面积的单位换算、公式及计算

面积的单位换算、公式及计算
计算
长方形：
{长方形面积=长×宽}[1]
正方形：
{正方形面积=边长×边长}
平行四边形：
{平行四边形面积=底×高}
三角形：
{三角形面积=底×高÷2}
梯形：
{梯形面积=（上底+下底）×高÷2}
圆形（正圆）：
{圆形（正圆）面积=圆周率×半径×半径}
圆环：
{圆形（外环）面积={圆周率×（外环半径^2-内环半径^2）}扇形：
{圆形（扇形）面积=圆周率×半径×半径×扇形角度/360}
长方体表面积：
{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}
正方体表面积：
{正方体表面积=棱长×棱长×6}
球体（正球）表面积：
{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4}
椭圆
(其中π(圆周率，a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长).
半圆：
(半圆形的面积公式=圆周率×半径的平方÷2）
面积单位换算
常用的面积单位有公顷、亩、平方公里、平方米、平方厘米等。

这里所说的换算，常指面积之间单位的互换计算。

如：1亩=0.0666666公顷=666.6666平方米等。

目录
1常用公式
2台湾公式
3国外公式
1常用公式
常用土地面积换算公式 1亩=60平方丈=6000平方尺，1亩=666．6平方米其实在民间还有一个更实用的口决来计算：
平方米换为亩，计算口诀为“加半左移三”。

1平方米=0.0015亩，如128平方米等于多少亩？计算方法是先用128加128的一半：128+64=192，再把小数点左移3位，即得出亩数为0.192。

亩换平方米，计算口诀为“除以三加倍右移三”。

如要计算24.6亩等于多少平方米，24.6÷3=8.2，8.2加倍后为16.4，然后再将小数点右移3位，即得出平方米数为16400。

市亩和公亩以及公顷又有很大的差异，具体换算公式如下：
1公顷=15亩=100公亩=10000平方米 1(市)亩等于666.66平方米
1公顷等于10000平方米
1公亩等于100平方米
2台湾公式
1坪=3.30579平方米
3国外公式
1 英亩等于：
- 0.004 047 平方公里
- 0.404 686 公顷
- 40.468 648 公亩
- 1,224.176 601 坪
- 160 平方杆
- 4046.864 798 平方米
- 4,840 平方码
- 43,560 平方英尺
- 1 平方码 = 0.000 207 英亩- 1 平方公里 = 247.105 英亩
- 1 公顷 = 2.471 049 英亩
- 1 公亩 = 0.024 710 英亩
- 1 坪 = 0.000 817 英亩
- 1 平方杆 = 0.006 25 英亩
- 1 平方米 = 0.000 247 英亩
1亩=666.6666666.平方米
1 公顷 = 10 000 平方米(square meters)
1 公顷 = 100 公亩(ares)
1 公顷 = 15 亩
1 公顷 = 2.471 053 8 英亩(acres)
1 公顷 = 0.01 平方公里（平方千米）(square kilometers)
1平方公里=100公顷
1亩=0.0666666公顷=666.6666平方米
1公亩=100平方米
面积公式
面积公式包括扇形面积公式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。

目录
1扇形公式
2扇环面积
3三角形公式
▪海伦公式
▪坐标公式
4圆公式
5弓形公式
6椭圆公式
7菱形公式
▪定理简述及证明
▪定理应用
▪常见的面积定理
1扇形公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：
比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：
C=2R+nπR÷180
=2×1+135×3.14×1÷180
=2+2.355
=4.355(cm)=43.55(mm)
扇形的面积：
S=nπR^2÷360
=135×3.14×1×1÷360
=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)
扇形还有另一个面积公式
其中l为弧长，R为半径[1]
2扇环面积
圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))
圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)
用字母表示：
S内+S外（πR方）
S外—S内=∏(R方-r方）
还有第二种方法：
S=π[(R-r)×(R+r)]
R=大圆半径
r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径
还有一种方法：
已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。

d=R-r，
D-d=2R-（R-r）=R+r，
可由第一、二种方法推得S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，
圆环面积S=π(D-d)×d
这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。

这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。

[2]
3三角形公式
海伦公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。

证明：证一勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC 为变形④，故得证。

证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = －∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得：+ + = ①②③代入，得：∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入④，得：r 2 · = 两边同乘以，得：r 2 · = 两边开方，得：r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得：r3 = ×xyz[3]
坐标公式
1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),
S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.
2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则
S^2=（a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.[4]
4圆公式
设圆半径为：r, 面积为：S .
则面积S= π·r^2 ; π 表示圆周率
即圆面积等于圆周率乘以圆半径的平方
5弓形公式
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。

当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr^2。

当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）
计算公式分别是：
S=nπR^2÷360－ah÷2
S=πR^2/2
S=nπR^2÷360+ah÷2
6椭圆公式
椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

椭圆面积公式应用实例[5]
椭圆的长半轴为8cm，短半轴为6cm，假设π=3.14，求该椭圆的面积。

答：S=πab=3.14*8*6=150.72（cm²）
7菱形公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2),
于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y^2=2Px截得的弦
AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y^2=2Px
Ⅰ)当P>2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P<2bk时,l与C无交点(相离).
定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.
解曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,
即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的最短距离.
分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解曲线可变形为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.
解曲线可变形为(y+1)^2=x+1
(x≥－1,y≥－1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.
例4 抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.
解设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x.
例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P=2a),设PQ 的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.
常见的面积定理
1．一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2．两个全等图形的面积相等；
3．等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；4．等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；5．相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6．等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；
7. 任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求积分。