2016届高三文科数学试题(49)
2016年高考文科数学全国3卷(附答案)
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 全国III 卷（全卷共12页）(适用地区：广西、云南、四川、贵州、西藏)注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A C B =（ ）A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}（2）若43z i =+，则zz=（ ） A.1B.1-C.4355i + D.4355i - （3）已知向量1(22BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=（ ） A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在00C 以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均气温高于200C 的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,,M I N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A.815B.18C.115D.130（6）若1tan 3θ=，则cos2θ=（ ） A.45-B.15-C.15D.45（7）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<（8）执行右图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n = （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6(9) 在ABC ∆中，B =1,,sin 43BC BC A π=边上的高等于则（ ）A.310(10) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.18+B.54+C. 90D. 81(11) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是A. 4πB.92π C. 6π D. 323π(12) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A.13B. 12C.23D. 34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考浙江卷文数试题(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则(C U P) Q=A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n3.函数y=sin x2的图象是4.若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是5.已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若1log>ba，则A.(1)(1)0a b--< B. (1)()0a a b-->C. (1)()0b b a--< D. (1)()0b b a-->6.已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x满足：()f x x≥且()2,xf x x≥∈R.A.若()f a b≤，则a b≤ B.若()2bf a≤，则a b≤C.若()f a b≥，则a b≥ D.若()2bf a≥，则a b≥8.如图，点列{}{},n nA B分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n nA A A A A A n++++=≠∈N，*1122,,n n n n n nB B B B B B n++++=≠∈N.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.11. 已知)0()sin(2sin cos 22>++=+A b wx A x x ϕ,则A= ,b=12．设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a ≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．13．设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．15．已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c =2a cos B ．（Ⅰ）证明：A =2B ； （Ⅱ）若cos B =23，求cos C 的值．17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3. （I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤.数学（文科）一、选择题1.【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】D4.【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】80 ；40． 10.【答案】(2,4)--；5．11. 1． 12．【答案】－2；1． 13．【答案】．14．【答案】6615．三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =. 【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-， 因此，A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =. （2）由2cos 3B =，得sin 3B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-，sin A = 22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=. 考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理. 【结束】 17.【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．试题解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==. 当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-，所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点：等差、等比数列的基础知识. 【结束】 18.【答案】（1）证明详见解析；（2. 【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以 AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以 BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥， 所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角，在Rt BFD ∆中，32BF DF ==，得cos 7BDF ∠=，所以直线BD 与平面ACFD .考点：空间点、线、面位置关系、线面角. 【结束】 19.【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞ . 【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得12p=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y xx sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t--，从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞ . 考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+ 由于[]0,1x ∈，有411,11x x x-≤++即23111x x x x -≤-++，所以()21.f x x x ≥-+(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤. 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭，又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >，综上，()33.42f x <≤ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.。
2016年全国高考卷文科数学试题及答案新课标1word版
2016年全国高考卷文科数学试题及答案新课标1word版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则z²+z+1=0的解为（）A. z=iB. z=iC. z=1D. z=13. 已知函数f(x)=2x+3，则f(f(1))的值为（）A. 1B. 1C. 3D. 54. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a3=3，则数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则2a3b的模长为（）A. √5B. √10C. √13D. √266. 设函数f(x)=x²2x+1，则f(x)在区间（）内为减函数。
A. (∞, 1)B. (1, +∞)C. (∞, 0)D. (0, +∞)7. 在三角形ABC中，若a=3, b=4, sinB=3/5，则三角形ABC的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 108. 若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k的取值范围是（）A. [1, 1]B. (1, 1)C. (∞, 1]∪[1, +∞)D. (∞, 1)∪(1, +∞)9. 已知函数f(x)=lnx，则f'(x)在（）区间内为减函数。
A. (0, 1)B. (1, +∞)C. (0, e)D. (e, +∞)10. 若矩阵A为3阶方阵，且|A|=0，则A的秩r(A)（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 在空间直角坐标系中，点P(1, 2, 3)到x轴的距离为（）A. 1B. √5C. √10D. √1412. 已知函数f(x)=x³3x，则f(x)在x=0处的曲率为（）A. 0B. 3C. 6D. 9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列{an}的通项公式为an=n²+n，则数列的前5项和为______。
2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷3(K12教育文档)
(完整word)2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷3(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整word)2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷3(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学Ⅲ注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3。
全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则 =（A ）{48}，(B ）{026}，， (C ）{02610}，，， （D){0246810}，，，，， (2)若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C)43+i 55 （D ）43i 55- （3）已知向量BA →=(12,3）,BC →=（3，12）,则∠ABC =(A ）30°（B ）45° （C ）60°（D)120°(4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
2016级高三文科数学9月试题Word版含答案
2016级高三文科数学9月试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|22,},{|450}A x x x Z B x x x =-<≤∈=--<，则A B =A ．{}0,1,2B ．(1,2]-C ．{}1,2D ．()1,2] 2．下列函数中为偶函数的是A ．22y x x =- B ．lg y x = C ．33xxy -=+ D ．2x xy =3．已知0.40.420.4, 1.2,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<4．命题200:,1p x N x ∃∈<，则p ⌝是A ．200,1x N x ∃∈≥B ．200,1x N x ∃∈>C ．2,1x N x ∀∈>D ．2,1x N x ∀∈≥5．函数()27log f x x x=-的零点包含于区间 A ．()1,2 B ．(2,3) C ．(3,4) D ．()4,+∞6．曲线()2xf x e x =+在点(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A ．16 B ．14 C ．13 D ．127．函数()210210x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩，若矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 在函数()y f x =的图象上，且)0,1(A ，则点D 的坐标为A ．()2,0-B ．(12,0)--C ．(1,0)-D ．1(,0)2- 8．已知二次函数()2f x ax bx c =++，若()()()067f f f =<，则()f x 在A ．(),0-∞上是增函数B ．()0,+∞上是增函数C ．(),3-∞上是增函数D ．()3,+∞上是增函数9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，若()f x 的极大值为()1f ，极小值为(1)f -，则函数()(1)y f x f x '=-的图象有可能是10．已知,x y R ∈，命题:p 若x y >；命题:q 若0x y +>，则22x y >，在命题（1）p q ∨；（2）()()p q ⌝∧⌝；（3）()p q ∧⌝；（4）p q ∧中，证明题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411．函数(0,1)x y a a a a ->≠的定义域和值域都是[]0,1,则 548log log 65aa += A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．设()32133f x x x ax =++，若()14x g x =，对任意11[,1]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围为 A ．11[,)4-+∞ B ．13(,]2-∞- C ．11(,]4-∞- D ．13[,)2-+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2016年四川省高考数学文科试题含答案(Word版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．69．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8111．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】根据全集A求出B的补集即可．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10}．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计．【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．故选：D．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形．【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形．【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为﹣10．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sin x的图象变换得到y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，属于中档题．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应用．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，将a1=1代入可得a2的值，进而令n=2可得a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，将a2=代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+a n+1）=0，进而分析可得a n=2a n+1或a n=﹣a n+1，结合数列各项为正可得a n=2a n+1，结合等比数列的性质可得{a n}是首项为a1=1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）=0，即有a n=2a n+1或a n=﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n=2a n+1，故数列{a n}是首项为a1=1，公比为的等比数列，则a n=1×（）n﹣1=（）n﹣1，故a n=（）n﹣1．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a n与a n+1的关系．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM===．【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；G′（x）=c﹣1﹣c x lnc，G′′（x）=﹣（lnc）2c x＜0，∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；又因为：G（0）=G（1）=0，∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证；即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
2016年四川省高考文科数学试题与答案
2016年四川省高考文科数学试题与答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则C A B=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， （2）若43i z =+，则||zz = （A ）1（B ）1-（C ）43+i 55（D ）43i 55- （3）已知向量BA →=（12，32），BC →=（32，12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A ）各月的平均最低气温都在0℃以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130（6）若tanθ=13，则cos2θ=（A）45-（B）15-（C）15（D）45（7）已知4213332,3,25a b c===，则(A)b<a<c (B) a<b<c(C) b<c<a (D) c<a<b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6（9）在ABC△中，B=1,,sin43BC BC A π=边上的高等于则(A)310(B)1010(C)55(D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365+（B）54185+（C）90（D）81（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）9π2 （C ）6π （D ）32π3（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34第II 卷二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为______.（14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到.（15）已知直线l：60x -+=与圆x2+y2=12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD|=______.（16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式.（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy==∑，7140.17i iit y==∑721()0.55iiy y=-=∑，≈2.646.参考公式：12211()()()(y y)ni iin ni ii it t y yrt t===--=--∑∑∑回归方程y a bt=+)))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑)，=.a y bt-)))（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求四面体N-BCM的体积.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分） 设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x xx-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，⊙O 中的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点。
2016湖南数学高考文科试卷及解答
选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} （2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ） （D ）（10）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为n=n +1输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n开始（A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）13（11）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足 （A ）2y x = B ）3y x = （C ）4y x = D ）5y x =（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =___________ （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=___________. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为_________（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2016年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1＋i)2＝( )A.0B.2C.2iD.2＋2i2.(5分)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.33.(5分)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)4.(5分)为了得到函数y＝sin(x＋)的图象,只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度5.(5分)设p：实数x,y满足x＞1且y＞1,q：实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点,则a＝( )A.－4B.－2C.4D.27.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12＝0.05,lg1.3＝0.11,lg2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A.35B.20C.18D.99.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||＝1,＝,则||2的最大值是( )A. B. C. D.10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)＝图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,＋∞)D.(1,＋∞)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)sin750°＝.12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,则f(－)＋f(2)＝.15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.17.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；(II)证明：平面PAB⊥平面PBD.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且＋＝.(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC；(Ⅱ)若b2＋c2－a2＝bc,求tanB.19.(12分)已知数列{an }的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N＋(Ⅰ)若a2,a3,a2＋a3成等差数列,求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,求e12＋e22＋…＋en2.20.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明：︳MA︳•︳MB︳＝︳MC︳•︳MD︳21.(14分)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,g(x)＝－,其中a∈R,e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时,g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)＞g(x)在区间(1,＋∞)内恒成立.2016年四川省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1＋i)2＝( )A.0B.2C.2iD.2＋2i【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：(1＋i)2＝1＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i,故选：C.【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.(5分)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.3【分析】利用交集的运算性质即可得出.【解答】解：∵集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}.∴集合A∩Z中元素的个数是5.故选：B.【点评】本题考查了集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案.【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0),故选：D.【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)为了得到函数y＝sin(x＋)的图象,只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可得答案. 【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y＝sinx,平移后函数解析式为：y＝sin(x＋),可得平移量为向左平行移动个单位长度,故选：A.【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则,熟练掌握图象平移“左加右减“的原则,是解答的关键.5.(5分)设p：实数x,y满足x＞1且y＞1,q：实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1,可得：x＋y＞2,反之不成立,例如取x＝3,y＝.【解答】解：由x＞1且y＞1,可得：x＋y＞2,反之不成立：例如取x＝3,y＝.∴p是q的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.(5分)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点,则a＝( )A.－4B.－2C.4D.2【分析】可求导数得到f′(x)＝3x2－12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点,从而得出a的值.【解答】解：f′(x)＝3x2－12；∴x＜－2时,f′(x)＞0,－2＜x＜2时,f′(x)＜0,x＞2时,f′(x)＞0；∴x＝2是f(x)的极小值点；又a为f(x)的极小值点；∴a＝2.故选：D.【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象.7.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12＝0.05,lg1.3＝0.11,lg2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×(1＋12%)n－2015＞200,两边取对数即可得出. 【解答】解：设第n年开始超过200万元,则130×(1＋12%)n－2015＞200,化为：(n－2015)lg1.12＞lg2－lg1.3,n－2015＞＝3.8.取n＝2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.故选：B.【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A.35B.20C.18D.9【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解：∵输入的x＝2,n＝3,故v＝1,i＝2,满足进行循环的条件,v＝4,i＝1,满足进行循环的条件,v＝9,i＝0,满足进行循环的条件,v＝18,i＝－1不满足进行循环的条件,故输出的v值为：故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.9.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||＝1,＝,则||2的最大值是( )A. B. C. D.【分析】如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C.A.点P的轨迹方程为：＝1,令x＝＋cosθ,y＝3＋sinθ,θ∈[0,2π).又＝,可得M,代入||2＝＋3sin,即可得出.【解答】解：如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C.A.∵M满足||＝1,∴点P的轨迹方程为：＝1,令x＝＋cosθ,y＝3＋sinθ,θ∈[0,2π).又＝,则M,∴||2＝＋＝＋3sin≤.∴||2的最大值是.也可以以点A为坐标原点建立坐标系.解法二：取AC中点N,MN＝,从而M轨迹为以N为圆心,为半径的圆,B,N,M三点共线时,BM为最大值.所以BM最大值为3＋＝.故选：B.【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)＝图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,＋∞)D.(1,＋∞)【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围.【解答】解：设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0＜x1＜1＜x2),当0＜x＜1时,f′(x)＝,当x＞1时,f′(x)＝,∴l1的斜率,l2的斜率,∵l1与l2垂直,且x2＞x1＞0,∴,即x1x2＝1.直线l1：,l2：.取x＝0分别得到A(0,1－lnx1),B(0,－1＋lnx2),|AB|＝|1－lnx1－(－1＋lnx2)|＝|2－(lnx1＋lnx2)|＝|2－lnx1x2|＝2.联立两直线方程可得交点P的横坐标为x＝,∴|AB|•|xP|＝＝.∵函数y＝x＋在(0,1)上为减函数,且0＜x1＜1,∴,则,∴.∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).故选：A.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)sin750°＝.【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案.【解答】解：sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝,故答案为：.【点评】本题考查运用诱导公式化简求值,着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值,属于基础题.12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为1,代入体积公式计算即可.【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积S＝＝,棱锥的高为h＝1,∴棱锥的体积V＝Sh＝＝.故答案为：.【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,是基础题.b为整数的概率是.13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数满足的基本事件个【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出logab为整数的概率.数,由此能求出loga【解答】解：从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,基本事件总数n＝＝12,logb为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个,ab为整数的概率p＝.∴loga故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,则f(－)＋f(2)＝－2 .【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可.【解答】解：∵函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,∴f(2)＝f(0)＝0,f(－)＝f(－＋2)＝f(－)＝－f()＝－＝－＝－2,则f(－)＋f(2)＝－2＋0＝－2,故答案为：－2.【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键.15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是②③.【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特殊值法进行排除即可.【解答】解：①设A(0,1),则A的“伴随点”为A′(1,0),而A′(1,0)的“伴随点”为(0,－1),不是A,故①错误,②若点在单位圆上,则x2＋y2＝1,即P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P(y,－x),满足y2＋(－x)2＝1,即P′也在单位圆上,故②正确,③若两点关于x轴对称,设P(x,y),对称点为Q(x,－y),则Q(x,－y)的“伴随点”为Q′(－,),则Q′(－,)与P′(,)关于y轴对称,故③正确,④∵(－1,1),(0,1),(1,1)三点在直线y＝1上,∴(－1,1)的“伴随点”为(,),即(,),(0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1的“伴随点”为(,－),即(,－),则(,),(1,0),(,－)三点不在同一直线上,故④错误,故答案为：②③【点评】本题主要考查命题的真假判断,正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键.考查学生的推理能力.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.【分析】(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率,再根据直方图的总频率为1求出a的值；(II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率,结合样本容量为30万,进而得解.(Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值.【解答】解：(I)∵1＝(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5,整理可得：2＝1.4＋2a,∴解得：a＝0.3.(II)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12,又样本容量为30万,则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万.(Ⅲ)根据频率分布直方图,得；0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＝0.48＜0.5,0.48＋0.5×0.52＝0.74＞0.5,∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x,令0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＋0.52×x＝0.5,解得x＝0.04；∴中位数是2＋0.04＝2.04.【点评】本题用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积＝组距×,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.17.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；(II)证明：平面PAB⊥平面PBD.【分析】(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,证明平面CME∥平面PAB,即可证明直线CM∥平面PAB；(II)证明：BD⊥平面PAB,即可证明平面PAB⊥平面PBD.【解答】证明：(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,∵ME⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴ME∥平面PAB.∵AD∥BC,BC＝AE,∴ABCE是平行四边形,∴CE∥AB.∵CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB.∵ME∩CE＝E,∴平面CME∥平面PAB,∵CM⊂平面CME,∴CM∥平面PAB若M为AD的中点,连接CM,由四边形ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.可得四边形ABCM为平行四边形,即有CM∥AB,CM⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CM∥平面PAB；(II)∵PA⊥CD,∠PAB＝90°,AB与CD相交,∴PA⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,由(I)及BC＝CD＝AD,可得∠BAD＝∠BDA＝45°,∴∠ABD＝90°,∴BD⊥AB,∵PA∩AB＝A,∴BD⊥平面PAB,∵BD⊂平面PBD,∴平面PAB⊥平面PBD.【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且＋＝.(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC；(Ⅱ)若b2＋c2－a2＝bc,求tanB.【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明. (Ⅱ)由余弦定理求出A的余弦函数值,利用(Ⅰ)的条件,求解B的正切函数值即可.【解答】(Ⅰ)证明：在△ABC中,∵＋＝,∴由正弦定理得：,∴＝,∵sin(A＋B)＝sinC.∴整理可得：sinAsinB＝sinC,(Ⅱ)解：b2＋c2－a2＝bc,由余弦定理可得cosA＝.sinA＝,＝＋＝＝1,＝,tanB＝4.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题.19.(12分)已知数列{an }的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N＋(Ⅰ)若a2,a3,a2＋a3成等差数列,求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,求e12＋e22＋…＋en2.【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2,a3,a2＋a3成等差数列,可得2a3＝a2＋(a2＋a3),代入a2与a3的值可得q2＝2q,解可得q的值,进而可得Sn＋1＝2Sn＋1,进而可得Sn ＝2Sn－1＋1,将两式相减可得an＝2an－1,即可得数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意Sn＋1＝qSn＋1,同理有Sn＝qSn－1＋1,将两式相减可得an＝qan－1,分析可得an＝q n－1；又由双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,分析可得e2＝＝2,解可得a2的值,由an＝q n－1可得q的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得en 2＝1＋an2＝1＋3n－1,运用分组求和法计算可得答案.【解答】解：(Ⅰ)根据题意,数列{a n }的首项为1,即a 1＝1, 又由S n ＋1＝qS n ＋1,则S 2＝qa 1＋1,则a 2＝q, 又有S 3＝qS 2＋1,则有a 3＝q 2,若a 2,a 3,a 2＋a 3成等差数列,即2a 3＝a 2＋(a 2＋a 3), 则可得q 2＝2q,(q ＞0), 解可得q ＝2,则有S n ＋1＝2S n ＋1,① 进而有S n ＝2S n －1＋1,② ①－②可得a n ＝2a n －1,则数列{a n }是以1为首项,公比为2的等比数列, 则a n ＝1×2n －1＝2n －1；(Ⅱ)根据题意,有S n ＋1＝qS n ＋1,③ 同理可得S n ＝qS n －1＋1,④ ③－④可得：a n ＝qa n －1, 又由q ＞0,则数列{a n }是以1为首项,公比为q 的等比数列,则a n ＝1×q n －1＝q n －1； 若e 2＝2,则e 2＝＝2,解可得a 2＝, 则a 2＝q ＝,即q ＝, a n ＝1×q n －1＝q n －1＝()n －1, 则e n 2＝1＋a n 2＝1＋3n －1,故e 12＋e 22＋…＋e n 2＝n ＋(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝n ＋.【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中q ＞0这一条件.20.(13分)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A,B,线段AB 的中点为M,直线OM 与椭圆E 交于C,D,证明：︳MA ︳•︳MB ︳＝︳MC ︳•︳MD ︳【分析】(Ⅰ)由题意可得a ＝2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条件求得a,b 得答案；(Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及AB 中点坐标,得到OM 所在直线方程,再与椭圆方程联立,求出C,D 的坐标,把︳MA ︳•︳MB ︳化为(|AB|)2,再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案.【解答】(Ⅰ)解：如图,由题意可得,解得a2＝4,b2＝1,∴椭圆E的方程为；(Ⅱ)证明：设AB所在直线方程为y＝,联立,得x2＋2mx＋2m2－2＝0.∴△＝4m2－4(2m2－2)＝8－4m2＞0,即.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则,|AB|＝＝.∴x＝－m,,即M(),则OM所在直线方程为y＝－,联立,得或.∴C(－,),D(,－).则︳MC︳•︳MD︳＝＝＝.而︳MA︳•︳MB︳＝(10－5m2)＝.∴︳MA︳•︳MB︳＝︳MC︳•︳MD︳.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训练了弦长公式的应用,考查数学转化思想方法,训练了计算能力,是中档题.21.(14分)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,g(x)＝－,其中a∈R,e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时,g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)＞g(x)在区间(1,＋∞)内恒成立.【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,即可讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)要证g(x)＞0(x＞1),即－＞0,即证,也就是证；(Ⅲ)由f(x)＞g(x),得,设t(x)＝,由题意知,t(x)＞0在(1,＋∞)内恒成立,再构造函数,求导数,即可确定a的取值范围.【解答】(Ⅰ)解：由f(x)＝ax2－a－lnx,得f′(x)＝2ax－＝(x＞0),当a≤0时,f′(x)＜0在(0,＋∞)成立,则f(x)为(0,＋∞)上的减函数；当a＞0时,由f′(x)＝0,得x＝＝,∴当x∈(0,)时,f′(x)＜0,当x∈(,＋∞)时,f′(x)＞0,则f(x)在(0,)上为减函数,在(,＋∞)上为增函数；综上,当a≤0时,f(x)为(0,＋∞)上的减函数,当a＞0时,f(x)在(0,)上为减函数,在(,＋∞)上为增函数；(Ⅱ)证明：要证g(x)＞0(x＞1),即－＞0,即证,也就是证,令h(x)＝,则h′(x)＝,＝h(1)＝e,∴h(x)在(1,＋∞)上单调递增,则h(x)min即当x＞1时,h(x)＞e,∴当x＞1时,g(x)＞0；(Ⅲ)解：由f(x)＞g(x),得,设t(x)＝,由题意知,t(x)＞0在(1,＋∞)内恒成立,∵t(1)＝0,∴有t′(x)＝2ax＝≥0在(1,＋∞)内恒成立,令φ(x)＝,则φ′(x)＝2a＝,当x≥2时,φ′(x)＞0,令h(x)＝,h′(x)＝,函数在[1,2)上单调递增,∴h(x)＝h(1)＝－1.mine1－x＞0,∴1＜x＜2,φ′(x)＞0,综上所述,x＞1,φ′(x)＞0,φ(x)在区间(1,＋∞)单调递增,∴t′(x)＞t′(1)≥0,即t(x)在区间(1,＋∞)单调递增,由2a－1≥0,∴a≥.【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,不等式的证明,考查恒成立成立问题,正确构造函数,求导数是关键.。
(精校版)2016年四川文数高考试题文档版(含答案)
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2=(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是(A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)4.为了得到函数 y=sin (x +π) 的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点3π (A)向左平行移动3π个单位长度(B) 向右平行移动3个单位长度π (C) 向上平行移动3π个单位长度(D) 向下平行移动3个单位长度5.设 p:实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，q: 实数 x，y 满足 x+y>2，则 p 是 q 的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x3-12x 的极小值点，则a=(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网(A)2018 年(B) 2019 年(C)2020 年(D)2021 年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为⎨(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9u u u ruuur 2 9.已知正三角形 ABC 的边长为2 3 ，平面 ABC 内的动点 P ，M 满足 AP = 1， PM = MC ，则 BM 的最大值是43 (A)449 (B)4(C) 4(D)410. 设直线 l 1，l 2 分别是函数 f(x)= ⎧-ln x , 0 < x < 1, ⎩ln x , x > 1,图象上点 P 1，P 2 处的切线，l 1 与 l 2 垂直相交于点 P ，且 l 1，l 2 分别与 y 轴相交于点 A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第 II 卷 （非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
2016年高考文科数学试题及答案(全国3卷)
线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.
............6 分
7
（Ⅱ）由 y
9.32 7
1.331 及（Ⅰ）得 bˆ
(ti
i 1 7
t)( yi (ti t)2
y)
2.89 28
0.103 ，
i 1
aˆ y bˆt 1.331 0.103 4 0.92 .
所以， y 关于 t 的回归方程为： yˆ 0.92 0.10t . ..........10 分
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处
理量.
附注：
7
7
7
参考数据： yi 9.32 ， ti yi 40.17 ， ( yi y)2 0.55 ，≈2.646.
因为 an的各项都为正数，所以
an1 an
1 2
.
故 an是首项为1，公比为
1 2
的等比数列，因此 an
1 2n1
.
......12 分
（18）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
7
7
t 4 ， (ti t)2 28 ， ( yi y)2 0.55 ，
i 1
2016 年全国卷 3 高考文数试题
（1）设集合 A {0, 2, 4, 6,8,10}, B {4,8} ，则 ðAB =
（A） {4，8}
（B） {0，2，6}
（C） {0，2，6，10}
（D） {0，2，4，6，8，10}
（2）若 z 4 3i ，则 z = |z|
2016湖南数学高考文科试卷及解答
选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} （2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12 （C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A（B（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n开始（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ） （D ）（10）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A 3 （B ）22 （C 3 （D ）13（11）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = B ）3y x = （C ）4y x = D ）5y x =（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) ~ (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =___________ （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=___________. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为_________（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
2016安徽高考文科数学真题及答案
2016安徽高考文科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I （ ）。
（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7} 【参考答案】B【答案解析】集合A 与集合B 公共元素有3，5，故{}35A B ⋂=，选B 。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（２）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ）。
（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3 【参考答案】A【答案解析】设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ）13（B ）12（C ）13（D ）56【参考答案】A【答案解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为31，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（ ）。
完整2016全国2卷高考文科数学试卷及答案,文档.docx
2016 年普通高等学校招生全统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24 题，共 150 分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）已知集合A 1,2,3 ， B x x 29 ，则 A B（ A）2, 1,0,1,2,3（B）1, 0 ,1, 2（C）1,2,3（D）1,2（ 2）设复数z满足z i 3 i ，则 z（ A）（3）函数1 2i（B）12i（C）32i（D）32iy Asin( x) 的部分图像如图所示，则y2（ A）y 2 sin(2x)（B）y 2 sin(2x)63（ C）y 2 sin(2x)（ D）y 2sin(2x)63（ 4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A）12（B）32（C）8（D）43-πOπx63-2（ 5）设F为抛物线C：y24x 的焦点，曲线y k(k0)与C交于点P，PF x 轴，则 k x（A）1（B）1（C）3（D）2 22（6）圆x2y22x8y13 0 的圆心到直线ax y 1 0的距离为1，则 a（A）3（ B）33（D）2（C）4（ 7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表2 3面积为（A） 20π4（B） 24π44（C） 28π（D）32π（ 8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（A）7（B）5（C）3（D）3 108810（ 9）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的 x 2 ，n 2 ,依次输入的a为2，2，5，则输出的s （A）7（ B）12（C）17（D）34（ 10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是（ A）y x（ B）y lg x（ C）y 2x（ D）y1x（ 11）函数f ()cos 2x6 cosx）的最大值为x（2（A）4（B） 5（C） 6（D）7（ 12）已知函数 f ( x) (x R) 满足 f ( x) f (2x) ，若函数 y x 22x 3 与m y f (x) 图像的交点为 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),,( x m , y m ) ，则x ii 1（A）0（ B）m（ C）2m（ D）4m开始输入 x,nk 0, s0输入 as s x a k k1否k n是输出 s结束第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年四川省高考数学试卷真题及答案(文科)
2016年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．27．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．99．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．10．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）sin750°=．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是．14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：•①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．ƒ③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC ︳•︳MD︳21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．2016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016•四川）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2016•四川）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用交集的运算性质即可得出．【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016•四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0）【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．5．（5分）（2016•四川）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2016•四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．7．（5分）（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）（2016•四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．9【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9．（5分）（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+c osθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2016•四川）sin750°=．【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．12．（5分）（2016•四川）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．13．（5分）（2016•四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是．【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出log a b为整数满足的基本事件个数，由此能求出log a b为整数的概率．【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n==12，log a b为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，∴log a b为整数的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．14．（5分）（2016•四川）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=﹣2．【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f （x）=4x，∴f（2）=f（0）=0，f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．15．（5分）（2016•四川）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：•①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．ƒ③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是②③．【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，②若点在单位圆上，则x2+y2=1，即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，故答案为：②③【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2016•四川）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5，解得x=0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．17．（12分）（2016•四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E，∴平面CME∥平面PAB，∵CM⊂平面CME，∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．18．（12分）（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）（2016•四川）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的=2S n+1，进而可得S n=2S n﹣1+1，将两式相减可得a n=2a n﹣1，即可值，进而可得S n+1得数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意S n=qS n+1，同理有S n=qS n﹣1+1，将两式相减可得a n=qa n﹣1，分析+1可得a n=q n﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，分析可得e2==2，解可得a2的值，由a n=q n﹣1可得q的值，进而可得数列{a n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e n2=1+a n2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的首项为1，即a1=1，=qS n+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又由S n+1又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q＞0），解可得q=2，则有S n=2S n+1，①+1进而有S n=2S n﹣1+1，②①﹣②可得a n=2a n﹣1，则数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，则a n=1×2n﹣1=2n﹣1；=qS n+1，③（Ⅱ）根据题意，有S n+1同理可得S n=qS n﹣1+1，④③﹣④可得：a n=qa n﹣1，又由q＞0，则数列{a n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a n=1×q n﹣1=q n﹣1；若e2=2，则e2==2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，a n=1×q n﹣1=q n﹣1=（）n﹣1，则e n2=1+a n2=1+3n﹣1，故e12+e22+…+e n2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．20．（13分）（2016•四川）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC ︳•︳MD︳【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，|AB|==．∴x0=﹣m，，即M（），则OM所在直线方程为y=﹣，联立，得或．∴C（﹣，），D（，﹣）．则︳MC︳•︳MD︳===．而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．21．（14分）（2016•四川）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a ∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h（x）=，则h′（x）=，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，∵t（1）=0，∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，令φ（x）=，则φ′（x）=2a=，当x≥2时，φ′（x）＞0，令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．又2a≥1，e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴a≥．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．。
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2016届高三文科数学试题（49）一．选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合P={x ∈N|1≤x ≤10},集合Q={x ∈R|06--2=x x },则P∩Q 等于( )A.{2}B.{1，2}C. {2，3}D.{3} 2.若函数)2(),3,0[)1(x f x f 则的定义域为+的定义域为（ ）A ．[1，8]B ．[1,4)C ．[0,2)D ．[0，2]3. 函数3)(5-+=x x x f 的零点落在的区间是（ ）A ．[]1,0B ．[]2,1C ．[]3,2D ．[]4,3 4.已知10.20.7321.5, 1.3,()3a b c -===,则,,a b c 的大小为 ( )A.c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. a c b << 5．在R 的定义运算： ⎝⎛c a bc ad d b -=⎪⎪⎭⎫，若不等式 ⎝⎛+-11a x 12≥⎪⎪⎭⎫-x a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．21-B ．23- C ．21 D ．236. 下列判断错误．．的是（ ） A ．“22bm am <”是“a < b”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“ 01,23>--∈∃x x R x ”C ．若f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (x+2)也为奇函数，则f (x)是以4为周期的周期函数.D ．若q p Λ为假命题, 则p, q 均为假命题7若把函数x x y 2sin -2cos 3=的图象向右平移0)(>m m 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．π3B ．12π C ．π6 D ．5π68.函数f(x)＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.），（∞+23B.），（23-∞C.），（41-D. ），（4239. 函数1ln --=x e y x的图象大致是（ ）10. 若定义在R 上的函数)(-)1()(x f x f x f y =+=满足满足，且当]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，函数⎩⎨⎧≤>=1,21),1-(log )(3x x x x g x ，则函数)(-)()(x g x f x h =在区间]5,5[-内的零点的个数为（ ）A ．6 B. 7 C. 8 D. 911. 已知函数()f x 是定义在实数集R 上得不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5()2f =（ ）A ．0 B.12C.1D.5212. 设()f x 是R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()1,(2,6]2xf x =--若在区间内关于x 的方程()l o g (2)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(2,)+∞ C． D．二．填空题13.已知:()()110p x m x m -+--<；:1223q x <<，若q 是p 的充分不必要条件， 则实数m 的取值范围是___________________。
14. 在△ABC中，已知113cos ,cos(),07142A AB B A π=-=<<<,则角B = 。
15． 已知 tan(π-α)=3 , 则1sin cos αα= __________.16．给出一列三个命题：①函数c bx x x x f ++=||)(为奇函数的充要条件是0=c ； ②若函数)lg()(2a ax x x f -+=的值域是R ，则0,4≥-≤a a 或；③若函数)1(-=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称． 其中正确的命题序号是三、解答题（.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知函数]4,161[,log )(4∈=x x x f 的值域为集合A ，关于x 的不等式)(2)21(3R a x a x ∈>+的解集为B ，集合}015|{≥+-=x xx C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m（1）若AUB=B,求实数a 的取值范围； （2）若C D ⊆,求实数m 的取值范围.18.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，12()log (1)f x x =+．（1）求(0)f ，(1)f -； （2）求函数()f x 的表达式；（3）若(1)(3)0f a f a ---<，求a 的取值范围．19.函数)sin()(ϕω+=x A x f (0>A ，0>ω，2πϕ<)的一段图象如图所示． (1)求函数()y f x =的解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到)(x g y =的图象，求函数 )()()(x g x f x h +=的图象的对称轴和对称中心．20. 已知函数321()(1) 1.32a f x x x a x =+--+ （1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线610x y ++=平行，求出这条切线的方程； （2）当0a >时，求：①讨论函数()f x 的单调区间；②对任意的1x <-，恒有()1f x <，求实数a 的取值范围. 21. 已知 f(x)=2cos 2x+√3sin2x（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）在∆ABC中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求a,b 的值．22、已知函数,ln )(xax x f -=g （x ）=f （x ）+ax ﹣6lnx ，其中a ∈R ．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若g （x ）在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数h （x ）=x 2﹣mx+4，当a=2时，若∃x 1∈（0，1），∀x 2∈[1，2]，总有g （x 1）≥h （x 2）成立，求实数m 的取值范围．数学（文科）参考答案一．选择题：DCBBD DDDCA AD 二、填空题：13．2331-≤≤m ； 14. 3π=B ； 15..-10316.1.2三、解答题：17.解：（1）因为14>，所以)(x f 在]4,161[上，单调递增，所以=A )]4(),161([f f ]1,2[-=，--------------------------2分又由)(2)21(3R a x a x ∈>+可得：x a x 22)3(>+-即：x a x >--3，所以4a x -<，所以)4,(aB --∞=，--------------------------4分又B B A = 所以可得：B A ⊆，--------------------------5分所以14>-a，所以4-<a 即实数a 的取值范围为)4,(--∞.-------------------------6分 （2）因为015≥+-x x ,所以有015≤+-x x ,所以21≤<-x ,所以]5,1(-=C ,--------------------8分对于集合C m x m x D ⊆-<≤+=}121|{有:①当121-≥+m m 时,即20≤<m 时∅=D ,满足C D ⊆.--------------------10分 ②当121-<+m m 时,即2>m 时∅≠D ,所以有:⎩⎨⎧≤-->+51211m m 32≤<-⇒m ,又因为2>m ,所以32≤<⇒m --------------------13分 综上：由①②可得：实数m 的取值范围为]3,0(.--------------------14分18.解：19.解:(1)由题图知A ＝2，π=T ，于是22==Tπω， 将x y 2sin 2=的图象向左平移12π个单位长度，得)2sin(2ϕ+=x y 的图象． 于是6122ππϕ=⨯=，∴)62sin(2)(π+=x x f . …………………6分(2)依题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=62cos 26)4(2sin 2)(πππx x x g . ……………8分故=+=)()(x g x f y )62sin(2π+x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-62cos 2πx )122sin(22π-=x .…10分 由2122πππ+=-k x ,得)(,2247Z k k x ∈+=ππ. 由ππk x =-122,得)(,224Z k k x ∈+=ππ. ∴)(x h 的对称轴为)(,2247Z k k x ∈+=ππ, 对称中心为)(,0,224Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ21.解：（1）22()(2cos ,(1,sin 2)2cos 2f x m n x x x x =⋅=⋅=---2分cos 2122sin(2)16x x x π=++=++------4分∴函数()f x 的最小周期22T ππ== ----5分由得)(22622-2Z k k x k ∈+≤+≤πππππ：单调增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，6,3-ππππ ------6分（2）31)62sin(2)(=++=πC C f ∴1)62s i n (=+πCC 是三角形内角，∴262ππ=+C 即：6π=C -------8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a ． -------9分 将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：432或=a ∴23或=a ,∴32或=b ---- --11分b a >,∴2=a ，3=b ． -------12分22.解：（1）2()1f x ax x a '=+-+，得切线斜率为(2)33k f a '==+ --------2分 据题设，6k =-，所以3a =-，故有(2)3f = ------------------------3分 所以切线方程为(2)6(2),y f x -=--即6150x y +-= - --------------------4分（2）①)1)(1()1)(1(1)(2aa x x a a ax x a x ax x f --+=+-+=+-+=／ 若102a <<，则11a a -<-，可知函数()f x 的增区间为1(,)a a--∞和(1,)-+∞， 减区间为1(,1)a a-- -----6分 若12a =，则21()(1)02f x x '=+≥，可知函数()f x 的增区间为(,)-∞+∞；------7分若12a >，则11a a ->-，可知函数()f x 的增区间为(,1)-∞-和1(,)a a-+∞， 减区间为1(1,)a a-- -----------------------9分 ②当102a <<时，据①知函数()f x 在区间1(,)a a --∞上递增，在区间1(,1)a a--上递减，所以，当1x <-时，max 1()()a f x f a -=，故只需1()1a f a-<， 即32222(1)(1)(1)032a a a a a a---+-<显然1a ≠，变形为22111032a a a a -+-<，即2140a a -<，解得1142a << ---------11分当12a ≥时，据①知函数()f x 在区间(,1)-∞-上递增，则有2132)1(-)(+=<a f x f 只需12132≤+a ，解得1324a ≤≤. -----13分 综上，正实数a 的取值范围是1344a <≤ ------------------------------14分。