谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素
谱元法
谱方法(spectrum method),伪谱法（pseudoospectrum method）及谱元法（spectrum element method）2012年04月11日星期三12:47谱方法（spectrum method）Spectral methods are a class of techniques to numerically solve certain Dynamical Systems, often involving the use of the Fast Fourier Transform. Where applicable, spectral methods have excellent error properties, with the so called "exponential convergence" being the fastest possible. Spectral methods were developed in a long series of papers by Steven Orszag starting in 1969 including, but not limited to, Fourier series methods for periodic geometry problems, polynomial spectral methods for finite and unbounded geometry problems, pseudospectral methods for highly nonlinear problems, and spectral iteration methods for fast solution of steady state problems.Partial differential equations (PDEs) describe a wide array of physical processes such as heat conduction, fluid flow, and sound propagation. In many such equations, there are underlying "basic waves" that can be used to give efficient algorithms for computing solutions to these PDEs. In a typical case, spectral methods take advantage of this fact by writing the solution as its Fourier series, substituting this series into the PDE to get a system of ordinary differential equations (ODEs) in the time-dependent coefficients of the trigonometric terms in the series (written in complex exponential form), and using a time-stepping method to solve those ODEs.从上面可以看到谱方法的思路：对PDE方程进行FFT变换，得到只对时间微分的常微分方程组。
求解波动方程的关键步骤
求解波动方程的关键步骤波动现象在我们日常生活中随处可见，如光的传播、声音的传递以及水波的起伏等。
为了更好地理解和描述这些波动现象，我们需要掌握求解波动方程的关键步骤。
本文将介绍波动方程的求解过程，并以声波传播为例进行具体说明。
首先，要求解波动方程，我们首先需要明确波动方程的形式。
波动方程可以用数学模型进行描述，一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u代表介质的波动量，t代表时间，c代表波速，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程是一个偏微分方程，其中包含了关于时间和空间的导数。
因此，求解波动方程需要使用偏微分方程的求解方法。
其次，我们需要确定边界条件和初始条件。
边界条件是指在介质的边界上，波动量u要满足的条件。
初始条件是指在初始时刻，波动量u的分布情况。
边界条件和初始条件的确定对于波动方程的求解至关重要，它们将影响到波动方程解的形式和性质。
以声波传播为例，假设我们要求解声波在一维空间中的传播情况。
我们可以设定一个弦，弦上的波动量u代表声波的振动情况。
边界条件可以是弦的两端固定或自由。
初始条件可以是弦上某点接受到一个初始的电信号，使弦开始振动。
接下来，我们需要应用适当的数值方法来求解波动方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值方法将波动方程转化为离散的差分方程或代数方程，从而可以通过计算机进行求解。
以声波传播为例，我们可以使用有限差分法来求解波动方程。
将空间划分为离散的节点，时间划分为离散的时间步长。
根据波动方程的差分形式，我们可以通过节点之间的关系，逐步更新波动量u的数值。
通过迭代计算，最终得到时间和空间上波动量u的数值解。
最后，我们应该对数值解进行验证和分析。
验证数值解的正确性，可以比较数值解和解析解之间的差异。
当然，在实际情况下，解析解并不一定存在或很难求得。
因此，我们还可以通过调整边界条件和参数，观察数值解的变化规律，进一步分析波动方程的性质和特点。
谱方法介绍
摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且5）Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且6）Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中：Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。
谱方法求解偏微分方程
谱方法求解偏微分方程偏微分方程是数学中一个重要的问题，其求解方法有很多，其中一种常用的方法是谱方法。
在本文中，我们将介绍谱方法的基本原理，以及如何使用谱方法求解偏微分方程。
偏微分方程描述了多元函数的变化规律，其包括偏导数和未知函数本身。
求解偏微分方程的目标是找到函数满足给定的方程以及边界条件。
而谱方法是一种基于展开函数的方法，通过将原始方程转化为一组代数方程来求解。
谱方法基于特殊基函数的展开，这些基函数称为“谱函数”。
常用的谱函数包括Chebyshev多项式、Legendre多项式和Fourier级数等。
这些谱函数具有良好的性质和逼近能力，能够较好地逼近各种类型的函数。
下面我们以一个简单的一维热传导方程为例，来说明谱方法的求解过程。
该方程的数学表达式为：∂u/∂t=α∂²u/∂x²其中，t表示时间，x表示空间坐标，α为常数，u(t,x)为未知函数。
我们希望找到函数u(t,x)满足上述方程以及边界条件。
首先，我们需要确定谱函数的展开形式。
这里我们选择Chebyshev多项式作为谱函数。
Chebyshev多项式是定义在区间[-1,1]上的正交函数系列，具有良好的逼近性质。
假设我们选择前N个Chebyshev多项式作为展开基函数，那么未知函数u(t,x)可以表示为以下形式：u(t,x)=Σc_k(t)T_k(x)其中，c_k(t)为待定系数，T_k(x)为第k个Chebyshev多项式。
接下来，我们将偏微分方程代入上述展开式，并比较等式两边的系数，得到一组代数方程。
例如，将方程∂u/∂t=α∂²u/∂x²代入展开式，可以得到：∂c_k(t)/∂t=-αk²c_k(t)其中，k表示Chebyshev多项式的阶数。
然后，我们需要确定初值条件和边界条件。
给定初始时刻t=0时的函数值u(0,x)，可以用展开式来表示。
例如，如果给定u(0,x)=f(x)，我们可以得到：u(0,x)=Σc_k(0)T_k(x)=f(x)同样地，我们可以将边界条件用展开式来表示。
数理方程__波动方程的分析
数学与物理方程——波动方程的分析波动方程的分析摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。
解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。
在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。
关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言波动方程也可叫做波方程。
它是一种重要的偏微分方程，通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究过，其中包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
2波动方程的导出(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。
(2)波动方程等号两边分别是未知量y 对变量t 和对变量x 的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。
之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。
(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。
如果1u 和2u 都是波动方程的解，即以下两式成立2122212xu atu ∂∂=∂∂ （1）2222222xu atu ∂∂=∂∂ （2）将以上两式相加，得()()221222212xu u atu u ∂+∂=∂+∂（3）这表示，21u u +也是波动方程的解。
21u u +表示两列波的叠加。
所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。
(4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。
在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。
用于波动方程模拟的Chebshev谱元法
１引言
在瞬态分析，工程地震学，计算声学等领域 （ 如无损检测，油气勘探等） ，如何利用数值计算的方法更
精确地得到弹性波动方程的解一直是国内 外研究者的工作重点。 着计算机技术的发展， 随 一些原来影响数值
计算方法应用的瓶颈一一被克服， 但对于大型的复杂二维问题或三维问题的研究， 仍然对原有的数值模拟方 法提出了挑战。 当前普遍使用的数值方法，如有限体积法 （ｉｔＶｌ ｅ ｔ ｄ，有限元 （ｉｔＥｅ ｅｔ ｈｄ， Ｆ ｉ ｏ ｍ Ｍｅ ｏ） ｎｅ ｕ ｈ Ｆ ｉ ｌ ｎＭｅ ｏ） ｎｅ ｍ ｔ
Ｃｅ ｈ 正 多 式 ｅ ｎｒ多 展开。３ 伽 金 法 解正 题的 分 式， 全 近 ｈ ｓ ｖ 交 项 或Ｌｇ ｄ 项式 ｂｅ ｅ ｅ （ 用 辽 方 求 交问 变 格 得到 局的 似 ）
解。 有关谱元法的详细数学表述请参看文献 ７ ０ 我们这里采用 Ｃｅｓｅ 正交多项式，它是如下奇异性 Ｓ ｒ－ｉ ｖｌ方程的特征函数 ｈｂｈｖ ｔｍＬｏ ｉ ｕ ｕｌ ｅ
似函数能最佳地逼近偏微分方程的精确解，测试函数 （ｅ Ｆｎｔｎ Ｔｓ ｕｃｏ）被引进用于验证近似解带来的余量是 ｔ ｉ 否达到最小。对基函数和测试函数的不同选择导致了上述这几种数值方法。
２ ｅｓｅ 谱元法 Ｃ ｂｈｖ ｈ
谱元法（ Ｅ ） 最早 Ｍ ， 在由Ｐｔａ ‘ 并 应用于流体动力学。 把有限 （ Ｓ Ｐ ａｒ提出２ 主要 ｅ ］ ， 它 元法和谱方法相结 合，
Ｃｅ ｓ ｖ ａ ｓｏ ｔ 配置点 权重 ｈ ｙ ｅＧｕ－ ｂ ｏ ｂ ｈ － ｓＬ ａ 及其 定义如 下，
（） ２
ｘｏ， ｉｓ 二务 Ｃ
ｗ二 ：—
ｒ 一 ， ， ７ ： 、 ‘ ． ， 一二 。
ｊ０Ｎ ｗ 二 ＝， ； ； －
波动方程求解方法
常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。
1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。
有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。
有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。
有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。
同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。
有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。
有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。
在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网格线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。
目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。
波动方程的直观求解法
波动方程是物理学中的关键方程之一，解决这个问题是很重要的，但是有时候这个方程很难以理解。
在这篇文章中，我们将探讨一些直观的求解波动方程的方法。
一、分离变量法：这是求解波动方程的最常用方法之一。
分离变量意味着将变量分开，然后解决方程。
这种方法需要一定的数学知识，但是只要理解了它的原理，就可以轻松地应用它来解决波动方程。
二、超定平衡法：这种方法是通过将波特征的变化定义为超定平衡来解决波动方程的。
这种方法比较复杂，但是如果正确地应用它，就可以得到很精确的解决方案。
三、观察物理实验：物理实验可以非常直观地帮助我们理解波动方程。
通过观察实验，我们可以确定方程的一些基本要素，如波长、频率等等。
四、数值方法：数值方法是一种较为常见的解决波动方程的方法，它可以通过计算机程序来求解方程。
这种方法需要一些计算机科学和数学方面的知识，但是它可以帮助我们得到非常精确的解决方案。
五、借助解析法解决实际问题：在实际问题中，我们经常会遇到一些非常复杂的波动问题。
通过运用解析法，我们可以采用一些简单的模型来解决这些问题，这些模型可以帮助我们获得更准确和实际的结果。
总之，求解波动方程需要一定的数学和物理学知识，但是只要我们了解了基本的原理，就可以使用这些方法来得到我们需要的结果。
当然，在实际问题中，我们可能需要结合多种方法来获得最好的结果。
谱方法介绍
摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且5）Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且6）Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中：Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。
谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｏｉ ｖ ｓｉａｅｔ ｅｎ ｍｅ ｉａ ｃ ｅ ｉ ｉ ｈ ｏ ｄ ｒｏ ｃ ｕ ａ ｙｆ ｒｔ ｅ ｓ ｕ ａｉｎ ｏ ｓｒ ｃ ： ｎ ｅ ｔ ｔ ｈ ｕ ｒｃ ｌｓ ｈ ｍｅｗ ｔ ｈｇ ｒ ｅ ｆａ ｃ ｒ ｃ ｏ ｈ ｉ ｌｔｏ ｆ ｇ ｈ ｍ ｗａ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ，Ｃｈ ｂ ｓ ｅ ｐ ｃｒ ｌｅｅ ｅ ｔｍｅ ｈ ｄ ｃ ｍ ｂｎ ｄ ｗｉ ｍｐ ｉｉ Ｎｅ ｖ ｑ ａｉ ｓ ｏ ｅ ｙ ｈ ｖ ｓ ｅ ｔａ ｌｍ ｎ ｔ ｏ ｏ ｉｅ ｔ ｉ ｌ ｔ ｈ ｃ ｗｍａ ｋ ｔｍｅｉ ｔ— ｒ ｉ ｎ ｅ ｇ ａ ｅｈ ｄ ｉ ａ ｏ ｔｄ ｆ ｒｓｍ ｕａ ｉｇ ｗａ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ．Ｔｈ ｎ ｓ ｍ ｅｆｃｏ ｓａｆｃｉ ｇ ｔ ｅｎ ｍ ｅｉａ ｒ ｌ ｔ ｏ ｓ ｄ ｐ ｅ ｏ ｉ ｌｔｎ ｖ ｑ ａ ｉ ｓ ｍ ｏ ｅ ｏ ａ ｔ ｒ ｆｅｔｎ ｈ ｕ ｒｃ ｌ
ｆｒｃ ｍ ｐ ｔｔ ｎ ｌ ｏ ｉ． Ｔｈ ｏ ｃｕ ｉｎ ｎ ｉａ ｅｔ ａ ｈ ｐ ｃｒ ｌｅｅ ｅ ｔｍ ｅｈ ｄ ｈ ｓｈｇ ｅ ｏ ｏ ｕ ａ ｉ ａ ｍａｎ ｏ ｄ ｅ ｃ ｎ ｌ ｓｏ ｓｉｄ ｃ ｔ ｈ ｔｔ ｅ ｓ ｅ ｔａ ｌｍ ｎ ｔ ｏ ａ ｉｈ ｒ ｏ ｄ ｒｎ ｍｅ ｉａ ｃ ｕ ａ ｙｔ ａ ｉｆｒ ｎ ｅｍｅ ｈ ｄｆ ｒｓｍ ｕａ ｉｎｏ ｖ ｑ ａ ｉｎ ，ｓ ａｌ ｉ ｔ ｐ ｒ ｅ ｕ ｒｃ ｌ ｃ ｒ ｃ ｈ ｎ ｄｆｅ ｅ ｃ ｔ ｏ ｏ ｉ ｌｔ ｆｗａ ｅｅ ｕ ｔ ｓ ｍ ｌ ｔ ａ ｏ ｏ ｍｅｓｅ ｉｄ ｃ ｓｌｓ ｕ ｅｉａ ｒｏ ，ｓ ｌ ｒＮｅ ｎ ｕ ｅ ｅ ｓｎ ｍ ｒｃ ｌ ｒ ｒ ｍａｌ ｗｍ ａｋ ｆｃｏ ｎ ｕ ｅ ｍａｌｒｎ ｍｅ ｉａ ｒｏ ，ａ ｄｄｆｅ — ｅ ｅ ｒ ｔ ｒｉｄ ｃ ｓｓ ｌ ｕ ｒｃ ｌ ｒ ｒ ｎ ｉ ｒ ａ ｅ ｅ ｆ ｅ ｔｍｅ ｈ ｓｙ ｅｉｄ ｃ ｓｄｆｅ ｅ ｔｎ ｍ ｅ ｉ ｌ ｒｏ ｉ ｈ ｅ ｅ ａ ｒｄ ｍｅ ｂ ｒｇ ｔ ｑ ａ ｏ ｅ ｃ ｎ ｓ ｔ ｌ ｎ ｕ ｅ ｉｆｒ ｎ ｕ ｒｃ ｒ ｒｗｈ ｌ ｔ ｅｇ ｎ ｒ ｌ ｉ ｍ ｅ ｅ ｓｅ ｕ ｌｔ ａ ｈ ａ ｅ ｅ ｇ ｏ ｈ ｒ Ｔｈ ｒ ｐ ｓ ｄ ｍｅ ｈ ｄ ｅ ａ ｌｓｔ ｉ ｌｔ ｃ ｕ ｔ ｖ ｒ ｐ ｇ ｔｏ ｎ ａｒ ｔ ｅ． ｅ ｐ ｏ ｏ ｅ ｔ ｏ ｎ ｂ ｅ ｏ ｓｍｕ ａｅ ａｏ ｓ ｉ ｗａ ｅｐ ｏ ａ ａｉｎ ｉ ｉ． ｃ Ｋｅｗｏ ｄ ： ｗａ ｅｅ ｕ ｔ ｎ ｐ ｃｒ ｌ ｌｍ ｅ ｔｍ ｅｈ ｄ；ｔ ｅｉｔ ｇ ａ ｅｈ ｄ；ａ ｒ ａ ｏ ｓｉｓ ｙ ｒｓ ｖ ｑ ａ ｉ ；ｓ ｅ ｔａ ｅ ｎ ｔ ｏ ｏ ｅ ｉ ｎ ｅ ｒ ｌ ｔ ｏ ｍ ｍ ｅｏ ｃ ｕ ｔｃ
波动方程一维波动方程的解
波动方程一维波动方程的解波动方程是描述物体在空间中传播波动的数学模型。
一维波动方程常用于描述沿直线传播的波动现象。
波动方程可以用以下形式表示：∂²u/∂t² = v² ∂²u/∂x²其中，u表示波动的位移或振幅，t表示时间，x表示空间位置，v 表示波速。
在解一维波动方程之前，我们先来讨论一下边界条件和初值条件，在实际问题中，这些条件通常会给出。
常见的条件有以下几种：1. 自由边界条件（自由端）：在波动方程的一个或两个端点上，波动没有受到任何的约束或影响，即边界条件是自由的。
2. 固定边界条件（固定端）：在波动方程的一个或两个端点上，波动被固定或限制住，不允许产生位移。
3. 开放边界条件：在波动方程的一个或两个端点上，波动可以自由流出或流入，即边界允许有反射和透射。
基于以上边界条件和初值条件，我们将根据不同场景进行求解一维波动方程的特定形式。
1. 矩形脉冲波动考虑一个在x轴上传播的矩形脉冲波动场景，即在初始时刻t=0处只有一个脉冲波动存在。
我们可以将初始条件表示为：u(x,0) = A (0<=x<=L), 其他地方 u(x,0) = 0其中，A表示波动的振幅，L表示脉冲波的长度。
解法：为了求解这个问题，我们可以使用方法之一-分离变量法。
首先，我们先猜测解的形式为u(x,t)=X(x)T(t)，将其代入波动方程中，得到以下形式：X(x)T''(t) = v² X''(x)T(t)我们可以将该方程化简为两个简单的常微分方程，即：X''(x)/X(x) = T''(t)/(v²T(t)) = -λ²其中，λ是常数。
解得X(x) = Asin(λx) + Bcos(λx)，T(t) = Csin(ωt) + Dcos(ωt)对于边界条件u(0,t) = u(L,t) = 0，可以得到X(0) = X(L) = 0。
物理力学波动方程数值解方法比较分析
物理力学波动方程数值解方法比较分析物理力学波动方程是描述波动现象的重要方程之一。
在实际问题求解中，使用数值方法对波动方程进行求解是一种常见的方法。
本文将比较分析物理力学波动方程的几种常用数值解方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法，并探讨它们的优缺点和适用范围。
1. 有限差分法有限差分法是最常用的数值解法之一，通过将连续的波动方程离散化为差分方程来逼近波动方程的解。
在有限差分法中，将空间和时间进行离散，然后使用差分近似替代导数运算。
通过构建离散模型，可以将波动方程的求解问题转化为一个线性代数方程组的求解问题。
有限差分法在计算机实现方面相对简单，容易理解和实现。
然而，由于差分离散化会引入一定的数值误差，特别是对于高频振动的情况下，有限差分法可能产生数值耗散和数值发散的问题。
2. 有限元法有限元法是一种广泛应用的数值解法，适用于非结构化网格和复杂几何形状。
在有限元法中，将波动方程的解空间进行离散化，并使用一组有限元基函数对解进行近似表示。
通过引入节点、单元和自由度等概念，可以将波动方程的解转换为一个线性代数方程组，进而求解得到数值解。
有限元法具有较高的精度和灵活性，能够处理复杂的边界条件和几何形状，适用于各种问题。
然而，有限元法在计算量上相对较大，需要对网格进行剖分，求解方程组的代价较高。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值解法。
在谱方法中，将波动方程的解按照一组正交函数（通常是傅里叶基函数）展开，通过确定系数来逼近解的精确值。
谱方法具有较高的精度和收敛性，对于光滑解和高频振动的情况下表现良好。
然而，谱方法的适用范围相对较窄，对于非光滑解和边界条件的处理较为困难，且对于复杂几何形状存在一定的挑战。
总的来说，三种方法各有优缺点，适用于不同的物理力学波动方程问题。
有限差分法在简单问题上适用性较好且易于实现，有限元法适用于处理复杂几何形状和各种边界条件，谱方法能够提供高精度的数值解。
在实际应用中，根据问题的特点和求解要求，可以选择合适的数值解法。
西安交通大学学报2008年42卷分类索引
ＶＴＣ 系储氢合金吸氢动力学机制研究 （／Ｏ ） ｉｒ ４５ １ Ｃ ） 对亚心形扁藻生长及光合放氢的影响 （／７ ） Ａｚ ６ ７ ９
萃取精馏分离 甲醇和碳酸二 甲酯二元共沸物（ ／１ １９）
Ｅ ｓ 敏化不同晶体结构 Ｔ０ 的产氢性能研究 （ ９０ ｏｉ ｎ ｉｚ ７ ０） ／
Ｉ Ｈ ／ ｉＨ２ ｊ ａ ＬＮ 复合材料的储氢特性及其机理研究（／ ４ ） Ａｌ ５ ６３ Ｎａ Ｓ 光催化剂 的合成和光解水产氢性能研究 （／ ８） ｌ ｚ ｎ ６７ ４ Ｓ Ｌ 共掺杂 Ｔ（ 的制备及其可见光下光催化制氢性能 （／ 、 ．２ ） ７
生物 与医学科学
厌 氧 条 件下 扁 藻 破 碎方 法 及 其 对 氢酶 活 性 的影 响 （／ ９ ） ４４ ７
颅 内 Ｗｉｉ环三维稳态及非稳态血液动力学计算（／ ９ ） ｌｓ ｌ ４ ４２ 磁性交联核酸酶 Ｐ 聚集体 的制备及性质研究（／ ０ ５ １ ８ １ ３） 远程氧等离子体对大肠杆菌的灭菌效果与机理研究 （／ ６ １９ ） 基于多导脑 电复杂性 测度的脑疲劳分析 （２ １５ ） １／ ５５
谱元方法求解波动方程及影响其数值精度 的相关因素（／ ６ １５） 谱元方法求 解波 动方 程 时显式 与 隐式 差分 方法 的 比较 （ ／ ９
１４） １ ２
存在温度梯 度的竖 直壁 面 Ｍａａｇｎ 凝结 换热特 性研究 （ ／ ｒｎ ｏｉ １
４ ６）
基于近似 熵 的认 知 能 力对 事 件相 关 电位 的影 响研 究 （０ １／
西 安 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩ ＡＮ Ｊ ＡＯＴＯＮＧ Ｉ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
能 （Ｏ １ ０ ） １ ／ ３ ４
２０ ０ ８年 ４ ２卷 分 类 索 引
化工传递工程
Ｏｃ ｒ ｅ ｓ ａ ｃ ｉ ｇ ａｇ ｒｔ ｍ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｓｚ ａ ｔ ｌ ｏ ｌ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｒ ｈｎ ｏ ｉ ｅ ｌ ｈ ｆ ｒｄ ｆ ｒ ｎ ｉｅ ｐ ｒｉ ｅ ｃ ｉ ｓｏ ｎ ｆ ｃ ｉ
基于管壁取样 的气液两相流量测量＝Ｇａ．ｑ ｉ ｏｐ ａｅｆ ｗ ｓ１ ｕｄｔ ．ｈ ｏ ｉ ｗ ｓ ｌ ｍｅ ｒ ｇｗ ｔ ｉｅ ｌｓｍｐｅ 刊 ，中］梁法春（ ｔ ｉ ｉ ｐ ｗａ ｌ ｅ ｎ ｈｐ ｌ ａ ｒ［ ／ 中国石油大学 储运与建筑工程学 院，东营２ ７６ ） ５ ０ １，王栋 ， 林宗虎 ∥西安交通 大学学报． ０ ８ ２ １． ２ ５ 一２ ０ ，４ （） 一５ ～５ 为克服传统取样式多相 流量测量方法取样 口易堵塞的缺点，提 出了通过 管壁 取样测量气 液两相 流体流量 的新方法 ．管壁 四 周均匀布置４ 个直径为２５ｎ ｎ的取样孔 ，并在上游采用旋流 叶 ． ｌ ｌ 片将 来流整改成液膜厚度均匀分布的环状流型 ，从而增强了取 样 的代表 性．取样流 体 中的液 相质量流 量与主流 体液相质量 流 量 的 比 值主 要 取 决 于 取 样 孔 的 数 目和 大 小 ，而 取 样 流 体 中 的 气相质量 流量与 主流体气相质 量流量 的比值则 与主 管路液 相 流量有关．在 管径 为００ 的气液两相流 实验 回路 进行的实 ． ｍ ４ 验表 明， 在实验范围内液 相取样 比为００ ９ ． ，基本不受主管气液 ４ 相流量波动的影响，能够在宽广的流动 范围内维持恒定．液相 流量最大测量误差为６８ 气相流量最大测量误差为８ ％． 图 ．％， ． ９ ６ （ 参６蒋汀华） 关键词 ：气液两相流 ；流量 测量 ；取样
ｓ ｅ ｔａ ｅ ｎ ｔ ｏ ｏ ｖ ｑ ａ ｏ ｎ ｏ ａ ｔ ｒ ｎ ｐ ｃ ｒ ｌｅ ｍｅ ｔｍｅ ｄ ｆ ｒｗａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ａ ｄ ｓ ｍｅ ｆ ｃ ｏ ｓ ｉ — ｌ ｈ ｉ
波动方程实验
波动方程实验的注 意事项和安全要求
实验前应仔细阅读实验指导书，了解实验原理、操作步骤及注意事项。 实验过程中要保持安静，避免干扰实验结果。 实验操作时要小心谨慎，避免触电、摔坏仪器等意外事故。 实验后要及时清理实验现场，确保实验室整洁有序。
实验前应仔细阅读 实验指导书，了解 实验原理、操作步 骤及注意事项。
实验结果对理论模型的验 证与改进
实验结果在实践中的应用 与价值
测量仪器的精度对结果的影响
环境因素对实验结果的影响
实验操作过程中的人为误差
数据处理过程中的计算误差
波动方程实验的应 用和展望
地震波场模拟 地下水模拟 波动传播特性研究 地球物理勘探
实验应用领域不断扩展：波动方程实验 的应用范围越来越广泛，不仅在物理学 领域，还在化学、生物学等领域得到广
泛应用。
实验成果转化不断加速：随着产学研结 合的深入推进，波动方程实验的成果转 化速度越来越快，推动了相关产业的发
展和进步。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
实验技术不断改进：随着科技的发展， 波动方程实验的技术手段不断更新和完
善，提高了实验的精度和可靠性。
实验研究深度不断加强：随着研究的深 入，波动方程实验的研究内容越来越深 入，涉及到物质的微观结构和宏观性质
波动方程实验
汇报人：XX
目录
波动方程实验的原理
波动方程实验的步骤
波动方程实验的结果 分析
波动方程实验的应用 和展望
波动方程实验的注意 事项和安全要求
波动方程实验的原 理
波动方程是描述波动现象的基 本数学模型
它由物理学中的基本定律推导 而来
波动方程描述了波动在空间和 时间上的变化规律
球面坐标系下poisson方程和对流流动的谱元法求解
球面坐标系下poisson方程和对流流动的谱元法求解1.0 前言地球的大气中共有许多种不同成分，比如，颗粒物、水汽和气态化合物等，而其中最重要的成分就是气体分子。
在地球大气，气体分子受到重力向心力和相互作用力的影响，因而其分布随着温度和压力的变化而产生一些不同的变化。
在地球大气和大气外的恒星大气中，这种分布差异都有数学上的反应，即泊松方程[1]，它可以用来描述我们感兴趣的这些气体分子的分布。
本文将通过球面坐标系下进行poisson方程和对流流动的谱元法求解，来研究和模拟气体分子的分布问题。
经过本文的研究，我们将有助于更好地了解地球大气和大气外恒星大气中气体分子的分布状态，以及做出有用的科学研究和算法开发等。
2.0 球面坐标系下Poisson方程Poisson方程通常用来描述两个物理量在一定的源和汇之间的变化，也即，任何两个任意的物理量之间在一定的源和汇存在某种规律关系。
球面坐标系下的Poisson方程可以表示为：$ \Delta \Phi = \rho $其中，$\Phi$是受源和汇影响后的某个物理量，而$\rho$是源和汇造成的影响程度。
通过表达式，就可以完成我们的计算，并结果出最终的计算结果。
由于受源和汇的作用，我们可以用分析法和数值法来求解Poisson方程，其中，分析法由三角函数的方法可以解出复杂的结果，而数值法可以更好地求解多变量的情况，收敛效果也更好。
3.0 对流流动的谱元法求解当我们认为外力驱动可以用中心差异法求解时，可以使用“谱元法”来求解，它是将外力放大成n个基本连续波函数，并使用拉普拉斯变换以加快计算的速度。
用谱元法求解泊松方程的步骤如下：(1) 求解非限制状态下的初始条件；(2) 采用拉普拉斯变换方法获取特征变量；(3) 利用拉普拉斯变量和外力作为谱元求解系数；(4) 将求解系数应用于反拉普拉斯变换，得到求解结果；(5) 选择合适网格，确定最终解决方案。
4.0 结论本文研究了球面坐标系下Poisson方程和对流流动的谱元法求解，用来研究气体分子的分布问题。
谱元法和有限元法的区别
谱元法和有限元法的区别谱元法和有限元法的区别如下谱元法是啥？谱元法基于力学方程弱形式由Patera在1984年计算流体力学中提出。
谱方法和有限元法的思想类似，都是有离散单元的存在，它在有限单元上进行谱展开，所以具有有限元方法和伪谱法的思想，同时兼备有限元可以模拟任何复杂介质模型的韧性和伪谱法的精度，所以谱元法又称为域分解谱方法或高阶有限元法。
跟有限元差别在于谱方法以一系列全局连续的函数（可以是三角函数、多项式等）的叠加来近似真实解，而有限元法则是使用单元内简单多项式插值函数的叠加来近似真实解。
即有限元的插值函数只在该单元内作用，而谱元法则是大家一起用。
对高频振动问题来讲，传统方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波传播需要使单元大小与波长相当，且时间分辨率也非常小，计算效率较低。
谱元法则通过上述的全局插值函数（有点类似全局基函数，选三角函数时还可以利用FFT提高计算效率）来解决这些问题。
随机有限元谱方法有时域的和频域两种。
时域谱元法和传统的有限元法区别较小，应该说是一种高阶的有限元法，其为了达到精度，细分网格是通过切比雪夫多项式或者勒让德多项式等正交多项式的根来定网格节点。
频域谱元法是分析波传播的一种有限元方法，在频域内使位移函数采用波动方程的一般解，得到与频率相关的动刚度矩阵，利用快速傅里叶变换实现时域和频域的转换。
本文以线缆为例，分析波的传播对故障的诊断效果（需计算的波长跟故障尺度相当）。
若用有限元方法，网格大小为波长1、6，需要成千上万的单元节点，而频域谱元法则只需很少的节点。
考虑到线缆的自重，先用粗网格计算重力下的形变和内力，作为谱元法的计算对象，然后利用谱元法进行了波动分析，找出故障导致的波动异常，从而识别结构异常。
层状介质中多模式面波频散曲线研究
层状介质中多模式面波频散曲线研究1. 引言面波是指以水平传播的地震波，通常以S波为主导。
由于在地壳中存在多种地层结构，不同介质之间的界面也经常会发生折射和反射，使得面波在地球内部传播时会发生频散现象。
频散曲线是表征面波传播速度与频率之间关系的图表，对于地壳介质的研究具有重要意义。
本文将重点探讨层状介质中多模式面波频散曲线的研究。
层状介质中存在多种不同模式的面波，它们的频散特性与地下介质的性质密切相关。
本文将从地震波传播理论出发，研究层状介质中多模式面波频散曲线的数值计算方法，并结合地球物理勘探的实际数据进行分析，以期对地震波在地球内部传播的机理和地下介质结构的研究有所贡献。
2. 多模式面波的频散理论在层状介质中，由于地壳的不均匀性导致地震波在传播过程中会受到地层的影响而发生多模式的面波。
这些面波由于传播路径的不同，会导致传播速度和频率之间存在一定的关系，即频散现象。
地震波传播的基本理论是弹性波理论。
在弹性波理论中，面波可以视为是横波在半无限大介质中的传播。
对于一个给定介质结构，可以通过解弹性波方程和边界条件得到地震波的传播特性。
而对于层状介质中的多模式面波，需要考虑各种不同的介质结构和传播路径，进而得到其频散曲线。
3. 多模式面波频散曲线的数值计算方法为了研究多模式面波的频散特性，需要对地震波在层状介质中的传播进行数值模拟。
目前常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱元法等。
这些方法可以较为准确地模拟地震波在复杂介质中的传播过程，得到其频散曲线。
有限差分法是一种广泛应用于地震波传播模拟的数值方法。
通过将介质划分成网格，在每个网格点上求解波动方程，可以得到地震波在介质中的传播情况。
有限元法则是基于有限元理论，将介质划分成较小的单元，通过构建有限元方程组求解得到地震波的传播特性。
谱元法则是将地震波场表示为一组基函数的线性组合，通过在整个空间中拟合地震波场，求解得到波动方程的解。
除了数值模拟方法外，还可以通过解析方法推导出多模式面波的频散曲线。
谱元方法课程
主讲：秦国良 电话：82663537 邮箱：glqin@
2013年7月11日
1、正交函数系与谱近似
1.1 正交函数系与正交多项式 1.2 函数的Fourier展开 1.3 Chebyshev谱逼近(离散函数的Fourier展开) 1.4 插值函数的导数 1.5 二维函数的Chebyshev谱近似
• • • • 一种求解偏微分方程的高阶精度数值方法。 属于求解偏微分方程加权残量法的特例。 谱方法使用高阶正交多项式作为展开函数 。 谱方法最受人青睐的优越性在于它具有“无穷阶”的收敛速 度，其确切含义为，若原微分方程的解无限可微，则由适当 的谱方法所得到的近似解对原问题的收敛速度比1/N的任何幂 都更快，这里N是所取基函数的个数。 • Kreiss和Oliger, Orszag • Gottlieb和Orszag
PN f ( x) a j j ( x)
j 0 N
1 aj j
Tel：82663537
w
k 0
N
k
f ( xk ) j ( xk ) ,
j 2j ( xk ) wk
k 0
N
e-mail：glqin@
5
2013年7月11日
1.3 Chebyshev谱逼近(离散函数的Fourier展开)
u u ( xk ) g k ( x )
k 0
N
g k ( x)
c c N
j 0 k
2
N
1
T j ( xk )T j ( x)
j
2m 0, N cm 1m 0, N
g k ( x j ) kj
• 由Collocation方程得,
uN uN 2u N uN t x x2
波方程建立过程中对“波源”的正确理解
波方程建立过程中对“波源”的正确理解1. 引言1.1 波方程建立的背景波方程建立的背景可以追溯到19世纪初，当时物理学家们开始研究波动现象，并试图用数学方程来描述波的传播规律。
波动方程成为了研究波动现象的重要数学工具之一。
波动方程的建立过程中，对波源的正确理解起着至关重要的作用。
波源是指在介质中产生波动的物体或现象。
在波动方程的建立中，正确理解波源的性质和特征对于推导波动方程的形式以及解析解的求解至关重要。
波源的强度、形状、频率等因素都会对波动的传播产生影响，因此需要对波源进行精确的描述和分析。
通过对波源产生的物理过程进行研究，可以更深入地理解波的传播规律。
波源在波动方程建立过程中扮演着关键的角色，它是方程的起源和基础。
在波动方程中，波源的数学描述能够帮助我们推导出波的传播方程，从而解释并预测波动现象的发展趋势。
波源与波动方程之间存在着密切的关系，波方程的形式和解析解往往受波源的影响。
正确理解波源并将其纳入到波动方程的建立过程中是至关重要的。
对波源的正确理解不仅可以帮助我们更准确地描述和解释波动现象，还可以为我们提供更深入的物理洞察。
1.2 波源的重要性波源在波方程建立过程中的作用是至关重要的。
它是产生波动现象的根本原因，是波动的起源。
波源能够产生波动传播，并对波动的性质和行为产生影响。
在波动的传播过程中，波源会向周围传播能量，使波动不断扩散。
理解波源的特性和作用对于建立准确的波方程至关重要。
波源的定义和特征决定了波动的性质和行为。
波源可以是物理对象、声源、光源等，其特征包括波源的位置、形状、大小、振幅等。
波源产生的物理过程涉及能量转换和传播，是波动现象的基础。
波源在波方程建立过程中扮演着重要角色，它是波动方程的起点和基础。
波源的数学描述是对波源特性和行为的数学模型。
通过数学描述，可以精确地描述波源的位置、形状、振幅等特征，从而准确地建立波方程。
波源与波方程之间存在着密切的关系，波源的特性直接影响波动的传播和波方程的解析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
万方数据
第１பைடு நூலகம்期
朱昌允， 谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素 等：
求解此方程组常采用 Ｒ ｎｅ ｕｔ 法， ｕ ｇ－ ｔ Ｋ ａ 但当求解类 似于波动方程的动力学问题时， 则通常采用直接积 分法和振型叠加法， 本文采用隐式 Ｎ ｗ ａ ｅｍ ｒ ｋ积分
朱昌允，秦国良，徐忠
（ 西安交通大学能源与动力工程学院， １０９ 西安） ７０４ ，
摘要：为探讨波动方程的高精度数值模拟， 采用 Ｃ ｅｙｈｖ ｈｂｓｅ 谱元方法结合隐式 Ｎ ｗ ａ ｅｍ ｒ ｋ时间积 分方法求解波动方程． 求解一个具体算例验证了数值方法的可行性， 讨论了时间步长、 ｅ ｍ ｒ Ｎｗ ａ ｋ 因子以及计算区域的网 格剖分方式对数值精度的影响． 结果表明： 和差分法相比， 谱元方法求解波 动方程具有所用网格节点少， 数值精度高的特点； 数值误差随时间步长减小而减小； 在满足稳定性 要求的前提下， 数值误差随着Ｎ ｗ ａ ｅｍ ｒ ｋ因子的减小而减小； 当总网格节点数相同时， 不同的网格 剖分方式所得数值误差不同 所述方法和结论可用于模拟声波在空气中的传播． ．
不同 差分方案［９ 通过求解ｔ ｔ ［ ｕ。 ｓ １ １ ＋ ＋ 的控制方程 Ｏ
得到 Ｍ ６＋瓜 、 ＝Ｑ 、 Ｉ１ ＋ （３ １）
从式（２得 １）
ｉ ，＝ （ｔ ， ａ ｔ一ｉａ ｔ ｉ ｒ ｕ 。一ｕ） ， ｚ 一 ｔ ＋ ＋ ／ｐ ／Ａ 其中 （／ａ ） １２ 一１ｉ ｉ ， （４ １） 将式（４带人式（１， 嗯 叽 １） １）然后再一并代人式（３ ， １）得 ｕｘ ， 一习艺ｕ（。ｘ ｋ ） （ ｅ ， （ ｙ ） ｊ＝０ ＝０ ｊ，， ）（ ７ ｔ ｋ）（ ｈ， ） （ ＋Ｍ／ａ ｔ ）ｔ ＝Ｆ Ａ ｔ ＇ｔ Ｋ （ｐ， ｕｏ ） ＋ ｔ＋ ＋ ｋ ｈ ｘ 的定义域为「 ， 批（ ） 岛， ＝ ； 一ｌｌ， ］且 荟 ＝ 互 式中， （） Ｍ［ｔ ｐ， ｔ ａｔ＋（／２） ）ｔ ／ａ ｔ ＋ｕ （ｐ） １（ａ一１ｉ ｉ（ ） ／ ｕ ｉ ７
２ 控制方程的空间离散
使用谱元方法求解式（）首先将求解区域 几 ５，
分解成 Ｎ 个互不重叠的子区域口 ， Ｇ 。 称为单元， ＝ 口 Ｕ｀ 然后将各单元转化成标准单元， Ｓ． ｅ 在一个标准单
ａ，＝ｉ＋［１ ｉ ｕ＋ Ａ 一的ｉ＋ａｔ Ｉｔ （１ ， ＋ ｔ （ ， ， ， １） ｔ ｉ ＋仁（／） ） ｉ ，Ａ２ ｕｏ＝ｕ＋ｚ ｔ （１２一ａｉ＋ａｒ Ｉ ｔｔ ＋ ｔ Ａ ｉ ｉ ， ＋ ｔ ｙ
动中脉动量相互抵消的结果， 其值较平均流场量小 ３ 个量级， －５ 故需较高的数值精度， 针对这一要求，
初由Ｐｔａ〕 其后主要应用于计算流体力学 ａ ｒｉ ｅ ｆ提出， 和计算传热学Ｘ． 着对其研究的深人和 ２随 １ 工程实际
问题的需要， 该方法近来被应用于更多领域， 如气动 声学、 地球物理学等领域． 计算气动声学是一门新兴的交叉学科， 主要通 过数值计算研究气动噪声的产生机理和传播特性、
Ａ ｓａｔ Ｔ ｉ ｅ ｉ ｔ ｔｅ ｅｃ ｓ ｅ ｅ ｈ ｈ ｅ ｏ ａｃｒ ｙ ｔｅ ｕ ｔｎ ｂｔ ｃ； ｎ ｓｇ ｅ ｎｍ ｒａ ｃ ｍ ｗｔ ｈ ｏｄｒ ｃ ａ ｆ ｈ ｓ ｌｉ ｏ ｒ ｏ ｔａ ｈ ｕ ｉｌ ｖ ｈ ｉ ｉ ｒ ｆ ｕ ｃ ｏ ｇ ｒ ｉ ａｏ ｆ ｍ ｗ ｖ ｅｕｔ ｎ， ｂｓｅ ｓｅ ｒ ｅ ｍ ｎ ｍ ｔｏ ｃｍ ｉ ｄ ｈ ｌｉＮ ｗ ａ ｔ ｅ ｅ ａｅ ａｏｓ Ｃ ｅｙｈｖ ｃ ａ ｌ ｅｔ ｈｄ ｂ ｅ ｗｔ ｉｐｃ ｅ ｍ ｒ ｉ ｉ － ｑ ｉ ｈ ｐ ｔ ｌ ｅ ｅ ｏ ｎ ｉ ｍ ｉｔ ｋ ｎ ｍ ｔ ｇａｍ ｔｏ ｉａｏｔ ｆ ｓ ｕ ｔｇ ｖ ｅｕｔ ｎ． ｅ ｓｍ ｆ ｔ ｓ ｃｎ ｔｅ ｅｃ ｒ ｅ ｄ ｄｐｅ ｏ ｉ ｌｉ ｗ ｅ ａｏｓ Ｔ ｎ ｅ ｏ ａ ｅ ｉ ｈ ｎｍ ｒａ ｌ ｈ ｓ ｄ ｍ ａｎ ａ ｑ ｉ ｒ ｈ ｏ ａ ｒ ｆ ｔ ｇ ｕ ｉ ｌ ｃ ｆ ａｃｒ ｙ ｄ ｃｓ ｄ ｄｔｌ ｓｃ ａ ｔ ｅ ｐ Ｎ ｗ ａ ｆ ｔｒ ｔｅ ｄ ｉｏ ｓ ｌ ｃ ａ ａ ｉｕｓ ｉ ｅ ｉ ｕｈ ｉ ｓ ｈ ｅ ｍ ｒ ａ ｏ ａｄ ｓｂｉｓ ｎ ｅ ｕ ｃ ｒ ｓ ｅ ｎ ａ ， ｅ ｓ ｔ ， ｍ ｅ ｋ ｃ ｎ ｈ ｕ ｖｉ ｔ ｙ ｆ ｃｍ ｕａｏａｄｍ ｉ Ｔ ｅ ｃ ｓ ｎ ｉ ｉ ｔ ｔａ ｔｅ ｃ ａｅ ｍ ｎ ｍ ｔｏ ｈｓ ｈｒ ｏ ｏ ｐｔ ｉ ｌ ａ ． ｃｎｌ ｉ ｓ ｃ ｅ ｔ ｓｅ ｒ ｌ ｅｔ ｈｄ ｈ ｅ ｒ ｔｎ ｏ ｎ ｈ ｏ ｕ ｏ ｎ ａ ｈ ｈ ｐ ｔ ｌ ｄ ｅ ｅ ａ ｉ ｇ ｏｄｒ ｅｃ ａ ｕａ ｔａ ｄｆ ｅｃｍ ｔｏ ｆ ｓ ｕ ｔｎ ａｅ ａｏｓ ｓ ａ ｔ ｅ ｒｅｎｍ ｒａ ｃ ｒ ｙ ｎ ｅ ｎｅ ｈｄ ｉ ｌｉ ｏｗ ｖ ｅｕｔ ｎ，ｍ ｌ ｉ ｓ ｐ ｕ ｉ ｌ ｃ ｈ ｉ ｒ ｃ ｆ ｅ ｏ ｍ ａｏ ｆ ｑ ｉ ｒ ｌ ｔ ｍ ｅ
ｄ Ｇ （ ） ｗ Ｈ＇ （ Ｚ （） ５
３ 时间积分
欲用Ｎｗ ｒ ａ 积分方法求解式（０， 一ｔ ｅｍ ｋ １）在ｔ ＋
・ 一＇Ｖｘ； ＝ｆｘ Ａ 时间区域内采用下列假设， （ ｆｗｕｙ（ ） ｄ ｔ 一） ｆ ｄ ｆ 几 ｄ ｌ ｄ ， ｗｙ ７ ｗ 即
ｆ一兄艺ｆ（ ； ｋ） ｋ）Ｍｈ： ｔ ｈ （
ｊ＝０ ｋ－０
Ｎ ｝ ： ，
（） ８
方法Ｆ． ６ １
在标准单元内， 计算
ｗ ｄｄ／ｔ ａ 二 ｕ ｙｄ ， ， ） ｘ ２（ ｕ
（） ９
１ 控制方程
空气介质中的波动方程可以通过线化欧拉方程
和（ ， ， ｆ ｗ） 可得以下二阶线性偏微分方程组 １ｅ（） ｕ ＝ ｅ（） ９ Ｖｕ ＋Ｋ ｔ ｌ ｔ 其中
式中：和ｓ ａ 是由数值精度和稳定性要求决定的参 数， ａ ｅ ｍ ｒ 因子，和ｓ 称 为Ｎ ｗ ａ ｋ ａ 取不同数值， 代表
（２ １）
元内， Ｎ阶 Ｃｅｙ ｅ 正交多项式对试函数、 使用 ｈｂｓ ｖ ｈ 右端项和解本身分别进行逼近． 于是， 变分方程的解
可以写成如下形式 ｕ＝ ｉｘ ｙ ｔ ｉ ， （ ， ） ａ（ ， ， ｌ ｙ ｔ ｘ ） （） ６
Ｚ Ｕ ａｇｕ ， Ｎ ｏａｇ Ｘ Ｚｏｇ Ｈ Ｃ ｎｙｎ Ｑ Ｇ ｌｎ ， ｈｎ ｈ Ｉ ｕｉ Ｕ
（ ｈ ｌ ｎ ｇ ａ Ｐｗｒ ｉ ｅｎ， ｎ ｔ ｇ ｖ ｓｙ Ｘ＇ ７ ０９ Ｃｉ ） Ｓ ｏ ｏＥｅ ｙ ｏ ｅＥｇ ｅ ｉ Ｘ＇ Ｊｏ ｎ Ｕ ｉｒｔ ｉｎ ４， ａ ｃ ｏ ｆ ｒ ｎ ｄ ｎ ｎ ｒｇ ｉ ｉ ｏ ｎ ｅｉ， １ ａ ａ ａ ０ ｈ ｎ
Ｋｅ＝
厂 ｃ“ ）） ’ 厂２ ｅｌｄ （“‘ｄｘ ｄ￥｝ｘｄ 仁， ｌ ｙ ，ｋ （ ） ｈ 程为 ｆ （（（。ｘ Ｙｌ 。：，二ｄ ， ：）） ）ｙ ，＋ 、、： ｄ、 ／ ＋’ ；； ｊ ｆ － ＇ ｅ 一 ｄ ｌｔ一ＣＯ ｔ Ｏ ｌ ｉ ｄ 。月 （） ２ｄ ｕ ， ２ ｚ ＝ｆ ，Ｘ巨， ｎ ２ 为简单起见， 这里采用第一类边界条件 （． 。：｝ｙｄ （（（ｄｘ． ＇＇ 仁）））ｙ Ｙ＋ ；；／ ）ｅ 、、］ ｄ ｝’ ｅ ＋一 ｌ ｆ ｒ ： 一 ，・ ｘ， ） ｕｙ一 、， ｒ仁 ３ （， 一（ ｔ ｘｔ ｘ ） 。 ，） ｙ 。 二（ 丁Ｓ 。：，ｙｄ （（（ｄｘ 二ｅ ：）））ｙ ＋一 。、］ｄ ‘一 ；：ｌ 丁 ｓ 十 ‘ 初始条件为 ｕｘ ｙ ０ 二 ｕ； （ ， ，） ２ ａ ｙ ０ ＝ １ （ ， ，） ０ ｘ ０ （） ４ Ｍ ｛Ｐ；；；ｑｘ ｅ艾＋‘：（（ｄ 一＋‘）） ｑ ｙ Ｙ “。、 ） ｅ （（ Ｍ ｄ １ ‘ Ｊ 几 式中： 计算区域为口口 尺 ； ，任 ， 厂为边界； 时间区间为 Ｑ打ｅｄ ＜ 、ｄ 一ａ ｘ ｆ ｙ ｗ ［， ； 是当地声速； 是源项；（， ） ０习 ｃ 。 ． ｆ ｇｘ ｙｔ为边界 ，
ｅｔ ｈ ｌｉ ｕｅ ｄ ｆ ｅｔ ｅｃ ｅ ｏ ｗ ｉ ｔｅ ｅ ｌ ｍ ｍ ｅｇｔｅｕｌ ａｈ ｎ ｍ ｓ ｓ ｅ ｃ ｉｅ ｎ ｎｍ ｒａ ｒ ｒ ｌ ｈ ｇｎｒ ｇｉ ｅ ｂｒ ｓ ａｔ ｅｃ ｅ ｔ ｎ ｓ ｒ ｕ ｉｌ ｙ ｄ ｆ ｒ ｈｅ ｅ ａ ｒ ｄ ｅ ｑ ｏ ｏ ｅ Ｔ ｅ ｐｓ ｍ ｔｏ ｅａｌ ｔ ｓ ｕ ｔａ ｕｔ ｗ ｖ ｐｏａａｏ ｉａ． ｔ ｒ ｈ ｐｏｏｅ ｅ ｄ ｂ ｓ ｉ ｌｅ ｓｃ ｅ ｐｇｔｎ ｉ ｈ ． ｒ ｄ ｈ ｎ ｅ ｏ ａ ｃ ｉ ａ ｒ ｍ ｏ ｉ ｎ ｒ Ｋｙｏ ｓ ｗ ｖ ｅｕｔｎ ｓｅｔ ｌ ｅｔ ｈｄ ｔ ｅ ｇａｍ ｔｏ； ｏｃｕｔｓ ｅｗｒ ； ｅ ａｏ； ｃ ａｅ ｍ ｎ ｍ ｔｏ； ｉ ｅｒｌ ｈｄ ａｒａｏｓｃ ｄ ａ ｑ ｉ ｐ ｒ ｌ ｅ ｅ ｉ ｎ ｍ ｔ ｅ ｅ ｉ
ｉｄ ｃｓ ｓ ｍｅｉ ｌ ｏ ， ｌ ｒ ｗ ｒ ｆｃｏ ｉｄ ｃｓ ｌ ｒ ｍｅｉ ｌ ｏ ， ｄｆ ｒ ｎ ｕｅ ｌ ｎ ｒ ａ ｅｒｒ ｓ ｌ Ｎｅ ｍａｋ ｔｒ ｕｅ ｓ ｌ ｎ ｒ ａ ｅｒｒ ａ ｄ ｆ － ｅ ｕ ｓ ｃ ｒ ｍａ ｅ ａ ｎ ｍａ ｅ ｕ ｃ ｒ ｎ ｉｅ
谱元方法是结合谱方法和有限元法各自 特点的 一种数值方法， 它既具有谱方法的高精度和收敛特 性， 又具有较好的几何区域适应性，０ ２ 世纪 ８ 年代 ０
流体和声的相互作用等． 前面临的主要问题［之 目 ３ ］
一是传统数值方法的精度不能完全满足计算气动声
学的 需要， 如差分方法川和有限元方法． 声学量是流
第４卷 第 １ ２ 期
２０ 年 １ ０８ 月
西 安 交 通 大 学 学 报 Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｖ Ａ Ｊ Ｏ Ｏ Ｇ ＩＥ ＳＴ Ｏ ＲＡ Ｏ Ｆ Ｎ Ｔ Ｎ Ｕ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｉ Ａ Ｎ
Ｖｏ． Ｘ １ ｌ４ ｏ ２
Ｊｎ ２ ０ ａ ． ８ ０
谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素