江苏省盐城市东台市三仓中学2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷 Word版含解析
江苏省盐城市东台市创新学校2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省盐城市东台市创新学校高三(上)12月月考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若集合A=(﹣∞,m],B={x|﹣2<x≤2},且B⊆A,则实数m的取值范围是.2.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a﹣2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a=.3.已知函数,则f(1+log23)=.4.复数i2(1﹣2i)的实部是5.如果执行下列伪代码,则输出的值是6.设函数是奇函数,则实数m的值为.7.已知直线过函数f(x)=sin(2x+φ)(其中)图象上的一个最高点,则的值为.8.在锐角△ABC中,AB=2,BC=3,△ABC的面积为,则AC的长为.9.已知正实数a,b满足9a2+b2=1,则的最大值为.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=4.点P是DC边的中点,则的值为.11.若函数f(x)=lnx+ax2﹣(a+2)x在处取得极大值,则正数a的取值范围是.12.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m=.13.已知数列{a n}的前n项S n=(﹣1)n•,若存在正整数n,使得(a n﹣p)•(a n﹣p)﹣1<0成立,则实数p的取值范围是.14.设函数f(x)=|e x﹣e2a|,若f(x)在区间(﹣1,3﹣a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a的取值范围是.二、解答题(本大题6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.设向量,=(cosx,cosx),.(1)若∥,求tanx的值;(2)求函数f(x)=•的周期和函数最大值及相应x的值.16.已知函数.(1)求f(x)的单调减区间;(2)若f(x)在区间[﹣3,4]上的最小值为,求a的值.17.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC,D、E分别为BC、B1C的中点.(1)求证:DE∥平面ABB1A1;(2)求证:平面ADE⊥平面B1BC.18.已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.19.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x ≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:P=1000(x+t ﹣8)(x≥8,t≥0),Q=500(8≤x≤14).当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?20.已知函数f(x)=x3﹣3ax(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)的极小值;(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围;(3)设g(x)=|f(x)|,x∈[﹣1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.附加题【选修4-2:矩阵与变换】21.(选修4﹣2:矩阵与变换)求曲线2x2﹣2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中,.【选修4-4:坐标系与参数方程】22.选修4﹣4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ=0,曲线C的参数方程为(α是参数),又直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.23.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是棱AB,BC 上的点,且EB=FB=1.(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值;(2)试在面A1B1C1D1 上确定一点G,使DG⊥平面D1EF.24.已知(x+1)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+a3(x﹣1)3+…+a n(x﹣1)n,(其中n∈N*)(1)求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n;(2)试比较S n与(n﹣2)2n+2n2的大小,并说明理由.2015-2016学年江苏省盐城市东台市创新学校高三(上)12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若集合A=(﹣∞,m],B={x|﹣2<x≤2},且B⊆A,则实数m的取值范围是[2,+∞).【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】根据集合A=(﹣∞,m],B={x|﹣2<x≤2},且B⊆A,m需满足,m≥2.【解答】解:∵集合A=(﹣∞,m],B={x|﹣2<x≤2},且B⊆A,∴m≥2.故答案为:[2,+∞).2.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a﹣2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a=﹣1.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】由已知中,两条直线的方程,l1:x+ay+6=0和l2:(a﹣2)x+3y+2a=0,我们易求出他们的斜率,再根据两直线平行的充要条件,即斜率相等,截距不相等,我们即可得到答案.【解答】解:∵直线l1:x+ay+6=0和l2:(a﹣2)x+3y+2a=0,∴k1=,k2=l2,则k1=k2若l1∥即=解得:a=3或a=﹣1又∵a=3时,两条直线重合故答案为﹣13.已知函数,则f(1+log23)=.【考点】对数的运算性质;函数的值.【分析】根据分段函数的性质,把x=1+log23分别反复代入f(x﹣1)直到x≤0,再代入相应的函数解析式,从而求解;【解答】解:∵∵1+log23>0,∴f(1+log23)=f[(1+log23)﹣1)]=f(log23)∵log23>0f(log23)=f(log23﹣1),∵log23﹣1>0∴f(log23﹣1)=f(log23﹣2),∵log23﹣2≤0,∴f(log23﹣2)==×23=,故答案为.4.复数i2(1﹣2i)的实部是﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.【分析】利用i的幂运算,直接化简,然后求出复数的实部.【解答】解:复数i2(1﹣2i)=﹣(1﹣2i)=﹣1+2i,所以复数的实部为﹣1故答案为:﹣15.如果执行下列伪代码,则输出的值是13【考点】伪代码.【分析】模拟执行程序代码,依次写出每次循环得到的S,k的值,当k=5时,不满足条件k<5,退出循环,输出S的值为13.【解答】解:模拟执行程序,可得k=0满足条件k<5,执行循环体,S=3,k=1,满足条件k<5,执行循环体,S=﹣,k=2,满足条件k<5,执行循环体,S=﹣,k=3,满足条件k<5,执行循环体,S=,k=4,满足条件k<5,执行循环体,S=13,k=5,不满足条件k<5,退出循环,输出S的值为13.故答案为:13.6.设函数是奇函数,则实数m的值为1.【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据奇函数的定义,可得f(﹣x)=﹣f(x),结合函数解析和对数的运算性质,可得答案.【解答】解:∵函数是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),即=﹣,即+=lg[]=lg(1+(m﹣1)x2)=0,即1+(m﹣1)x2=1,故m=1,故答案为:17.已知直线过函数f(x)=sin(2x+φ)(其中)图象上的一个最高点,则的值为﹣1.【考点】正弦函数的图象.【分析】首先,根据已知条件,得到该函数解析式,然后,再求解即可.【解答】解:∵直线过函数f(x)=sin(2x+φ)(其中)图象上的一个最高点,∴sin(2×+φ)=1,∴φ=﹣,∴f(x)=sin(2x﹣),∴f()=sin(2×﹣)=sin=﹣1.故答案为:﹣1.8.在锐角△ABC中,AB=2,BC=3,△ABC的面积为,则AC的长为.【考点】正弦定理.【分析】由题意及三角形面积公式可得:=×2×3×sinB,解得sinB,又B为锐角,可求cosB,由余弦定理即可求得AC的值.【解答】解:∵AB=2,BC=3,△ABC的面积为,∴由三角形面积公式可得:=×2×3×sinB,解得:sinB=,又B为锐角,可得:cosB==,∴由余弦定理可得:AC===.故答案为:.9.已知正实数a,b满足9a2+b2=1,则的最大值为.【考点】基本不等式;椭圆的简单性质.【分析】利用(x,y>0)即可得出.【解答】解:∵正实数a,b满足9a2+b2=1,∴=≤=,当且仅当=时取等号.∴的最大值为.故答案为:.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=4.点P是DC边的中点,则的值为7.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】把中的两个向量用基底<>表示,展开后得答案.【解答】解:∵AB=6,AD=4,∴====.故答案为:7.11.若函数f(x)=lnx+ax2﹣(a+2)x在处取得极大值,则正数a的取值范围是(0,2).【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值点,结合已知条件,判断即可.【解答】解:f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=+2ax﹣(a+2)=,①a≤0时,ax﹣1<0,令f′(x)>0,解得:x>,令f′(x)<0,解得:0<x<,故是函数的极小值点,不合题意,②0<a<2时,<,令f′(x)>0,解得:x<或x>,令f′(x)<0,解得:<x<,∴f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增,∴函数f(x)在处取得极大值,符合题意,③a=2时,f′(x)≥0,f(x)递增,无极值,④a>2时,>,令f′(x)>0,解得:x>或x<,令f′(x)<0,解得:<x<,∴f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增,∴函数f(x)在x=处取得极大值,不符合题意,综上,a∈(0,2),故答案为:(0,2).12.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m=8.【考点】等差数列的性质;等比数列的通项公式.【分析】由S3,S9,S6成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用等比数列的前n 项和公式化简,得到关于q的关系式,再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边,将得到的关于q的关系式整理后代入,即可得出m的值.【解答】解:∵S n是等比数列{a n}的前n项和,且S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6,即=+,整理得:2(1﹣q9)=1﹣q3+1﹣q6,即1+q3=2q6,又a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=2a1q7,2a m=2a1q m﹣1,且a2+a5=2a m,∴2a1q7=2a1q m﹣1,即m﹣1=7,则m=8.故答案为:813.已知数列{a n}的前n项S n=(﹣1)n•,若存在正整数n,使得(a n﹣p)•(a n﹣p)﹣1<0成立,则实数p的取值范围是.【考点】数列的求和.【分析】S n=(﹣1)n•,可得:当n=1时,a1=﹣1;当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1.若存在正整数n,使得(a n﹣p)•(a n﹣p)<0成立,当n=2时,(a1﹣p)(a2﹣p)<0,解得p范﹣1围.当n≥3时,<0,对n分类讨论即可得出.【解答】解:∵S n=(﹣1)n•,=(﹣1)n•﹣(﹣1)n﹣1∴当n=1时,a1=﹣1;当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=,﹣p)•(a n﹣p)<0成立,若存在正整数n,使得(a n﹣1当n=2时,(a1﹣p)(a2﹣p)=(﹣1﹣p)<0,解得.当n≥3时,<0,当n=2k时,<0,∵﹣=>0.∴﹣<p <.可得:﹣<p <.当n=2k ﹣1时, <0,﹣<p <,∴﹣<p <.综上可得:实数p 的取值范围是﹣1<p <..故答案为:.14.设函数f (x )=|e x ﹣e 2a |,若f (x )在区间(﹣1,3﹣a )内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a 的取值范围是 (﹣,) .【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出函数f (x )的表达式,利用数形结合,结合导数的几何意义进行求解即可. 【解答】解:当x ≥2a 时,f (x )=|e x ﹣e 2a |=e x ﹣e 2a ,此时为增函数, 当x <2a 时,f (x )=|e x ﹣e 2a |=﹣e x +e 2a ,此时为减函数,即当x=2a 时,函数取得最小值0,设两个切点为M (x 1,f (x 1)),N ((x 2,f (x 2)), 由图象知,当两个切线垂直时,必有,x 1<2a <x 2,即﹣1<2a <3﹣a ,得﹣<a <1,∵k 1k 2=f ′(x 1)f ′(x 2)==﹣=﹣1,则=1,即x 1+x 2=0,∵﹣1<x 1<0,∴0<x 2<1,且x 2>2a , ∴2a <1,解得a <,综上﹣<a <,故答案为:(﹣,)二、解答题(本大题6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.设向量,=(cosx,cosx),.(1)若∥,求tanx的值;(2)求函数f(x)=•的周期和函数最大值及相应x的值.【考点】正弦函数的定义域和值域;平面向量共线(平行)的坐标表示;同角三角函数间的基本关系;三角函数的化简求值;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.【分析】(1)利用的充要条件得到,化简求出tanx的值;(2)利用向量的数量积公式求出f(x)的解析式,利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f(x),利用周期公式求出周期;利用整体角处理的思路求出函数的最大值.【解答】解:(1)∵,∴,∵,∴cosx≠0,∴,∴.(2)f(x)===.∴.∵,∴当,即时,f(x)取得最大值,最大值为16.已知函数.(1)求f(x)的单调减区间;(2)若f(x)在区间[﹣3,4]上的最小值为,求a的值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)先求导函数,利用导数小于0,解不等式可求f(x)的单调减区间;(2)由(1)可知函数的极值点,从而确定函数f(x)在区间[﹣3,4]上的单调性,将极小值与函数的端点函数值比较,即可求出f(x)在[﹣3,4]上的最小值,由此可求a的值.【解答】解:(1)∵f′(x)=﹣x2+2x+3,令f′(x)<0,则﹣x2+2x+3<0.解得:x<﹣1或x>3.∴函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞).…2…又∵,∴f(﹣1)<f(4).…∴f(﹣1)是f(x)在[﹣3,4]上的最小值.∴.解得a=4.…17.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC,D、E分别为BC、B1C的中点.(1)求证:DE∥平面ABB1A1;(2)求证:平面ADE⊥平面B1BC.【考点】平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定.【分析】(1)利用三角形的中位线的性质证明线面平行.(2)利用直三棱柱的性质证明BB1⊥AD,利用等腰三角形的性质证明AD⊥BC,从而证明AD⊥平面B1BC.【解答】证明:(1)在△CBB1中,∵D、E分别为BC、B1C的中点,∴DE∥BB1又∵BB1⊂平面ABB1A1,DE⊄平面ABB1A1∴所以DE∥平面ABB1A1.(2)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1,BB1⊥平面ABC,∵AD⊂平面ABC,∴BB1⊥AD∵在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC∵BB1∩BC=B,BB1、BC⊂平面B1BC,∴AD⊥平面B1BC.又∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面B1BC.18.已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.【考点】等差数列的通项公式;数列的求和.【分析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,分别表示出a2a6=55,a2+a7=16联立方程求得d 和a1进而根据等差数列通项公式求得a n.(2)令c n=,则有a n=c1+c2+…+c n,a n+1=c1+c2+…+c n+1两式相减得c n+1等于常数2,进而可得b n,进而根据b1=2a1求得b1则数列{b n}通项公式可得,进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1.【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则依题意可知d>0由a2+a7=16,得2a1+7d=16①由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55②由①②联立方程求得得d=2,a1=1或d=﹣2,a1=(排除)∴a n=1+(n﹣1)•2=2n﹣1(2)令c n =,则有a n =c 1+c 2+…+c na n +1=c 1+c 2+…+c n +1 两式相减得a n +1﹣a n =c n +1,由(1)得a 1=1,a n +1﹣a n =2 ∴c n +1=2,即c n =2(n ≥2), 即当n ≥2时,b n =2n +1,又当n=1时,b 1=2a 1=2∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n +1=2n +2﹣6,n ≥2,.19.某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x 元/千克,政府补贴为t 元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系:P=1000(x +t ﹣8)( x ≥8,t ≥0),Q=500(8≤x ≤14).当P=Q 时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? 【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法.p=Q 得到方程,当根的判别式≥0时,方程有解,求出解可得函数.然后△≥0,原题t ≥0,8≤x ≤14以及二次根式自变量取值范围得t 的另一范围,联立得两个不等式组,求出解集可得自变量取值范围.第二小题,价格不高于10元,得x ≤10,求出t 的取值范围. 【解答】解:(1)依题设有1000(x +t ﹣8)=500,化简得5x 2+(8t ﹣80)x +(4t 2﹣64t +280)=0. 当判别式△=800﹣16t 2≥0时,可得x=8﹣±.由△≥0,t ≥0,8≤x ≤14,得不等式组:①②解不等式组①,得0≤t≤,不等式组②无解.故所求的函数关系式为函数的定义域为[0,].(2)为使x≤10,应有8≤10化简得t2+4t﹣5≥0.解得t≥1或t≤﹣5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.20.已知函数f(x)=x3﹣3ax(a∈R)(1)当a=1时,求f(x)的极小值;(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围;(3)设g(x)=|f(x)|,x∈[﹣1,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义.【分析】(1)由f(x)=x3﹣3ax,得f′(x)=3x2﹣3a,当f′(x)>0,f′(x)<0时,分别得到f(x)的单调递增区间、单调递减区间,由此可以得到极小值为f(1)=﹣2.(2)要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,只需令直线的斜率﹣1小于f(x)的切线的最小值即可,也就是﹣1<﹣3a.(3)由已知易得g(x)为[﹣1,1]上的偶函数,只需求在[0,1]上的最大值F(a).有必要对a进行讨论:①当a≤0时,f′(x)≥0,得F(a)=f(1)=1﹣3a;②当a≥1时,f (x)≤0,且f(x)在[0,1]上单调递减,得g(x)=﹣f(x),则F(a)=﹣f(1)=3a﹣1;当0<a<1时,得f(x)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增.当f(1)≤0时,f(x)≤0,所以得g(x)=﹣f(x),F(a)=﹣f()=2a,当f(1)>0,需要g(x)在x=处的极值与f(1)进行比较大小,分别求出a的取值范围,即综上所述求出F(a)的解析式.【解答】解:(1)∵当a=1时,f′(x)=3x2﹣3,令f′(x)=0,得x=﹣1或x=1,当f′(x)<0,即x∈(﹣1,1)时,f(x)为减函数;当f′(x)>0,即x∈(﹣∞,﹣1],或x∈[1,+∞)时,f(x)为增函数.∴f(x)在(﹣1,1)上单调递减,在(﹣∞,﹣1],[1,+∞)上单调递增∴f(x)的极小值是f(1)=﹣2(2)∵f′(x)=3x2﹣3a≥﹣3a,∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当﹣1<﹣3a时成立,∴(3)因g(x)=|f(x)|=|x3﹣3ax|在[﹣1,1]上是偶函数,故只要求在[0,1]上的最大值①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)=0,∴g(x)=f(x),F(a)=f(1)=1﹣3a.②当a>0时,,(ⅰ)当时,g(x)=|f(x)|=﹣f(x),﹣f(x)在[0,1]上单调递增,此时F(a)=﹣f(1)=3a﹣1(ⅱ)当时,当f′(x)>0,即x>或x<﹣时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即﹣<x<时,f(x)单调递减.所以,在单调递增.1°当时,,;2°当(ⅰ)当(ⅱ)当综上所述附加题【选修4-2:矩阵与变换】21.(选修4﹣2:矩阵与变换)求曲线2x2﹣2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中,.【考点】几种特殊的矩阵变换.【分析】由已知中,.可得MN,P(x′,y′)是曲线2x2﹣2xy+1=0上任意一点,点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x,y),则有==,得到x′=x,y′=x+,代入曲线2x2﹣2xy+1=0可得变换后的曲线方程.【解答】解:∵,.∴MN==,…设P(x′,y′)是曲线2x2﹣2xy+1=0上任意一点,点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x,y),则有==于是x′=x,y′=x+.…代入2x′2﹣2x′y′+1=0得xy=1,所以曲线2x2﹣2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1.…所以曲线2x2﹣2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1…【选修4-4:坐标系与参数方程】22.选修4﹣4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ=0,曲线C的参数方程为(α是参数),又直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的长.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】把两曲线化为普通方程,分别得到直线与圆的方程,联立直线与圆的解析式,消去y得到关于x的一元二次方程,求出交点A与B的坐标,利用弦长公式求出弦AB的长度.【解答】解:直线l的直角坐标方程为x+2y=0,曲线C的普通方程为两者联立解得A和B的坐标为:和∴线段AB的长23.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是棱AB,BC 上的点,且EB=FB=1.(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值;(2)试在面A1B1C1D1 上确定一点G,使DG⊥平面D1EF.【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离;直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算.【分析】(1)以D为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系A﹣xyz,写出要用的点的坐标,把两条直线对应的点的坐标写出来,根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角.(2)因为点G在平面A1B1C1D1 上,故可设G(x,y,2).根据线面垂直,则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直,可构造关于x,y的方程组,解方程组可得G点位置.【解答】解:(1)以D为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,2),C1(0,4,2),E(3,3,0),F(2,4,0),于是=(﹣3,1,2),=(﹣2,﹣4,2),设设EC1与FD1所成角为β,则cosβ==.∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为.(2)因为点G在平面A1B1C1D1 上,故可设G(x,y,2).=(x,y,2),=(﹣2,﹣4,2),=(﹣1,1,0).由得解得故当点G在平面A1B1C1D1 上,且到A1d1,C1D1 距离均为时,DG⊥平面D1EF24.已知(x+1)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+a3(x﹣1)3+…+a n(x﹣1)n,(其中n∈N*)(1)求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n;(2)试比较S n与(n﹣2)2n+2n2的大小,并说明理由.【考点】二项式定理的应用;数学归纳法.【分析】(1)通过对x取1,2求出a0及S n(2)先通过不完全归纳猜出两者的大小,然后用数学归纳法证明.注意三歩:第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结.【解答】解:(1)取x=1,则a0=2n;取x=2,则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n,∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n;(2)要比较S n与(n﹣2)2n+2n2的大小,即比较:3n与(n﹣1)2n+2n2的大小,当n=1时,3n>(n﹣1)2n+2n2;当n=2,3时,3n<(n﹣1)2n+2n2;当n=4,5时,3n>(n﹣1)2n+2n2;猜想:当n≥4时,3n>(n﹣1)2n+2n2,下面用数学归纳法证明:由上述过程可知,n=4时结论成立,假设当n=k,(k≥4)时结论成立,即3k>(k﹣1)2k+2k2,两边同乘以3得:3k+1>3[(k﹣1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2]而(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2=(k﹣3)2k+4(k2﹣k﹣2)+6=(k﹣3)2k+4(k﹣2)(k+1)+6>0∴3k+1>((k+1)﹣1)2k+1+2(k+1)2即n=k+1时结论也成立,∴当n≥4时,3n>(n﹣1)2n+2n2成立.综上得,当n=1时,S n>(n﹣2)2n+2n2;当n=2,3时,S n<(n﹣2)2n+2n2;当n≥4,n∈N*时,S n>(n﹣2)2n+2n22016年11月7日。
江苏省东台中学高三数学12月阶段性考试试题苏教版

江苏省东台中学2013届高三阶段性考试数 学 试 题2012-12-01时间∶120分钟,满分∶160分。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。
请把答案填写在答卷纸相应位置.......上。
1. 已知集合{}{}3,2,0,3,2,1==B A ,则=B A I ________. 2. 已知a 是实数,1a ii-+是纯虚数,则=a ___________. 3.如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图,若去掉一个最高分和一个最低分后,则剩下数据的方差2s =________.4. 设等差数列}{n a 的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若________.5. 已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈,直线12:210,:10,l x y l ax by --=+-=则直线12l l ⊥的概率为 . 6.已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂.下列命题中,其中正确命题的序号是 __. ①若//αβ,则m l ⊥; ②若αβ⊥,则//m l ;③若m l ⊥,则//αβ; ④若//m l ,则αβ⊥. 7. 已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点,则双曲线C 的离心率为 .8. 已知222:450,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>,若p 是q 的充分不必要条件,则m 的最大值为 .9.已知结论:“在三边长都相等的ABC ∆中,若D 是BC 的中点,G 是ABC ∆外接圆的圆心,则2AGGD=”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中,若M 是BCD ∆的三边中线的交点,O 为四面体ABCD 外接球的球心,则AOOM= ”. 10. 若直线2ax -by +2=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2+2x -4y +1=0截得的弦长为4,则ba 32+的最小值是________.11. 设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ,则132+++x y x 的取值范围是______________.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (0,-1),B (-3,-4)两点,若点C 在AOB ∠的平分线上,且OC =u u u u rC 的坐标是_________. 13. 数列{}n a 中,()()111,()211n n n na a a n N n na *+==∈++,则数列{}n a 的前2012项的和为_________.14. 已知函数201221122012)(+++++++-+-++-=x x x x x x x f ΛΛ()x ∈R ,且)()22(2a f a a f >++,则满足条件的实数a 的取值范围是_________.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分14分) 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.已知(2cos )m A A =u r,(cos ,2cos )n A A =-r ,1m n ⋅=-u r r .(1)若a =2c =,求ABC ∆的面积;(2)求2cos(60)b ca C -+o 的值.16.(本小题满分14分)在三棱柱111ABC A B C -中,AA ,1BC ⊥︒=∠601AC A ,11AA AC BC ===, 21=B A .(1)求证:平面1A BC ⊥平面11ACC A ;(2)如果D 为AB 的中点,求证:1BC ∥平面1ACD .17. (本小题满分14分)如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(,H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点,F E ,分别落在线段AD BC ,上.已知20=AB 米,310=AD 米,记θ=∠BHE .(1)试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定 义域;(2)问:当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时 管道的长度.18. (本小题满分16分)如图,椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ,其左、右焦点分别为12,F F ,离心率12e =,,M N是椭圆右准线上的两个动点,且021=⋅F F . (1)求椭圆的方程; (2)求MN 的最小值;(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点?请证明你的结论.19. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,且a n +2=(1+2|cos n π2|)a n +|sinn π2|,n ∈N *.(1) 证明:数列{a 2n }(k ∈N *}为等比数列; (2) 求数列{a n }的通项公式; (3) 设b k =a 2k +(-1)k -1λ·221k a -(λ为非零整数),试确定λ的值,使得对任意k ∈N *都有b k+1>b k 成立.20. (本小题满分16分)已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>. (1)试判断函数()f x 在(0,)+∞上单调性并证明你的结论; (2)若()1kf x x >+恒成立,求整数k 的最大值; (3)求证:23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++>L江苏省东台中学2013届高三阶段性考试数学(附加题部分)试题时间∶30分钟,满分∶40分。
【精准解析】江苏省盐城市东台三仓中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

故选:B.
【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.
2.
cos
7 6
的值为(
)
A. 1 2
B. 3 2
1
C.
2
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可.
D. 3 2
【详解】cos =cos
=-cos =
.
故选 B.
-1-
【点睛】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值,是基本知识的考查.
3.已知幂函数
f
(x)
x
的图象经过点 2,
2
,则
f
(16)
(
2
)
1
A. 4
B. -4
C.
4
【答案】C
D. 1 4
【解析】
【分析】
把已知点坐标代入函数式求得 ,再求函数值.
【详解】由题意 2 2 , 1 ,
2
2
∴
f
(16)
1
16 2
1
.
4
故选:C.
【点睛】本题考查求幂函数的解析式,设出解析式 f (x) x ,代入已知条件如点的坐标求得
6.为了得到函数
y
sin
2x
3
的图象,只需把函数
y
sin
2
x
的图象(
)
A. 向左平移 个单位长度
6
C. 向左平移 个单位长度
3
B. 向右平移 个单位长度
6
D. 向右平移 个单位长度
3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据
江苏省东台市三仓中学高三12月月考——数学(1)数学

江苏省东台市三仓中学2015届高三12月月考数 学 试 题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷纸相应位置上.1.已知集合A ={1,2},B ={-1,0,1},则A ∪B =____________.2.命题“”的否定是 __________________ .3.已知向量,且,则实数 .4.已知一个等比数列前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为243,则该数列的项数为______________.5.已知,且,则___ .6.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧21-x ,x≤1,2-log 2x ,x >1,则满足f(x)≥1的x 的取值范围是____________.7.已知函数,若函数的零点所在的区间为,则___ .8.如图,在四边形ABCD 中,AC 和BD 相交于点O ,设AD →=a ,AB →=b ,若AB →=2DC →,则AO →=____________(用向量a 和b 表示).9.若函数()()(2)f x x a bx a =++是偶函数,且它的值域为,则 .10.1()sin()(0)26f x x πωω=+>的图象与直线相切,相邻切点之间的距离为. 若点是图象的一个对称中心,且, 则___ .11.已知定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(2)=1.若f(x +a)≤1对x ∈[-1,1]恒成立,则实数a 的取值范围是______________.12.函数()2()241f x x x x R =-+∈,若,且,则的最小值为 ___ . 13. 已知向量,满足,,,()()AC OA OB R λλ=+∈,若,则所有可能的值为 _________ .14. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c(a ,b ,c ∈R),若函数f(x)在区间[-1,0]上是单调减函数,则a 2+b 2的最小值为____________.二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答卷纸相应位置上.15.(本题满分14分)已知函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4sin ⎝⎛⎭⎫x +π4. (1) 求函数f(x)的最小正周期;(2) 求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域16.(本题满分14分)在中,分别为角所对的边,已知向量,()sin 2sin ,cos n C A C =-,且.(1)求角的大小;(2)若,,求的值.17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2x -11-x,若函数y =g(x)与y =f(x)的图象关于原点对称. (1) 写出函数g(x)的解析式;(2) 记y =g(x)的定义域为A ,不等式x 2-(2a -1)x +a(a -1)≤0的解集为B.若A 是B 的真子集,求a 的取值范围18.(本小题满分16分)某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x ∈N *)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝⎛⎭⎫a -3x 500万元(a >0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2) 在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a 的最大值是多少?19.(本小题满分16分)已知数列{a n }的首项a 1=2,且对任意n ∈N *,都有a n +1=ba n +c ,其中b ,c 是常数.(1) 若数列{a n }是等差数列,且c =2,求数列{a n }的通项公式;(2) 若数列{a n }是等比数列,且|b|<1,当从数列{a n }中任意取出相邻的三项,按某种顺序排列成等差数列,求使数列{a n }的前n 项和S n <341256成立的n 的取值集合.20.(本小题满分16分)已知函数,其中为实常数.(1)若在上恒成立,求的取值范围;(2)已知,是函数图象上两点,若在点处的两条切线相互平行,求这两条切线间距离的最大值;(3)设定义在区间上的函数在点处的切线方程为,当时,若在上恒成立,则称点为函数的“好点”.试问函数是否存在“好点”.若存在,请求出所有“好点”坐标,若不存在,请说明理由.二、解答题15、(1) ∵ f(x)=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4sin ⎝⎛⎭⎫x +π4 =12cos2x +32sin2x +(sinx -cosx)(sinx +cosx)(3分) =12cos2x +32sin2x +sin 2x -cos 2x =12cos2x +32sin2x -cos2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6.(6分) ∴ f(x)最小正周期T =2π2=π.(8分) (2) ∵ x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴ 2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6,(10分) ∴ sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6max =1,sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6min =-12,(12分) 即f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6的值域为⎣⎡⎦⎤-12,1.(14分) 16、(1)因为,所以()cos sin 2sin sin cos 0B C A B C -+=,即:()()sin 2cos sin sin 12cos 0B C B A A B +-=-= ························· 3分因为,所以,故, ············································································ 5分因为,所以. ··················································································· 7分(2)由(1)可知,因为,, 所以2222132cos 3a c ac a c ac π=+-=+-, ① ······················ 9分 又, ②由①②解得 ············································································· 11分所以cos 6BC BA ac B ⋅== ························································ 14分17、(1) 在函数y =g(x)的图象上任取一点P(x ,y),则P 关于原点的对称点P′(-x ,-y)在y =f(x)的图象上,(2分)则-y =--11--=-2x -1x +1=--2x -1x +1.(6分) (直接写出解析式无过程,扣2分)(2) 由-2x +1x +1-1<x≤-12,即A =⎝⎛⎦⎤-1,-12;(8分) x 2-(2a -1)x +a(a --1≤x≤a ,即B =[a -1,a].(11分) 因为A 是B 的真子集,故⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤-1a≥-12,得-12≤a≤0.(14分) 18、解:(1) 由题意得:10(1 000-x)(1+0.2x%)≥10×1 000,(4分)即x 2-500x≤0,又x >0,所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.(6分)(2) 从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝⎛⎭⎫a -3x 500x 万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x)⎝⎛⎭⎫1+1500x 万元, 则10⎝⎛⎭⎫a -3x 500x≤10(1 000-x)(1+0.2x%),(10分) 所以ax -3x 2500≤1 000+2x -x -1500x 2,所以ax≤2x 2500+1 000+x , 即a≤2x 500+1 000x+1恒成立.(12分) 因为2500x +1 000x ≥22x 500·1 000x =4, 当且仅当2x 500=1 000x,即x =500时等号成立.(14分) 所以a≤5,即a 的最大值为5.(15分)19、(1) 当c =2时,由已知得a 1=2,a 2=ba 1+2=2b +2,a 3=ba 2+2=2b 2+2b +2,因为{a n }是等差数列,所以a 1,a 2, a 3成等差数列,所以a 1+a 3=2a 2,即2+(2b 2+2b +2)=2(2b +2),所以b 2-b =0,解得b =0,或b =1.(2分) 当b =0时,a n =2,对n ∈N *,a n +1-a n =0成立,所以数列{a n }是等差数列, 当b =1时,a n +1=a n +2,对n ∈N *,a n +1-a n =2成立,所以数列{a n }是等差数列; 所以数列{a n }的通项公式分别为a n =2或a n =2n.(4分)(2)因为{a n }是等比数列,所以a 1,a 2,a 3成等比数列,所以a 1a 3=a 22, 即2[b(2b +c)+c]=(2b +c)2,化简得2bc +c 2=2c ,所以c =0或2b +c =2.当2b +c =2时,a 2=ba 1+c =2b +c =2,所以a n =2,不满足S n <341256. 当c =0时,若b =0,则与a 1=2矛盾,所以b≠0,因此a n =2b n -1.(8分) 则a n +1=2b n ,a n +2=2b n +1,因为a n ,a n +1,a n +2按某种顺序排列成等差数列, 所以有1+b =2b 2,或1+b 2=2b ,或b +b 2=2,解之得b =1或b =-12或b =-2.(12分) 又因为|b|<1,所以b =-12,所以S n =2⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-12n 1-⎝⎛⎭⎫-12=43⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-12n , 由S n <341256,得43⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-12n <341256,即⎝⎛⎭⎫-12n >11 024, 因为n 是正整数,所以n 的取值集合为{2,4,6,8}.(16分)20、解:(1)方法一:在上恒成立,即为在上恒成立,①时,结论成立;②时,函数2()(3)62h x a x x =-++图象的对称轴为,所以函数2()(3)62h x a x x =-++在单调递增,依题意,即,所以;③不合要求,综上可得,实数的取值范围是. ························································ 4分 方法二:在上恒成立等价于, 令()222613153222h x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭因为,所以,故所以.(2)设,,过点的两切线互相平行,则,所以(舍去),或,过点的切线:111'()()y y f x x x -=-,即1111'()()'()0f x x y f x x f x -+-=, ···································································································· 6分 过点的切线:2222'()()'()0f x x y f x x f x -+-=两平行线间的距离是d =11232322|()()|x x +--=8==,因为2121254516x x +≥=,所以 即两平行切线间的最大距离是. ························································ 10分(3)232()()62g x x f x ax x x ==++,设存在“好点”,由2'()3122g x ax x =++,得000()'()()()h x g x x x g x =-+, 依题意对任意恒成立, 因为0000()['()()()]g x g x x x g x x x --+-0000[()()]'()()g x g x g x x x x x ---=-, 323220000000[(62)(62)](3122)()ax x x ax x x ax x x x x x ++-++-++-=- 22200000[()6()2](3122)a x x x x x x ax x =+++++-++22000(6)(26)ax ax x ax x =++-+, ·················································· 13分所以22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意恒成立,①若,22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>不可能对任意恒成立,即时,不存在“好点”;②若,因为当时,22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+=,要使22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意恒成立,。
2017-2018学年江苏省盐城市东台市创新学校高一数学上12月月考试题(含答案)

2017-2018学年度第一学期2017级12月份数学检测试卷(考试时间:120分钟 满分:160分)命题时间:2017.12.23一.填空题。
1.已知集合{}7,6,4,2,1=A ,{}7,5,4,3=B ,则A B =2.计算:sin(4π-)= 。
3.角α终边经过点(1,-1),则tan α=______.4.已知扇形AOB 的半径OA 为3cm ,扇形的圆心角OB A ∠等于3π,则扇形的圆心角所对弧长等于______.cm5.幂函数21x x f =)(的定义域是 .6.若向量a =(3,m ),b =(2,-1),a ·b =0,则实数m 的值为________.7.已知向量a =(3,1),c =(k,-1),若向量a 和c 是互为相反的向量,则k =________.8.已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),则向量a ·和b 的关系是________.(选填:相等、共线、垂直、相反向量) 9.设cos(α+π)=32(π<α<3π2),那么sin(2π-α)的值为________. 10.把函数y =sin x 的图象上所有的点向__________ 平移 .个单位,可以得到函数y =sin(x +1)的图象,11.函数y =A sin(ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2,x ∈R )的部分图象如图所示,则函数表达式为____________.12.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD →=2DB →,CD →=13CA →+λCB →,则λ=________.13、定义在区间(0,π2)上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ,过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为___________ 14. 如图,,,A B C 是直线l 上的三点,P 是直线l 外一点,已知112A B B C ==,90CPB ∠=,4tan 3APB ∠=.则PA PC ⋅=______二.解答题。
高中江苏省盐城市东台三仓中学高一上学期12月月考数学试题

江苏省盐城市东台三仓中学【精品】高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.设集合}{0,1,2A =,集合{}1,1B =-,则A B =( )A .{}1,1-B .{}1C .}{1,0,1,2-D .{}1,01-,2.7cos 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值为( ) A .12-B.-C .12D3.已知幂函数()f x x α=的图象经过点⎛ ⎝⎭,则(16)f =( )A .4B .-4C .14D .14-4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A .2y x =B .tan y x =C .13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .3y x =5.设向量()(),1,1,3a m b ==-,且()a ab ⊥+,则m =( ) A .3B .-2C .1或-2D .1或36.要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 2y x =的图象( ) A .向右平移6π个单位 B .向右平移3π个单位 C .向左平移3π个单位 D .向左平移6π个单位 7.若扇形的圆心角为2弧度,它所对的弧长为4,则扇形的面积为( ) A .4B .2C .4πD .2π8.若函数2()log x f x =的定义域为[,]a b ,值域为[0,2],则b a -的最小值为( ) A .34B .3C .2D .32二、多选题9.已知函数()22x x f x -=-有下述四个结论,其中正确的结论是( ) A .(0)0f =B .()f x 是奇函数C .()f x 在(,)-∞+∞上单增D .对任意的实数a ,方程()0f x a -=都有解10.下列命题不正确的是( )A .若cos 0θ<,则θ是第二或第三象限角B .若αβ>,则cos cos αβ<C .若sin sin αβ=,则α与β是终边相同角D .α是第三象限角sin cos 0αα⇔>且sin 0tan αα< 11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论,其中正确的结论是( ) A .()f x 是偶函数 B .()f x 在[,]-ππ上有3个零点C .()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单增 D .()f x 的最大值为212.下列函数()f x 对任意的正数1x ,2x ,3x 满足123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++的有( )A .()42sin f x x =+B .()f x =C .()xf x e =D .()ln(1)f x x =+三、填空题13.集合{}2340A x ax x =--=的子集只有两个,则a 值为____________.14.函数()lg(5)f x x =-定义域为________.15.如图,在四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,且3AO OC =,已知9AB AD ⋅=,7CB CD ⋅=-,则BD =______.16.已知函数()223f x x x a =-+,()21g x x =-.若对任意[]10,3x ∈,总存在[]22,3x ∈,使得()()12f x g x ≤成立,则实数a 的值为____.四、解答题17.已知全集{}2,{|230},0U R A x x x B x x a ==--≤=-. (1)若2a =,求,()UA B A B ⋃⋂;(2)若A B A ⋂=,求实数a 的取值范围.18.(1)已知tan 2α=,求2sin()3cos()223cos sin()ππαααπα--+++的值;(2)计算:2lg 2)lg 2lg50lg 25+⋅+(. 19.已知函数()221x f x m =-+是定义在R 上的奇函数. (1)求实数m 的值;(2)如果对任意x ∈R ,不等式2()(1)0f kx x f x x -+--<恒成立,求实数k 的取值范围.20.已知22(sin ,cos )a x x =,22(sin ,cos )b x x =-函数()23sin cos 1f x a b x x =⋅++.(1)求函数()f x 的最小正周期及对称中心; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.21.如图,某城市拟在矩形区域ABCD 内修建儿童乐园,已知2AB =百米,4BC =百米,点E ,N 分别在AD ,BC 上,梯形DENC 为水上乐园;将梯形EABN 分成三个活动区域,M 在AB 上,且点B ,E 关于MN 对称.现需要修建两道栅栏ME ,MN 将三个活动区域隔开.设BNM θ∠=,两道栅栏的总长度()L ME MN θ=+.(1)求()L θ的函数表达式,并求出函数的定义域; (2)求()L θ的最小值及此时θ的值.22.已知二次函数()2f x ax bx c =++满足下列3个条件:①()f x 的图象过坐标原点;②对于任意x ∈R 都有11()()22f x f x +=-;③对于任意x ∈R 都有()1f x x ≥-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)令()()245g x f x x x m x x =+--+.(其中m 为参数)①求函数()g x 的单调区间;②设1m ,函数()g x 在区间(,)p q 上既有最大值又有最小值,请写出实数p ,q 的取值范围.(用m 表示出p ,q 范围即可,不需要过程)参考答案1.B 【解析】 【分析】根据交集定义计算. 【详解】由题意{1}A B ⋂=. 故选:B . 【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题. 2.B 【解析】 【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】 cos=cos=-cos=.故选B . 【点睛】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值,是基本知识的考查. 3.C 【分析】把已知点坐标代入函数式求得α,再求函数值. 【详解】由题意2α=12α=-, ∴121(16)164f -==. 故选:C . 【点睛】本题考查求幂函数的解析式,设出解析式()f x x α=,代入已知条件如点的坐标求得α即可得幂函数解析式,有时还要注意函数的性质以确定α的取舍. 4.D 【分析】由含绝对值函数、正切函数、指数函数、幂函数的性质判断. 【详解】2y x =是偶函数;tan y x =是奇函数,它在区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈上递增,在定义域内不能说是增函数;1()3xy =是减函数,它不是奇函数也不是偶函数;3y x =是奇函数,在定义域内是增函数. 故选:D . 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性,可根据基本初等函数的性质判断. 5.C 【分析】先求出a b +的坐标,根据()a ab ⊥+即可得出()a a b +=0,进行数量积的坐标运算即可求出m 的值. 【详解】()1,2a b m +=+-;∵()a ab ⊥+; ∴()aa b +=m(m+1)-2=0;解得m =1或﹣2. 故选C . 【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算,考查向量垂直的充要条件,属于常考题. 6.D 【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可;解:函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位. 故选:D . 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题,属于基础题. 7.A 【分析】根据扇形的弧长公式,面积公式计算即可, 【详解】21114222l l S lr l αα==⋅==∴ 选A.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式,面积公式,属于中档题. 8.A 【解析】 【分析】画出函数f (x )的图像,由定义域为[],a b ,值域为[]0,2,观察图像即可得到|b ﹣a |的最小值. 【详解】根据题意,画出函数f (x)图像,令2log 2x =可得x =14或x =4,定义域为[],a b ,值域为[]0,2, 由图象可知,定义域的最大区间[14,4],最小区间是[14,1],则b a -的最小值为1-14=34【点睛】本题考查对数函数的图象与性质,其中分析出满足条件的a ,b 的值,是解答的关键. 9.ABD 【分析】由函数式对每个选项进行判断. 【详解】()22x x f x -=-,00(0)220f =-=,A 正确; ()22()x x f f x x -=--=-,()f x 是奇函数,B 正确;1()22x x f x =-在R 上是减函数,C 错; 由于x →-∞时,()f x →+∞,x →+∞时,()f x →-∞,即()f x 的值域是(,)-∞+∞,它又是R 上的减函数,因此对任意实数a ,()f x a =有唯一解,D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性,考查函数的值域.利用指数函数性质是解题关键. 10.ABC 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质判断每个选项. 【详解】当2()k k Z θππ=+∈时,cos 10θ=-<,此时θ不是象限角,A 错;由于cos y x =在R 上不是减函数,因此由αβ>得不出cos cos αβ<,如0,2αβπ==-满足αβ>,但cos cos 2)απ=(-,B 错;若5,66ππαβ==满足sin sin αβ=,但,αβ的终边不相同,C 错; α是第三象限角,则sin 0,cos 0αα<<,tan 0α>,∴sin sin cos 0,0tan αααα><,反之,若sin sin cos 0,0tan αααα><,则cos 0,sin 0αα<<,α是第三象限角,D 正确. 故选:ABC . 【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的性质,考查各象限角的三角函数的符号,解题时可结合三角函数定义判断. 11.ABD 【分析】先分析函数()f x 的奇偶性,然后化简函数式得出性质. 【详解】由于()sin()sin sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=,∴()f x 是偶函数,A 正确;0x ≥时,()sin sin f x x x =+2sin ,220,222x k x k k x k πππππππ≤≤+⎧=⎨+<<+⎩,k ∈N ,它在[0,]π上有两个零点0和π,∴它在[,]-ππ上有三个零点,0,ππ-,B 正确;(,)2x ππ∈时,()2sin f x x =,它在(,)2ππ上递减,C 错;由()sin sin f x x x =+2sin ,220,222x k x k k x k πππππππ≤≤+⎧=⎨+<<+⎩,k ∈N ,及()f x 是偶函数,知其最大值是2,D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性,函数的最值与零点.解题时可由函数性质确定函数解析式(或部分解析式),然后再研究其性质.本题中函数要结合正弦函数性质进行判断. 12.ABD 【分析】根据四个选项中的函数证明不等式123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++成立或举反例说明不成立(举反例时中让123x x x ==).【详解】A .123123()42sin()6f x x x x x x ++=+++≤,123123()()()42sin 42sin 42sin 6f x f x f x x x x ++=+++++≥,A 正确;B .2123123x x x x x x =+++++,<B 正确;C .1231x x x ===时,1233x x x e e e e e ++=>++,C 错;D .123123122313123123(1)(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++++++>+++, ∴123123123ln[(1)(1)(1)]ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x x x x x x x x x +++=+++++>+++,D 正确.故选:ABD . 【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质,对于函数的性质123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++,正确的需进行证明,错误的可举一反例说明.13.0或916- 【分析】首先根据子集个数判断集合元素个数,转化为2340ax x 有1个实根求a 的值.【详解】若集合有n 个元素,子集个数是2n ,221n n ∴=⇒=,即集合A 有1个元素,2340ax x ∴--=有1个实根,当0a =时,43403x x --=⇒=-,满足条件, 当0a ≠时,()()23440a ∆=--⨯-=, 解得916a.综上,0a =或916a. 故答案为0或916-【点睛】 本题考查根据子集个数求集合元素个数,以及根据元素个数求参数取值范围的问题,属于基础题型,意在考查转化与化归,思考问题的全面性.14.[3,4)(4,5)⋃(或用集合形式{}354x x x ≤<≠且)【分析】使函数式有意义即可.【详解】 由题意3050lg(5)0x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩,解得35x ≤<且4x ≠ ,∴定义域为[3,4)(4,5)⋃.故答案为:[3,4)(4,5)⋃.【点睛】本题考查求函数的定义域.函数定义域就是使函数式有意义的自变量的集合15.6【分析】根据O 为BD 的中点,即可得出()12AO AB AD =+,而根据3AO OC =即可得出()4233AC AO AB AD ==+,进而可得出1233CB AB AD =-,2133CD AB AD =-+,从而求出()222599CB CD AB AD AB AD ⋅=-++⋅,而根据9,7AB AD CB CD ⋅=⋅=-即可得出2254AB AD +=,这样根据2222BD AD AB AB AD =+-⋅即可得出BD . 【详解】 O 为BD 的中点;()12AO AB AD ∴=+; 又3AO OC =;()4233AC AO AB AD ∴==+;()212333CB AB AC AB AB AD AB AD ∴=-=-+=-,2133CD AD AC AB AD =-=-+; 22225999CB CD AB AD AB AD ∴⋅=--+⋅; 又9AB AD ⋅=,7CB CD ⋅=-;()222759AB AD ∴-=-++; 2254AB AD ∴+=;2222()2541836BD AD AB AD AB AB AD ∴=-=+-⋅=-=; 6BD ∴=.故答案为6.【点睛】考查向量减法和数乘的几何意义,以及向量数量积的运算,向量加法的平行四边形法则.向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 16.13-【分析】将问题转化为()()max max f x g x ≤,根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值;分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况,得到()f x 每种情况下的最大值,从而得到不等式,解不等式求得结果.【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为:()()max max f x g x ≤当[]0,3x ∈时,()()min 113f x f a ==-+,()()max 333f x f a ==+当[]2,3x ∈时,()()max 22g x g ==①若330a +≤,即1a ≤-时,()max 1313f x a a =-+=-132a ∴-≤,解得:13a ≥-(舍) ②若13033a a -+≤<+,即113a -<≤时,()()(){}max max 1,3f x f f =- 又()113f a -=-,()333f a =+当1333a a ->+,即113a -<<-时,()max 13f x a =- 132a ∴-≤,解得:13a ≥-(舍) 当1333a a -≤+,即1133a -≤≤时,()max 33f x a =+ 332a ∴+≤,解得:13a ≤- 13a ∴=- ③若130a -+>,即13a >时,()max 3333f x a a =+=+ 332a ∴+≤,解得:13a ≤-(舍) 综上所述:13a =- 本题正确结果:13- 【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题,关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系,从而根据函数的单调性求得函数的最值,通过最值的比较构造不等式求得结果. 17.(1){|1}A B x x ⋃=≥-,(){|12}U A B x x ⋂=-≤≤;(2)1a <- 【分析】(1)当a=2时,求出集合A,B 和U B ,然后取并集和交集即可得到答案;(2) 由A B A ⋂=,可得A B ⊆,结合子集概念即可得到答案.【详解】2{|230}{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤,{}B x x a =(1)当2a =时,{}2B x x =,{|2}U B x x =≤ 所以{|1}A B x x ⋃=≥-,所以(){|12}U A B x x ⋂=-≤≤(2)因为A B A ⋂=,所以A B ⊆,所以1a <-【点睛】本题考查集合的交并补运算,考查集合间关系,子集的应用,属于简单题.18.(1)8(2)2【分析】(1)用诱导公式化简,再分子分母同除以cos α,化为tan α的式子,代入tan 2α=计算; (2)利用lg101,lg1002==及对数的运算法则计算.【详解】解:(1)2sin()3cos()2cos 3sin 223cos sin()3cos sin ππαααααπααα--++=++-23tan 23283tan 32αα++⨯===--. (2)原式lg2(lg2lg50)lg25=++2lg2lg25=+lg4lg25=+2=【点睛】本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系,考查对数的运算法则.属于基础题. 19.(1)1m =(2)(2,2)-【分析】(1)由(0)0f =求得参数m 值,再检验函数是奇函数.(2)先证明函数是增函数,则可把不等式化为2()(1)f kx x f x x -<-+,即21kx x x x -<-+对任意x ∈R 恒成立,移项为210x kx -+>,由∆<0得k 范围.【详解】解:(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,即02012m -=+, 即1m =,检验符合要求.(2)()2121x f x =-+,任取12x x <,则12211212221212(121222()()())()2x x x x x x f x f x =-=++-++-, 因为12x x <,所以1222x x <,所以12())0(f x f x -<,所以函数()f x 在R 上是增函数.因为2()(1)0f kx x f x x -+--<,且()f x 是奇函数所以,22()(1)(1)f kx x f x x f x x -<---=-+因为()f x 在R 上单调递增,所以21kx x x x -<-+对任意x ∈R 恒成立,即210x kx -+>对任意的x ∈R 恒成立∴240k ∆=-<,∴实数k 的取值范围为(2,2)-.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查利用奇偶性与单调性解函数不等式,注意函数不等式利用函数性质变形转化的一般步骤.20.(1)T π= 对称中心为,1212kππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,k ∈Z (2)0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由向量数量积运算计算()f x ,利用三角函数的同角关系、二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求周期和对称中心; (2)由正弦函数性质求出函数的单调增区间,然后确定在[0,]π上的增区间.【详解】解:(1)44()sin cos cos 1f x x x x x =-++2222(sin cos )(sin cos )21x x x x x =+-++2cos 21x x =-+2sin(2)16x π=-+ 所以,该函数的最小正周期22T ππ==; 令26x k ππ-=,则212k x ππ=+,所以对称中心为,1212k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,k ∈Z (2)令222262k x k πππππ-≤-≤+,k ∈Z ,则63k x k ππππ当0k =时,由630x x πππ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩,解得03x π≤≤; 当1k =时,由54630x x πππ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩,解得56x ππ≤≤ 所以,函数在[0,]π上的单增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算,考查三角函数的同角关系、二倍角公式、两角和的正弦公式,考查三角函数的周期、单调性,对称性.熟练掌握三角函数的性质、三角函数的公式是解题基础.21.(1)()2211cos cos sin L θθθθ=+, ,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)()L θ的最小值为4百米,此时6πθ=【分析】 (1)根据对称性得到BNM θ∠=,cos2cos2AM EM BM θθ==,计算得到 ()2211cos cos sin L ME MN θθθθ=+=+,再计算定义域得到答案. (2)化简得到()1()1sin sin L θθθ=-,设sin t θ=,2t ∈⎝⎭ 令()2t t t ϕ=-+,求其最大值得到答案.【详解】(1)在矩形ABCD 中,B ,E 关于MN 对称,BNM θ∠=2AME θ∴∠=,且BM EM =在Rt AEM ∆中,cos2cos2AM EM BM θθ==又2AM BM +=百米cos22BM BM θ∴+=2211cos 2cos BM EM θθ∴===+ Rt EMN ∴∆中,21sin cos sin EM MN θθθ== ()2211cos cos sin L ME MN θθθθ=+=+ 在Rt BMN ∆中,1cos sin cos BN MN θθθ== 02BM <<,04BN <<2102cos 104sin cos 02θθθπθ⎧<<⎪⎪⎪∴<<⎨⎪⎪<<⎪⎩, 解得124ππθ<<,∴函数的定义域为,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)()()222111sin 1()cos cos sin 1sin sin 1sin sin L ME MN θθθθθθθθθ+=+=+==-- 令sin t θ=,,124ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭,t ∴∈⎝⎭ 令()2t t t ϕ=-+,则当12t =∈⎝⎭,即6πθ=时取最大值,最大值为14百米 ()L θ∴的最小值为4百米,此时6πθ=.【点睛】 本题考查了三角函数的表达式,定义域,最值,意在考查学生的应用能力和计算能力.22.(1)()2f x x x =-;(2)①见解析;②422p m ≤<+,422m q m <≤-+【分析】(1)过原点说明(0)0f =得0c ,11()()22f x f x +=-表明函数的对称轴是12x =得=-b a ,2()f x ax ax =-,再由()1f x x ≥-恒成立可求得a ;(2)①()44g x x x m x =-+,先分类:4x m ≥和4x m <,在每一类去绝对值符号,得出函数的单调性,最后合并成函数在R 上的单调性;②由于不需要写过程,函数先增后减再增,借助于图象可得(图象可在草稿纸上作出).【详解】解:因为()00f =,所以0c. 因为对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以对称轴为12x =,即122b a -=,即=-b a ,所以()2f x ax ax =-, 又因为()1f x x ≥-,所以()2110ax a x -++≥对于任意x ∈R 都成立,所以00a >⎧⎨∆≤⎩,即()2010a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩,所以1a =,1b =-. 所以()2f x x x =-. (2)①()44g x x x m x =-+,当4x m ≥时,222()(44)[(22)](22)g x x m x x m m =+-=----若224m m ->,即1m <-,则()g x 在[4,22)m m -上递减,在(22,)m -+∞上递增, 若224m m -≤,即1m ≥-,则()g x 在[4,)m +∞上递增,当4x m <时,222()(44)[(22)](22)g x x m x x m m =-++=--+++,若224m m +<,即1m ,则()g x 在(,22)m -∞+上递增,在(22,4)m m +上递减, 若224m m +≥,即1m ,则()g x 在(,4)m -∞上递增,综上得:当1m 时,()g x 的增区间为(,22)m -∞+,(4,)m +∞,减区间为(22,4)m m +; 当1m <-时,()g x 的增区间为(,4)m -∞,(22,)m -+∞,减区间为(4,22)m m -;当11m -≤≤时,()g x 的增区间为(,)-∞+∞;②422p m ≤<+,422m q m <≤-+【点睛】本题考查求二次函数的解析式,考查含绝对值的函数的单调性.解题时必须掌握分类讨论思想、掌握二次函数性质.。
江苏省东台市三仓中学高三上学期第一次月考——数学数

东台市安丰中学2015届高三第一次学分认定考试数 学 试 题命题人:曹继东一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷纸相应位置.......上. 1.已知集合B A x R x x B A 则},5,|{},4,3,2,1{2<∈=--== ▲ ; 2.命题“,使得”的否定是 ▲ ; 3.的值为 ▲ ;4. 已知,那么的 ▲ 条件(“充要”,“充分不必要”,“必要不充分” “既不充分又不必要”)5.平面向量的夹角为,(2,0),223,a a b b =+==则 ▲ ;6.设则 ▲ ;7.函数的单调减区间为 ▲ ; 8.已知,,则 ▲ ;9.设,则不等式的解集为 ▲ ; 10. 设{}是公比为正数的等比数列,若=4,=16,则数列{}的前5项和为= ▲ ; 11. 定义在R 上的奇函数对任意都有,当时,,则 ▲ ;12. 在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.若a 2-b 2=3bc ,sinC =23sinB ,则A = ▲ ;13. 已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+>,若存在,使得成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22,设)1()12()(-*-=x x x f ,且关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是 ▲二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答卷纸相应位置.......上. 15.(本题满分14分)⎩⎨⎧≥-<=-2)1(log 22)(231x x x e x f x已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==. (1)若,求的值; (2)若,且,求的值.16.(本题满分14分)已知函数()f x =M ,函数的值域为N 。
江苏省东台市三仓中学高一数学12月月考试题

江苏省东台市三仓中学2014-2015学年高一数学12月月考试题一、填空题(本题共14小题,每小题5分,合计70分) 1. 计算=︒600sin .2. 已知,3log ,4log 55b a ==用b a ,表示=36log 25 .3.函数2y x =+的值域是 .4. 已知tan100k =o,则sin80o的值等于 .5. 已知集合{}2|2,p y y x x R ==-+∈,{}|2,Q y y x x R ==-+∈,那么P Q I = . 6. 定义运算a b *为:,(),(),a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩ 如121*=,则函数()22x x f x -=*的值域为 .7已知αsin 是方程06752=--x x 的根,且α是第三象限角,则9. 已知函数)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数,当30<<x 时,)(x f 的图象如图所示,则不等式0cos )(<x x f 的解集是 . 10当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数23sin 2cos y x x =--的值域为 . 11. .设0≤x≤2,则函数12()4325x x f x -=-⨯+的值域为 .12. 若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3,则a = . 13. 若31tan 1tan 1-=+-αα,则=+-+ααααα2cos cos sin cos sin .14.若函数)(x f 为偶函数,且在()+∞,0上是减函数,又0)3(=f ,则02)()(<-+xx f x f 的解集为 .二、解答题(本题共6小题,合计90分) 15.(本题满分14分)计算:(1)lg 25+lg2·lg50;(2)(log 43+log 83)( log 32+log 92)16.(本题满分14分)已知集合}023|{2=+-=x x x A ,}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B , (1)若}2{=B ,求实数a 的值; (2)若A B A =Y ,求实数a 的取值范围17.(本题满分14分)已知函数() 2.f x x x =- (1)写出()f x 的单调区间;(2)设a >0,求()f x 在[]0,a 上的最大值.18.(本题满分16分),A B 两城相距100km ,在两地之间距A 城xkm 处D 地建一核电站给,A B 两城供电.为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于45km .已知供电费用(元)与供电距离(km )的平方和供电量(亿度)之积成正比,比例系数0.2λ=,若A 城供电量为30亿度/月,B 城为20亿度/月.(Ⅰ)把月供电总费用y 表示成x 的函数,并求定义域;(Ⅱ)核电站建在距A 城多远,才能使供电费用最小,最小费用是多少?19.(本题满分16分)已知函数52sin cos )(22++-+=a a x a x x f (1)当1a =时,求函数()f x 的最大值; (2)若函数)(x f 有最大值2,试求实数a 的值。
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2017-2018学年江苏省盐城市东台市三仓中学高三(上)12月月考数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷纸相应位置上.1.已知集合A={1,2},B={﹣1,0,1},则A∪B= .2.p:∀x∈R,x2+1>0的否定是.3.已知向量=(1,2),=(﹣2,k),且∥,则实数k= .4.已知一个等比数列的前三项的积为3,后三项的积为9,且所有项的积为243,则该数列的项数为.5.已知,且tanα=﹣2,则cos2α= .6.已知函数f(x)=,则满足f(x)≥1的x的取值范围是.7.已知函数,若函数f(x)的零点所在的区间为(k,k+1)(k∈Z),则k= .8.如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=a,=b,若,则= .(用向量a和b表示)9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞,8],则ab= .10.的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为π.若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的一个对称中心,且,则x0= .11.已知定义在R上的偶函数f(x)在恒成立,则实数a的取值范围是.12.函数f(x)=2x2﹣4x+1(x∈R),若f(x1)=f(x2),且x1>x2,则的最小值为.13.已知向量,满足,,,,若,则λ所有可能的值为.14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函数f(x)在区间上是单调减函数,则a2+b2的最小值为.二、解答题(共6小题,满分90分)15.已知函数(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的值域.16.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知向量,,且.(1)求角B的大小;(2)若a+c=7,,求的值.17.已知函数f(x)=,若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)记y=g(x)的定义域为A,不等式x2﹣(2a﹣1)x+a(a﹣1)≤0的解集为B.若A是B 的真子集,求a的取值范围.18.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?19.已知数列{a n}首项a1=2,且对任意n∈N*,都有a n+1=ba n+c,其中b,c是常数.(1)若数列{a n}是等差数列,且c=2,求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}是等比数列,且|b|<1,当从数列{a n}中任意取出相邻的三项,按某种顺序排列成等差数列,求使{a n}的前n项和S n<成立的n取值集合.20.已知函数,其中a为实常数.(1)若f(x)>3x在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(2)已知,P1,P2是函数f(x)图象上两点,若在点P1,P2处的两条切线相互平行,求这两条切线间距离的最大值;(3)设定义在区间D上的函数y=s(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:y=t(x),当x ≠x0时,若在D上恒成立,则称点P为函数y=s(x)的“好点”.试问函数g(x)=x2f(x)是否存在“好点”.若存在,请求出所有“好点”坐标,若不存在,请说明理由.2014-2015学年江苏省盐城市东台市三仓中学高三(上)12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答卷纸相应位置上.1.已知集合A={1,2},B={﹣1,0,1},则A∪B= {﹣1,0,1,2} .考点:并集及其运算.专题:阅读型.分析:根据题意,A∪B是由集合A、B的全部元素组成的集合,列举A、B的全部元素,用集合表示即可得答案.解答:解:根据题意,集合A={1,2},B={﹣1,0,1},则A∪B={﹣1,0,1,2};故答案为{﹣1,0,1,2}.点评:本题考查集合并集的计算,注意两个集合中重复的元素(如本题的元素1、2只)在并集中能出现一次.2.p:∀x∈R,x2+1>0的否定是∃x∈R,x2+1≤0 .考点:的否定.专题:规律型.分析:本题中的是一个全称,其否定是一个特称,由规则写出否定即可解答:解:∵“∀x∈R,x2+1>0”∴“∀x∈R,x2+1>0”的否定是“∃x∈R,x2+1≤0”故答案为:∃x∈R,x2+1≤0.点评:本题考查的否定,解题的关键是掌握并理解全称否定的书写方法,其规则是全称的否定是特称,书写时注意量词的变化.3.已知向量=(1,2),=(﹣2,k),且∥,则实数k= ﹣4 .考点:平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算.专题:平面向量及应用.分析:根据条件利用两个向量共线的性质可得 1×k﹣2×(﹣2)=0,由此解得k的值.解答:解:由于向量,且,故有 1×k﹣2×(﹣2)=0,即k+4=0,解得 k=﹣4,故答案为:﹣4.点评:本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.4.已知一个等比数列的前三项的积为3,后三项的积为9,且所有项的积为243,则该数列的项数为10 .考点:等比数列的性质.专题:计算题.分析:由题意可得 a1a n =3,再由所有项的积为a1•a1q•a1q2 …a1q n﹣1=243=35①,倒序可得 a1q n﹣1…a1q2•a1q•a1=35②,把①②对应项相乘可得==3n=35•35 =310,由此解得 n的值.解答:解:设等比数列为{a n},公比为q,由题意可得 a1a2a3=3,且 a n﹣2a n﹣1a n=9,两式相乘可得 a1a n =3.再由所有项的积为a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=243=35①,倒序可得 a1q n﹣1…a1q2•a1q•a1=35②,把①②对应项相乘可得==3n=35•35 =310,解得 n=10,故答案为 10.点评:本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,属于中档题.5.已知,且tanα=﹣2,则cos2α= ﹣.考点:二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;三角函数的化简求值.专题:三角函数的求值.分析:根据α的范围及tanα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,cos2α利用二倍角的余弦函数公式化简,将cosα的值代入计算即可求出值.解答:解:∵α∈(,π),tanα=﹣2,∴cos2α==,则cos2α=2cos2α﹣1=﹣.故答案为:﹣点评:此题考查了二倍角的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及三角函数的化简求值,熟练掌握公式是解本题的关键.6.已知函数f(x)=,则满足f(x)≥1的x的取值范围是(﹣∞,2] .考点:函数单调性的性质;其他不等式的解法.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:利用分段函数,根据f(x)≥1,建立不等式组,即可求得x的取值范围.解答:解:由题意,或∴x≤1或1<x≤2∴x≤2故答案为:(﹣∞,2].点评:本题考查分段函数,考查解不等式,考查学生的计算能力,属于基础题.7.已知函数,若函数f(x)的零点所在的区间为(k,k+1)(k∈Z),则k= 1 .考点:函数零点的判定定理.专题:函数的性质及应用.分析:由函数的解析式可得可得f(1)<0,f(2)>0,根据函数f(x)的零点判定定理求得函数零点所在的区间.解答:解:由于函数,可得f(1)=0﹣1=﹣1<0,f(2)=ln2﹣=ln>ln1=0,故函数f(x)的零点所在的区间为(1,2),故k=1,故答案为:1.点评:本题主要考查函数零点的判定定理的应用,属于基础题.8.如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=a,=b,若,则=.(用向量a和b表示)考点:向量的线性运算性质及几何意义.专题:计算题.分析:向量表示错误 a,b,请给修改题干,谢谢由题意可得四边形ABCD是梯形,且AB=2CD,由△AOB∽△COD 求得 AO=AC,=,再利用两个向量的加减法的几何意义,用和表示.解答:解:由题意可得四边形ABCD是梯形,且AB=2CD.由△AOB∽△COD 可得==,∴AO=AC,即=.∴==(+)=(+)=,故答案为.点评:本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,求得=是解题的关键,属于基础题.9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞,8],则ab= ±4 .考点:函数奇偶性的性质;二次函数的性质.专题:函数的性质及应用.分析:根据函数奇偶性的性质和定义确定a,b的值即可.解答:解:f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2,∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x),即bx2﹣(2a+ab)x+2a2=bx2+(2a+ab)x+2a2,∴2a+ab=0,解得a=0或b=﹣2.当a=0时,f(x)=bx2,此时函数的值域不可能是(﹣∞,8],∴a=0不成立.当b=﹣2时,f(x)=﹣2x2+2a2,要使函数f(x)的值域是(﹣∞,8],则2a2=8,即a2=4,∴a=±2,∴ab=±4,故答案为:±4.点评:本题主要考查函数奇偶性的应用,以及二次函数的性质,比较基础.10.的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为π.若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的一个对称中心,且,则x0= .考点:三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域;正弦函数的对称性.专题:三角函数的图像与性质.分析:根据f(x)的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为π,得到f(x)周期为π,利用周期公式求出ω的值,确定出f(x)解析式,再根据点A(x0,y0)是y=f(x)图象的一个对称中心,且x0∈,得到2x0+=kπ,y0=0,即可求出x0的值.解答:解:∵f(x)的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为π,∴f(x)的周期为π,即=π,∵ω>0,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+),∵点A(x0,y0)是y=f(x)图象的一个对称中心,且x0∈,∴2x0+=π,y0=0,则x0=.故答案为:点评:此题考查了三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域与值域,以及正弦函数的对称性,熟练掌握运算法则是解本题的关键.11.已知定义在R上的偶函数f(x)在恒成立,则实数a的取值范围是.考点:函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合.专题:计算题.分析:先利用f(x)是R上的偶函数,且f(2)=1,得到f(2)=f(﹣2)=1;再由f(x)在恒成立,导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈上恒成立,由此能求出实数a的取值范围.解答:解:∵f(x)是R上的偶函数,且f(2)=1,∴f(2)=f(﹣2)=1;∵f(x)在恒成立,∴﹣2≤x+a≤2,即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈上恒成立,∴﹣1≤a≤1,故答案为:.点评:本题考查函数恒成立问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用.12.函数f(x)=2x2﹣4x+1(x∈R),若f(x1)=f(x2),且x1>x2,则的最小值为2 .考点:基本不等式在最值问题中的应用;二次函数的性质;函数最值的应用.专题:函数的性质及应用.分析:利用二次函数单调函数的对称轴为x=1,由f(x1)=f(x2),得到x1=2﹣x2,代入利用基本不等式,即可求出式子的最小值.解答:解:∵f(x)=2x2﹣4x+1,∴二次函数的对称轴为x=1,又f(x1)=f(x2),∴x1=2﹣x2,x2=2﹣x1,∵x1>x2,∴x1>1,则=====,∵x1>1,∴x1﹣1>0,∴由基本不等式得则=,当且仅当x1﹣1=,即x1﹣1=1,即x1=2时取等号.∴则的最小值为2.故答案为:2.点评:本题主要考查二次函数的性质,以及基本不等式的应用,综合性较强,注意基本不等式成立的三个条件.13.已知向量,满足,,,,若,则λ所有可能的值为0或2 .考点:向量的模;平面向量的基本定理及其意义.专题:计算题;平面向量及应用.分析:用,表示,利用余弦定理求出cos∠AOB,从而求出•,再利用||=,求得λ.解答:解:=﹣=+﹣(﹣)=(λ+1)+(λ﹣1),∵||=1,||=2,||=,∴cos∠AOB==﹣,∴=(λ+1)2+(λ﹣1)2×+2(λ2﹣1)•=(λ+1)2+4(λ﹣1)2+2×(λ2﹣1)×=7∴3λ2﹣6λ=0⇒λ=2或0.故答案是:0或2.点评:本题考查了向量的加、减混合运算,考查了向量的模与数量积运算,还考查了余弦定理,运算量较大,易出错.14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函数f(x)在区间上是单调减函数,则a2+b2的最小值为.考点:函数的单调性与导数的关系.专题:计算题.分析:由函数在区间上是单调递减,得到导函数小于等于0恒成立即f′(﹣1)≤0且f′(0)≤0代入得到一个不等式组,可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方,则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值;解答:解:(1)依题意,f′(x)=3x2+2ax+b≤0,在上恒成立.只需要即可,也即,而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方,由点到直线的距离公式得d2=()2=,∴a2+b2的最小值为.故答案为:.点评:考查学生利用导数研究函数的单调性的能力,理解点到直线的距离公式,理解二元一次不等式组与平面区域的关系.二、解答题(共6小题,满分90分)15.已知函数(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的值域.考点:两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性.专题:计算题.分析:(1)利用两角和与差的正弦、余弦公式,可将化为,再利用辅助角公式整理为,从而可求得最小正周期和图象的对称轴方程;(2)由,可求得,利用正弦函数的图象与性质可求函数f(x)在区间上的值域.解答:解:(1)∵===∴周期T=.:∴函数图象的对称轴方程为(2)∴0≤2x≤π∴∴∴值域为.点评:本题考查两角和与差的正弦与余弦,关键在于掌握两角和与差的正弦与余弦公式并灵活运用,属于中档题.16.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,已知向量,,且.(1)求角B的大小;(2)若a+c=7,,求的值.考点:平面向量数量积的运算;余弦定理.专题:计算题;解三角形.分析:(1)根据与的坐标,利用向量数量积公式与三角恒等变换化简整理,得到sinA(1﹣2cosB)=0,从而算出,可得角B的大小;(2)根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子,可得a2+c2﹣ac=13,与a+c=7联解得到ac=12.再由向量数量积的公式加以计算,即可得到的值.解答:解:(1)∵,,,∴cosB(sinC﹣2sinA)+sinBcosC=0,即sinBcosC+cosBsinC﹣2sinAcosB=0,化简得:sin(B+C)﹣2cosBsinA=sinA(1﹣2cosB)=0.∵A∈(0,π),∴sinA>0,∴,结合B∈(0,π),可得;(2)∵,由(1)的计算可得,∴根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,得,…①又∵a+c=7,平方得(a+c)2=a2+2ac+c2=49,…②∴由①②联解,可得ac=12.因此,.点评:本题给出以三角形内角的三角函数为坐标的向量互相垂直,求角B的大小并依此求向量的数量积.着重考查了向量的数量积、三角恒等变换公式和解三角形等知识,属于中档题.17.已知函数f(x)=,若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)记y=g(x)的定义域为A,不等式x2﹣(2a﹣1)x+a(a﹣1)≤0的解集为B.若A是B 的真子集,求a的取值范围.考点:一元二次不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:(1)根据函数的对称性,在y=g(x)的图象上任取一点P,P关于原点的对称点P′在y=f(x)的图象上,求出g(x)的解析式;(2)求出g(x)的定义域A,不等式的解集B,根据A是B的真子集,求出a的取值范围.解答:解:(1)在函数y=g(x)的图象上任取一点P(x,y),则P关于原点的对称点P′(﹣x,﹣y)在y=f(x)的图象上,(2分)∴﹣y==,即g(x)=﹣;(6分)(直接写出解析式无过程,扣2分)(2)∵g(x)=﹣,∴﹣≥0,解得﹣1<x≤﹣,即A=(﹣1,﹣];(8分)解不等式x2﹣(2a﹣1)x+a(a﹣1)≤0得a﹣1≤x≤a,即B=;(11分)又∵A是B的真子集,∴,解得﹣≤a≤0.(14分)点评:本题考查了函数的图象与性质的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,集合的运算问题,是中档题.18.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?考点:基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用.专题:计算题;应用题.分析:(1)根据题意可列出10(1000﹣x)(1+0.2x%)≥10×1000,进而解不等式求得x的范围,确定问题的答案.(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润,进而根据题意建立不等式,根据均值不等式求得求a的范围.解答:解:(1)由题意得:10(1000﹣x)(1+0.2x%)≥10×1000,即x2﹣500x≤0,又x>0,所以0<x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业.(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为万元,从事原来产业的员工的年总利润为万元,则(1+0.2x%)所以,所以ax≤,即a≤恒成立,因为,当且仅当,即x=500时等号成立.所以a≤5,又a>0,所以0<a≤5,即a的取值范围为(0,5].点评:本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用.考查了学生综合运用所学知识,解决实际问题的能力.19.已知数列{a n}首项a1=2,且对任意n∈N*,都有a n+1=ba n+c,其中b,c是常数.(1)若数列{a n}是等差数列,且c=2,求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}是等比数列,且|b|<1,当从数列{a n}中任意取出相邻的三项,按某种顺序排列成等差数列,求使{a n}的前n项和S n<成立的n取值集合.考点:数列的求和;数列递推式.专题:综合题.分析:(1)根据a n+1=ba n+2,求出数列的前3项,利用数列{a n}是等差数列,即可求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}是等比数列,则c=0,由条件知,a1,a2,a3按某种顺序排列成等差数列,我们知道,等差数列总是单调的(常数列除外),讨论前三项2,2b,2b2按某种顺序排列成等差数列的情况,可确定数列的公比,进而了求数列的和,利用S n<,即可求得结论.解答:解:(1)a n+1=ba n+2∵a1=2,∴a2=2b+2,a3=2b2+2b+2∵数列{a n}是等差数列,∴2(2b+2)=2+2b2+2b+2∴b2﹣b=0∴b=0或1b=0时,a n=2;b=1时,a n+1﹣a n=2,∴a n=2n;(2)若数列{a n}是等比数列,则c=0由条件知,a1,a2,a3按某种顺序排列成等差数列,我们知道,等差数列总是单调的(常数列除外),现在讨论前三项2,2b,2b2按某种顺序排列成等差数列的情况.若0<b<1,则2>2b>2b2,是单调的,但它不是等差数列,调整顺序后又不单调,所以不能组成等差数列,从而﹣1<b<0,此时,2b<0,2b<2b2<2,所以2b,2b2,2组成等差数列,所以2b+2=4b2,解得b=﹣从而a n=2×(﹣)n﹣1,∴S n=令S n<,即<,化简,得(﹣)n>()10故当n为偶数时,有n<10所以,n=2,4,6,8.点评:本题考查等差数列的定义,考查数列的通项与求和,解题的关键是确定数列的公比,正确求和,属于中档题.20.已知函数,其中a为实常数.(1)若f(x)>3x在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(2)已知,P1,P2是函数f(x)图象上两点,若在点P1,P2处的两条切线相互平行,求这两条切线间距离的最大值;(3)设定义在区间D上的函数y=s(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:y=t(x),当x ≠x0时,若在D上恒成立,则称点P为函数y=s(x)的“好点”.试问函数g(x)=x2f(x)是否存在“好点”.若存在,请求出所有“好点”坐标,若不存在,请说明理由.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;函数最值的应用.专题:导数的综合应用.分析:(1)方法一:讨论二次项系数是否为0,然后讨论开口方向结合利用二次函数的性质求出a的取值范围;方法二:利用参变量分离法进行求解,将a分离出来,然后研究不等式另一侧函数的最大值即可求出a的取值范围;(2)先利用导数分别求出切线的斜率,然后表示出两切线方程,最后利用两平行线的距离公式表示出这两条切线间距离,再利用基本不等式可求出最大值;(3)设g(x)存在“好点”P(x0,y0),然后根据“好点”的定义建立关系式,讨论a的正负可求出“好点”坐标.解答:解:(1)方法一:f(x)>3x在(1,+∞)上恒成立,即为(a﹣3)x2+6x+2>0在(1,+∞)上恒成立,①a=3时,结论成立;②a>3时,函数h(x)=(a﹣3)x2+6x+2图象的对称轴为,所以函数h(x)=(a﹣3)x2+6x+2在(1,+∞)单调递增,依题意h(1)>0,即a>﹣5,所以a>3;③a<3不合要求,综上可得,实数a的取值范围是a≥3.方法二:f(x)>3x在(1,+∞)上恒成立等价于,令因为x>1,所以,故﹣5<h(x)<3所以a≥3.(2)设P1(x1,y1),P2(x2,y2),在点P1,P2处的两切线互相平行,则,所以x1=x2(舍去),或x1=﹣x2,过点P1的切线l1:y﹣y1=f'(x1)(x﹣x1),即f'(x1)x﹣y+f(x1)﹣x1f'(x1)=0,过点P2的切线l2:f'(x2)x﹣y+f(x2)﹣x2f'(x2)=0两平行线间的距离是==,因为,所以d,即两平行切线间的最大距离是.(3)g(x)=x2f(x)=ax3+6x2+2x,设g(x)存在“好点”P(x0,y0),由g'(x)=3ax2+12x+2,得h(x)=g'(x0)(x﹣x0)+g(x0),依题意对任意x≠x0恒成立,因为====,所以对任意x≠x0恒成立,①若a≤0,不可能对任意x≠x0恒成立,即a≤0时,不存在“好点”;②若a>0,因为当x=x0时,,要使对任意x≠x0恒成立,必须,所以,综上可得,当a≤0时,不存在“好点”;当a>0时,存在惟一“好点”为.点评:本题主要考查了导数的几何意义,以及函数的单调性与导数的关系的应用和恒成立问题,恒成立求参数常常利用参变量分离法进行求解,同时考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.。