省级联考2018年广东省高考数学一模试卷理科
2018年高考广东卷理科数学试题及答案解析版 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ， a y bx =- ，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -1．（B ）．22(1)11(1)(1)iz i i i i -===-++-2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．（D ）．依题意得⊥c a ，⊥c b ，则(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b正视图 图1 侧视图 图24．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f xg x +是偶函数 D ．()()f xg x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f xg x +与()()f xg x -都是偶函数，()()f xg x +与()()f xg x -的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A． B ． C ．4D ．3 5．（C ）．zy =+，即y z=+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z 取得最大值，max24z == 6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军． 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．346．（D ）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A． B． C． D．7．（B ）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3则33V Sh ===8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C 若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题） 9．不等式13x x +--≥0的解集是 ．9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x -的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答） 10．84．72()x x x -的通项7821772()(2)r r r r r r r T xC x C x x --+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -= 11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．11．10．方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值 13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()niii nii x x y y bx x ==--++⨯===++-∑∑ ， 3a y bx =-=线性回归方程3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin xy θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．(1,5．sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =图4COPBA22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作 圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________．15由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，则△PAB ∽△ACB ，则PB ABAB BC =，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ． （1）求5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-==（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β==∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a =图5CDPAEFPF所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件）（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ=== 1123256(1),10C C P C ξ=== 22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的 菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F分别是BC ,PC 的中点． （1）证明：AD ⊥平面DEF ； （2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取AD 的中点H ，连接,,PH BH BD ∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=∴△ABD 是等边三角形 ∴AD HB ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PHB ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是BC ,PC 的中点 ∴EF ∥PB ，HB ∥DE∴AD DE ⊥，AD EF ⊥，DE EF E = ∴AD ⊥平面DEF（2）解：由（1）知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角易求得PH BH ==∴2227334cos 27PH HB PB PHB PH HB +--+-∠====-⋅∴二面角P AD B --的余弦值为7-19．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切． （1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=（2）2MP FP MF -≤== ∴MP FP - 的最大值为2如图所示，P 必在L 直线MF 的斜率2k =-:2MF y x =-+22142x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x -+=6)0--=12x x ==∵P x >P x =，P y =∴MP FP - 的最大值为2，此时P 为(55-20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．20．（1）解：∵1122n n n nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+- ∴1211nn n n a b a b --=⋅+ ① 当2b =时，1112nn n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22nn n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b --+=+-- 当1n =时，122(2)nn a b b b +=--∴1{}2nn a b +-是以2(2)b b -为首项，2b 为公比的等比数列 ∴112()22n nn a b b b +=⋅-- ∴212(2)2(2)n n nn n n n b a b b b b b -=-=---∴(2)2n n nn n b b a b -=- 综上所述(2),02222nn nn n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩ 且， （2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)nnn n n n b b b b b -----=-++++1221222n nnn n n n n n b a b b b ----⋅=≤=++++111211112222222n n n n n n n n b b b b+++---++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n nn nb b b b ++-≤+-， 即证1(2)122n nn n n b b bb +-≤+- 即证1221112222n n n n n n n b b b bb ----+≤+++++ 即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b ----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b nb b b b ---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ---+-+++++++++ 2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ----+=++++++++n≥+= ，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =，2x =则12p p p x --=，22p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022px =∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==-∵00222p px ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴1,2p a =① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔1p a =+2p a =⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔1p a =-2p a =⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ=③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22pa -若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2px x =则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥∴12p p >∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H由（2）知200240x px q -+=，解得0x p =，①若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =++t =，则2122p t =-+，02t ≤≤∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤∴0max max 5)24(x ϕ==②若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为12p p x x --=，22p p x x +-=即01,22x x =或02xp -∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==，同理可得51(,)4p q ϕ≤≤综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。
2018年广东高考理科数学试题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+答案:A2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22BB =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D。
全国省级联考广东省2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案解析
全国省级联考⼴东省2018届⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题及答案解析2018年普通⾼等学校招⽣试卷全国统⼀考试⼴东省理科数学模拟考试（⼆）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1.已知,x y R ∈，集合{}32,log A x =，集合{},B x y =，若{}0A B ?=，则x y +=（） A.13B. 0C. 1D. 3【答案】C 【解析】分析：⾸先应⽤{0}A B =I 确定出3log 0x =，从⽽求出x 的值，再进⼀步确定出y 的值，最后求得结果即可.详解：因为{0}A B =I ，所以3log 0x =，解得1x =，所以0y =，所以101x y +=+=，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的知识点，涉及到集合的交集中元素的特征，从⽽找到等量关系式，最后求得结果.2.若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（） A. 12z z ?是实数 B.12z z 是纯虚数 C. 24122z z =D. 22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进⾏相应的运算，对选项中的结果⼀⼀对照，从⽽选出满⾜条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ?=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题⼀⼀检验，从⽽找到正确的结果.3.已知()1,3a =-v ，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v ，若a b v P v，则b c ?=v v （）A. -7B. -2C. 5D. 8【答案】A 【解析】分析：利⽤向量平⾏列⽅程求出m 的值,然后直接利⽤向量数量积的坐标表⽰求解即可. 详解：因()1,3a v =-，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v，所以由//a b r r，可得()340m m +-=，则1,m =()()1,3,2,3b c ∴=-=v ，12337b c ?=?-?=-v v，故选A.点睛：利⽤向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题⽅式有两个：（1）两向量平⾏，利⽤12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利⽤12120x x y y +=解答.4.如图，?AD 是以正⽅形的边AD 为直径的半圆，向正⽅形内随机投⼊⼀点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.16πB.316C.4π D.14【答案】D 【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的⾯积，再⽤⼏何概型的概率公式进⾏求解. 详解：连接AE ，由圆的对称性得阴影部分的⾯积等于ABE ?的⾯积，易知1=4ABE ABCDS S ?正⽅形，由⼏何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为14P =.故选D. .点睛：本题的难点是求阴影部分的⾯积，本解法利⽤了圆和正⽅形的对称性，将阴影部分的⾯积转化为求三⾓形的⾯积.5.已知等⽐数列{}n a 的⾸项为1，公⽐1q ≠-，且()54323a a a a +=+91239a a a a =L （） A. 9- B. 9C. 81-D. 81【答案】B 【解析】分析：⾸先利⽤等⽐数列的项之间的关系，求得公⽐q 的值，之后判断根式的特征，化简求得是有关数列的第⼏项，再结合题中所给的数列的⾸项得出结果.详解：根据题意可知254323a a q a a +==+，942991239551139a a a a a a a q ?===?=?=，故选B.点睛：该题考查的是等⽐数列的有关问题，涉及到项与项之间的关系，还有就是数列的性质，两项的脚码和相等，则数列的两项的积相等，将式⼦化简，利⽤⾸项和公⽐求出结果.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的⼀个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的⽅程为( )A. 22188x y -=B. 2211616x y -=C. 22188y x -=D. 22188x y -=或22188y x -= 【答案】A 【解析】分析：先利⽤双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利⽤焦点位置确定双曲线的类型，最后利⽤⼏何元素间的等量关系进⾏求解. 详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a b =，⼜双曲线2222:x y C a b-=的⼀个焦点坐标为()4,0，所以2216a =，即228a b ==，即该双曲线的⽅程为22188x y -=.故选D.点睛：本题考查了双曲线的⼏何性质，要注意以下等价关系的应⽤：等轴双曲线的离⼼率为2，其两条渐近线相互垂直. 7.已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A. 86π+B. 66π+C. 812π+D. 612π+【答案】B 【解析】由三视图可得该⼏何体是由圆柱的⼀半（沿轴截⾯截得，底⾯半径为1，母线长为3）和⼀个半径为1的半球组合⽽成（部分底⾯重合），则该⼏何体的表⾯积为12π+π2π3236π62S =+??+?=+. 【名师点睛】先利⽤三视图得到该组合体的结构特征，再分别利⽤球的表⾯积公式、圆柱的侧⾯积公式求出各部分⾯积，最后求和即可.处理⼏何体的三视图和表⾯积、体积问题时，往往先由三视图判定⼏何体的结构特征，再利⽤相关公式进⾏求解. 8.设x ，y 满⾜约束条件0,2,xy x y ≥??+≤?则2z x y =+的取值范围是（）A. []22-,B. []4,4-C. []0,4D. []0,2【答案】B 【解析】分析：⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，是两个三⾓形区域，结合⽬标函数的属性，可知其为截距型的，从⽽确定出在哪个点处取得最⼩值，哪个点处取得最⼤值，从⽽确定出⽬标函数的范围. 详解：直线2x y +=-与x 轴交于(2,0)A -点，与y 轴交于(0,2)B -点，直线2x y +=与x 轴交于(2,0)C 点，与y 交于(0,2)D 点，题中约束条件对应的可⾏域为,AOB COD ??两个三⾓形区域，移动直线2y x z =-+，可知直线过点A 时截距取得最⼩值，过点C 时截距取得最⼤值，从⽽得到min max 2(2)04,2204z z =?-+=-=?+=，从⽽确定出⽬标函数的取值范围是[4,4]-，故选B.点睛：该题属于线性规划的问题，需要⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，判断⽬标函数的类型，属于截距型的，从⽽判断出动直线过哪个点时取得最⼩值，过哪个点时取得最⼤值，最后求得对应的范围，在求解的时候，判断最优解最关键.9.在印度有⼀个古⽼的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明⼈——宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个⼩格⾥，赏给我1粒麦⼦，在第2个⼩格⾥给2粒，第3⼩格给4粒，以后每⼀⼩格都⽐前⼀⼩格加⼀倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆⼈吧！”国王觉得这要求太容易满⾜了，就命令给他这些麦粒．当⼈们把⼀袋⼀袋的麦⼦搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚⾄全世界的麦粒全拿来，也满⾜不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下⾯是四位同学为了计算上⾯这个问题⽽设计的程序框图，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等⽐数列的前64项的和，再对照每个选项对应的程序框图进⾏验证. 详解：由题意，得每个格⼦所放麦粒数⽬形成等⽐数列{}n a ，且⾸项11a =，公⽐2q =，所设计程序框图的功能应是计算2641222S =++++，经验证，得选项B 符合要求.故选B . 点睛：本题以数学⽂化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满⾜()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最⼩值为（）A. 494-B. 498-C. 14-D. 28-【答案】C 【解析】分析：⾸先对题中所给的数列的递推公式进⾏变形，整理得出数列25n a n ??-为等差数列，确定⾸项和公差，从⽽得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利⽤其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从⽽能够判断出n m S S -在什么情况下取得最⼩值，并求出最⼩值的结果. 详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--，式⼦的每⼀项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n na a n n +-=+--，所以数列25n a n ??-??是以15525=--为⾸项，以1为公差的等差数列，所以5(1)1625na n n n =-+-?=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从⽽得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最⼩值，且5234536514n m S S S a a S a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从⽽借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，⽽题中要求的n m S S -的值表⽰的是连续若⼲项的和，根据通项公式判断出项的符号，从⽽确定出哪些项，最后求得结果.11.已知菱形ABCD 的边长为060BAD ∠=，沿对⾓线BD 将菱形ABCD 折起，使得⼆⾯⾓A BD C --的余弦值为13-，则该四⾯体ABCD 外接球的体积为( )A.B.C.D. 36π【答案】B 【解析】【分析】⾸先根据题中所给的菱形的特征，结合⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义，先找出⼆⾯⾓的平⾯⾓，之后结合⼆⾯⾓的余弦值，利⽤余弦定理求出翻折后AC 的长，借助勾股定理，得到该⼏何体的两个侧⾯是共⽤斜边的两个直⾓三⾓形，从⽽得到该四⾯体的外接球的球⼼的位置，从⽽求得结果. 【详解】取BD 中点M ,连结,AM CM ，根据⼆⾯⾓平⾯⾓的概念，可知AMC ∠是⼆⾯⾓A BD C --的平⾯⾓，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得32AM CM ===，此时满⾜ 2199233()243AC =+--=，从⽽求得AC =，22222AB BC AD CD AC +=+=，所以,ABC ADC ??是共斜边的两个直⾓三⾓形，所以该四⾯体的外接球的球⼼落在AC 中点，半径2ACR ==所以其体积为34433V R ππ==?=，故选B. 【点睛】该题所考查的是有关⼏何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明⽩外接球的球⼼的位置，这就要求对特殊⼏何体的外接球的球⼼的位置以及对应的半径的⼤⼩都有所认识，并且归类记忆即可. 12.已知函数()()ln 3xf x e x =-+，则下⾯对函数()f x 的描述正确的是（）A. ()3,x ?∈-+∞，()13f x ≥B. ()3,x ?∈-+∞，()12f x >- C. ()03,x ?∈-+∞，()01f x =- D. ()()min 0,1f x ∈【答案】B 【解析】分析：⾸先应⽤导数研究函数的单调性，借助于⼆阶导来完成，在求函数的极值点的时候，发现对应的⽅程，在中学阶段是解不出来的，所以⽤估算的办法求出来，之后进⾏⽐较，对题中各项的结果进⾏对⽐，排除不正确的，最后得到正确答案.详解：根据题意，可以求得函数的定义域为(3,)-+∞，1'()3x f x e x =-+，21''()(3)xf x e x =++，可以确定''()0f x >恒成⽴，所以'()f x 在(3,)-+∞上是增函数，⼜11'(1)02f e -=-<，11'()0522f -=->，所以01(1,)2x ?∈--，满⾜0'()0f x =，所以函数()f x 在0(3,)x -上是减函数，在0(+)x ∞，上是增函数，0()f x 是最⼩值，满⾜00103xe x -=+，000()ln(3)x f x e x =-+00x e x =+在1(1,)2--上是增函数，从⽽有01()()(1)1f x f x f e ≥>-=-，结合该值的⼤⼩，可知最⼩值是负数，可排除A,D ，且111e->-，从⽽排除C 项，从⽽求得结果，故选B.点睛：该题考查的是利⽤导数研究函数的性质，本题借着⼆阶导来得到⼀阶导函数是增函数，从⽽利⽤零点存在性定理对极值点进⾏估算，最后不是求出的确切值，⽽是利⽤估算值对选项进⾏排除，从⽽求得最后的结果.第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则?的最⼤值是________________．【答案】6π- 【解析】分析：先利⽤三⾓函数的变换得到()g x 的解析式，再利⽤诱导公式和余弦函数为偶函数进⾏求解. 详解：函数()()()2sin 20f x x =+<的图象向左平移3π个单位长度，得到π2π2sin[2()]2sin(2)33y x x ??=++=++，即2π()2sin(2)3g x x ?=++，⼜()g x 为偶函数，所以2πππ,32k k Z ?+=+∈，即ππ,6k k Z ?=-+∈，⼜因为0?<，所以的最⼤值为π6-. 点睛：本题的易错点是：函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移3π个单位长度得到 ()g x 的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于⾃变量""x ⽽⾔，不要得到错误答案“π()2sin(2)3g x x ?=++”. 14.已知0a >，0b >，6b ax x ??+ ??展开式的常数项为52，则2+a b 的最⼩值为__________．【答案】2 【解析】分析：由题意在⼆项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为52，确定出12ab =，再利⽤基本不等式求得2+a b 的最⼩值.详解：6()bax x+展开式的通项公式为666166()()rrr r r r r r r b T C ax a b C x x----+==，令620r -=，得3r =，从⽽求的333652C a b =，整理得12ab =，⽽22a b +≥==，故答案是2. 点睛：该题考查的是有关⼆项式定理以及基本不等式的问题，解题的关键是要清楚⼆项展开式的通项公式以及确定项的求法，之后是有关利⽤基本不等式求最值的问题，注意其条件是⼀正⼆定三相等.15.已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．【答案】()0,1 【解析】分析：⾸先应⽤条件将函数解析式化简，通过解析式形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的⾃变量，从⽽将不等式转化为3(log )(0)f x f <，进⼀步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.详解：当0m =时，2()log (41)xf x =+是R 上的增函数，且2(0)log (11)1f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为3(log )(0)f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从⽽得答案为(0,1).点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满⾜的不等式，从⽽求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16.设过抛物线()220y px p =>上任意⼀点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另⼀个交点为Q ，则ABQ ABOS S ??=__________．【答案】3 【解析】分析：画出图形，将三⾓形的⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后转化为坐标⽐，设出点的坐标，写出直线的⽅程，联⽴⽅程组，求得交点的坐标，最后将坐标代⼊，求得⽐值,详解：画出对应的图就可以发现，1ABQ Q P Q ABOP PS x x y PQ S OP x y ??-===-设211(,)2y P y p ，则直线121:2y OP y x y p=，即12p y x y =，与28y px =联⽴，可求得14Q y y =，从⽽得到⾯积⽐为11413y y -=，故答案是3. 点睛：解决该题的关键不是求三⾓形的⾯积，⽽是应⽤⾯积公式将⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后将长度⽐转化为坐标⽐，从⽽将问题简化，求得结果.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17.在ABC ?中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =o ，8c =. （1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，ANBM =，求AM 的值；（2）若12b =，求ABC ?的⾯积.【答案】（1）213（2）24283+. 【解析】分析：第⼀问根据题意得出两个点的位置，从⽽设出对应的边长，在三⾓形中，应⽤余弦定理求得x所满⾜的等量关系式，求得对应的值，再放在三⾓形中应⽤余弦定理求得对应的边长，第⼆问根据正弦定理找出⾓所满⾜的条件，最后利⽤⾯积公式求得三⾓形的⾯积.详解：（1）由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，设BM x=，则2BN x=，23AN x=，⼜60B=o，8AB=，在ABN中，由余弦定理得22 12644282cos60x x x=+-??o，解得2x=（负值舍去），则2 BM=.在ABN中，22182282522132AM=+-==.(2）在ABC中，由正弦定理sin sinb cB C=，得38sin32sin12c BCb===.⼜b c>，所以B C>，则C为锐⾓，所以6cos C=.则()3613323sin sin sin cos cos sin2A B C B C B C+=+=+=?+?=，所以ABC的⾯积1323sin48242832S bc A+==?=+.点睛：该题所考查的是有关利⽤正余弦定理解三⾓形的问题，在解题的过程中，需要时刻关注正余弦定理的内容，在求解的过程中，注意边长所满⾜的条件，对解出的结果进⾏相应的取舍，将⾯积公式要⽤活.18.如图，在五⾯体ABCDEF中，四边形EDCF是正⽅形，AD DE=，090ADE∠=，120ADC DCB∠=∠=.(1)证明：平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF ； (2)求直线AF 与平⾯BDF 所成⾓的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】分析：第⼀问证明⾯⾯垂直，在证明的过程中，利⽤常规⽅法，抓住⾯⾯垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果，第⼆问求的是线⾯⾓的正弦值，利⽤空间向量，将其转化为直线的⽅向向量与平⾯的法向量所成⾓的余弦值的绝对值，从⽽求得结果.详解：（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ?平⾯ABCD ，且AD CD D =I ，所以DE ⊥平⾯ABCD .⼜DE ?平⾯EDCF ，故平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF . （2）解：由已知//DC EF ，所以//DC 平⾯ABFE . ⼜平⾯ABCD ?平⾯ABFE AB =，故//AB CD . 所以四边形ABCD 为等腰梯形.⼜AD DE =，所以AD CD =，易得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA u u u v的⽅向为x 轴正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ??- ? ???，()B ，所以3,12FA ??=- ? ???u u u v，()DB =u u u v，12DF ??=- ? ???u u u v . 设平⾯BDF的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DB n DF ??=??=?u u u v u u u v 所以0,10,22x y z ?=??-++=??取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =， cos ,FA n FA n FA n ?===u u u vu u u v u u u v .设直线与平⾯BDF 所成的⾓为θ，则sin θ=. 所以直线AF 与平⾯BDF点睛：该题在解题的过程中，第⼀问⽤的是常规法，第⼆问⽤的是空间向量法，既然第⼆问要⽤空间向量，则第⼀问也可以⽤空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题⽅法是不唯⼀的.19.经销商第⼀年购买某⼯⼚商品的单价为a （单位：元），在下⼀年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠⼒度越⼤，具体情况如下表：上⼀年度销售额/万元[)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[)400,500[)500,+∞商品单价/元 a0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商⼀年的销售额，得到下⾯的柱状图.已知某经销商下⼀年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）该⼯⼚针对此次的调查制定了如下奖励⽅案：经销商购买单价不⾼于平均估计单价的获得两次抽奖活动，⾼于平均估计单价的获得⼀次抽奖活动.每次获奖的⾦额和对应的概率为记Y （单位：元）表⽰某经销商参加这次活动获得的资⾦，求Y 的分布及数学期望. 【答案】（1）0.873a （2）见解析【解析】分析：第⼀问根据题意，列出对应的变量的分布列，利⽤离散型随机变量的期望公式求得对应的平均值；第⼆问也是分析题的条件，将事件对应的情况找全，对应的概率值算对，最后列出分布列，利⽤公式求得其数学期望.详解：（1）由题可知：X 的平均估计值为：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=.（2）购买单价不⾼于平均估计单价的概率为10.240.120.10.040.52+++==. Y 的取值为5000，10000，15000，20000. ()1335000248P Y ==?=，()1113313100002424432P Y ==?+??=，()2111331500024416P Y C ===，()11112000024432P Y ==??=.所以Y 的分布列为()31331500010000150002000093758321632E Y =?+?+?+?=（元）.点睛：该题属于离散型随机变量的分布列及其期望值的运算，在解题的过程中，⼀定要对题的条件加以分析，正确理解，那些量有⽤，会提⽰我们得到什么样的结果，还有就是关于离散型随机变量的期望公式⼀定要熟记并能灵活应⽤.20.已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x =的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值．【答案】（1）1 2-（2解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),所以284b -=,故2b =.所以椭圆222:184x y C +=.(1)设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,84{1,84x y x y +=+= 两式相减得1212()()8x x x x +-+1212()()04y y y y +-=，⼜MN 的中点为(1,1),所以12122,2x x y y +=+=.所以21211 2y y x x -=--. 显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为12-. (2)椭圆右焦点2(2,0)?F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时,11 m n +=+8=. 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的⽅程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ,联⽴⽅程得22(2),{28,y k x x y =-+=消去y 并化简得222(12)8k x k x +-2880k +-=，因为222(8)4(12)k k ?=--+22(88)32(1)0k k -=+>，所以2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k -=+.所以m =22)12k k+=+同理可得22)2k n k +=+.所以11 m n +=2222122()118k k k k +++=++为定值. 【解析】分析：（1）先利⽤抛物线的焦点是椭圆的焦点求出284b -=，进⽽确定椭圆的标准⽅程，再利⽤点差法求直线的斜率；（2）设出直线的⽅程，联⽴直线和椭圆的⽅程，得到关于x 的⼀元⼆次⽅程，利⽤根与系数的关系进⾏求解.详解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ?+=+=?? 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，⼜MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=.所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-.（2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的⽅程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联⽴⽅程得()222,28,y k x x y ?=-?+=?消去y 并化简得()2222128880k xk x k +-+-=，因为()()()()222228412883210k k k k ?=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+.所以)22112k m k +==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ??+++=+=?++?为定值. 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利⽤点差法进⾏求解，⽐联⽴⽅程的运算量⼩，另设直线⽅程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解. 21.已知()'fx 为函数()f x 的导函数，()()()2'200x x f x e f e f x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()xaf x e x <-恒成⽴，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】分析：第⼀问给⾃变量赋值求得解析式，利⽤导数研究函数的单调性即可，第⼆问关于恒成⽴问题可以转化为求函数最值问题来解决，最值也离不开函数图像的⾛向，所以离不开求导确定函数的单调区间. 详解：（1）由()()0120f f =+，得()01f =-. 因为() ()2220xx f x ee f =-'-'，所以()()0220f f =-'-'，解得()00f '=.所以()22xx f x ee =-，()()22221x x x xf x e e e e ='=--，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则函数()f x 在(),0-∞上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）令()()()221xxx g x af x e x aea e x =-+=-++，根据题意，当()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成⽴.()()()()222211211x x x x g x ae a e ae e '=-++=--.①当102a <<，()ln2,x a ∈-+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()ln2,a -+∞上是增函数，且()()()ln2,g x g a ∈-+∞，所以不符合题意；②当12a ≥，()0,x ∈+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g ∈+∞，所以不符合题意；③当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所有恒有()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，于是“()0g x <对任意()0,x ∈+∞都成⽴”的充要条件是()00g ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤. 综上，a 的取值范围是[]1,0-.点睛：该题属于导数的综合应⽤问题，在解题的过程中，确定函数解析式就显得尤为重要，在这⼀步必须保持头脑清醒，第⼆问在证明不等式恒成⽴的时候，可以构造新函数，恒成⽴问题转化为最值来处理即可，需要注意对参数进⾏讨论.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xOy 中,直线l的参数⽅程为34x y a ?=?=?,（t 为参数），圆C 的标准⽅程为22(3)(3)4x y -+-=.以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标⽅程； (2)若射线(0)3πθρ=>与直线l 的交点为M ,与圆C 的交点为,A B ,且点M 恰好为线段AB 的中点,求a 的值.【答案】（1）cos sin ρθρθ-304a -+=.26cos 6sin 140ρρθρθ--+=（2）94a = 【解析】分析：（1）将直线l 的参数⽅程利⽤代⼊法消去参数，可得直线l 的直⾓坐标⽅程，利⽤cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的极坐标⽅程，圆的标准⽅程转化为⼀般⽅程，两边同乘以ρ利⽤利⽤互化公式可得圆C 的极坐标⽅程；（2）联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得3,23M π??+ ? ???，将323M π??+ ? ???代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，解⽅程即可得结果.详解：（1）在直线l 的参数⽅程中消去t 可得，304x y a --+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代⼊以上⽅程中，所以，直线l 的极坐标⽅程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标⽅程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ??，2,3A πρ??，3,3B πρ??. 联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB 的中点，所以1ρ=，即3M π.把3M π代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a ++=，所以94 a =.。
2018年广州市高考一模数学试卷(理科)
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2018年市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2018．3本试卷共5页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥A ．A BB ．A BC ．()()A B RRD ．()()A B RR3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45B ．35C ．45-D ．35-6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是A ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为A ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为A ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为A ．7B ．22C ．3D ．1012．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为 A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-DC ABE二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b，若+=+a b a b ，则实数m = ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥切球的半径为 ．15．△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=， 则cos θ的值为 ．16．我国南宋数学家辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“辉三角形”．现将辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 图②图①某地1~10岁男童年龄ix（岁）与身高的中位数iy()cm()1,2,,10i =如下表：x（岁） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y()cm76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y()1021x xii∑-=()1021y yii∑-=()()101x x y yi ii∑--=5.5 112.45 82.50 3947.71 566.85（1）求y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）；（2）某同学认为，2y px qx r=++更适宜作为y关于x的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x=-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx=+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a y bx=-．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD-中，△ABD为正三角形，︒=∠120BCD，2CB CD CS===，︒=∠90BSD．（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若BDSC⊥，求二面角CSBA--的余弦值．()()()121nx x y yi iib nx xii=--∑=-∑=DCBS已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M上的动点，点)N，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-． （1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，数a 的取值围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．。
(完整)【省级联考】2018年广东省高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B． C．D．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．275．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．26．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞10010．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A． B．（98，146）C． D．（98，266）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=．14．设x，y 满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～1000010000以上男生人数/127155人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C 过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y 轴分别交于M，N 两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．2018年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【分析】把z=a+4i（a∈R）代入（2﹣i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z=（2﹣i）（a+4i）=（2a+4）+（8﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B． C．D．【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．4．已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（）A．0 B．9 C．18 D．27【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′（x）=24x2﹣6，计算可得f′（1）的值，结合导数的几何意义分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足，则f（x）=8x3﹣6x，其导数f′（x）=24x2﹣6，则有f′（1）=24﹣6=18，即函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为18；故选：C．【点评】本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式．5．已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．2【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c==a，则双曲线C的离心率e==，故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．6．的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160 C．100 D．80【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案．【解答】解：=，∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3的项为．∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4=96+8π，故选：B．【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题．8．已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin （2x﹣），取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误．∴正确的结论是B．故选：B．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】解：n=1，s=0，n=2，s=2，n=3，s=4，…，n=99，s=，n=100，s=，n=101＞100，结束循环，故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：根据正弦定理可得===，∴sinB=，sinC=，∵2bsinB+2csinC=bc+a，∴+=bc+a，∴b2+c2=abc+a2，∴b2+c2﹣a2=abc，∴==cosA=∴a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S=bcsinA=bc≤△ABC故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．11．已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣，∴M（﹣，0），∴=（，）•（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣，则当t2=，即t=±时，的最小值为﹣故选：C．【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题12．设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（）A． B．（98，146）C． D．（98，266）【分析】不妨设a＜b＜c＜d，利用f（a）=f（b）=f（c）=f（d），结合图象可得c的范围，且2a+2b=2，c+d=11，将所求式子转化为c的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，由x≤2时，f（x）=|2x+1﹣2|，可得2﹣2a+1=2b+1﹣2，可化为2a+2b=2，当x＞2时，f（x）=x2﹣11x+30，可得c+d=11，令x2﹣11x+30=2，解得x=4或7，由图象可得存在a，b，c，d使得f（a）=f（b）=f（c）=f（d），可得4＜c＜5，即有16＜2c＜32，则2a+2b+2c+2d=2+2c+2d=2+2c+，设t=2c，则t+在（16，32）递减，可得g（t）=t+∈（96，144），则2+2c+的范围是（98，146）．故选：B．【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|=1．【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴=；∴．故答案为：1．【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．14．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为2．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z=x+y 的最大值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=﹣．【分析】由题意可得m=，再利用三角恒等变换求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=，IE=6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，．∴．该四棱锥的外接球的体积V=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），解得：d．（2）=（2n+3）•3n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．∴=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），化为：d2﹣2d=0，解得：d=2．∴a n=5+2（n﹣1）=2n+3．（2）=（2n+3）•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=5+7×3+9×32+……+（2n+3）•3n﹣1．∴3S n=5×3+7×32+……+（2n+1）×3n﹣1+（2n+3）×3n，∴﹣2S n=5+2（3+32+……+3n﹣1）﹣（2n+3）×3n=5+2×﹣（2n+3）×3n，解得S n=（n+1）3n﹣1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：10000以上步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000127155男生人数/人03791女性人数/人规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望．（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率．【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），由此能求出P（X≤2）和X的数学期望．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出P（x＞y）．【解答】解：（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），∴P（X≤2）=1﹣（）3=，X的数学期望E（X）=3×=．（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，P（x=3，y=2）==，P（x=3，y=1）==，P（x=3，y=0）=×=，P（x=2，y=1）=×=，P（x=2，y=0）=×=，P（x=1，y=0）=×=，∴P（x＞y）=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）根据AE⊥EF，AE⊥CF可得AE⊥平面BCFE，故而平面AEFD⊥平面EBCF；（2）建立空间坐标系，根据BD⊥EC求出AE，求出平面BDF和平面BCD的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E，F分别为线段AB，DC的中点，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．（2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直，故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0），F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m），∴=（﹣m，2，m），，∵DB⊥EC，∴﹣m2+8=0，∴m=2．∴=（﹣2，2，2），，，设面DBF的法向量为，则，即，令y=4可得：=（3，4，），同理可得平面CDB的法向量为，∴cos＜＞===．由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角，∴二面角F﹣BD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y 轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．【解答】解：（1）由题意可得=，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，故椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|，令y=0，可得x=﹣，即|NO|=||，则S=|MO|•|y1|，S△QMO=|MO|•|y2|，△PMOS△PNO=|MO|•|x1|，S△QNO=|NO|•|x2|，由，可得=，即有﹣2=﹣2，可得=，即=（）2=k2，由y=kx+m代入椭圆+y2=1，可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0，即为1+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，可得=k2•，即有4k2=1（m≠0），可得k=﹣（舍去），则直线l的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（lnx﹣x+1）．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．【分析】（1）令f′（x）=0可得x=1或xe x﹣a=0，讨论a的范围得出方程xe x﹣a=0的根的情况，从而得出结论；（2）讨论a的范围，分别得出f（x）的最小值，从而得出结论．【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）e x+a（﹣1）=（x＞0），令g（x）=xe x﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）e x＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）=﹣a．∴当a≤0或a=e时，f′（x）=0只有1个零点，当0＜a＜e或a＞e时，f″（x）有两个零点．（2）当a≤0时，xe x﹣a＞0，则f（x）在x=1处取得最小值f（1）=﹣e，当a＞0时，y=xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0，使得x0e﹣a=0，若a＞e，则x0＞1，故函数f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减，又f（1）=﹣e，不符合题意；若0＜a＜e时，则0＜x0＜1，设正数b=e∈（0，1），则f（b）=（b﹣2）e b+a（lnb﹣b+1）＜aln（e﹣b+1）=a（﹣）=﹣e ﹣ab＜﹣e，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可；（2）别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，求出得ρ1，ρ2的值，从而求出三角形的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=x；（2）分别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4，ρ2=4+2，则△OMN的面积为×（2+4）×（4+2）×sin（﹣）=8+5．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x）=，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x＜，x≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=﹣g（x2）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|=|3a+1|，故g（x）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max=，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2018年广东省高考数学真题(理科)及答案
绝密★启用前 试卷类型：A2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔讲试卷类型（A ）填涂在答题卡相应的位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
参考公式：台体的体积公式V=31(S 1+S 2+21s s )h,其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X 的分布列为1 2 3 P则X 的数学期望E （X ）=A.B. 2C. D 35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是X。
高三数学-2018年广东高考数学模拟测试题(理科) 精品
2018年广东高考数学测试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟．（考试时间：2018年8月26日）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率kn k k n n P P C k P --=)1()(第 I 卷 （选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．已知=+-=+ni m i n m ni im 是虚数单位，则是实数，，，其中11A ．1+2iB ． 1–2iC ．2+iD ．2–i 3．已知0＜a ＜1，lo g lo g 0a a m n <<，则A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜1 4．若α是第二象限的角，且2s in 3α=，则=αcosA ．13B ． 13- C ． 3D ． 3-5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 486．三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A —BC —D 的大小为A ． 300B ． 450C ．600D ．900 7． 已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是A ．a=b, b=aB ．a=c, b=a, c=bC ．a=c, b=a, c=aD ．c=a, a=b, b=c8．已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8yx x -=<- B ．)1(1822>=-x yxC ．1822=+yx （x > 0） D ．221(1)10yx x -=>第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【省会检测】2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z(1﹣i）2=4i,则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．设集合A=｛x|＜0}，B=｛x｜x≤﹣3},则集合{x/x≥1｝=（)A．A∩B B．A∪B C．（∁R A)∪（∁R B}D．（∁R A)∩（∁R B｝3．若A，B，C,D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为(）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．5．已知，则=（)A．B．C．D．6．已知二项式(2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．48．若x，y满足约束条件,则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣9．已知函数f（x）=sin（ωx+)（ω＞0)在区间[﹣，］上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2］10．已知函数f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对（a,b）为（）A．（﹣3,3）B．（﹣11，4) C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11) 11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2｜CD|。
=，双曲线过C,D,E三点,且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为(）A．B．2 C．3 D．12．设函数f（x)在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x)=2x2，当x＜0时，f'(x)+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a)+2a+1，则实数a的最小值为（)A．B．﹣1 C．D．﹣2二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若｜|=｜｜+｜|，则实数m=．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数,记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列｛a n｝的前n项和为S n，数列｛}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列｛a n}的通项公式;（2）设数列{b n ｝满足++…+=5﹣（4n+5）（）n，求数列｛b n}的前n项和T n．18．（12。
2018年高考广东省理科数学真题答案
2018 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学答案123456789101112C B A BD A B D C A B A13.614.6315.1616.33217. （ 12分）解：（ 1）在△ABD中，由正弦定理得BD AB.sin A sin ADB由题设知，52，所以 sin ADB 2 .sin 45sin ADB5由题设知，ADB90，所以 cos ADB1223 .255（2）由题设及（1）知，cos BDC sin ADB 2 .5在△ BCD 中，由余弦定理得BC 2BD 2DC 2 2 BD DC cos BDC2582522 2525.所以 BC 5.18.（12 分）解：（ 1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF.又 BF 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（ 1）得，PH⊥平面ABFD.以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，| BF |为单位长，成立如下图的空间直角坐标系 H- xyz.由（ 1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= 3 .又PF=1，EF=2，故 PE⊥PF.可得 PH3,EH 3 . 22则 H (0,0,0),P(0,0,3), D( 1,3,0), DP(1,3,3), HP(0,0,3) 为平面ABFD的22222法向量 .HP DP 33 .设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则 sin||4|HP| |DP|34所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 .419. （ 12 分）解：（ 1）由已知得F (1,0) ，l的方程为x=1.由已知可得，点 A 的坐标为(1,2)或 (1,2) . 22所以 AM 的方程为y 2 x2或 y 2 x 2 .22（2）当l与x轴重合时，OMA OMB0 .当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直均分线，所以OMA OMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y k(x 1)(k0)，A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x12, x2 2 ，直线MA，MB的斜率之和为k MA k MB y1y 2.x12x2 2由 y1kx1k, y2kx2k得kMA kMB2kx1 x23k( x1x2)4k .( x12)( x22)将 y k( x1) 代入x2y21得2(2k21)x24k 2 x2k 220 .所以， x1x24k 2, x1x22k 22. 2k22k211则 2kx1 x2 3k( x1x2 )4k34k12k 38k 34k0. 4k2k21进而 k MA kMB0，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMA OMB .综上，OMA OMB .20.（12 分）解：（ 1） 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) C220 p2 (1p)18.所以f ( p) C220 [2 p(1 p)1818 p2 (1 p)17 ] 2C220 p(1p)17 (1 10 p) .令 f ( p) 0 ，得 p 0.1.当 p (0,0.1) 时， f ( p) 0 ；当 p (0.1,1) 时， f ( p)0 .所以 f ( p) 的最大值点为p00.1 .（2）由（ 1）知，p 0.1.（i）令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知Y : B(180,0.1) ， X 20225Y ，即 X 40 25Y .所以 EX E(40 25Y )4025EY 490 .（ ii）假如对余下的产品作查验，则这一箱产品所需要的查验费为400元 .因为 EX 400 ，故应当对余下的产品作查验.21.（12 分）解:（ 1）f (x)的定义域为(0,) ， f ( x)11a x2ax1. x2x x2（i）若a 2 ，则 f ()x 0，当且仅当 a 2 ，x 1时 f(x)0 ，所以 f ( x) 在 (0,)单一递减 .（ii）若a 2 ，令 f (x)0 得，x a a24或 x a a2 4 .22当 x(0, aa24) U (aa2 4 ,) 时，f( x) 0；22当x ( aa2 4 , a a 2 4 )时， f ( x).所以f ( x)在22(0, aa24),(aa24,) 单一递减，在 (aa24,aa24)单一递加.2222（2）由（ 1）知，f ( x)存在两个极值点当且仅当a 2 .因为 f ( x) 的两个极值点x1, x2知足 x2ax 1 0 ，所以x1x2 1 ，不如设 x1x2，则 x21.因为f (x1) f (x2 )1 1 a ln x1ln x2 2 aln x1ln x2x1x2x1x2x1x2x1x2所以f ( x1)f ( x2 )a2等价于1x2 2ln x2 0 .x1x2x2设函数 g(x)1x2ln x ，由（1）知， g (x) 在 (0,x 2a2ln x2，1x2x2) 单一递减，又 g(1)0 ，进而当 x(1,) 时， g( x)0 .所以1x2 2ln x20，即 f ( x1 ) f ( x2 )a2. x2x1x222 ． [选修 4-4 ：坐标系与参数方程]（ 10分）【分析】（ 1）由xsoc，ysin得C2 的直角坐标方程为( x1)2y2 4 ．（2）由（ 1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为 2 的圆．由题设知，C1 是过点B(0, 2)且对于y轴对称的两条射线．记y轴右侧的射线为l1 ，y轴左侧的射线为l2．因为B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1 与C2 只有一个公共点且l2 与C2有两个公共点，或l2 与C2 只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1 与C2 只有一个公共点时，A到l1 所在直线的距离为2 ，所以| k 2 |4或k0 ．k 22，故 k3 1经查验，当k4时，l1与C2只有一个0 时，l1与C2没有公共点；当k3公共点，l2 与C2 有两个公共点．当l2 与C2 只有一个公共点时，A到l2 所在直线的距离为 2 ，所以| k 2 |，故k4．k 220 或 k13经查验，当 k0 时， l 1 与C2没有公共点；当k4时， l 2 与C2没有公共3点．综上，所求C1的方程为y4| x | 2 ．323 ． [选修 4-5 ：不等式选讲 ]（ 10 分）2, x 1, 【分析】（ 1）当 a 1 时，f (x)| x1| | x 1| ，即 f ( x)2x, 1 x 1,2, x1.故不等式f (x)1的解集为 { x | x1} ．2（2）当 x (0,1) 时 | x 1| | ax 1|x 成立等价于当 x (0,1) 时 | ax 1| 1成立．若 a 0 ，则当 x(0,1) 时 | ax 1| 1 ；若 a 0 ， | ax 1| 1 的解集为 0x 2 ，所以 2 1，故 0 a 2 ． a a综上， a的取值范围为(0, 2]．。
2018年全国高考广东省数学(理)试卷及答案【精校版】
2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
广东省七校2018届第一次联考理科数学试题及详细解析
2017～2018学年度 高三第一次联考理 科 数 学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.2{|450},{|||2},A x x x B x x =--≤=≤则()R AB =ð（）A .[2,5] B.(2,5] C.[1,2]- D.[1,2)- 1. 【答案】B【解析】2{|450}{|(5)(1)0}[1,5],{|||2}[2,2],A x x x x x x B x x =--≤=-+≤=-=≤=-()R R (,2)(2,),(2,5]B A B ∴=-∞-+∞∴=痧2．如果复数21m i mi++是纯虚数,那么实数m 等于（ ）A ．1-B ．0C ．0或1D ．0或1-2. 【答案】D【解析】设2(,0)1m i bi b R b mi +=∈≠+，则2m i mb bi +=-+，所以21m mb b ⎧=-⎨=⎩，解得0m =或1-3．设,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z x y =+最大值是（ ）A ．3；B ．4；C ．6 D.8 3．【答案】C【解析】作可行域如图所示，由z x y =+得y x z =-+，作直线y x =-并平移经过可行域内的点，当直线过点(6,0)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大，此时max 606z =+=26x y +-26x y +-4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在 区间(3,6)内的概率为（ ） （附：正态分布2(,)N μσ中，()68.26%,(22)95.44%P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=） A ．4.56% B.13.59% C ．27.18% D.31.74% 4．【答案】B【解析】(36)(06)(03)P P P ξξξ<<=<<-<≤()111(22)()95.44%68.26%13.59%222P P μσξμσμσξμσ=-<<+--<<+=⨯-= 5．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．2xy = C ．22x x y -=- D ．22x x y -=+5．【答案】C宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学【解析】选项A 既不是奇函数也不是偶函数，选项B,D 是偶函数，选项C ，设()22x x f x -=-，则()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()22()x x f x f x --=-=-，所以函数()f x 是奇函数；又因为2x y =是增函数，2x y -=是减函数，所以()22x x f x -=-是增函数 6．下列有关命题的说法正确的是( )A. 命题“若21x =,则1x =”的否命题为: “若21x =,则1x ≠”.B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C. 命题“R x ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“R x ∀∈,均有210x x ++<”.D. 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题. 6．【答案】D【解析】选项A ，否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，错误；选项B ，当1x =-时，2560x x --=成立；反过来，当2560x x --=成立时，1x =-或6， 所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，错误； 选项C ，否定是“x ∀∈R ,均有210x x ++≥”，错误；选项D ，原命题显然为真命题，所以其逆否命题也是真命题，正确. 7．已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（ ） A.关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称7．【答案】A【解析】函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，所以22,632k k Z ππππ⨯+=+=+∈ϕϕ，所以当6x π=时，cos(2)cos 202x k ππ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭ϕ，所以函数cos(2)y x ϕ=+的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称8．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图像大致是（ ）A. B. C. D.8．【答案】A【解析】设()()cos sin g x f x x x x '==-，则()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C ； 又(0)cos010g ==>，排除D ；()cossin022222g πππππ=-=-< ，排除B ，故选A9．二项式291(2)x x-展开式中,除常数项外,各项系数的和为（ ） A. 671- B. 671 C. 672D. 6739．【答案】B【解析】令1x =，得各项系数和为9(12)1-=-，其中常数项为()6332912672C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭，所以除常数项外，各项系数的和为1(672)671---=10.某一简单几何体的三视图如图1所示,该几何体的外接球的表面积是（ ） A. 13π B. 16π C. 25π D. 27π 10．【答案】C【解析】该几何体是一个长方体，其长、宽高分别为，侧视图其体对角线即为外接球的直径D ，则2223325D =++=所以其外接球的表面积225S D ππ==11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲2b b a =，12．【解析】D ；画出图象，显然可以排除A 、B 选项.由题()2f x x '=，200()f x x =，所以l 的方程为22000002()2y x x x x x x x =-+=-，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为11(,ln )x x ，所以l 的方程为111ln 1y x x x =+-，这样有01210121ln x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，所以()20001ln2,1,x x x +=∈+∞，令()2()ln21,1,g x x x x =--∈+∞，又因为2121()2x g x x x x-'=-=，所以()g x 在()1,+∞上单调增，又(1)ln20,10,20g g g =-<=-=->0x << D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.设向量a b 、满足:()1,2,a b a a b ==⊥-,则a 与b 的夹角是____.13．【答案】 3π【解析】()()22,cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a a b a b a b ⊥-∴⋅-=-⋅=-⋅=-=，1cos ,,2a b ∴=又因为,[0,),,3a b a b ππ∈∴= 14.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图2是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框 图,则输出的值为____.(参考数据:sin150.2588︒=,sin7.50.1305︒= 14．【答案】24 【解析】63sin60 3.10126sin 303 3.10n S n S =→=︒=<→→=→=︒=<→否否 2412sin15120.2588 3.1056 3.1024n S n →=→=︒=⨯=>→→=是输出15.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若3AF =，则BF =______. 15．【答案】32【解析】设1122(,),(,)A x y B xy ，则211111(1,0),13,2,482p F AF x x xy x =+=+=∴=∴==， 不妨设1y =，A ∴，直线AF 的方程为1)y x =-，将其代入24y x =并化简得：22520x x -+=，所以(2)(21)0x x --=，212x ∴=，2131222p BF x =+=+= 【方法2】设xFA ∠=θ，则231cos 1cos p AF ===--θθ，解得1cos 3=θ，则 2311cos 213p BF ===++θ16．在ABC △中，点D 在边AB 上，,5,2CD BC AC CD BD AD ⊥===，则AD 的长为 ．16．【答案】5 【解析】在ABC △中，因为2BD AD =，设(0)AD x x =>，则2BD x =．在BCD △中，因为CD BC ⊥，5,2CD BD x ==，所以5cos 2CD CDB BD x∠==． 在ACD △中，因为,5,AD x CD AC ===，由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯CDB ADC ∠+∠=π，所以cos cos ADC CDB ∠=-∠52x=-．解得5x =．所以AD 的长为5.DCBA三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且*10(21)(2),N n n n S a a n =++∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*,,N m n k ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；17.【解析】：(Ⅰ)11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．…………1分因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++.故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，.…………3分 整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．. 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=．…………5分 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.……………………………6分 （Ⅱ）满足条件的正整数,,m n k 不存在，证明如下：假设存在*,,N m n k ∈，使得2()m n k a a a +=，…………………8分则15151(51)2m n k -+-=-．…………………9分 整理，得3225m n k +-=， ①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数,,m n k 不存在．…………………12分 18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平 面ABE 与棱PD 交于点F ． (Ⅰ)求证：//AB EF ；(Ⅱ)若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18.【解析】(Ⅰ)∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ， ∴//AB 面PCD ，…………2分又∵,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， ∴//AB EF ；…………4分(Ⅱ) 取AD 中点G ，连接,PG GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥， 在菱形ABCD 中，∵,60AB AD DAB =∠=︒，G 是AD 中点， ∴AD GB ⊥，…………………6分如图，建立空间直角坐标系G xyz-，设2PA PD AD ===，则(0,0,0),(1,0,0),((1,0,0),G A B CD P --，又∵//AB EF ，点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴(E -，1(2F -，3(2AF =-,1(,2EF =，……………8分 设平面AFE 的法向量为(,,)n xy z =，则有00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3x =，则平面AFE的一个法向量为(3,3,3n =，…………………10分∵BG ⊥平面PAD ，∴GB=是平面PAF 的一个法向量， ∵cos ,39n GB n GBn GB⋅===⋅<>， ∴平面PAF 与平面AFE 12分 19.(本小题满分12分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36． (Ⅰ)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益；(Ⅱ)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．19.【解析】(Ⅰ)设下周一无雨的概率为p ，由题意，20.36,0.6p p ==，…………2分基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24,(7.5)0.16P X P X ====，………………………………………4分∴基地收益X 的分布列为：()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………………5分 ∴基地的预期收益为14.4万元．……………………………………………6分 (Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），…………………8分 ()() 1.6E Y E X a -=-，…………………9分综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．……………………12分20.(本小题满分12分)已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，M N 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ △面积的最小值．20.【解析】(Ⅰ)由题意可知：动点M 到定点(1,0)F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离，根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线。
广东省六校2018届高三第一次联考(理数).doc
广东省六校2018届高三第一次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}10A x x x =-<，{}e 1x B x =>，则=B A C R )(（ ） A ．[)1,+∞ B ．()0,+∞ C ．()0,1 D ．[]0,12．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知2,1==b a ，且b a ⊥，则b a +为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．22 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）6．下列选项中，说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则ln ln a b <B ．向量))(12,(),,1(R m m m m ∈-==，垂直的充要条件是1m =C ．命题“*n ∀∈N ，()1322n n n ->+⋅”的否定是“*n ∀∈N ，()1322n n n -≥+⋅”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题7．已知m ，n 为异面直线，α，β为平面，m ⊥α，n ⊥β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．∥αβ，且l ∥αB ．⊥αβ，且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8．若x ，y 满足1203220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则3z x y =-的最大值为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 9．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
【省会检测】2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z(1﹣i）2=4i,则复数z的共扼复数=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．设集合A=｛x|＜0}，B=｛x｜x≤﹣3},则集合{x/x≥1｝=（)A．A∩B B．A∪B C．（∁R A)∪（∁R B}D．（∁R A)∩（∁R B｝3．若A，B，C,D，E五位同学站成一排照相，则A，B两位同学不相邻的概率为(）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．5．已知，则=（)A．B．C．D．6．已知二项式(2x2﹣）n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（）A．﹣84 B．﹣14 C．14 D．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B． C． D．48．若x，y满足约束条件,则z=x2+2x+y2的最小值为（）A．B．C．﹣ D．﹣9．已知函数f（x）=sin（ωx+)（ω＞0)在区间[﹣，］上单调递增，则ω的取值范围为（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，2］10．已知函数f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10,则数对（a,b）为（）A．（﹣3,3）B．（﹣11，4) C．（4，﹣11）D．（﹣3，3）或（4，﹣11) 11．如图，在梯形ABCD中已知|AB|=2｜CD|。
=，双曲线过C,D,E三点,且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为(）A．B．2 C．3 D．12．设函数f（x)在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，都有f（x）+f （﹣x)=2x2，当x＜0时，f'(x)+1＜2x，若f（a+1）≤f（﹣a)+2a+1，则实数a的最小值为（)A．B．﹣1 C．D．﹣2二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分．13．已知向量=（m，2），=（1，1），若｜|=｜｜+｜|，则实数m=．14．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为．15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b，c，若2acos（θ﹣B）+2bcos（θ+A）+c=0，则cosθ的值为．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数,记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S3=2，S4=4，……，则S126=．三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12.00分）已知数列｛a n｝的前n项和为S n，数列｛}是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列｛a n}的通项公式;（2）设数列{b n ｝满足++…+=5﹣（4n+5）（）n，求数列｛b n}的前n项和T n．18．（12。
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2018年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2＜1}，则A∩B=xB={|x（）A=1．已知集合{x|﹣1＜1﹣x＜1}，A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜2}2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1C．2D．﹣23．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）．D．CA．．B）满足，则函数f（x）的图象在x=14．已知函数f（x处的切线斜）率为（27D．C．18 ．A．0B9=1（a＞0，b＞0 已知F是双曲线C：﹣）的一个焦点，点F到C的一5．条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）．D．．B22．CA3的系数为（）的展开式中，6．xA．120 B．160 C．100 D．807．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）26/ 116π48+16πD．96+8πC．96+．A48+8πB．），则下列结论正确的是（已知曲线8．个单位长度，得到的曲线关于原点对称C向左平移A．把轴对称向右平移yB．把C个单位长度，得到的曲线关于个单位长度，得到的曲线关于原点对称．把C向左平移C轴对称D．把Cy向右平移个单位长度，得到的曲线关于的推论．主要用于解大衍之数五十”．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“9释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数曾经经历过的两仪数量总和，，2奇数项是序号平方减1再除以，列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，如图所示的程序…，50，，，，812，1824，3240，，，项依次是其前10024可以中，项而设计的，那么在两个“”100框图是为了得到大衍数列的前）先后填入（26/ 2100≥n是奇数，nB．n是偶数，n≥100 ．A100＞n是奇数，nn是偶数，n＞100D．C．，且，若A=所对的边分别为a，b，c，10．在△ABC中，角A，BC） +a．则△ABC的面积的最大值为（2bsinB+2csinC=bc．B．．C AD．2为抛物线的切，MB为x轴负半轴上的动点，MA．已知抛物线C：y=x，M11）B分别为切点，则的最小值为（线，A，．．CAD．B．）f（a，，bc，d 12．满足设函数，若互不相等的实数a dbca） +2d），则2+2的取值范围是（+2））=f（b=f（c=f（），26698．C），（B．A．98146 ．D（分，将答案填在答题纸上）5二、填空题（每题分，满分20．=|，则30°的夹角为已知单位向量．13 ，|﹣26/ 3+y ．的最大值为14．设x，y，则满足约束条件z=x15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则m=．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a}满足a=5，且a，a，a成等11n136比数列．（1）求数列{a}的通项公式；n（2）设，求数列{b}的前n项和S．nn18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步0～30003001～60006001～80008001～10000以上10000512715/男生人数26/ 4人03791/女性人数人．”，否则为“懈怠性规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”人一天行走的步数发生的概率，）以这50人这一天行走的步数的频率代替1（1的数学X2）和P记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求（X ≤期望．人，女性人（男性106（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取人，从中任的有24人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”懈和记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”“意选取3人，的人，记选到“积极性”的人数为y；求yx＞2怠性”的各有2人，从中任意选取概率．，，且BC=2AD=4，∥BCAB⊥BC（19．12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD，得到如下的CFAEFD折起，使AE⊥把，EF分别为线段AB，DC的中点，沿EF立体图形．；）证明：平面AEFD⊥平面EBCF（1的余弦值．﹣CF（2）若BD⊥EC，求二面角﹣BD的离心率为，且C过点20．（12.00分）已知椭圆．的方程；C（1）求椭圆（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y两点，且满足（其中NO为坐标轴分别交于M，的斜率为定值．l原点）．证明：直线x．）+﹣（e2x=xf12.00．21（分）已知函数（）（﹣）+alnxx126/ 5（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；（2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22=20，以坐标4）+（y﹣分）在直角坐标系xOy中，圆C：（x﹣2）22．（10.001θ=：C．O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，原点2的平面直角坐标系方程；C1）求C的极坐标方程和（21C，MO的交点为θ=与C，设C、C（2）若直线的极坐标方程为3231的面积．N，求△OMN的交点为与CO、1]：不等式选讲4-5[选修．﹣），3x﹣a|+|+1|g（x=|4x1|﹣2||x+x=3xf23．已知函数（）|的解集；）＜6x1（）求不等式g（的取值范围．fR∈，x2（）若存在x，使得（xa）互为相反数，求（g）和x2121 26/ 62018年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2＜1}，则A∩B=（，}B={x|x）．1 已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜2}【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，2＜1}={x|﹣1＜xB={x|x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1C．2D．﹣2【分析】把z=a+4i（a∈R）代入（2﹣i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z=（2﹣i）（a+4i）=（2a+4）+（8﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）26/ 7．．．B．CAD根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【分析】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：【解答】，P==．A故选：求出黑色阴影部分的面积是解决本本题主要考查几何概型的概率计算，【点评】题的关键．处的切线斜（x）的图象在x=1已知函数4．f（x，则函数）满足f）率为（27．9．C．18 DA．0B2，计算﹣x）=24x6【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′（）的值，结合导数的几何意义分析可得答案．（1可得f′3，﹣6xfx（）满足x）=8x，则【解答】解：根据题意，函数f（2，﹣6x）=24x其导数f′（；处的切线斜率为18x，即函数f（）的图象在x=16=181则有f′（）=24﹣．C故选：本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式．【点评】的一（﹣=1a＞0F到C）的一个焦点，点＞，b0CF 5．已知是双曲线：）的离心率为（，则双曲线C条渐近线的距离为2a2D．．A2 B．C．26/ 8【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得=ac=，由双曲线的离心率公式计算可得答案．：是双曲线C0）的一个焦点，【解答】解：根据题意，F﹣=1（a＞0，b＞若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，=a则，c==e=，则双曲线C的离心率故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b．3的系数为（x6．）的展开式中，A．120 B．160 C．100 D．803的项得答案．x【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有=解：，【解答】35的项为的展开式中含x+∵，x（12x）3的项为的展开式中含．x3的系数为40+的展开式中，∴x80=120．．A故选：【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）26/ 916π+．4816π．96+ D48+8πB．96+8πCA．由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【分析】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，【解答】，+8π2π2××4=962（4×6﹣4π）+×∴表面积为：46×2+．故选：B属于基础题．结构特征，面积计算，【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，），则下列结论正确的是（已知曲线8．个单位长度，得到的曲线关于原点对称C向左平移A．把轴对称向右平移y个单位长度，得到的曲线关于B．把C个单位长度，得到的曲线关于原点对称CC．把向左平移轴对称．把DCy向右平移个单位长度，得到的曲线关于直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【分析】个单位长度，向左平移【解答】解：把C，=cos2x+））﹣]=sin（2可得函数解析式为y=sin[（x+2x错误；Ay轴对称，故得到的曲线关于个单位长度，向右平移把C﹣（[可得函数解析式为，﹣）（]）﹣=sin2x﹣=cos2xy=sin2x26/ 10得到的曲线关于y轴对称，故B正确；向左平移个单位长度，把C+（x，可得函数解析式为y=sin[）﹣]=sin（2x2+）y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故x=0，得C错误；取）﹣]x=sin﹣y=sin个单位长度，可得函数解析式为[把C向右平移2（，（2x﹣）﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错取x=0，得y=误．∴正确的结论是B．故选：B．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题．9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序“”中，100项而设计的，那么在两个可以框图是为了得到大衍数列的前）先后填入（26/ 11100n≥．n是奇数，BA．n是偶数，n≥100100＞n是奇数，n．n是偶数，n＞100 DC．模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【分析】，s=0解：n=1，【解答】，s=2n=2，，s=4n=3，，…，，s=n=99，s=n=100，，＞100n=101结束循环，．D故选：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，【点评】以便得出正确的结论，是基础题．，且，C所对的边分别为ab，c，若A=，，中，角在△．10 ABCAB）ABCa+2bsinB2csinC=bc+．则△的面积的最大值为（26/ 12．CDA ．B．．22=3+bc+c【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出，a=，再由余弦定理可得：b 利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．===【解答】，解：根据正弦定理可得sinC=，∴，sinB=++2csinC=bc，∵2bsinBa+∴，=bc+a222，=aabc∴b++c222=﹣∴b+caabc，=cosA==∴a=∴，2222=3+bcb，∴3=b++cc﹣bc，可得：22≥2bc（当且仅当cb=c时，等号成立）∵b，+∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，≤=bcbcsinA=∴S ABC△．C故选：三角形面积公式在解三角形中基本不等式，【点评】本题主要考查了余弦定理，的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．2为抛物线的切轴负半轴上的动点，MA，MB 已知抛物线C：y=x，M为x11．的最小值为（线，A，B）分别为切点，则．AB．C．D．2﹣ty﹣m=0，由直线，代入抛物线方程得的方程为【分析】设切线MAx=ty+my2+4m=0，分别求出A，B，与抛物线相切可得△=tM的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出26/ 132﹣ty﹣m=0，x=ty+m，代入抛物线方程得y【解答】解：设切线MA的方程为2+4m=0由直线与抛物线相切可得△=t，，﹣）（，），B则A，（﹣m=m，得将点A的坐标代入x=ty+，（﹣，0）∴M，22﹣t∴，﹣））=，=﹣（﹣，）?=（（2的最小值为﹣±时，=，即则当tt=．故选：C【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a12．）abcd的取值范围是（2+2）+2（（b）=fc）=f（d），则2+=f．D．（98 C，266）A146．B．（98，）【分析】不妨设a＜b＜c＜d，利用f（a）=f（b）=f（c）=f（d），结合图象可得ab=2，c+d=11，将所求式子转化为cc的范围，且2的函数，运用对勾函数的单+2调性，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）的图象，﹣2|，f（x）=|2由x≤2时，+1x﹣22﹣，=2可得2++1ab1ab=2，+可化为222﹣11x+）=x30，2当x＞时，f（x可得c+d=11，2﹣11x+30=2，令x解得x=4或7，由图象可得存在a，b，c，d使得f（a）=f（b）=f（c）=f（d），26/ 14c，＜16＜232，即有可得4＜c＜5ccbdcda，+=2+2++则22+22+2+2=2c）递减，，，则t32+16在（设t=2，144可得g（t）=t+）∈（96，c．146）的范围是（2则2+98，+．故选：B考查运算考查函数性质等基础知识，【点评】本题考查代数式取值范围的求法，求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．分，将答案填在答题纸上）20二、填空题（每题5分，满分= |1 13．已知单位向量，的夹角为30°，则|．﹣的值，从而可求出【分析】根据单位向量的夹角为30°即可求出的值．的值，进而得出的夹角为【解答】解：单位向量30°；26/ 15；∴，；∴=．∴．1故答案为：考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念．【点评】．2y的最大值为．设x，y满足约束条件，则z=x+14利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值【分析】画出约束条件的可行域，即可．的可行域如图，满足约束条件，解：xy【解答】时，目标函数取得最大值，A+y经过可行域的则z=x，2）（解得A4，﹣由．2+y 的最大值为：所以z=x．故答案为：2判断目标函数考查约束条件的可行域，【点评】本题考查线性规划的简单应用，的最优解是解题的关键．26/ 16m=15．已知sin10°+mcos10°=2cos140°，则，m=再利用三角恒等变换求得它的值．【分析】由题意可得由题意可得【解答】解：==m===﹣，．故答案为：﹣【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=，IE=6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，26/ 17解得：x=4．设OP=，可得，OC=为心Q，半径为R，外接球的球．．∴V=该四棱锥的外接球的体积．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{a}满足a=5，且a，a，a成等11n136比数列．（1）求数列{a}的通项公式；n）设，求数列{b}的前n项和S（2．nn【分析】（1）公差d不为零的等差数列{a}满足a=5，且a，a，a成等比数111n362=（5+2d）（5+10d），解得：d?a列．可得=a，即（5+5d）．113．利用错位相减法即可得出．（2））?3=（2n+3﹣1n【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a}满足a=5，且a，a，a成等113n16比数列．22﹣2d=0，解得：dd=2．）（5=（+2d）5+10d，化为：）+，即（?a=a∴55d113∴a=5+2（n﹣1）=2n+3．n26/ 18．?3（2n+3（2））=﹣1n．?32n+3+9×3）+……+（+∴数列{b}的前n项和S=57×3nn﹣1nn2，）×3（+1）﹣1n2×32n+33∴3S=5×3+7×++……+（2n n×﹣（2n+33）×3+（33）×+……+3=5+2）﹣（2n+∴﹣2S=5+2nn，3﹣n12nn．﹣11）3+解得S=（n n考【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，查了推理能力与计算能力，属于中档题．“微信运动”18．（就是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动12.00分）能看见自己与好友手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，人，每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：以上100008001～8000/步0～30003001～60006001～步数10000521157/男生人数人17930/女性人数人．”懈怠性”8000规定：人一天行走的步数超过步时被系统评定为“积极性，否则为“人一天行走的步数发生的概率，（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1的数学X2P积极性”的人数，求（X≤）和“X记表示随机抽取3人中被系统评为期望．人，女性10人（男性6人中先抽取）为调查评定系统的合理性，拟从这（250人，从中任积极性2”“4”的有人，懈怠性的有“人）4．其中男性中被系统评定为懈x”“人，意选取3记选到积极性的人数为；和积极性其中女性中被系统评定为“”“的的人数为”“人，记选到22的各有”怠性人，从中任意选取积极性y＞x；求y概率．26/ 19，）3，由X～“1）由题意得被系统评为积极性”B的概率为（=，【分析】（的数学期望．X（X≤2）和此能求出P（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出P（x＞y）．，）（3，的概率为～=，XB【解答】解：（1）由题意得被系统评为“积极性”3，=﹣（）X∴P（≤2）=1==3．×X的数学期望E（X）（2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，=，=x=3，y=2）P（==，y=1），P（x=3=×=，x=3P（，y=0）==，y=1P（x=2，）×=，×x=2，y=0）=P （=×y=0），=P（x=1，．=∴P（x＞y）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的26/ 20立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）根据AE⊥EF，AE⊥CF可得AE⊥平面BCFE，故而平面AEFD⊥平面EBCF；（2）建立空间坐标系，根据BD⊥EC求出AE，求出平面BDF和平面BCD的法向量即可得出二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E，F分别为线段AB，DC的中点，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE?平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．（2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直，故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图）设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0），F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m），，，m）（﹣m，2，∴=2m=2，∴+m∵DB⊥．EC，∴﹣8=0，，2）=∴（﹣，，2，2的法向量为，即，，则设面DBF3（，）4，，y=4可得：=令的法向量为CDB同理可得平面，26/ 21==∴cos．＜＞=由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角，的余弦值为．﹣C∴二面角F﹣BD【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．的离心率为，且C（12.00过点分）已知椭圆20．．的方程；）求椭圆C1（y轴，，Q均在第一象限），l与xPl（2）若直线与椭圆C交于P，Q两点（点为坐标M，NO两点，且满足（其中轴分别交于的斜率为定值．原点）．证明：直线l的关系，解方程，c）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、【分析】（1a，b，即可得到所求椭圆方程；ba可得，，）xQ的坐标为（，yP≠ml（2）由题意可设直线的方程为y=kx+，（m0），，11和韦达定0，可得）x（，y，联立椭圆方程，消去yx的方程，运用判别式大于22理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证．222，解：【解答】（=cba，+=1）由题意可得，=1﹣26/ 22c=，b=1，a=2解得，2=1C；的方程为+y故椭圆（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x，y），（x，y），2211令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|，||，|NO|令y=0，可得x==﹣，即=|MO|?|y|，Sy|，则S|=MO|?|21QMOPMO△△=|NO|?，S|x|，S?=|MO||x|21QNOPNO△△由，=，可得2=﹣2，即有﹣=，可得22，）即==k（2代入椭圆+my=kx=1，由+y222﹣1）m=0，）x4+8kmx+4k可得（1+（2222﹣1）＞0+4k，）（则△=64kmm16﹣（1 22＞0m1+4k，﹣即为=x，﹣，x=x+x211222m++xx）+m（+kxm）kx+）=kxxkm（（=yy2211121222m）+km=k?+（﹣26/ 23，=2，=k?可得2，）m≠即有4k0=1（，舍去）（可得k=﹣的斜率为定值．l则直线考查直线方主要是离心率和基本量的关系，【点评】本题考查椭圆方程和性质，以同时考查三角形的面积的求法，程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，及化简整理的运算能力，属于中档题．x．）+1（lnx﹣（x﹣2）ex+a=21．（12.00分）已知函数f（x））零点的个数；xf'（f（x）的导函数（1）讨论的取值范围．，求a（x）的最小值为﹣e2（）若函数fxx a=0﹣讨论a的范围得出方程x=1或xexe﹣a=0，f′【分析】（1）令（x）=0可得的根的情况，从而得出结论；）的最小值，从而得出结论．（xa的范围，分别得出f（2）讨论x，）＞0﹣1）（=x）=（x﹣1）e+ax（【解答】解：（1）f′（xx，+x）=（x1）e0＞，令g（x）=xe﹣a（x＞0）g′（∞）上单调递增，+∴g（x）在（0，．x）＞g（0）=﹣a∴g（个零点，只有1（x）=0f′∴当a≤0或a=e时，）有两个零点．x时，f″（a当0＜a＜e或＞ex，）x）在x=1处取得最小值f（1=﹣e（xea（2）当≤0时，＞﹣a0，则fx，x0在（，+∞）上单调递增，则必存在正数＞当a0时，y=xe﹣a0，﹣a=0使得xe0，1，）和（x+∞）上单调递增，在（10xf1＞，则＞若aex，故函数（）在（，00）上单调递减，x026/ 24又f（1）=﹣e，不符合题意；b=e∈（0，1，设正数1），0＜a＜e时，则0＜x＜若0b（﹣）==a﹣e）﹣b﹣2）e（+alnb﹣b+1）＜aln（+e1b则f（b）=（，不符合题意．＜﹣e﹣ab．]综上，a的取值范围是（﹣∞，0考查函数零点个数与单调性的本题考查了函数单调性判断与最值计算，【点评】关系，属于中档题．两题中任选一题作答，如果多做，则请考生在22、2310（二）选考题：共分.]：坐标系与参数方程选修4-4按所做的第一题记分.[22，以坐标+（y﹣4）=20：22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C（x﹣2）1．θ=：为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C原点O2的平面直角坐标系方程；）求C的极坐标方程和C（121C，C（2）若直线的极坐标方程为的交点为θ=C与，设CO、M3231的面积．与COMN，求△O、N的交点为1，整理即可；，y=ρsinθx=ρcosθ【分析】（1）根据的值，从而求出三角，θ=代入ρ，求出得（2）别将θ=，ρ8sinθρ=4cosθ+21形的面积．22，8y=0+y﹣4x﹣x）∵圆（【解答】解：1C的普通方程为12，﹣ρx=ρcosθ把，y=ρsinθ代入方程得﹣4ρcosθ8ρsinθ=0，8sinθρ=4cosθ的极坐标方程是故C+1；x的平面直角坐标系方程是Cy=2代入ρ=4cosθ+）分别将（2θ=8sinθ，，θ=2+，4=2ρ得+ρ=4，214+的面积为．=8sin+）×（42）×（﹣）+5×（2OMN则△【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档26/ 25题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x，x∈R，使得f（x）和g（x）互为相反数，求a的取值范围．2112【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠?，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．=），．g（x1|﹣|x+2|【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；＜，，解得：﹣＜x﹣2＜6x﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x，3＞，解得：x﹣2＜x6≥时，4x﹣1﹣；）综上，不等式的解集是（﹣，3）成立，（=﹣gx，存在x∈R，使得f（x）∈（2）因为存在xR2211，≠?}x），x∈RgRy=f（x），x∈}∩{y|y=﹣（|所以{y，3a+1|=﹣3x3a）﹣（3x+1）||≥3xxx又f（）=3|﹣a|+|+1||（，x）的最小值是﹣故g（，≤a1）g（x，所以=|3a+|≤≤，解得﹣可知﹣max．，]的取值范围为所以实数a[﹣【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．26/ 26。