(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题
1．一元二次方程x 2＝2x 的根是（ ）．
A ．0
B ．2
C ．0和2
D ．0和﹣2 2．一元二次方程x 2﹣2x +5＝0的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
3．某商品的售价为100元，连续两次降价%x 后售价降低了36元，则x 的值为（ ）
A ．60
B ．20
C ．36
D ．18 4．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A→B→C 运动．设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 5．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的
根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．只有一个实数根
6．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．()222x -= B ．()222x += C ．()222x -=- D ．()2
26x -= 7．已知a 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2245a a -+的值应在（ ） A ．4和5之间 B ．3和4之间 C ．2和3之间 D ．1和2之间 8．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为2300m ，且游泳池的宽比长短10m ．设游泳池的长为xm ，则可列方程为（ ）
A ．()10300x x -=
B ．()10300x x +=
C ．()2210300
x x -= D ．()2210300x x +=
9．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于
( )
A ．2020
B ．2019
C ．2029
D ．2028
10．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为10万元，第3年的养殖成本为16万元，设每年平均增长的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．10（1﹣x ）2=16 B ．16（1﹣x ）2=10
C ．16（1+x ）2=10
D ．10（1+x ）2=16
11．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）
A ．23（1﹣x%）2＝60
B ．23（1+x%）2＝60
C ．23（1+x 2%）＝60
D ．23（1+2x%）＝60
12．若关于x 的一元二次方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．k ≥94 B ．k ≤94且k ≠0 C ．k ＜94且k ≠0 D ．k ≤94
二、填空题
13．某电脑公司计划两年内将产品成本由原来2500元下降到1600元，则每年平均下降的百分率是________．
14．已知关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3＝0，对于任意实数n 都有实数根，则m 的取值范围是_____．
15．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x ，则可列方程为__．
16．若x=2是一元二次方程x 2+x+c=0的一个解，则c 2=__．
17．已知：（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣1）＝20，那么x 2+y 2＝_____．
18．有一个人患了流感，两轮传染后共有225人患了流感，则平均每轮传染______人． 19．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．设储藏x 个星期再出售这批农产品，可获利122000元．根据题意，可列方程______．
20．已知关于x 的二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是_______．
三、解答题
21．一个直角三角形的两条直角边的和是7cm ，面积是26cm ，求两条直角边的长． 22．解下列方程：2(1)3(1)x x x -=-
23．解方程：
（1）2(2)3(2)0x x ++=-；
（2）2101x x
-=+． 24．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m ，宽为8m 的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为102m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？
25．用适当的方法解下列方程：
（1）22210x x +-= （2）225(3)9x x +=-
26．在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠===，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/s 的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，设点P 运动时间为(s)t ，PCQ △的面积为()2cm S ．当P 运动到几秒时625ABC S S =？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案．
【详解】
移项得，x 2-2x ＝0，
提公因式得，x （x-2）＝0，
解得，x 1＝0，x 2＝2，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
2．D
【分析】
根据根的判别式判断 ．
【详解】
解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根的情况，熟练掌握根判别式的计算方法及应用是解题关键． 3．B
解析：B
【分析】
起始价为100元，终止价为100-36=64元，根据题意列方程计算即可．
【详解】
∵起始价为100元，终止价为100-36=64元，
∴根据题意，得
1002(1-%)x =64，
解得x=20或x=180（舍去），
故选B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，熟练掌握增长率问题的计算方法，正确布列方程是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，结合图象可得△AOP 面积最大为6，得到AB 与BC 的积为24；当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，得到AB 与BC 的和为10，构造关于AB 的一元二方程可求解．
【详解】
解：当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为6． ∴12AB·12
BC=6，即AB•BC=24． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，
∴AB+BC=10．
则BC=10-AB ，代入AB•BC=24，得AB 2-10AB+24=0，解得AB=4或6，
因为AB ＞BC ，所以AB=6．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
5．A
解析：A
【分析】
根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．
【详解】
解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，
∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．6．A
解析：A
【分析】
先把方程变形为x2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可．
【详解】
解：x2-4x=-2，
x2-4x+4=2，
（x-2）2=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7．A
解析：A
【分析】
先依据一元二次方程的定义得到a
式的取值范围．
【详解】
解：∵a是方程2210
--=的一个根，
x x
∴2210
a a
--=，即221
-=，
a a
∴原式=
2
-=+
a a
2(2)2
∵459，
∴
23<<， ∴
425<+<，即224a a -+的值在4和5之间，
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．
8．A
解析：A
【分析】
因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ，根据面积为300，即可列出方程．
【详解】
解：因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ；
则根据矩形的面积公式：x （x-10）=300；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．
9．D
解析：D
【分析】
先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代
入原式计算即可．
【详解】
解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，
∴211420200x x --=，
即21142020x x -=，
由根与系数之间关系可知124x x +=，
∴211222x x x -+
=21112422x x x x -++
=2020+122()x x +
=2020+8
=2028．
所以选项D 正确．
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．
10．D
解析：D
【分析】
根据第一年的养殖成本×(1+平均年增长率)2=第三年的养殖成本，列出方程即可．
【详解】
设增长率为x ，根据题意得2
10(1)16x +=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2
(1)a x b ±=．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）． 11．B
解析：B
【分析】
可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．
【详解】
解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；
当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2． ∴23（1+x%）2=60．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．
12．B
解析：B
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有实数根，
∴()203410
k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯≥⎪⎩＝， ∴k≤
94
且k≠0． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
二、填空题
13．20【分析】新成本=原成本×(1-平均每月降低的百分率)2把相关数值代入即可求解【详解】∵原开支为2500元设平均每月降低的百分率为x∴第一个月的开支为2500×(1-x)元第二个月的开支为2500
解析：20%
【分析】
新成本=原成本×(1-平均每月降低的百分率)2，把相关数值代入即可求解.
【详解】
∵原开支为2500元，设平均每月降低的百分率为x，
∴第一个月的开支为2500× (1-x)元，第二个月的开支为2500×(1-x)×(1-x) =2500×(1-x)2元，可列方程为:2500(1-x)2= 1600，
解得：x=0.2=20%或x =-1.8(舍去)
故答案为:20%.
【点睛】
本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a (1土x) 2=b.
14．m＞0或m≤-3【分析】把方程有实数根转型为根的判别式大于等于零根据n的任意性构造不等式求解即可【详解】∵关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0对于任意实数n都有实数根∴△≥0且m≠0∴≥0∴≥0
解析：m＞0或m≤-3．
【分析】
把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n的任意性，构造不等式求解即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程m2x﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，
∴△≥0，且m≠0，
∴2
()4(3)
n m m
-++≥0，
∴22
412
n m m
++≥0，
∵对于任意实数n都有实数根，
∴2
412
m m
+≥0，
∴
30
m
m
≥
⎧
⎨
+≥
⎩
或
30
m
m
≤
⎧
⎨
+≤
⎩
，
∴m≥0或m≤-3，且m≠0，∴m＞0或m≤-3，
故答案为：m＞0或m≤ -3．【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．
15．【分析】增长率问题一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）由此可以求出2月份和3月份的营业额而第一季度的总营业额已经知道所以可以列出一个方程【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x 则2月份的营业 解析：()()290190114490x x +++-=
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），由此可以求出2月份和3月份的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出一个方程．
【详解】
解：设平均每月营业额的增长率为x ，
则2月份的营业额为：90×（1+x ），
3月份的营业额为：90×（1+x ）2，
则由题意列方程为：90（1+x ）+90（1+x ）2=144-90．
故答案为：90（1+x ）+90（1+x ）2=144-90．
【点睛】
本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程． 16．36【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程x2+x+c=0即可求得c 的值进而求得c2的值【详解】解：依题意得22+2+c=0解得c=-6则c2=（-6）2=36故答案为：36【点睛】本题
解析：36
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程x 2+x+c=0即可求得c 的值，进而求得c 2的值．
【详解】
解：依题意，得
22+2+c=0，
解得，c=-6，
则c 2=（-6）2=36．
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．5【分析】应用换元法得到一元二次方程解方程问题可解【详解】解：设t ＝x2+y2（t≥0）则t （t ﹣1）＝20整理得（t ﹣5）（t+4）＝0解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）所以x2+y2＝5故答案是：5【
解析：5
【分析】
应用换元法，得到一元二次方程，解方程问题可解．
【详解】
解：设t ＝x 2+y 2（t ≥0），则t （t ﹣1）＝20．
整理，得（t ﹣5）（t +4）＝0．
解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）．
所以x 2+y 2＝5．
故答案是：5．
【点睛】
本题考查了换元法和解一元二次方程的知识，解答关键是根据题意选择合适未知量使用换元法法解题．
18．14【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x 人那么第一轮传染中有x 人被传染第二轮则有x （x+1）人被传染已知共有225人患了流感那么可列方程然后解方程即可【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人则
解析：14
【分析】
如果设每轮传染中平均每人传染了x 人，那么第一轮传染中有x 人被传染，第二轮则有x （x+1）人被传染，已知“共有225人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均每人传染了x 人，
则第一轮传染中有x 人被传染，
第二轮则有x(x+1)人被传染，
又知：共有225人患了流感，
∴可列方程：1+x+x(x+1)=225，
解得，114x =，216x =-（不符合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染了14个人．
故答案为14．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系．
19．【分析】设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元则需要支付费用1600x 元损失2x 吨价格为（1200+200x ）元根据获利122000元列方程求解【详解】解：设储藏x 星期出售这批农产品可获利1
解析：()()1200200802160064000122000x x x +⨯---=
【分析】
设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x 元，损失2x 吨，价格为（1200+200x ）元，根据获利122000元，列方程求解．
【详解】
解：设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元，
由题意得（1200+200x ）×（80-2x ）-1600x-64000=122000，
故答案为：()()1200200802160064000122000x x x +⨯---=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．
20．且【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0即可得出关于k 的一元一次不等式组解之即可得出k 的取值范围【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x2﹣2x ﹣1=0有实数根解得且故答案为：且【点睛
解析：1k ≤且12
k ≠
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2x ﹣1=0有实数根， 2120(2)4(1)(12)0k k -≠⎧∴⎨∆=--⨯-⨯-≥⎩
解得1k ≤且12
k ≠， 故答案为：1k ≤且12k ≠
． 【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题
21．3cm ，4cm
【分析】
首先设一条直角边为xcm ，然后根据三角形的面积列出方程，从而求出x 的值，得出答案．
【详解】
解：设一条直角边为xcm ，则另一条直角边的长为(7)cm x -，
根据题意得： 1(7)62
x x -=，
整理得: 27120x x -+=，
解得：123,4x x ==，
当3x =时，74x -=．
当4x =时，73x -=．
答：这两条直角边的长分别为3cm 和4cm ．
【点睛】
本题考查一元二次方程在几何图形中运用，掌握根据面积列一元二次方程，及其解方程的方法．
22．1231,2
x x ==
【分析】 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：()()2131x x x -=-，
移项得()()21310x x x ---=，
因式分解得()()2310x x --=， 解得1231,2
x x ==
． 【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程．
23．（1）122=1x x =-，；（2）2x =-是原方程的解．
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用方程两边都乘以x(x+1)把分式方程转化为整式方程，解方程，检验即可．
【详解】
解：（1）2(2)3(2)0x x ++=-， 因式分解()(2)230x x ++-=，
化为20-1=0x x +=，，
∴122=1x x =-，；
（2）2101x x
-=+， 方程两边都乘以x(x+1)得()210x x +-=，
去括号得：2+20x x -=，
移项合并得：2x =-，
检验当2x =-时，()()122120x x +=-⨯-+=≠，
所以2x =-是原方程的解．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法，掌握一元二次方程的解法与可化为一元一次方程的分式方程的解法是解题关键．
24．1
【分析】
根据矩形的面积和为102平方米列出一元二次方程求解即可．
【详解】
解：设人行通道的宽度为x 米，根据题意得，
（20﹣3x ）（8﹣2x ）＝102，
解得：x 1＝1，x 2293
=（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为1米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为102m 2得出等式是解题关键．
25．（1）12x x =
=2）1293,2x x =-=- 【分析】
（1）根据公式法计算即可；
（2）根据因式分解法计算即可；
【详解】
解：（1）22210x x +-=， 2242(1)12∆=-⨯⨯-=，
222
x -±=⨯，
121122x x -+-∴=
=； （2）25(3)(3)(3)x x x +=+-，
25(3)(3)(3)0x x x +-+-=，
(3)[5(3)(3)]0x x x ++--=，
即(3)(418)0x x ++=，
1293,2
x x ∴=-=-． 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
26．4秒、6秒或12秒
【分析】
先根据三角形面积公式可得S△ABC，根据S＝6
25
S△ABC，可求△PCQ的面积，再分两种情
况：P在线段AB上；P在线段AB的延长线上；进行讨论即可求得P运动的时间．【详解】
解：∵S△ABC=1
2
AB•BC=50cm2，
6
25
S△PCQ=12cm2，
设当点P运动x秒时，S＝6
25
S△ABC，
当P在线段AB上，此时CQ=x，PB=10-x，
S△PCQ=1
2
x（10-x）=12，
化简得 x2-10 x+24=0，
解得x=6或4，
P在线段AB的延长线上，此时CQ=x，PB=x-10，
S△PCQ=1
2
x（x-10）=12，
化简得 x2-10 x+24=0，
x2-10 x-24=0，
解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去．
所以当点P运动4秒、6秒或12秒时，S＝6
25
S△ABC．
【点睛】
此题主要考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知分两种情况进行讨论是解题关键．。