谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素
谱元法
谱方法(spectrum method),伪谱法（pseudoospectrum method）及谱元法（spectrum element method）2012年04月11日星期三12:47谱方法（spectrum method）Spectral methods are a class of techniques to numerically solve certain Dynamical Systems, often involving the use of the Fast Fourier Transform. Where applicable, spectral methods have excellent error properties, with the so called "exponential convergence" being the fastest possible. Spectral methods were developed in a long series of papers by Steven Orszag starting in 1969 including, but not limited to, Fourier series methods for periodic geometry problems, polynomial spectral methods for finite and unbounded geometry problems, pseudospectral methods for highly nonlinear problems, and spectral iteration methods for fast solution of steady state problems.Partial differential equations (PDEs) describe a wide array of physical processes such as heat conduction, fluid flow, and sound propagation. In many such equations, there are underlying "basic waves" that can be used to give efficient algorithms for computing solutions to these PDEs. In a typical case, spectral methods take advantage of this fact by writing the solution as its Fourier series, substituting this series into the PDE to get a system of ordinary differential equations (ODEs) in the time-dependent coefficients of the trigonometric terms in the series (written in complex exponential form), and using a time-stepping method to solve those ODEs.从上面可以看到谱方法的思路：对PDE方程进行FFT变换，得到只对时间微分的常微分方程组。
求解波动方程的关键步骤
求解波动方程的关键步骤波动现象在我们日常生活中随处可见，如光的传播、声音的传递以及水波的起伏等。
为了更好地理解和描述这些波动现象，我们需要掌握求解波动方程的关键步骤。
本文将介绍波动方程的求解过程，并以声波传播为例进行具体说明。
首先，要求解波动方程，我们首先需要明确波动方程的形式。
波动方程可以用数学模型进行描述，一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u代表介质的波动量，t代表时间，c代表波速，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程是一个偏微分方程，其中包含了关于时间和空间的导数。
因此，求解波动方程需要使用偏微分方程的求解方法。
其次，我们需要确定边界条件和初始条件。
边界条件是指在介质的边界上，波动量u要满足的条件。
初始条件是指在初始时刻，波动量u的分布情况。
边界条件和初始条件的确定对于波动方程的求解至关重要，它们将影响到波动方程解的形式和性质。
以声波传播为例，假设我们要求解声波在一维空间中的传播情况。
我们可以设定一个弦，弦上的波动量u代表声波的振动情况。
边界条件可以是弦的两端固定或自由。
初始条件可以是弦上某点接受到一个初始的电信号，使弦开始振动。
接下来，我们需要应用适当的数值方法来求解波动方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值方法将波动方程转化为离散的差分方程或代数方程，从而可以通过计算机进行求解。
以声波传播为例，我们可以使用有限差分法来求解波动方程。
将空间划分为离散的节点，时间划分为离散的时间步长。
根据波动方程的差分形式，我们可以通过节点之间的关系，逐步更新波动量u的数值。
通过迭代计算，最终得到时间和空间上波动量u的数值解。
最后，我们应该对数值解进行验证和分析。
验证数值解的正确性，可以比较数值解和解析解之间的差异。
当然，在实际情况下，解析解并不一定存在或很难求得。
因此，我们还可以通过调整边界条件和参数，观察数值解的变化规律，进一步分析波动方程的性质和特点。
谱方法介绍
摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且5）Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且6）Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中：Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。
谱方法求解偏微分方程
谱方法求解偏微分方程偏微分方程是数学中一个重要的问题，其求解方法有很多，其中一种常用的方法是谱方法。
在本文中，我们将介绍谱方法的基本原理，以及如何使用谱方法求解偏微分方程。
偏微分方程描述了多元函数的变化规律，其包括偏导数和未知函数本身。
求解偏微分方程的目标是找到函数满足给定的方程以及边界条件。
而谱方法是一种基于展开函数的方法，通过将原始方程转化为一组代数方程来求解。
谱方法基于特殊基函数的展开，这些基函数称为“谱函数”。
常用的谱函数包括Chebyshev多项式、Legendre多项式和Fourier级数等。
这些谱函数具有良好的性质和逼近能力，能够较好地逼近各种类型的函数。
下面我们以一个简单的一维热传导方程为例，来说明谱方法的求解过程。
该方程的数学表达式为：∂u/∂t=α∂²u/∂x²其中，t表示时间，x表示空间坐标，α为常数，u(t,x)为未知函数。
我们希望找到函数u(t,x)满足上述方程以及边界条件。
首先，我们需要确定谱函数的展开形式。
这里我们选择Chebyshev多项式作为谱函数。
Chebyshev多项式是定义在区间[-1,1]上的正交函数系列，具有良好的逼近性质。
假设我们选择前N个Chebyshev多项式作为展开基函数，那么未知函数u(t,x)可以表示为以下形式：u(t,x)=Σc_k(t)T_k(x)其中，c_k(t)为待定系数，T_k(x)为第k个Chebyshev多项式。
接下来，我们将偏微分方程代入上述展开式，并比较等式两边的系数，得到一组代数方程。
例如，将方程∂u/∂t=α∂²u/∂x²代入展开式，可以得到：∂c_k(t)/∂t=-αk²c_k(t)其中，k表示Chebyshev多项式的阶数。
然后，我们需要确定初值条件和边界条件。
给定初始时刻t=0时的函数值u(0,x)，可以用展开式来表示。
例如，如果给定u(0,x)=f(x)，我们可以得到：u(0,x)=Σc_k(0)T_k(x)=f(x)同样地，我们可以将边界条件用展开式来表示。
数理方程__波动方程的分析
数学与物理方程——波动方程的分析波动方程的分析摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。
解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。
在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。
关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言波动方程也可叫做波方程。
它是一种重要的偏微分方程，通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究过，其中包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
2波动方程的导出(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。
(2)波动方程等号两边分别是未知量y 对变量t 和对变量x 的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。
之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。
(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。
如果1u 和2u 都是波动方程的解，即以下两式成立2122212xu atu ∂∂=∂∂ （1）2222222xu atu ∂∂=∂∂ （2）将以上两式相加，得()()221222212xu u atu u ∂+∂=∂+∂（3）这表示，21u u +也是波动方程的解。
21u u +表示两列波的叠加。
所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。
(4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。
在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。
用于波动方程模拟的Chebshev谱元法
１引言
在瞬态分析，工程地震学，计算声学等领域 （ 如无损检测，油气勘探等） ，如何利用数值计算的方法更
精确地得到弹性波动方程的解一直是国内 外研究者的工作重点。 着计算机技术的发展， 随 一些原来影响数值
计算方法应用的瓶颈一一被克服， 但对于大型的复杂二维问题或三维问题的研究， 仍然对原有的数值模拟方 法提出了挑战。 当前普遍使用的数值方法，如有限体积法 （ｉｔＶｌ ｅ ｔ ｄ，有限元 （ｉｔＥｅ ｅｔ ｈｄ， Ｆ ｉ ｏ ｍ Ｍｅ ｏ） ｎｅ ｕ ｈ Ｆ ｉ ｌ ｎＭｅ ｏ） ｎｅ ｍ ｔ
Ｃｅ ｈ 正 多 式 ｅ ｎｒ多 展开。３ 伽 金 法 解正 题的 分 式， 全 近 ｈ ｓ ｖ 交 项 或Ｌｇ ｄ 项式 ｂｅ ｅ ｅ （ 用 辽 方 求 交问 变 格 得到 局的 似 ）
解。 有关谱元法的详细数学表述请参看文献 ７ ０ 我们这里采用 Ｃｅｓｅ 正交多项式，它是如下奇异性 Ｓ ｒ－ｉ ｖｌ方程的特征函数 ｈｂｈｖ ｔｍＬｏ ｉ ｕ ｕｌ ｅ
似函数能最佳地逼近偏微分方程的精确解，测试函数 （ｅ Ｆｎｔｎ Ｔｓ ｕｃｏ）被引进用于验证近似解带来的余量是 ｔ ｉ 否达到最小。对基函数和测试函数的不同选择导致了上述这几种数值方法。
２ ｅｓｅ 谱元法 Ｃ ｂｈｖ ｈ
谱元法（ Ｅ ） 最早 Ｍ ， 在由Ｐｔａ ‘ 并 应用于流体动力学。 把有限 （ Ｓ Ｐ ａｒ提出２ 主要 ｅ ］ ， 它 元法和谱方法相结 合，
Ｃｅ ｓ ｖ ａ ｓｏ ｔ 配置点 权重 ｈ ｙ ｅＧｕ－ ｂ ｏ ｂ ｈ － ｓＬ ａ 及其 定义如 下，
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ｘｏ， ｉｓ 二务 Ｃ
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ｒ 一 ， ， ７ ： 、 ‘ ． ， 一二 。
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波动方程求解方法
常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。
1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。
有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。
有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。
有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。
同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。
有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。
有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。
在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网格线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。
目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。
波动方程的直观求解法
波动方程是物理学中的关键方程之一，解决这个问题是很重要的，但是有时候这个方程很难以理解。
在这篇文章中，我们将探讨一些直观的求解波动方程的方法。
一、分离变量法：这是求解波动方程的最常用方法之一。
分离变量意味着将变量分开，然后解决方程。
这种方法需要一定的数学知识，但是只要理解了它的原理，就可以轻松地应用它来解决波动方程。
二、超定平衡法：这种方法是通过将波特征的变化定义为超定平衡来解决波动方程的。
这种方法比较复杂，但是如果正确地应用它，就可以得到很精确的解决方案。
三、观察物理实验：物理实验可以非常直观地帮助我们理解波动方程。
通过观察实验，我们可以确定方程的一些基本要素，如波长、频率等等。
四、数值方法：数值方法是一种较为常见的解决波动方程的方法，它可以通过计算机程序来求解方程。
这种方法需要一些计算机科学和数学方面的知识，但是它可以帮助我们得到非常精确的解决方案。
五、借助解析法解决实际问题：在实际问题中，我们经常会遇到一些非常复杂的波动问题。
通过运用解析法，我们可以采用一些简单的模型来解决这些问题，这些模型可以帮助我们获得更准确和实际的结果。
总之，求解波动方程需要一定的数学和物理学知识，但是只要我们了解了基本的原理，就可以使用这些方法来得到我们需要的结果。
当然，在实际问题中，我们可能需要结合多种方法来获得最好的结果。
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万方数据
第１பைடு நூலகம்期
朱昌允， 谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素 等：
求解此方程组常采用 Ｒ ｎｅ ｕｔ 法， ｕ ｇ－ ｔ Ｋ ａ 但当求解类 似于波动方程的动力学问题时， 则通常采用直接积 分法和振型叠加法， 本文采用隐式 Ｎ ｗ ａ ｅｍ ｒ ｋ积分
朱昌允，秦国良，徐忠
（ 西安交通大学能源与动力工程学院， １０９ 西安） ７０４ ，
摘要：为探讨波动方程的高精度数值模拟， 采用 Ｃ ｅｙｈｖ ｈｂｓｅ 谱元方法结合隐式 Ｎ ｗ ａ ｅｍ ｒ ｋ时间积 分方法求解波动方程． 求解一个具体算例验证了数值方法的可行性， 讨论了时间步长、 ｅ ｍ ｒ Ｎｗ ａ ｋ 因子以及计算区域的网 格剖分方式对数值精度的影响． 结果表明： 和差分法相比， 谱元方法求解波 动方程具有所用网格节点少， 数值精度高的特点； 数值误差随时间步长减小而减小； 在满足稳定性 要求的前提下， 数值误差随着Ｎ ｗ ａ ｅｍ ｒ ｋ因子的减小而减小； 当总网格节点数相同时， 不同的网格 剖分方式所得数值误差不同 所述方法和结论可用于模拟声波在空气中的传播． ．
不同 差分方案［９ 通过求解ｔ ｔ ［ ｕ。 ｓ １ １ ＋ ＋ 的控制方程 Ｏ
得到 Ｍ ６＋瓜 、 ＝Ｑ 、 Ｉ１ ＋ （３ １）
从式（２得 １）
ｉ ，＝ （ｔ ， ａ ｔ一ｉａ ｔ ｉ ｒ ｕ 。一ｕ） ， ｚ 一 ｔ ＋ ＋ ／ｐ ／Ａ 其中 （／ａ ） １２ 一１ｉ ｉ ， （４ １） 将式（４带人式（１， 嗯 叽 １） １）然后再一并代人式（３ ， １）得 ｕｘ ， 一习艺ｕ（。ｘ ｋ ） （ ｅ ， （ ｙ ） ｊ＝０ ＝０ ｊ，， ）（ ７ ｔ ｋ）（ ｈ， ） （ ＋Ｍ／ａ ｔ ）ｔ ＝Ｆ Ａ ｔ ＇ｔ Ｋ （ｐ， ｕｏ ） ＋ ｔ＋ ＋ ｋ ｈ ｘ 的定义域为「 ， 批（ ） 岛， ＝ ； 一ｌｌ， ］且 荟 ＝ 互 式中， （） Ｍ［ｔ ｐ， ｔ ａｔ＋（／２） ）ｔ ／ａ ｔ ＋ｕ （ｐ） １（ａ一１ｉ ｉ（ ） ／ ｕ ｉ ７
２ 控制方程的空间离散
使用谱元方法求解式（）首先将求解区域 几 ５，
分解成 Ｎ 个互不重叠的子区域口 ， Ｇ 。 称为单元， ＝ 口 Ｕ｀ 然后将各单元转化成标准单元， Ｓ． ｅ 在一个标准单
ａ，＝ｉ＋［１ ｉ ｕ＋ Ａ 一的ｉ＋ａｔ Ｉｔ （１ ， ＋ ｔ （ ， ， ， １） ｔ ｉ ＋仁（／） ） ｉ ，Ａ２ ｕｏ＝ｕ＋ｚ ｔ （１２一ａｉ＋ａｒ Ｉ ｔｔ ＋ ｔ Ａ ｉ ｉ ， ＋ ｔ ｙ
动中脉动量相互抵消的结果， 其值较平均流场量小 ３ 个量级， －５ 故需较高的数值精度， 针对这一要求，
初由Ｐｔａ〕 其后主要应用于计算流体力学 ａ ｒｉ ｅ ｆ提出， 和计算传热学Ｘ． 着对其研究的深人和 ２随 １ 工程实际
问题的需要， 该方法近来被应用于更多领域， 如气动 声学、 地球物理学等领域． 计算气动声学是一门新兴的交叉学科， 主要通 过数值计算研究气动噪声的产生机理和传播特性、
Ａ ｓａｔ Ｔ ｉ ｅ ｉ ｔ ｔｅ ｅｃ ｓ ｅ ｅ ｈ ｈ ｅ ｏ ａｃｒ ｙ ｔｅ ｕ ｔｎ ｂｔ ｃ； ｎ ｓｇ ｅ ｎｍ ｒａ ｃ ｍ ｗｔ ｈ ｏｄｒ ｃ ａ ｆ ｈ ｓ ｌｉ ｏ ｒ ｏ ｔａ ｈ ｕ ｉｌ ｖ ｈ ｉ ｉ ｒ ｆ ｕ ｃ ｏ ｇ ｒ ｉ ａｏ ｆ ｍ ｗ ｖ ｅｕｔ ｎ， ｂｓｅ ｓｅ ｒ ｅ ｍ ｎ ｍ ｔｏ ｃｍ ｉ ｄ ｈ ｌｉＮ ｗ ａ ｔ ｅ ｅ ａｅ ａｏｓ Ｃ ｅｙｈｖ ｃ ａ ｌ ｅｔ ｈｄ ｂ ｅ ｗｔ ｉｐｃ ｅ ｍ ｒ ｉ ｉ － ｑ ｉ ｈ ｐ ｔ ｌ ｅ ｅ ｏ ｎ ｉ ｍ ｉｔ ｋ ｎ ｍ ｔ ｇａｍ ｔｏ ｉａｏｔ ｆ ｓ ｕ ｔｇ ｖ ｅｕｔ ｎ． ｅ ｓｍ ｆ ｔ ｓ ｃｎ ｔｅ ｅｃ ｒ ｅ ｄ ｄｐｅ ｏ ｉ ｌｉ ｗ ｅ ａｏｓ Ｔ ｎ ｅ ｏ ａ ｅ ｉ ｈ ｎｍ ｒａ ｌ ｈ ｓ ｄ ｍ ａｎ ａ ｑ ｉ ｒ ｈ ｏ ａ ｒ ｆ ｔ ｇ ｕ ｉ ｌ ｃ ｆ ａｃｒ ｙ ｄ ｃｓ ｄ ｄｔｌ ｓｃ ａ ｔ ｅ ｐ Ｎ ｗ ａ ｆ ｔｒ ｔｅ ｄ ｉｏ ｓ ｌ ｃ ａ ａ ｉｕｓ ｉ ｅ ｉ ｕｈ ｉ ｓ ｈ ｅ ｍ ｒ ａ ｏ ａｄ ｓｂｉｓ ｎ ｅ ｕ ｃ ｒ ｓ ｅ ｎ ａ ， ｅ ｓ ｔ ， ｍ ｅ ｋ ｃ ｎ ｈ ｕ ｖｉ ｔ ｙ ｆ ｃｍ ｕａｏａｄｍ ｉ Ｔ ｅ ｃ ｓ ｎ ｉ ｉ ｔ ｔａ ｔｅ ｃ ａｅ ｍ ｎ ｍ ｔｏ ｈｓ ｈｒ ｏ ｏ ｐｔ ｉ ｌ ａ ． ｃｎｌ ｉ ｓ ｃ ｅ ｔ ｓｅ ｒ ｌ ｅｔ ｈｄ ｈ ｅ ｒ ｔｎ ｏ ｎ ｈ ｏ ｕ ｏ ｎ ａ ｈ ｈ ｐ ｔ ｌ ｄ ｅ ｅ ａ ｉ ｇ ｏｄｒ ｅｃ ａ ｕａ ｔａ ｄｆ ｅｃｍ ｔｏ ｆ ｓ ｕ ｔｎ ａｅ ａｏｓ ｓ ａ ｔ ｅ ｒｅｎｍ ｒａ ｃ ｒ ｙ ｎ ｅ ｎｅ ｈｄ ｉ ｌｉ ｏｗ ｖ ｅｕｔ ｎ，ｍ ｌ ｉ ｓ ｐ ｕ ｉ ｌ ｃ ｈ ｉ ｒ ｃ ｆ ｅ ｏ ｍ ａｏ ｆ ｑ ｉ ｒ ｌ ｔ ｍ ｅ
ｄ Ｇ （ ） ｗ Ｈ＇ （ Ｚ （） ５
３ 时间积分
欲用Ｎｗ ｒ ａ 积分方法求解式（０， 一ｔ ｅｍ ｋ １）在ｔ ＋
・ 一＇Ｖｘ； ＝ｆｘ Ａ 时间区域内采用下列假设， （ ｆｗｕｙ（ ） ｄ ｔ 一） ｆ ｄ ｆ 几 ｄ ｌ ｄ ， ｗｙ ７ ｗ 即
ｆ一兄艺ｆ（ ； ｋ） ｋ）Ｍｈ： ｔ ｈ （
ｊ＝０ ｋ－０
Ｎ ｝ ： ，
（） ８
方法Ｆ． ６ １
在标准单元内， 计算
ｗ ｄｄ／ｔ ａ 二 ｕ ｙｄ ， ， ） ｘ ２（ ｕ
（） ９
１ 控制方程
空气介质中的波动方程可以通过线化欧拉方程
和（ ， ， ｆ ｗ） 可得以下二阶线性偏微分方程组 １ｅ（） ｕ ＝ ｅ（） ９ Ｖｕ ＋Ｋ ｔ ｌ ｔ 其中
式中：和ｓ ａ 是由数值精度和稳定性要求决定的参 数， ａ ｅ ｍ ｒ 因子，和ｓ 称 为Ｎ ｗ ａ ｋ ａ 取不同数值， 代表
（２ １）
元内， Ｎ阶 Ｃｅｙ ｅ 正交多项式对试函数、 使用 ｈｂｓ ｖ ｈ 右端项和解本身分别进行逼近． 于是， 变分方程的解
可以写成如下形式 ｕ＝ ｉｘ ｙ ｔ ｉ ， （ ， ） ａ（ ， ， ｌ ｙ ｔ ｘ ） （） ６
Ｚ Ｕ ａｇｕ ， Ｎ ｏａｇ Ｘ Ｚｏｇ Ｈ Ｃ ｎｙｎ Ｑ Ｇ ｌｎ ， ｈｎ ｈ Ｉ ｕｉ Ｕ
（ ｈ ｌ ｎ ｇ ａ Ｐｗｒ ｉ ｅｎ， ｎ ｔ ｇ ｖ ｓｙ Ｘ＇ ７ ０９ Ｃｉ ） Ｓ ｏ ｏＥｅ ｙ ｏ ｅＥｇ ｅ ｉ Ｘ＇ Ｊｏ ｎ Ｕ ｉｒｔ ｉｎ ４， ａ ｃ ｏ ｆ ｒ ｎ ｄ ｎ ｎ ｒｇ ｉ ｉ ｏ ｎ ｅｉ， １ ａ ａ ａ ０ ｈ ｎ
Ｋｅ＝
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ｅｔ ｈ ｌｉ ｕｅ ｄ ｆ ｅｔ ｅｃ ｅ ｏ ｗ ｉ ｔｅ ｅ ｌ ｍ ｍ ｅｇｔｅｕｌ ａｈ ｎ ｍ ｓ ｓ ｅ ｃ ｉｅ ｎ ｎｍ ｒａ ｒ ｒ ｌ ｈ ｇｎｒ ｇｉ ｅ ｂｒ ｓ ａｔ ｅｃ ｅ ｔ ｎ ｓ ｒ ｕ ｉｌ ｙ ｄ ｆ ｒ ｈｅ ｅ ａ ｒ ｄ ｅ ｑ ｏ ｏ ｅ Ｔ ｅ ｐｓ ｍ ｔｏ ｅａｌ ｔ ｓ ｕ ｔａ ｕｔ ｗ ｖ ｐｏａａｏ ｉａ． ｔ ｒ ｈ ｐｏｏｅ ｅ ｄ ｂ ｓ ｉ ｌｅ ｓｃ ｅ ｐｇｔｎ ｉ ｈ ． ｒ ｄ ｈ ｎ ｅ ｏ ａ ｃ ｉ ａ ｒ ｍ ｏ ｉ ｎ ｒ Ｋｙｏ ｓ ｗ ｖ ｅｕｔｎ ｓｅｔ ｌ ｅｔ ｈｄ ｔ ｅ ｇａｍ ｔｏ； ｏｃｕｔｓ ｅｗｒ ； ｅ ａｏ； ｃ ａｅ ｍ ｎ ｍ ｔｏ； ｉ ｅｒｌ ｈｄ ａｒａｏｓｃ ｄ ａ ｑ ｉ ｐ ｒ ｌ ｅ ｅ ｉ ｎ ｍ ｔ ｅ ｅ ｉ
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谱元方法是结合谱方法和有限元法各自 特点的 一种数值方法， 它既具有谱方法的高精度和收敛特 性， 又具有较好的几何区域适应性，０ ２ 世纪 ８ 年代 ０
流体和声的相互作用等． 前面临的主要问题［之 目 ３ ］
一是传统数值方法的精度不能完全满足计算气动声
学的 需要， 如差分方法川和有限元方法． 声学量是流
第４卷 第 １ ２ 期
２０ 年 １ ０８ 月
西 安 交 通 大 学 学 报 Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｖ Ａ Ｊ Ｏ Ｏ Ｇ ＩＥ ＳＴ Ｏ ＲＡ Ｏ Ｆ Ｎ Ｔ Ｎ Ｕ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｉ Ａ Ｎ
Ｖｏ． Ｘ １ ｌ４ ｏ ２
Ｊｎ ２ ０ ａ ． ８ ０
谱元方法求解波动方程及影响其数值精度的相关因素