人教版八年级数学下册期末复习课件：17
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a＝12m2－n2， b＝mn， 其中 m＞n＞0，m、n 是互质的奇数． c＝12m2＋n2，
应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
解：当 n＝1 时，a＝12(m2－1)，b＝m，c＝12(m2＋1)．∵直角三角形有一边长为 5，∴当 a＝5 时，12(m2－1)＝5，解得 m＝± 11(舍去)；当 b＝5 时，即 m＝5，∴a＝ 12，c＝13；当 c＝5 时，12(m2＋1)＝5，解得 m＝±3.∵m＞0，∴m＝3，∴a＝4，b＝ 3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
△BCF 中，由勾股定理，得 BF＝ BC2＋CF2＝5.在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得
EF＝ DE2＋DF2＝ 5.在△BEF 中，BE2＋EF2＝(2 5)2＋( 5)2＝25＝BF2，由勾股定
理的逆定理，得△BEF 是直角三角形，且∠BEF＝90°，∴BE⊥EF.
思维训练
15．阅读材料： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a、b、c，称为勾股数．世界上第一 次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为
___________________________________
_______.
• 解析：∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2 ＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，△ABC是等腰 三角形；当只有a2＋b2＝直c角2成立时，△ABC是 直角三角形；当两个条件同时成立时， △ABC是等腰直角三角形．
能力提升
• 8．下列定理中，没有逆定理的是 ( B ) • A．等腰三角形的两个底角相等 • B．对顶角相等 • C．三边对应相等的两个三角形全等 • D．直角三角形两个锐角的和等于90°
• 9．如图是由8个全等的小长方形组成的大正
方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，
如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA、B PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P
基础过关
1．下列各线段的长，能构成直角三角形的是
A．9,16,25
B．5,12,13
C． 3， 4， 5
D．13，14，15
2．下列各组数为勾股数的是
A．7,8,9
B．1， 5， 6
C．6,8,10
D．35，45，1
(B ) (C )
• 3．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；② 若a＞1，则(a－1)0＝1；③两个全等的三角 形的面积相等；④等边三角形的三个内角相D 等．其中原命题与逆命题均为真命题的有
△ABE＝12AB·DE＝12AB×7＝35，∴AB＝10. (2)在△ABC 中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴AC2＋BC2＝82＋62＝100，AB2
＝102＝100，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形，∴S△ABC＝12BC·AC＝12 ×6×8＝24，∴四边形 ACBE 的面积 S＝S△ABC＋S△ABE＝ 59.
• 14．如图，在正方形ABCD中， 边长为4，点E、F分别在边AD和 CD上，其中AE＝2，DF＝1，判 断BE与EF的位置关系，并说明理 由．
解：BE⊥EF.理由：∵正方形 ABCD 的边长为 4，AE＝2，DF＝1，∴ED＝2，
CF＝3，AB＝BC＝4.在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 BE＝ AB2＋AE2＝2 5.在 Rt
第十七章 勾股定理
17．2 勾股定理的逆定理(一课时)
以练助学
名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
名师点睛
• 知识点1 互逆命题与互逆定理
• 两个命题的题设、结论正好相反，我们把这 样的两个命题叫做互逆命题；如果把其中一 个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命 题．
• 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是 正确的，那么它也是一个定理，称这两个定 理互为逆定理．
• C．钝角三角形
• D．不能确定
• 6．(易错题)已知三角形三条边的长度分别是： ①1，，；②2,3,4；③3n,42 n,5n(n＞0)；④ 32,42,52.其中一定能构成直角三角形的有 _____组．
• 7．如图，每个小正方形的边长为1.
• (1)求四边形ABCD的周长；
• (2)求证：∠BCD＝90°.
• 知识点2 勾股定理的逆定理
• 如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形．
• 注意：判断一个三角形是否为直角三角形： 先确定最长边，再验证最长边的平方是否等 于另两边的平方和．若相等，则是直角三角 形．
• 【典例】下列长度的三条线段能组成直角三 角形的是( )
• 12．一根30，BC＝6， AC＝8.在△ABE中，DE是AB边上的 高，DE＝7，△ABE的面积为35.
• (1)求AB的长； • (解2：)求(1)在四△A边BE形中，A∵CDEB是EA的B 边面上的积高，．DE＝7，△ABE 的面积为 35，∴S
有
()
• A．2个
• B．3个
• C．4个
• D．5个
• 10．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD ＝3米，∠ADC＝9240平°方，米 AB＝13米，BC＝12 米，这块地的面积为____________.
• 11．若△ABC的三边a、b、c满足(a－b)(a2 等腰三＋角形b或2－直c角2三)＝角0形，或则等腰△直A角B三C角的形形状为
• A．3,4,5 B．2,3,4
• C．4,6,7 D．5,12,15
• 分析：由组成直角三角形的三边关系可知， 只有A中32＋42＝52成立，故选A．
• 答案：A
• 知识点3 勾股数
• 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数．
• 注意：勾股数的特征：从数量上看，是三个 数；从性质上看，都是正整数；从关系上看， 满足a2＋b2＝c2.
(1)解：由题意，得 AB＝ 32＋32＝3 2，BC＝ 32＋52＝ 34，CD＝ 32＋52＝ 34， AD＝ 52＋52＝5 2，∴CABCD＝AB＋BC＋CD＋AD＝8 2＋2 34.
(2)证明：连接 BD，则 BD＝ 22＋82＝2 17.在△BCD 中，BC2＋CD2＝34＋34 ＝68＝(2 17)2＝BD2，∴△BCD 是直角三角形，即∠BCD＝90°.
()
• A．4个 B．3个
• C．2个 D．1个
A
• 4．如图，正方形网格中，每个小方格边长为
1，点A、B、C均为格点，则△ABC的形状
为
()
• A．直角三角形
• 5．如图，以三角形三边为直径向外作三个半
圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的B
半圆面积，则这个三角形是
()
• A．锐角三角形
• B．直角三角形
应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
解：当 n＝1 时，a＝12(m2－1)，b＝m，c＝12(m2＋1)．∵直角三角形有一边长为 5，∴当 a＝5 时，12(m2－1)＝5，解得 m＝± 11(舍去)；当 b＝5 时，即 m＝5，∴a＝ 12，c＝13；当 c＝5 时，12(m2＋1)＝5，解得 m＝±3.∵m＞0，∴m＝3，∴a＝4，b＝ 3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
△BCF 中，由勾股定理，得 BF＝ BC2＋CF2＝5.在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得
EF＝ DE2＋DF2＝ 5.在△BEF 中，BE2＋EF2＝(2 5)2＋( 5)2＝25＝BF2，由勾股定
理的逆定理，得△BEF 是直角三角形，且∠BEF＝90°，∴BE⊥EF.
思维训练
15．阅读材料： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a、b、c，称为勾股数．世界上第一 次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为
___________________________________
_______.
• 解析：∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2 ＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，△ABC是等腰 三角形；当只有a2＋b2＝直c角2成立时，△ABC是 直角三角形；当两个条件同时成立时， △ABC是等腰直角三角形．
能力提升
• 8．下列定理中，没有逆定理的是 ( B ) • A．等腰三角形的两个底角相等 • B．对顶角相等 • C．三边对应相等的两个三角形全等 • D．直角三角形两个锐角的和等于90°
• 9．如图是由8个全等的小长方形组成的大正
方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，
如果点P是某个小长方形的顶点，连接PA、B PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P
基础过关
1．下列各线段的长，能构成直角三角形的是
A．9,16,25
B．5,12,13
C． 3， 4， 5
D．13，14，15
2．下列各组数为勾股数的是
A．7,8,9
B．1， 5， 6
C．6,8,10
D．35，45，1
(B ) (C )
• 3．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；② 若a＞1，则(a－1)0＝1；③两个全等的三角 形的面积相等；④等边三角形的三个内角相D 等．其中原命题与逆命题均为真命题的有
△ABE＝12AB·DE＝12AB×7＝35，∴AB＝10. (2)在△ABC 中，∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴AC2＋BC2＝82＋62＝100，AB2
＝102＝100，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC 是直角三角形，∴S△ABC＝12BC·AC＝12 ×6×8＝24，∴四边形 ACBE 的面积 S＝S△ABC＋S△ABE＝ 59.
• 14．如图，在正方形ABCD中， 边长为4，点E、F分别在边AD和 CD上，其中AE＝2，DF＝1，判 断BE与EF的位置关系，并说明理 由．
解：BE⊥EF.理由：∵正方形 ABCD 的边长为 4，AE＝2，DF＝1，∴ED＝2，
CF＝3，AB＝BC＝4.在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 BE＝ AB2＋AE2＝2 5.在 Rt
第十七章 勾股定理
17．2 勾股定理的逆定理(一课时)
以练助学
名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
名师点睛
• 知识点1 互逆命题与互逆定理
• 两个命题的题设、结论正好相反，我们把这 样的两个命题叫做互逆命题；如果把其中一 个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命 题．
• 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是 正确的，那么它也是一个定理，称这两个定 理互为逆定理．
• C．钝角三角形
• D．不能确定
• 6．(易错题)已知三角形三条边的长度分别是： ①1，，；②2,3,4；③3n,42 n,5n(n＞0)；④ 32,42,52.其中一定能构成直角三角形的有 _____组．
• 7．如图，每个小正方形的边长为1.
• (1)求四边形ABCD的周长；
• (2)求证：∠BCD＝90°.
• 知识点2 勾股定理的逆定理
• 如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形．
• 注意：判断一个三角形是否为直角三角形： 先确定最长边，再验证最长边的平方是否等 于另两边的平方和．若相等，则是直角三角 形．
• 【典例】下列长度的三条线段能组成直角三 角形的是( )
• 12．一根30，BC＝6， AC＝8.在△ABE中，DE是AB边上的 高，DE＝7，△ABE的面积为35.
• (1)求AB的长； • (解2：)求(1)在四△A边BE形中，A∵CDEB是EA的B 边面上的积高，．DE＝7，△ABE 的面积为 35，∴S
有
()
• A．2个
• B．3个
• C．4个
• D．5个
• 10．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD ＝3米，∠ADC＝9240平°方，米 AB＝13米，BC＝12 米，这块地的面积为____________.
• 11．若△ABC的三边a、b、c满足(a－b)(a2 等腰三＋角形b或2－直c角2三)＝角0形，或则等腰△直A角B三C角的形形状为
• A．3,4,5 B．2,3,4
• C．4,6,7 D．5,12,15
• 分析：由组成直角三角形的三边关系可知， 只有A中32＋42＝52成立，故选A．
• 答案：A
• 知识点3 勾股数
• 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数．
• 注意：勾股数的特征：从数量上看，是三个 数；从性质上看，都是正整数；从关系上看， 满足a2＋b2＝c2.
(1)解：由题意，得 AB＝ 32＋32＝3 2，BC＝ 32＋52＝ 34，CD＝ 32＋52＝ 34， AD＝ 52＋52＝5 2，∴CABCD＝AB＋BC＋CD＋AD＝8 2＋2 34.
(2)证明：连接 BD，则 BD＝ 22＋82＝2 17.在△BCD 中，BC2＋CD2＝34＋34 ＝68＝(2 17)2＝BD2，∴△BCD 是直角三角形，即∠BCD＝90°.
()
• A．4个 B．3个
• C．2个 D．1个
A
• 4．如图，正方形网格中，每个小方格边长为
1，点A、B、C均为格点，则△ABC的形状
为
()
• A．直角三角形
• 5．如图，以三角形三边为直径向外作三个半
圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的B
半圆面积，则这个三角形是
()
• A．锐角三角形
• B．直角三角形