2015年考研数学(二)真题及答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.
(1) 下列反常积分收敛的是 ( )
(A)
2
+∞
⎰
(B) 2
ln x dx x
+∞
⎰
(C)
2
1ln dx
x x +∞
⎰
(D) 2
x x dx e
+∞
⎰
【答案】(D) 【解析】(1)x x
x dx x e e -=-+⎰
，则222
2(1)3lim (1)3x
x x
x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞
=-+=-+=⎰.
(2) 函数()2
sin lim(1)
x t
t t f x x
→=+
在(,)-∞+∞内( )
(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)
【解析】2
2
0sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x t
t t f x e e x
→→=+
==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0
x x x f x x α
β⎧>⎪=⎨⎪
≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)
【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=
()10
01
cos
010lim lim cos
x x x x f x x x ααβ
+
+-+→→-'== 0x >时，()()()11
111cos
1sin f x x x x x x αα
βββαβ-+'=+-- 11
11cos
sin x x x x ααβββ
αβ---=+
()f x '在0x =处连续则：()()10
1
00lim cos 0x f f x x
αβ+
--+→''===得10α-> ()()++11
00110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββ
αβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭
得：10αβ-->，答案选择A
(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线
()=y f x 的拐点的个数为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)
【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数
为2个.
(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭ ，则
11
u v f
u
==∂∂与11
u v f v
==∂∂ 依次是 ( )
(A)
1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2
- 【答案】(D)
【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=
，则,11u uv x y v v ==++，从而22
(,)y f x y x y x
+=-变为
2
2
2
(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
.故22
2(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而
11
1
1
1
0,2u u v v f
f u
v ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =
，y =围成的平面区域，函
数(),f x y 在D 上连续，则
(),D
f x y dxdy =⎰⎰ ( )
(A)
()1
3sin214
2sin2cos ,sin d f r r rdr π
θπθ
θθθ⎰⎰
(B)
(
)34
cos ,sin d f r r rdr π
πθθθ⎰ (C)
()13sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r dr
π
θπθ
θθθ⎰⎰
(D)
(
)34
cos ,sin d f r r dr π
πθθθ⎰
【答案】(B)
【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为
(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩
所以
3
4
(,)(cos ,sin )D
f x y dxdy d f r r rdr π
πθθθ=⎰⎰⎰
故选B.
(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多
解的充分必要条件为 ( )
(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)
【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a
d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
，
由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）
(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为222
123
2y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形
为( )
(A)2221232y y y -+ (B) 222123
2y y y +-
(C) 2221232y y y -- (D) 222
123
2y y y ++
【答案】(A)
【解析】由x Py =，故222123
()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001T
P AP ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
.
由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪-⎝⎭
故200()010001T T T
Q AQ C P AP C ⎛⎫
⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭
所以222
123
()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 3
arctan 3x t y t t
=⎧⎨=+⎩ 则 21
2
t d y dx ==
【答案】48
【解析】 2
222
333(1)11dy dy t dt t dx dx
dt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx
=+=222222[3(1)]
12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 221
48t d y
dx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n
f =_________ 【答案】()()
2
1ln 2n n n --
【解析】根据莱布尼茨公式得：
()()()
()()(2)
22
2
(1)0222ln 2(1)ln 22
n n n n x n x n n f C n n ---=-==
=- (11) 设()f x 连续，()()20
x x x f t dt ϕ=⎰
，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =
【答案】2
【解析】 已知2
()()x x x f t dt ϕ=⎰
，求导得2
220
()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有
1
(1)()1,f t dt ϕ==⎰
(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.
(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()
y x 取得极值3，则
()y x = .
【答案】22x x e e -+
【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22x
x
y e e
-=+
(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y z
e xyz +++=确定，则()0,0dz = .
【答案】()1
d 2d 3
x y -
+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得
2323(3)
x y z x y z z
e xy yz e x
++++∂+=--∂ 2323(3)
2x y z x y z z
e xy xz e y
++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12
,.(0,0)(0,0)33
z z x y ∂∂=-=-∂∂
则可得()(0,0)1
21
|d 2d .333
dz dx dy x y =--
=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式
B = .
【答案】21
【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）
设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无
穷小，求,,a b k 的值.
【答案】111,,32
a k
b =-=-=- 【解析】 方法一：
因为233
ln(1)()23
x x x x o x +=-
++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，
23333000(1)()()
()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a a
a x
b x x o x f x x a x bx x g x kx kx
→→→++-+++++===， 可得：1002
13a a b a
k
⎧⎪+=⎪
⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，1
1213a b k ⎧⎪=-⎪⎪
=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．
方法二： 由题意得
3
00
sin )1ln(lim )()(lim
1kx x
bx x a x x g x f x x +++==→→2
03cos sin 11lim
kx x bx x b x a
x ++++
=→
由分母03lim 2
=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0
x bx x b x
a
x ++++
→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；
于是)()
(lim
10
x g x f x →=2
3cos sin 11
1lim kx x bx x b x x +++-
=→
）
（x kx x
x bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim
20 2
03c o s )1(s i n )1(lim kx x
x bx x x b x x ++++=→
kx
x
x bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim
0+-++++++=→
由分母06lim 0
=→kx x ，得分子
]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0
x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0
=+=→x b x ，
求得2
1
-
=b ； 进一步，b 值代入原式
)()(lim 10x g x f x →=kx
x x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim
0++-+--=→ k
x
x x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21
sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 2
1lim 0++++++-++--=→k
621-=，求得.31-=k
(16) (本题满分10分)
设A>0，D 是由曲线段sin (0)2
y A x x π=≤≤
及直线0y =，2
x π=
所围成的平面区域，1V ，
2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.
【答案】
8
π
【解析】由旋转体的体积公式，得
dx x f ⎰
=20
21)(V π
πdx x A ⎰=20
2
)sin (π
πdx x A
⎰
-=20
2
2
2cos 1π
π422A π=
dx x xf ⎰
=
2
2)(2V ππA x d x A -πππ
2c o s 220
==⎰
由题,V V 21=求得.8
A π
=
(17) (本题满分11分)
已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)x
x f x x e =+，2
(0,)2f y y y =+，
求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-
【解析】x
xy
e y y x
f )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()2
1(
2),(2
x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=， 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，
故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得
⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2
⎰
+++=x
x
de x e y y )1()2(2 ⎰
-+++=dx e e x e y y x
x
x )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y
由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.
令⎪⎩
⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2x
y x
x x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xx
xe e e y y f +++=''2)2(2， x xy
e y
f )1(2+=''，x
yy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xx
A f ''=-=,0)1,0(
B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy f
C ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.
(18) (本题满分10分) 计算二重积分
()D
x x y dxdy +⎰⎰
，其中{}222
(,)2,D x y x y y x =+≤≥
【答案】2
4
5
π-
【解析】
2
()D
D
x x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰
2
1
20
2x
dx dy =⎰
1
220
2)x x dx =⎰
1
2240
022
222sin 2cos 55
x t x
t tdt π=--⎰⎰
22
24200222
2sin 2sin .5545
u t tdt udu π
ππ==-=-=-⎰⎰
(19)(本题满分 11 分) 已知函数(
)2
1X
f x =+⎰
⎰，求()f x 零点的个数？
【答案】2个
【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12
x =
, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2
+∞,()f x 单调递增 故1()2
f 为唯一的极小值,也是最小值.
而11224
1()2f =+=-⎰⎰⎰
12
2
4
=
--⎰
⎰⎰
在1(,1)2
故
0-<
从而有1()02
f <
1lim ()lim[]x x x f x →-∞
→-∞
=+=+∞⎰⎰
2
21
1
1
lim ()lim[]lim[]x x x
x x x f x →+∞
→+∞
→+∞
=+=-⎰⎰
⎰
⎰
考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞
=+∞.
所以函数()f x 在1(,)2
-∞及1(,)2
+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介
质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min
后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min
【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则
()dx
k x m dt
=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+
又1()30,2x =所以2ln10k =，所以1
1
()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.
(21) (本题满分10分)
已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，
设b a >，曲线()y f x =在点()()
,b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明
0a x b <<.
【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-
令0y =，得0()
()
f b x b f b =-
' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>
所以0()
()
f b x b b f b =-
<' 又因为0()
()
f b x a b a f b -=--
'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)
(),(a,b)f f b a
ξξ-'=∈-
所以0()()()()()
()()()()()()
f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--
=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>
所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.
(22) (本题满分 11 分)
设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
且3A O =.
(1) 求a 的值；
(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .
【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 【解析】 (I)32
31
00100111100011a A O A a a a a a a a a
=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知
()()()()()()()()()22221112221
2X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A
E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭
，
011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
M M M M M M
111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭
M M M M M M
110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
M M M M M M
312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭
(23) (本题满分11 分)
设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
（1）求,a b 的值；
（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.
【答案】
（1）4,5a b ==；
（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++
023120
13300120
31--=⇒--=-A B b
a 14235
-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
C
C 的特征值1230,4λλλ===
0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C
令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭
P ，
11
1
5
-⎛⎫ ⎪
∴= ⎪
⎪
⎝⎭
P AP
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