2020届高考数学(理)复习课件:第六单元§6.2三角恒等变换
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答案 解析
3.函数 f(x)=2sin x(sin x+ 3cos x)的最小值为 -1 .
【解析】f(x)=2sin2x+2 3sin xcos x=2×1-co2s 2������+ 3sin 2x
=
3sin 2x-cos 2x+1=2sin
2������-
π 6
+1≥-1.
4.tan 20°+tan 40°+ 3tan 20°·tan 40°=
答案 解析
【追踪训练 2】(1)已知 x∈(0,π),且 cos
2������-
π 2
=sin2x,则 tan
������-
π 4
=(
A ).
A.13
B.-13
C.3
D.-3
【解析】(1)由 cos
2������-
π 2
=sin2x 得 sin 2x=sin2x,
∵x∈(0,π),∴2sin xcos x=sin2x,∴tan x=2,
.
答案
二 二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos2α-sin2α= 2cos2α-1 = 1-2sin2α ;
tan
2α=12-ttaann
������ 2 ������
.
三 辅助角公式
函数 f(α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为 f(α)=
∈[1,2].
当 m>2sin
2������-
π 3
-1 恒成立时,只需满足 m 大于 2sin
2������-
π 3
-1 的最大值 1,即 m>1;当
m<2sin
2������-
π 3
+3 恒成立时,只需满足 m 小于 2sin
2������-
π 3
+3 的最小值 4,即 m<4.
综上所述,实数 m 的取值范围是(1,4).
(2)求函数 y=2sin2B+cos������-23������的最大值.
【解析】(1)因为 p,q 共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),则 sin2A=34.
又 A 为锐角,所以 sin A= 23,则 A=3π.
(2)y=2sin2B+cos������-23������=2sin2B+cos
������2 + ������2sin(α+φ)
其中 tan ������ = ������
������
或 f(α)=
������2 + ������2cos(α-φ)
其中
tan������
=
������ ������
.
答案
基础训练
1.若ssiinn������������+-ccooss������������=12,则 tan
+1,x∈
π 4
,
π 2
.
(1)f
5π 12
=2sin
5π 6
-
π 3
+1=2sin2π+1=3.
解析
(2)当 2kπ-2π≤2x-3π≤2kπ+2π(k∈Z)时,即 kπ-1π2≤x≤kπ+152π(k∈Z),函数 f(x)单调递增.
因为
x∈
π 4
,
π 2
,所以
f(x)的单调递增区间为
π 4
,
5π 12
【突破训练】2sin 50°cos 10°+12sin 20°(1+ 3tan 10°)=( C ).
A.1
B. 2
C. 3
D.2
【解析】原式=2sin
50°cos
10°+sin
10°cos
10°·cos
10°+ cos
3sin 10°
10°
=2sin
50°cos
10°+2sin
10°
1 2
cos10°+
3
= 35,
∴cos α=cos
������ + π
3
-
π 3
=cos
������ + π
3
cos3π+sin
������ + π
3
sin3π
=-23×12+ 35× 23= 165-2.
答案 解析
题型三 三角变换的简单应用
【例 3】已知函数 f(x)=2sin2
π + ������
4
+
3(sin2x-cos2x),x∈
点拨:利用三角恒等变换把函数式变成f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)的形 式是解决此类问题的关键.
【追踪训练 3】已知△ABC 为锐角三角形,若向量 p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量 q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量. (1)求角 A 的大小;
,同理
f(x)的单调递减区间为
5π 12
,
π 2
.
(3)若不等式|f(x)-m|<2 恒成立,即 m>f(x)-2 且 m<f(x)+2 恒成立,则 m>2sin
2������-
π 3
-1 且
m<2sin
2������-
π 3
+3 恒成立.
因为 x∈
π 4
,
π 2
,所以 2sin
2������-
π 3
π-3π-������ 2
-3������=2sin2B+cos
π 3
-2������
=1-cos 2B+12cos 2B+ 23sin 2B= 23sin 2B-12cos 2B+1=sin
2������-
π 6
+1.
因为 B∈
0,
π 2
,B+A>2π,所以6π<B<2π,所以 2B-6π∈
π 6
2sin
s
2 2������ 2π-2������
=2cocoss222������������=12cos 2α.
答案 解析
题型二 角的变换
【例 2】(1)若 sin
π 3
-������
=14,则 cos
π + 2������
3
=
-������������
.
【解析】(1)依题意得 cos
π + 2������
∵tan β=-17<0,∴2π<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-34π.
点拨:(1)当“已知角” 有两个时,一般把“所 求角”表示为两个 “已知角”的和或差 . 的形式;(2)当“已知角” 有一个时,此时应着眼 于“所求角”与“已 知角”的和或差的关 系,然后应用诱导公式 把“所求角”变成 “已知角”.
3
=-cos π-
π + 2������
3
=-cos 2 (2)已知
π 3
-������
=2sin2
α,β∈(0,π),且
ta3πn-(������α--β1)==212×,tan14
β2=-1-17=,则-78.
2α-β
的值为
-������������������
(2)∵tan
α=tan[(α-β)+β]=1ta-tna(n������(-������������-)���+��� )ttaann
Sα+β:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
Tα-β:tan(α-β)=1t+atna���n��� -���t���atnan������������ ;
������������������������ + ������������������������
Tα+β:tan(α+β)= 1-������������������������������������������������
,
5π 6
,
所以当 2B-6π=2π时,函数 y 取得最大值,此时 B=3π,ymax=2.
解析
方法突破
方法 利用三角函数的“三变”进行化简与求值
“三变”是指“变角、变名、变式”.变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同 角、特殊角.变名:尽可能减少函数名称.变式:对式子变形一般要尽可能有理化、 整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、 所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式进行恒等变形.
A.sin(α+2β) B.sin α C.cos(α+2β) D.cos α
【解析】(1)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.
(2)化简: 2co
2tan
s4������-2co s2 4π-������ si n2
������ +12 4π+������
目
1
高考引航
2
必备知识
录
3
关键能力
高考引航
知识清单
必备知识
一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
Cα-β:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β; Cα+β:cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β; Sα-β:sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β;
答案 解析
关键能力
题型归纳
题型一 三角函数的化简与求值问题
【例 1】求sin 123°(t4anco1s22°1-32°-2)的值.
【解析】原式=sin
123°×(4cscoinos 11s222°°1-23°-2)=2sin
3sin 12°-3cos 12°cos 12°(2co
12° s 2 12 °-1)
π 4
=1ta+nta������n-1������ =2.
������
2.cos 75°cos 15°-cos 105°sin 75°的值为 ������ .
【解析】cos 75°cos 15°-cos 105°sin 75°=cos 75°cos 15°+sin 15°sin 75°=cos 60°=12.
3 2
sin10°
=2sin 50°cos 10°+2sin 10°cos(60°-10°)
=2sin 50°cos 10°+2sin 10°cos 50°
=2sin 60°= 3.
答案 解析
谢 谢观 赏
.
【解析】∵tan
60°=tan(20°+40°)=1ta-tna2n02°0+°ttaann4400
°,
°
∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)
= 3- 3tan 20°tan 40°,
∴原式= 3- 3tan 20°tan 40°+ 3tan 20°tan 40°= 3.
π 4
,
π 2
.
(1)求 f
5π 12
的值;
(2)求 f(x)的单调区间;
(3)若不等式|f(x)-m|<2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
【解析】f(x)=2sin2 π + x + 3(sin2x-cos2x)
4
=1-cos
2������
+
π 2
-
3cos 2x
=2sin
2������-
π 3
������-
π 4
=(
B
).
A.-2 B.2
C.-43
D.43
【解析】由等式sin ������+cos ������
sin ������-cos ������
=12左边分子、分母同时除以
cos
α
得ttaann������������+-11=12,
解得 tan α=-3,则 tan
������-
2
=
3
12sin 12°- 23cos 12° sin 24°cos 24°
=2
3s12isnin(1428°°-60°)=思路,培养从正向思维向逆
向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能 真正掌握公式的应用.
解析
【追踪训练 1】(1)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=( D ).
������ ������
=1+1212-17×17=13>0,
又 α∈(0,π),∴0<α<2π,又∵tan 2α=12-ttaann���2���α=12- ×13132=34>0,∴0<2α<2π,
∴tan(2α-β)=1t+atna2n���2��� -���t���atann������������ =134-34+×1717=1.
=������������cos 2α
.
【解析】(2)原式=12(4co 2sin cos
s4π4π4--������������������-c4ocso2s24π���-������+��� 1)=4sin(2c4πo-���s���
2 ������ -1)2 cos 4π-������
= co
∴tan
������-
π 4
=1ta+nta������n-1������ =13.
(2)已知 α∈
0,
π 2
,cos
������ + π
3
=-23,则 cos α=
������������-������
������ .
【解析】(2)∵α∈
0,
π 2
,∴α+3π∈
π 3
,
5π 6
,∴sin
������ + π