导数的概念及运算——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题3.1 导数的概念及运算
目录
一、题型全归纳 (1)
题型一导数的运算 (1)
命题角度一求已知函数的导数 (1)
命题角度二求抽象函数的导数值 (2)
题型二导数的几何意义 (3)
命题角度一求切线方程 (3)
命题角度二求切点坐标 (3)
命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (4)
二、高效训练突破 (4)
一、题型全归纳
题型一导数的运算
命题角度一求已知函数的导数
【题型要点】1．谨记一个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
3．求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．
(2)由外向内逐层求导．
【例1】求下列函数的导数：
(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；
(2)y ＝x －sin2x cos2x ；
(3)y ＝e x cos x ；
(4)y ＝ln (2x ＋1)x
. (5)y ＝ln x ＋1x
(6)y ＝sin x x
(7)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－
x . 命题角度二 求抽象函数的导数值
【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且()x x f x x f -⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，则f ′(1)＝________.
【例2】已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝ ．
题型二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．.
(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：
①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；
①根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．
【例1】（2020年新课标全国1卷(文)）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ）
A. 21y x =--
B. 21y x =-+
C. 23y x =-
D. 21y x =+
命题角度二 求切点坐标
【题型要点】求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【例3】(2020·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．(1，－1)
C ．(－1,1)
D ．(1，－1)或(－1,1)
【例4】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点
①切点处的导数是切线的斜率；
①切点在切线上；
①切点在曲线上．
【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数()a x e x f x +=．若()4
1e f ='，则a =_________． 【例6】(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 B.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞-,21 C ．(0，＋∞)
D ．[0，＋∞)
二、高效训练突破
一、选择题
1.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12
，则切点的横坐标为( ) A ．3
B ．2
C ．1
D ．12
2．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0
f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx 等于( )
A ．f ′(x )
B ．f ′(2)
C ．f (x )
D ．f (2)
3.(2019·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )
A ．x －y －π－1＝0
B ．2x －y －2π－1＝0
C ．2x ＋y －2π＋1＝0
D ．x ＋y －π＋1＝0
4.设f (x )＝ln (3－2x )＋cos2x ，则f ′(0)＝( )
A ．－13
B.13 C ．－23 D.23 5．(2020·宁夏中卫月考)函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.(2020·太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在x ＝e 处的切线经过原点，则f (1)＝( )
A ．e
B.1e C ．1 D ．0
7．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ①N *，则f 2022(x )＝( )
A ．－sin x －cos x
B ．sin x －cos x
C ．－sin x ＋cos x
D ．sin x ＋cos x
8.已知函数f (x )＝4e x ＋1
＋x 3＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)的值为( ) A ．4040
B ．4
C ．2
D ．0
9．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )
A ．1 B. 2 C.22 D.3
10已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；①f (x )＝e －
x ；①f (x )＝ln x ；①f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11.若曲线y ＝x 的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( ) A.14
B.12
C.14或18
D.12或14
12.(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛43,31 B.⎪⎭
⎫ ⎝⎛43,21 C.⎪⎭⎫
⎝⎛1,31 D.⎪⎭⎫
⎝⎛1,21
二、填空题
1.(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x ＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．
2．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ①R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为 ．
3．已知函数f (x )＝a x ln x ，x ①(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．
4．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.
5．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是；f(2)＋f′(2)的值为．
6.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．
7.(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝．
8．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t ＝，切线方程为．
三解答题
1.(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l①l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
2．(2020·衡水中学测试)设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题3.1 导数的概念及运算
目录
一、题型全归纳 (1)
题型一导数的运算 (1)
命题角度一求已知函数的导数 (1)
命题角度二求抽象函数的导数值 (2)
题型二导数的几何意义 (3)
命题角度一求切线方程 (3)
命题角度二求切点坐标 (3)
命题角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (4)
二、高效训练突破 (4)
一、题型全归纳
题型一导数的运算
命题角度一求已知函数的导数
【题型要点】1．谨记一个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
2．熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
3．求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数．
(2)由外向内逐层求导．
【例1】求下列函数的导数：
(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；
(2)y ＝x －sin2x cos2x ；
(3)y ＝e x cos x ；
(4)y ＝ln (2x ＋1)x .
(5)y ＝ln x ＋1x
(6)y ＝sin x x
(7)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .
【解】(1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，
所以y ′＝18x 2＋4x －3.
(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ，
所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x .
(3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．
(4)y ′＝'
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x x )12ln(＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′
2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x
2x ＋1－ln (2x ＋1)
x 2
＝
2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)
(2x ＋1)x 2
.
(5)y ′＝()21
11ln 1ln x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛+'='⎪⎭⎫ ⎝⎛+.
(6)y ′＝'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x sin ＝(sin x )′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x x
2
. (7)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－
x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－
x )′＝(2x ＋2)e 2－
x ＋(x 2＋2x －1)(－e 2－
x )＝(3－x 2)e 2－
x .
命题角度二 求抽象函数的导数值
【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且()x x f x x f -⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，则f ′(1)＝________. 【答案】0
【解析】因为()x x f x x f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=2332，所以()132232-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+='x f x x f .
所以13
2322323322
-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛'f f .解得⎪⎭⎫
⎝⎛'32f ＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0.
【例2】已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝ ． 【答案】－9
4
【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋9
2，所以f ′(2)
＝－9
4
.
题型二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．.
(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： ①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；
①根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＝f (x 1)，
y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出
切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．
【例1】（2020年新课标全国1卷(文)）曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =
【解析】设切线的切点坐标为001
(,),ln 1,1x y y x x y x
=++'=
+， 0000
1
|12,1,2x x y x y x ='=
+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.
【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ）
A. 21y x =--
B. 21y x =-+
C. 23y x =-
D. 21y x =+
【答案】B
【解析】
()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，
因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.
命题角度二 求切点坐标
【题型要点】求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【例3】(2020·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(0,0) B ．(1，－1) C ．(－1,1) D ．(1，－1)或(－1,1)
【答案】D
【解析】f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ， 由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
3x 20＋2ax 0＝－1， ①
x 0＋x 30＋ax 20
＝0， ① 由①知x 0≠0，故①可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，
解得x 0＝±1.
当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20
＝－1； 当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20
＝1， 所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1,1)．
【例4】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 【答案】 (e ，e)
【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，
由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．
命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点
①切点处的导数是切线的斜率； ①切点在切线上； ①切点在曲线上．
【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ)设函数()a x e x f x +=．若()4
1e
f ='，则a =_________．
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得：()()()
()
()
2
2
1x x
x e x a e e x a f x x a x a +-+-'=
=
++，
则：()()
()
()
12
2
11111e a ae
f a a ⨯+-'=
=
++，据此可得：
()
2
4
1ae
e
a =
+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1.
【例6】(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )
A.⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-
,21 B.⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-
,21 C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞)
【答案】D
【解析】 f ′(x )＝1
x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即
2a ≥－1
x
2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．
二、高效训练突破 一、选择题
1.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．1
2
【答案】A.
【解析】：因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝1
2，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.
2．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0
f （2＋2Δx ）－f （2）
2Δx
等于( )
A ．f ′(x )
B ．f ′(2)
C ．f (x )
D ．f (2)
【答案】B.
【解析】：因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0
f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ，所以lim Δx →0
f （2＋2Δx ）－f （2）
2Δx ＝f ′(2)．
3.(2019·高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0 D ．x ＋y －π＋1＝0
【答案】C.
【解析】：依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′|x ＝π＝(2cos x －sin x )|x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程
为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C. 4.设f (x )＝ln (3－2x )＋cos2x ，则f ′(0)＝( ) A ．－13
B.1
3 C ．－23
D.23
【答案】C 【解析】因为f ′(x )＝
13－2x ·(－2)－2sin2x ＝22x －3
－2sin2x ，所以f ′(0)＝－23.
5．(2020·宁夏中卫月考)函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B
【解析】由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处的切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，①y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，①5＋f (5)＝8，①f (5)＝3，①f (5)＋f ′(5)＝2.
6.(2020·太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在x ＝e 处的切线经过原点，则f (1)＝( ) A ．e B.1e C ．1 D ．0 【答案】A
【解析】由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1.所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2，f (e)＝e ＋a .所以函数f (x )的图象在x ＝e 处的切线方程为y ＝2(x －e)＋e ＋a .因为此切线经过原点，所以2(－e)＋e ＋a ＝0，解得a ＝e.所以f (1)＝a ＝e. 7．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ①N *，则f 2022(x )＝( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x
D ．sin x ＋cos x
【答案】C
【解析】①f 1(x )＝sin x ＋cos x ，①f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，①f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，①f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，①f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，①f n (x )是以4为周期的函数，①f 2022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x .
8.已知函数f (x )＝4
e x ＋1＋x 3＋sin x ，其导函数为
f ′(x )，则f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)的值为( )
A ．4040
B ．4
C ．2
D ．0
【答案】B
【解析】函数f (x )＝4e x ＋1＋x 3
＋sin x ①f (x )＋f (－x )＝4e x ＋1＋4e x e x ＋1＝4，因为f ′(x )＝－4e x
(e x ＋1)2
＋3x 2＋cos x 为偶函数，所以f ′(x )－f ′(－x )＝0，所以f (2020)＋f ′(2020)＋f (－2020)－f ′(－2020)＝4. 9．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.2
2
D.3
【答案】B
【解析】设P (x 0，y 0)，当点P 处的切线与直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．又y ′＝2x －1x ，则y ′x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1
2(舍去)，则y 0＝1，即P (1,1)，所以最小距离为|1－1－2|12
＋(－1)2＝ 2.
10已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；①f (x )＝e －
x ；①f (x )＝ln x ；①f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B.
【解析】：对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于①，若f (x )＝e －
x ，则f ′(x )＝－e －
x ，即e －
x ＝－e －
x ，此方程无解，①不符合要求；对于①，若f (x )＝ln x ，
则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1
x
，利用数形结合法可知该方程存在实数解，①符合要求；对于①，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )
＝'
⎪⎭
⎫
⎝⎛x x cos sin ＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，①不符合要求．故选B. 11.若曲线y ＝x 的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为( ) A.14 B.12 C.14或18 D.12或14
【答案】C
【解析】由题意，可设切点坐标为(x 0，x 0)，由y ＝x ＝x 12，得y ′＝12x ，切线斜率k ＝1
2x 0，由点斜式可
得切线方程为y －x 0＝12x 0(x －x 0)，又切线过点(8,3)，所以3－x 0＝1
2x 0(8－x 0)，整理得x 0－6x 0＋8＝0，
解得x 0＝4或2，所以切线斜率k ＝14或1
8
.故选C.
12.(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ln x －2x ，x >0，x 2＋32x ，x ≤0，g (x )＝kx －1，f (x )的图象上有且仅
有四个不同的点关于直线y ＝－1的对称点在g (x )的图象上，则k 的取值范围是( )
A.⎪⎭
⎫
⎝⎛43,
31 B.⎪⎭⎫
⎝⎛43,21 C.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,31
D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21
【答案】D
【解析】y ＝kx －1关于直线y ＝－1的对称直线为y ＝mx －1(m ＝－k )，先考虑特殊位置：y ＝mx －1与y ＝x 2＋32x (x ≤0)相切，得Δ＝0①m ＝－1
2(舍去正数)，y ＝mx －1与y ＝x ln x －2x (x >0)相切，由导数几何意义得⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ln x －2x ，y ＝mx －1，m ＝ln x －1
①x ＝1，m ＝－1，结合图象可知－1<m <－12①1
2
<k <1，故选D.
二、填空题
1.(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x ＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ． 【答案】1
2
【解析】由题意，得f ′(x )＝e x ＋2x ，所以f ′(0)＝1.又f (0)＝1，所以曲线在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0，所以该切线与x ，y 轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝1
2
.
2．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ①R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为 ． 【答案】：1
e
2－1
【解析】：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1
x －a ，所以由题
意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0
－y 0＋1＝0f ′（x 0
）＝1x 0
－a ＝1f （x 0
）＝ln x 0
－ax 0
＝y
，解得a ＝1e
2
－1.
3．已知函数f (x )＝a x ln x ，x ①(0，＋∞)，其中a >0且a ≠1，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________． 【答案】3
【解析】因为f (x )＝a x
ln x ，所以f ′(x )＝ln a ·a x
ln x ＋a x
x
.又f ′(1)＝3，所以a ＝3.
4．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.
【答案】0
【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，①f ′(3)＝－1
3.①g (x )＝xf (x )，
①g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，①g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，
又由题图可知f (3)＝1，①g ′(3)＝1＋3×⎪⎭
⎫
⎝⎛-31＝0.
5．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是 ；f (2)＋f ′(2)的值为 ．
【答案】：x ＋2y －8＝0 5
2
【解析】：由图象可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－1
2，可得直线l 的方程为
y ＝－1
2
x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；
由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12，则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝5
2
.
6.(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是 ． 【答案】：(e ，1)
【解析】：设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1
m
(x －m )．
又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m
(m ＋e)． 再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1.
故点A 的坐标为(e ，1)．
7.(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．
【答案】：1＋e
【解析】：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e.
8．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝ ，切线方程为 ．
【答案】：－2 y ＝1
【解析】：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.
三 解答题
1.(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．
(1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ①l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．
【答案】（1）(－1，－4)；（2）x ＋4y ＋17＝
【解析】：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1.
令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.
当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.
又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l ①l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14
.
因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l 的方程为y ＋4＝－14
(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.
2．(2020·衡水中学测试)设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【答案】（1）f (x )＝x －3x
.（2）见解析 【解析】(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74
x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，
a ＋
b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2， 知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2031x (x －x 0)， 即y －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-003x x ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+2031x (x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0
， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-06,0x .
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝6262100
=-x x . 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。