴S △ABE =S △ABC =8，∵S △ABE ﹣S △ABD =（S △ABF +S △BEF ）﹣（S △ADF +S △ABF ）=S △BEF ﹣S △ADF ，即S △BEF ﹣S △ADF =S △ABE ﹣S △ABD =8﹣6=2．故选B ．9．如图，在Rt △ABC 中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA=2；②C 、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为； 其中正确的是 ①② （把你认为正确结论的序号都填上）．【考点】KY ：三角形综合题．【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC 和AB ，由对称的性质可知：AB 是OC 的垂直平分线，所以OA=AC ；②当OC 经过AB 的中点E 时，OC 最大，则C 、O 两点距离的最大值为4；③如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB 是矩形，此时AB 与CO 互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC==2，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=2；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：=π，所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②；故答案为：①②．10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为18．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD=∠BCD=90°∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；∵∠BAD=90°，∴∠BAM=∠DAN；在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM=AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；∴2λ2=36，λ2=18，故答案为：18．11．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是15．【考点】KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴△ABD 的周长=AB +AD +BD=AB +AD +DC=AB +AC=15，故答案为：15．12．在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE +DF= 2 ． 【考点】KK ：等边三角形的性质．【分析】作AG ⊥BC 于G ，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S △ABD +S △ACD =S △ABC 即可得出DE +DF=AG=2． 【解答】解：如图，作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴AG=AB=2，连接AD ，则S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴AB•DE +AC•DF=BC•AG ，∵AB=AC=BC=4，∴DE +DF=AG=2， 故答案为：2．三．解答题（共7小题）13．已知△ABC ，AB=AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD=AE ，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=20°，β=10°，②求α，β之间的关系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=60°，∵AD=AE，∠ADE=70°，∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，故答案为：20，10；②设∠ABC=x，∠AED=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β；（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC=x，∠ADE=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△ABD中，x+α=β﹣y，在△DEC中，x+y+β=180°，∴α=2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．14．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的长．【考点】KY：三角形综合题；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；②结论：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得=cos30°，由此即可解决问题．【解答】迁移应用：①证明：如图②∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC，②解：结论：CD=AD+BD．理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD．拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，②解：∵AE=5，EC=EF=2，∴AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，∴=cos30°，∴BF==3．15．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）16．在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的长；（2）延长EF到点G，使得FG=EF，证△BMD≌△AMC得AC=BD，再证△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．【解答】解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，则CM=BC﹣BM=5﹣3=2，∴AC===；（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC=BD，又CE=AC，因此BD=CE，由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，∴△BFG≌△CFE，故BG=CE，∠G=∠E，所以BD=CE=BG，因此∠BDG=∠G=∠E．17．如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°，∵AE=BF，∴AF=BE，在△DEB和△CFA中，，△DEB≌△CFA，∴∠A=∠B，∴AC∥DB．18．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY ：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t ，QD=3（2﹣t ），再由运动得出AP=3t ，CR=4t ，BP=3（2﹣t ），AR=4（2﹣t ），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S △PQR =18（t ﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP ，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt △ABC 中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin ∠B===，sin ∠C=，过点Q 作QE ⊥AB 于E ，在Rt △BQE 中，BQ=5t ，∴sin ∠B==，∴QE=4t ，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，在Rt △CDQ 中，CQ=BC ﹣BQ=10﹣5t ，∴QD=CQ•sin ∠C=（10﹣5t ）=3（2﹣t ），由运动知，AP=3t ，CR=4t ，∴BP=AB ﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t ），AR=AC ﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t ），∴S △APR =AP•AR=×3t ×4（2﹣t ）=6t （2﹣t ），S △BPQ =BP•QE=×3（2﹣t ）×4t=6t （2﹣t ），S △CQR =CR•QD=×4t ×3（2﹣t ）=6t （2﹣t ），∴S △APR =S △BPQ =S △CQR ，∴△APR ，△BPQ ，△CQR 的面积相等；（2）由（1）知，S △APR =S △BPQ =S △CQR =6t （2﹣t ），∵AB=6，AC=8，∴S △PQR =S △ABC ﹣（S △APR +S △BPQ +S △CQR ）=×6×8﹣3×6t （2﹣t ）=24﹣18（2t ﹣t 2）=18（t ﹣1）2+6，∵0≤t ≤2，∴当t=1时，S △PQR 最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t ，QD=3（2﹣t ），AP=3t ，CR=4t ，AR=4（2﹣t ）， ∴BP=AB ﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t ），AR=AC ﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t ），过点Q 作QD ⊥AC 于D ，作QE ⊥AB 于E ，∵∠A=90°，∴四边形APQD 是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t ），AD=QE=4t ，∴DR=|AD ﹣AR |=|4t ﹣4（2﹣t ）|=|4（2t ﹣2）|，PE=|AP ﹣AE |=|3t ﹣3（2﹣t ）|=|3（2t ﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP ，∴tan ∠DQR=tan ∠EQP ，在Rt △DQR 中，tan ∠DQR==， 在Rt △EQP 中，tan ∠EQP==，∴， ∴16t=9（2﹣t ），∴t=．19．问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；R2：旋转的性质．【分析】初步探究：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论；简单运用：如图③，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．【解答】解：初步探究：△BCD的面积为．理由：如图②，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°．∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°．∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC=DE=a．=BC•DE∵S△BCD=；∴S△BCD简单应用：如图③，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=a．=BC•DE，∵S△BCD=•a•a=a2．∴S△BCD∴△BCD的面积为．。
中考复习三角形的基本概念与性质
中考复习三角形的基本概念与性质三角形是初中数学中的重要概念，它涉及到边、角、面积等基本要素。
掌握三角形的基本概念与性质对于中考数学的学习至关重要。
本文将从三角形的定义、分类以及常用的性质等方面进行讲解，帮助同学们在中考复习中更好地理解和掌握三角形。
一、三角形的定义与分类1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的多边形，它的特点是有三个顶点和三条边。
三角形的三个顶点可以不在同一条直线上，但是三条边必须相互连接才能构成三角形。
2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可分为以下几类：(1) 等边三角形：三条边的长度相等；(2) 等腰三角形：两条边的长度相等；(3) 直角三角形：有一个角为直角（90度）；(4) 钝角三角形：有一个角大于90度；(5) 锐角三角形：三个角都小于90度。
二、三角形的性质1. 三角形内角和性质对于任意一个三角形，其内角和恒为180度。
即三个角的度数之和等于180度。
2. 三边关系性质(1) 三角形两边之和大于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足a +b > c、b +c > a、a + c > b。
只有满足这个条件，这三条边才能构成一个三角形。
(2) 两边之差小于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足|a - b| <c、|a - c| < b、|b - c| < a。
3. 等腰三角形的性质(1) 等腰三角形的底角（两边相等的角）相等；(2) 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直于顶点的线段）相等。
4. 直角三角形的性质(1) 直角三角形的斜边是最长的边；(2) 直角三角形的两个锐角互余，也就是说，两个锐角之和等于90度。
5. 等边三角形的性质(1) 等边三角形的三个内角都等于60度；(2) 等边三角形的高线、中线、角平分线以及垂心、重心、外心、内心都重合于一个点。
6. 三角形的面积公式三角形的面积公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2。
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图15－2
3．如图15－3，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中 2 点，若AB＝12，AC＝8，则CD＝________ ． 图15－3
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
考点2
角的概念及其性质
①有公共端点的两射线组成的图形；②一条射线绕它 的端点旋转形成的图形 ①一个大写英文字母，②三个大写英文字母(顶点处 中间 ；③用数字或希腊字母 字母写在______) 角按大小分为______ 直角 和_______ 锐角 、_______ 钝角 和为______ 180° 的两个 90° 的两个角互为余角，和为_______ 角互为补角 ①角的度、分、秒是60进制的；②角的加减与实数加 减相似，只是进率不同
角的概念 角的表示 角的分类 余角与补 角 角的计算
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
4.[2012· 清远]已知∠α＝35°，则∠α的余角是( B ) A．35° B．55° C．65° D．145° 46 55 5．计算：33°52′＋21°54′＝________ °________ ′.
1.如图15－1，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线 段条数是( C ) 图15－1 B ． 2条 D ． 4条
A．1条 C．3条
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
① 2．如图15－2，从A地到B地走________ 路线最近，它根据的 两点之间，线段最短 是_________________ ．
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
考点3
相交线
对顶角的 性质
相等 对顶角________
垂线
两条直线相交所成的角为 定义 直角 ________ 时，则这两条直线垂直 且只有一 条直线与已知 1.过一点有________ 性质 直线垂直； 最短 2．垂线段________
垂线段 的长 直线外一点到这条直线的________
图15－7
解：∵O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35° ， ∴∠BOC＝2∠AOC＝70° ， ∴∠BOD＝180° －∠BOC＝110° .
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
考点4
平行线的性质及其判定
相交 和 平面内两直线的位置关系有_______ 平行 两种 _______ ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线____ 平行；②同位角相等，两直线 平行 ；③内错角相等，两直线______ ______ 平行 ；④ 互补 ，两直线平行；⑤垂直于同 同旁内角______ 平行 一直线的两直线_______
点到直线 的距离
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
8.如图15－6，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为 48° O，如果∠EOD＝42°，则∠AOC＝________ ．
图15－6
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
9．如图15－7，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC， ∠AOC＝35°，求∠BOD的度数．
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
6．将一副常规三角尺拼成如图15－4所示的图形，则∠ABC＝ ________ 度． 135
图15－4
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
7．如图15－5，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐 角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐 66 角；„照此规律，画10条不同射线，可得锐角________ 个．
直线是一根拉直的线，射线是直线上的一点和一 旁的部分，线段是直线上的两点及其中间部分 ①用一个小写的英文字母表示；②用表 直线 示直线上两个点的两个大写字母来表示 ①用一个小写的英文字母表示；②用表 表示 射线 示射线端点和另一点的两个大写字母来 方法 表示，且表示端点的字母要写在前面 ①用一个小写的英文字母表示；②用表 线段 示线段端点的两个大写字母来表示 概念
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
性质 线段 中点 公理
直线 射线 线段
无端点，可以向两边无限延伸 1个端点，可以向一边无限延伸 2个端点，不能向两边延长
将一条线段平均分成相等的两条线段
最短 ； ①两点之间，线段______ 且只有 一条直线 ②经过两点，有________
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
10.[2012· 福州]如图15－8，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2 的度数是( C ) A．50° B．60° C．70° D．80°
图15－8
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
11．如图15－9，直线l截两条平行直线a，b，则下列式子不一定 成立的是( D ) A．∠1＝∠5 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠5 D．∠5＝∠2
图15－5
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
[解析]
∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1＋2＝3个锐
角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1＋2＋3＝6个锐角；在 锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1＋2＋3＋4＝10个锐角；„以 此类推，从一个锐角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1 1 ＋2＋3＋„＋(n＋1)＝ ×(n＋1)×(n＋2)， 2 1 ∴画10条不同射线，可得锐角的个数为 ×(10＋1)×(10＋2)＝ 2 66.
平行线
平行线 的判定
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
平行线 的性质 平行线的 判定与性 质的区别
相等 ； ①两直线平行，同位角______ ②两直线平行，内错角相等 ____； 互补 ③两直线平行，同旁内角______ ①已知直线平行，求角用性质； ②根据角的大小关系去判定直线 是否平行用判定
图15－9
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
12．如图15－10所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四 个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＝∠6；④∠4＋∠7＝ 180°，其中能说明a∥b的条件有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第15讲 几何初步、相交线与平行线 第16讲 三角形与全等三角形 第17讲 等腰三角形 第18讲 直角三角形 第19讲 图形的相似 第20讲 锐角三角函数
第15讲 几何初步、相交 线与平行线
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 直线、射线和线段的概念及其性质