【通用版】2019年春中考数学总复习 第二轮 中考题型专题 专题复习(六)几何综合题试题

专题复习(六) 几何综合题
1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
(1)如图1、四边形ABCD 中、点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；
(2)如图2、点P 是四边形ABCD 内一点、且满足PA ＝PB 、PC ＝PD 、∠APB ＝∠CPD.点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状、并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件、使∠APB＝∠CPD＝90°、其他条件不变、直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)
图1 图2
解：(1)证明：连接BD.
∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点、 ∴EH ＝1
2
BD 、EH ∥BD.
∵F 、G 分别是BC 、CD 的中点、 ∴FG ＝1
2
BD 、FG ∥BD.
∴EH ＝FG 、EH ∥FG.
∴中点四边形EFGH 是平行四边形． (2)中点四边形EFGH 是菱形． 证明：连接AC 、BD.
∵∠APB ＝∠CPD、∴∠APB ＋∠AP D ＝∠CPD＋∠APD、即∠BPD＝∠APC. 又∵PA＝PB 、PC ＝PD 、
∴△APC ≌△BPD(SAS )．∴AC＝BD.
∵点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点、 ∴EF ＝12AC 、FG ＝1
2BD.∴EF＝FG.
又∵四边形EFGH 是平行四边形、
∴中点四边形EFGH 是菱形．
图3
(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时、如图3、AC 与BD 交于点O 、BD 与EF 、AP 分别交于点M 、Q 、中点四边形EFGH 是正方形．理由如下：
由(2)知：△APC≌△BPD、∴∠PAC ＝∠PBD. 又∵∠AQO＝∠BQP、∴∠AOQ ＝∠APB ＝90°. 又∵EF∥AC、∴∠OMF ＝∠AOQ＝90°. 又∵EH∥BD、∴∠HEF ＝∠OMF＝90°. 又∵四边形EFGH 是菱形、
∴中点四边形EFGH 是正方形．
2．(2016·菏泽)如图、△ACB 和△DCE 均为等腰三角形、点A 、D 、E 在同一直线上、连接BE. (1)如图1、若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. ①求证：AD ＝BE ； ②求∠AEB 的度数；
(2)如图2、若∠ACB＝∠DCE＝120°、CM 为△DCE 中DE 边上的高、BN 为△ABE 中AE 边上的高、试证明：AE ＝23CM ＋23
3
BN.
图1 图2
解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED、∴AC ＝BC 、CD ＝CE. ∵∠CAB ＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED、 ∴∠ACB ＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE. ∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD＝BE. ②由①得△ACD≌△BCE、
∴∠ADC ＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.
∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.
(2)证明：在等腰△DCE 中、∵CD ＝CE 、∠DCE ＝120°、CM ⊥DE 、 ∴∠DCM ＝1
2
∠DCE＝60°、DM ＝EM.
在Rt △CDM 中、DM ＝CM·tan ∠DCM ＝CM·tan 60°＝3CM 、∴DE ＝23CM. 由(1)、得∠ADC ＝∠BEC＝150°、AD ＝BE 、 ∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝120°. ∴∠BEN ＝60°. 在Rt △BEN 中、BE ＝BN sin 60°＝23
3
BN.
∴AD ＝BE ＝23
3
BN.
又∵AE＝DE ＋AD 、∴AE ＝23CM ＋23
3
BN.
3．(2016·东营)如图1、△ABC 是等腰直角三角形、∠BAC ＝90°、AB ＝AC 、四边形ADEF 是正方形、点B 、C 分别在边AD 、AF 上、此时BD ＝CF 、BD ⊥CF 成立．
(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时、如图2、BD ＝CF 成立吗？若成立、请证明；若不成立、请说明理由．
(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时、如图3、延长DB 交CF 于点H 、交AF 于点N. ①求证：BD⊥CF；
②当AB ＝2、AD ＝32时、求线段DH 的长．
图1 图2 图3
解：(1)BD ＝CF 成立．
证明：∵AB＝AC 、∠BAD ＝∠CAF＝θ、AD ＝AF 、 ∴△ABD ≌△ACF(SAS )．∴BD ＝CF.
(2)①证明：由(1)得、△ABD ≌△ACF 、 ∴∠HFN ＝∠ADN. 又∵∠HNF＝∠AND、 ∴∠NHF ＝∠NAD＝90°. ∴HD ⊥HF 、即BD⊥CF.
②连接DF 、延长AB 交DF 于点M.
在△MAD 中、∵∠MAD ＝∠MDA＝45°、 ∴∠BMD ＝90°.
∵AD ＝32、四边形ADEF 是正方形、 ∴MA ＝MD ＝32
2＝3、FD ＝6.
∴MB ＝3－2＝1、DB ＝12
＋32
＝10. 在Rt △BMD 和Rt △FHD 中、 ∵∠MDB ＝∠HDF、 ∴△BMD ∽△FHD. ∴
MD HD ＝BD FD 、即3HD ＝106.∴DH＝9105
.
4．(2016·宁夏)在矩形ABCD 中、AB ＝3、AD ＝4、动点Q 从点A 出发、以每秒1个单位的速度、沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发、仍以每秒1个单位的速度、沿BC 向点C 移动、连接QP 、QD 、PD.若两个点同时运动的时间为x 秒(0＜x≤3)、解答下列问题：
(1)设△QPD 的面积为S 、用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时、S 有最大值？并求出最小值； (2)是否存在x 的值、使得QP⊥DP？试说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD 为矩形、∴BC ＝AD ＝4、CD ＝AB ＝3. 当运动x 秒时、则AQ ＝x 、BP ＝x 、
∴BQ ＝AB －AQ ＝3－x 、CP ＝BC －BP ＝4－x. ∴S △ADQ ＝12AD ·AQ＝1
2×4x＝2x 、
S △BPQ ＝12BQ·BP＝12(3－x)x ＝32x －12x 2
、
S △PCD ＝12PC·CD＝12·(4－x)×3＝6－3
2x.
又S 矩形ABCD ＝AB·BC＝3×4＝12、
∴S ＝S 矩形ABCD －S △ADQ －S △BPQ －S △PCD ＝12－2x －(32x －12x 2)－(6－32x)＝12x 2－2x ＋6＝12(x －2)2＋4、即S ＝12(x －2)2
＋4.
∴S 为开口向上的二次函数、且对称轴为直线x ＝2.
∴当0＜x≤2时、S 随x 的增大而减小； 当2＜x≤3时、S 随x 的增大而增大、 又当x ＝0时、S ＝6、当S ＝3时、S ＝9
2.
但x 的范围内取不到x ＝0、∴S 不存在最大值． 当x ＝2时、S 有最小值、最小值为4.
(2)存在、理由：由(1)可知BQ ＝3－x 、BP ＝x 、CP ＝4－x. 当QP⊥DP 时、则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC、 ∴∠BPQ ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C、 ∴△BPQ ∽△CDP. ∴
BQ PC ＝BP CD 、即3－x 4－x ＝x 3、解得x ＝7＋132(舍去)或x ＝7－132
. ∴当x ＝7－132
时、QP ⊥DP.
5．(2016·泰安)(1)已知：△ABC 是等腰三角形、其底边是BC 、点D 在线段AB 上、E 是直线BC 上一点、且∠DEC ＝∠DCE、若∠A＝60°(如图1)、求证：EB ＝AD ；
(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”、其他条件不变(如图2)、(1)的结论是否成立、并说明理由；
(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”、其他条件不变、则EB
AD 的值是多少？(直接写出结论、不要求写
解答过程)
图1 图2
解：(1)证明：过D 点作BC 的平行线交AC 于点F. ∵△ABC 是等腰三角形、∠A ＝60°、 ∴△ABC 是等边三角形．∴∠ABC＝60°. ∵DF ∥BC 、∴∠ADF ＝∠ABC＝60°. ∴△ADF 是等边三角形． ∴AD ＝DF 、∠AFD ＝60°.
∴∠DFC ＝180°－60°＝120°.
∵∠DBE ＝180°－60°＝120°、∴∠DFC ＝∠DBE. 又∵∠FDC＝∠DCE、∠DCE ＝∠DEC、 ∴∠FDC ＝∠DEC、ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD.
(2)EB ＝AD 成立．理由如下：
过D 点作BC 的平行线交AC 的延长线于点F. 同(1)可证△ADF 是等边三角形、 ∴AD ＝DF 、∠AFD ＝60°.
∵∠DBE ＝∠ABC＝60°、∴∠DBE ＝∠AFD. ∵∠FDC ＝∠D CE 、∠DCE ＝∠DEC、 ∴∠FDC ＝∠DEC、ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD. (3)EB
AD
＝ 2.理由如下： 如图3、过D 点作BC 的平行线交AC 于点G.
图3
∵△ABC 是等腰三角形、∠A ＝90°、 ∴∠ABC ＝∠ACB＝45°、
∴∠DBE ＝180°－45°＝135°. ∵DG ∥BC 、
∴∠GDC ＝∠DCE、∠DGC ＝180°－45°＝135°. ∴∠DBE ＝∠DGC. ∵∠DCE ＝∠DEC、
∴ED ＝CD 、∠DEC ＝∠GDC.
∴△DBE ≌△CGD(AAS )．∴BE＝GD. ∵∠ADG ＝∠ABC＝45°、∠A ＝90°、 ∴△ADG 是等腰直角三角形． ∴DG ＝2AD.∴BE＝2AD.∴EB
AD ＝ 2.
6．(2016·烟台)【探究证明】
(1)在矩形ABCD 中、EF ⊥GH 、EF 分别交AB 、CD 于点E 、F 、GH 分别交AD 、BC 于点G 、H.求证：EF GH ＝AD
AB ；
【结论应用】
(2)如图2、在满足(1)的条件下、又AM⊥BN、点M 、N 分别在边BC 、CD 上．若EF GH ＝1115、则BN
AM 的值为________；
【联系拓展】
(3)如图3、四边形ABCD 中、∠ABC ＝90°、AB ＝AD ＝10、BC ＝CD ＝5、AM ⊥DN 、点M 、N 分别在边BC 、AB 上、求
DN
AM 的值．
图1 图2 图3
解：(1)证明：过点A 作AP∥EF、交CD 于点P 、过点B 作BQ∥GH、交AD 于点Q. ∵四边形ABCD 是矩形、∴AB ∥DC 、AD ∥BC.
∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形．∴AP＝EF 、GH ＝BQ. 又∵GH⊥EF、
∴AP ⊥BQ.∴∠QAP ＋∠AQB＝90°.
∵四边形ABCD 是矩形、∴∠DAB ＝∠D＝90°. ∴∠DAP ＋∠DPA＝90°.∴∠AQB ＝∠DPA. ∴△PDA ∽△QAB.∴AP BQ ＝AD AB .∴EF GH ＝AD
AB .
(2)∵EF⊥GH、AM ⊥BN 、
∴由(1)中的结论可得EF GH ＝AD AB 、BN AM ＝AD
AB
、
∴
BN AM ＝EF GH ＝1115.故答案为1115
. (3)连接AC 、过点D 作AB 的平行线交BC 的延长线于点E 、作AF⊥AB 交直线DE 于点F. ∵∠BAF ＝∠B＝∠E＝90°、 ∴四边形ABEF 是矩形．
易证△ADC≌△ABC、∴∠ADC ＝∠ABC＝90°. ∴∠FDA ＋∠EDC＝90°.
又∵∠EDC＋∠ECD＝90°、∴∠FDA ＝∠ECD. 又∵∠E＝∠F、 ∴△ADF ∽△DCE. ∴
DE AF ＝DC AD ＝510＝12
. 设DE ＝x 、则AF ＝2x 、DF ＝10－x.
在Rt △ADF 中、AF 2＋DF 2＝AD 2、即(2x)2＋(10－x)2
＝100、解得x 1＝4、x 2＝0(舍去)． ∴AF ＝2x ＝8.∴DN AM ＝AF AB ＝810＝4
5
.
7．(2016·武汉)在△ABC 中、P 为边AB 上一点．
(1)如图1、若∠ACP＝∠B、求证：AC 2
＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点、AC ＝2.
①如图2、若∠PBM＝∠ACP、AB ＝3、求BP 的长；
②如图3、若∠ABC＝45°、∠A ＝∠BMP＝60°、直接写出BP 的长．
图1 图2 图3
解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B、∠CAP ＝∠BAC、 ∴△ACP ∽△ABC. ∴
AC AB ＝AP AC
、即AC 2
＝AP·AB. (2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q 、则∠PBM＝∠Q. ∵∠PBM ＝∠ACP、∴∠ACP ＝∠Q. 又∠PAC＝∠CAQ、∴△APC ∽△ACQ. ∴
AC AQ ＝AP AC
、即AC 2
＝AP·AQ. 又∵M 为PC 的中点、BM ∥CQ 、∴设BP ＝x 、则BQ ＝x.∴AP＝3－x 、AQ ＝3＋x. ∴22
＝(3－x)(3＋x)、解得x 1＝5、x 2＝－5(不合题意、舍去)． ∴BP ＝ 5. ②BP ＝7－1.
作CQ⊥AB 于点Q 、作CP 0＝CP 交AB 于点P 0. ∵AC ＝2、∴AQ ＝1、CQ ＝BQ ＝ 3.
设AP 0＝x 、则P 0Q ＝PQ ＝1－x 、BP ＝3－1＋x 、 ∵∠BPM ＝∠CP 0A 、∠BMP ＝∠CAP 0、 ∴△AP 0C ∽△MPB 、∴AP 0MP ＝P 0C
BP
.
解得x ＝7－3或x ＝－7－3(舍去)．
∴BP ＝3－1＋7－3＝7－1.
8．(2016·岳阳)数学活动——旋转变换
(1)如图1、在△ABC 中、∠ABC ＝130°、将△ABC 绕点C 逆时针旋转50°得到△A′B′C、连接B B′.求∠A′B′B 的大小； (2)如图2、在△ABC 中、∠ABC ＝150°、AB ＝3、BC ＝5、将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C 、连接BB′.以A′为圆心、A ′B ′长为半径作圆．
①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系、并证明你的结论； ②连接A′B、求线段A′B 的长度；
(3)如图3、在△ABC 中、∠ABC ＝α(90°＜α＜180°)、AB ＝m 、BC ＝n 、将△ABC 绕点C 逆时针旋转2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C、连接A′B 和BB′.以A′为圆心、A ′B ′长为半径作圆．问：角α与角β满足什么条件时、直线BB′与⊙A′相切、请说明理由．并求此条件下线段A′B 的长度．(结果用角α或角β的三角函数及字母m 、n 所组成的式子表示)
图1 图2 图3
解：(1)由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝130°、CB ＝CB′、∠BCB ′＝50°、 ∴∠BB ′C ＝1
2
(180°－∠BCB′)＝65°.
∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝130°－65°＝65°. (2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．
证明：由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝150°、CB ＝CB′、∠BCB ′＝60°、 ∴∠BB ′C ＝1
2
(180°－∠BCB′)＝60°.
∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°、即B′B⊥A′B′. 又A′B′为半径、
∴直线BB′与⊙A′相切．
②由旋转得：A′B′＝AB ＝3、B ′C ＝BC ＝5、∠BCB ′＝60°、 ∴△BCB ′为等边三角形．∴BB′＝BC ＝5.
在Rt △A ′B ′B 中、A ′B ＝（A′B′）2
＋（BB′）2
＝32
＋52
＝34. (3)满足的条件：α＋β＝180°.
理由：在△BB′C 中、∠BB ′C ＝180°－2β
2
＝90°－β、
∴∠A ′B ′B ＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°.
∵α＋β＝180°、∴∠A ′B ′B ＝α＋β－90°＝180°－90°＝90°、即B′B⊥A′B′. ∴直线BB′与⊙A′相切． 过点C 作CD⊥BB′于点D. ∴∠B ′CD ＝1
2
∠BCB′＝β.
在Rt △B ′CD 中、B ′D ＝B′C·s in β＝BC·sin β＝n sin β、∴BB ′＝2B′D＝2n sin β. 由α＋β＝180°得到△A′B′B 为直角三角形、
9．(2016·宜昌)在△ABC 中、AB ＝6、AC ＝8、BC ＝10.D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点(与B 、C 不重合)．以D 为顶点作△DEF、使△DEF∽△ABC(相似比k>1)、EF ∥BC. (1)求∠D 的度数；
(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.
①连接GH 、AD 、当GH⊥AD 时、请判断四边形AGDH 的形状、并证明；
②当四边形AGDH 的面积最大时、过A 作AP⊥EF 于P 、且AP ＝AD 、求k 的值．
解：(1)∵AB 2
＋AC 2
＝62
＋82
＝102
＝BC 2
、 ∴∠BAC ＝90°.
又∵△DEF∽△ABC、∴∠D ＝∠BAC ＝90°. (2)①四边形AGDH 是正方形．
证明：延长ED 、FD 分别交BC 于点M 、N. ∵△DEF ∽△ABC 、∴∠E ＝∠B. 又∵EF∥BC、
∴∠E ＝∠EMC.∴∠B＝∠EMC.∴ED∥BA. 同理FD∥AC.
∴四边形AGDH 是平行四边形．
又∵∠FDE＝90°、∴四边形AGDH 是矩形． 又∵AD⊥GH、∴四边形AGDH 是正方形．
②当D 点在△ABC 内部时、四边形AGDH 的面积不可能最大．
其理由是：如图1、点D 在内部时、延长GD 到D′、过D′作MD′⊥AC 于点M 、则四边形GD′MA 的面积大于矩形AGDH 的面积、∴当点D 在△ABC 内部时、四边形AGDH 的面积不可能最大． 按上述理由、只有当D 点在BC 边上时、面积才有可能最大．
图1 图2
如图2、D 在BC 上时、易证明DG∥AC、 ∴△GDB ∽△ACB. ∴BG BA ＝GD AC 、即BA －AG BA ＝AH AC . ∴
6－AG 6＝AH 8、即AH ＝8－4
3
AG. ∴S 矩形AGDH ＝AG·AH＝AG×(8－43AG)＝－43AG 2＋8AG ＝－43(AG －3)2
＋12.
当AG ＝3时、S 矩形AGDH 最大、此时DG ＝AH ＝4.
即当AG ＝3、AH ＝4、S 矩形AG DH 最大．
在Rt △BGD 中、BD ＝BG 2
＋DG 2
＝5、则DC ＝BC －BD ＝5. 即D 为B C 上的中点时、S 矩形AGDH 最大．
∴在Rt △ABC 中、AD ＝BC
2＝5、∴PA ＝AD ＝5.
延长PA 交BC 于点Q 、∵EF ∥BC 、QP ⊥EF 、 ∴QP ⊥BC.
∴QP 是EF 、BC 之间的距离． ∴D 到EF 的距离为PQ 的长． 在Rt △ABC 中、12AB·AC＝1
2BC·AQ、
∴AQ ＝4.8.
又∵△DEF∽△ABC、
∴k ＝PQ AQ ＝PA ＋AQ AQ ＝5＋4.84.8＝4924
.
10．(2016·河南)(1)发现
如图1、点A 为线段BC 外一动点、且BC ＝a 、AB ＝b.
填空：当点A 位于CB 延长线上时、线段AC 的长取得最大值、且最大值为a ＋b ．(用含a 、b 的式子表示)
图1
(2)应用
点A 为线段BC 外一动点、且BC ＝3、AB ＝1.如图2所示、分别以AB 、AC 为边、作等边三角形ABD 和等边三角形ACE 、连接CD 、BE.
①请找出图中与BE 相等的线段、并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展
如图3、在平面直角坐标系中、点A 的坐标为(2、0)、点B 的坐标为(5、0)、点P 为线段AB 外一动点、且PA ＝2、PM ＝PB 、∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．
图2 图3 备用图
解：(2)①DC＝BE.理由如下： ∵△ABD 和△ACE 为等边三角形、
∴AD ＝AB 、AC ＝AE 、∠BAD ＝∠CA E ＝60°.
∴∠BAD ＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC、即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD ≌△EAB.∴DC ＝BE. ②BE 长的最大值是4.
(3)AM 的最大值为3＋22、点P 的坐标为(2－2、2)．
提示：如图3、构造△BNP≌△MAP、则NB ＝AM 、易得△APN 是等腰直角三角形、AP ＝2、∴AN ＝2 2.由(1)知、当点N 在BA 的延长线上时、NB 有最大值(如备用图)．∴AM＝NB ＝AB ＋AN ＝3＋2 2. 过点P 作PE⊥x 轴于点E 、PE ＝AE ＝ 2. 又∵A(2、0)、∴P(2－2、2)．。