2016年重庆市高考数学试卷(文科)含答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( )
A.{-2,-1,0,1,2,3}
B.{-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3}
D.{1,2}
2.设复数z满足z+i=3-i,则=( )
A.-1+2i
B.1-2i
C.3+2i
D.3-2i
3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.12π
B.π
C.8π
D.4π
5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A. B.1 C. D.2
6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.-
B.-
C.
D.2
7.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )
A.7
B.12
C.17
D.34
10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y=x
B.y=lg x
C.y=2x
D.y=
11.函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为
(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=( )
A.0
B.m
C.2m
D.4m
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .
14.若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{a n}的通项公式;
(Ⅱ)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
18.(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数01234≥5
频数605030302010
(Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值; (Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.
19.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF 折到△D'EF的位置.
(Ⅰ)证明:AC⊥HD';
(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).
(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F. (Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
第Ⅰ卷
一. 选择题
（1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A (5)【答案】D
(6) 【答案】A
(7) 【答案】C
(8) 【答案】B
(9)【答案】C
(10) 【答案】D (11)【答案】B
(12) 【答案】B
二．填空题
(13)【答案】6-
(14)【答案】5-
（15）【答案】
21
13
（16）【答案】1和3 三、解答题
（17）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）23
5
n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】
试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）根据已知条件求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.
试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，学.科网由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5
a d ==， 所以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
， 当n=1,2,3时，23
12,15n n b +≤
<=； 当n=4,5时，23
23,25
n n b +≤<=；
当n=6,7,8时，23
34,35n n b +≤
<=； 当n=9,10时，23
45,45
n n b +≤<=，
所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】
（18）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）由6050200+求P(A)的估计值；（Ⅱ）由3030
200
+求P(B)的估计值；（III ）根据平均值得计算公式求解. 【解析】 试题分析：
试题解析：(Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为
6050
0.55200
+=， 故P(A)的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，学.科网一年内出险次数大于1且小于4的频率为
3030
0.3200
+=， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：
调查200名续保人的平均保费为
0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 【结束】
（19）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）69
4
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）证明.'⊥OD OH 再证'⊥OD 平面.ABC 最后呢五棱锥'ABCEF D -体积.
试题解析：（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD
又由=AE CF 得
=
AE CF
AD CD
，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得
1
.4
==OH AE DO AD
由5,6==AB AC 得 4.===DO BO
所以1, 3.'===OH D H DH
于是22222
19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH
由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，
所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC
又由
=
EF DH AC DO 得9
.2
=EF 五边形ABCFE 的面积11969
683.2224
=⨯⨯-⨯⨯=S
所以五棱锥'ABCEF D -体积169342
=
⨯⨯=V 考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积. 【结束】
（20）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)
()ln 1
-=-+a x g x x x ，学.科网对实数a 分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，
1()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+
-f x x x x f x x x ，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=
（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1--
>+a x x x 令(1)()ln 1
-=-+a x g x x x ，则 222
122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，22
2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；
（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得
1211=-=-+x a x a
由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，学.科网因此()0<g x .
综上，a 的取值范围是(],2.-∞
考点：导数的几何意义，函数的单调性.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）
14449；（Ⅱ）)
2. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .
试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
4
π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22
143
x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127
y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22
143
x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.
由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k
-=+，故12||2|34AM x k =+=+.
由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k
=-+，故同理可得||AN =. 由2||||AM AN =得
2223443k k k =++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，
所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，
因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
12. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍.
试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆ 则有,,DF DE DG GDF DEF FCB CF CD CB
∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠
由此0
180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.
（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，
由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆
因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即 111221.222
GCB S S ∆==⨯⨯⨯=
考点：三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15. 【解析】
试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，学.科网再利用弦长公式可得l 的斜率．
试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=
（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈
由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得
212cos 110.ρρα++=
于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=
12||||AB ρρ=-==
由||AB =
得23cos ,tan 8αα==， 所以l
或考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122
x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．
试题解析：（I ）12,,211()1,,2
212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
当12
x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122
x -<<时，()2f x <； 当12x ≥
时，学.科网由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而
22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，
因此|||1|.a b ab +<+
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
【结束】
一、选择题
1.D 由已知得B={x|-3<x<3},∵A={1,2,3},∴A ∩B={1,2},故选D.
2.C z=3-2i,所以=3+2i,故选C.
3.A 由题图可知A=2,=-=,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点,所以2sin =2,所以+φ=2kπ+,k ∈Z,即φ=2kπ-,k ∈Z,当k=0时,φ=-,所以y=2sin
,故选A. 4.A 设正方体的棱长为a,则a 3=8,解得a=2.
设球的半径为R,则2R=a,即R=,所以球的表面积S =4πR 2
=12π.故选A. 5.D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=(k>0)得k=1×2=2,故选D.
6.A 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得
=1,解得a=-,故选A. 易错警示 圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8). 7.C 由三视图知圆锥的高为2
,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π, 圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.
8.B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P==,故选B.
9.C 执行程序框图,输入a 为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a 为2时,s=2×2+2=6,k=2,此
时k>2不成立;再输入a为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C.
10.D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D.
易错警示利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
11.B f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2+,当sin x=1时,f(x)取得最大值5,故选B.
思路分析利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos2x+6cos转化为关于sin x的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1].
12.B 由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称,
所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以x i=m,故选B.
疑难突破关于直线x=1对称的两点横坐标之和为2,由题意得出f(x)与y=|x2-2x-3|的图象均关于直线x=1对称是解题的关键.
二、填空题
13.答案-6
解析因为a∥b,所以=,解得m=-6.
易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
14.答案-5
解析由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,z min=3-2×4=-5.
15.答案
解析由cos C=,0<C<π,得sin C=.
由cos A=,0<A<π,得sin A=.
所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+sin Ccos A=,
根据正弦定理得b==.
16.答案1和3
解析丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.
疑难突破先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键.。