广东省深圳市深圳中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试试题理(含解析)

广东省深圳市深圳中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试
试题理（含解析）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，，所以，故选C. 考点：集合的运算.
2.在等差数列中，若前项的和，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：.
考点：等差数列的基本概念.
3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )
A. 0
B. －4
C. －2
D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.
【详解】依题意，所以，故选D.
【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.
4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底
面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为
，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为
，故其体积为，所以该几何体的体积为
，故选A.
考点：1.三视图；2.组合体的体积
5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．
A. f(x)＝sin 2x
B. f(x)＝x e x
C. f(x)＝x3－x
D. f(x)＝－x＋ln x
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项.
【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，
，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.
6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.
【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得
，故选B.
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.
7.设f（x）=|x﹣1|，则 =（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.
【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.
【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）
A.
B.
C. 和
D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意令，解得，，故点的坐标为
，故选C.
【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.
9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为
考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质
10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.
【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.
【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）
A. B. C. 或 D. 不存在【答案】A
【解析】
【分析】
利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.
【详解】依题意，①，结合
②，解得或.当时
，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.
【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.
12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.
【详解】构造函数，故，故函数
为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数
在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，
，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式
的解集为，故选B.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数在[0,3]上的最小值为_______.
【答案】-2
【解析】
【分析】
对函数求导，求得函数的极值点，比较函数的极值和区间端点的函数值，由此求得函数的最小值.
【详解】依题意，故函数在上递减，在上递增，
，故函数在区间上的最小值为.
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在闭区间上的最小值，属于基础题.求解的主要步骤是：首先对函数求导、因式分解，然后求得函数的单调区间，和极值，然后比较函数的极值和区间端点的函数值，由此求得函数的最小值.
14.曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积.
【详解】根据解得.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为
.
【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.
15.曲线在点处的切线的倾斜角为____________
【答案】
【解析】
【分析】
先求得函数在点处的导数，由此求得倾斜角的值.
【详解】依题意，令，求得导数为，即切线的斜率为，故倾斜角为. 【点睛】本小题主要考查导数的几何意义，考查切线斜率的求法，考查倾斜角和斜率的对应关系，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
16.已知函数在上总是单调函数，则a的取值范围是________ 【答案】
【解析】
【分析】
根据导函数为二次函数，开口向上，根据导数恒为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判别式，解得.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查二次函数的性质，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知曲线f(x)=x3-2x2+x+1
(1) 求该曲线在点（2，f（2））处的切线方程；
(2) 求该函数定义域上的单调区间及极值.
【答案】（1）；（2）递增区间为和，递减区间为；极大值为，极小值为1.
【解析】
【分析】
（1）求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，根据点斜式求出切线方程.（2）对函数求导，根据导数的正负写出单调区间，由此求得函数的极值.
【详解】解：
∴由直线的点斜式方程，可知在点（2,3）处的切线方程为
即.
(2)由（1），可知，令解得或
当即或，函数单调递增；
当即，函数单调递减。

∴函数的单调增区间为和；单调减区间为
并且当时，函数有极大值；当时，函数有极小值.
【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，属于基础题.
18.如图，在中，是边的中点，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）。

【解析】
试题分析：本题主要考察学生对三角函数的理解，根据三角形余弦定理其中的一个式子，带入对应条件即可求出∠A的余弦；根据上问得出的结论，先求出∠A的正弦值，再根据题中所给条件求出未知线段的长度，最后根据正弦定理，带入数据，进行求解，即可得出结果。

试题解析：（1）在中，，，
；
（2）由（1）知，，且，．
是边的中点，．
在中，，
解得．由正弦定理得，，
．
考点：正弦定理，余弦定理的综合运用
19.已知数列是等比数列，，是和的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列通项的性质求出的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和
【详解】解：（1）设数列的公比为，
因为，所以，．
因为是和的等差中项，所以．
即，化简得．
因为公比，所以．
所以（）．
（2）因为，所以．
．
则，①
.②
①－②得，
，
所以．
【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前项和，属于中档题.
20.如图，在三棱柱中，，，，平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由平面，所以，再由勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面.
（2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面
的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

【详解】（1）证明：因为平面，所以，
因为，，所以，
又，所以平面.
（2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，则，，
所以，，取，则.
又平面，取平面的法向量，
所以.
由图可知，二面角为钝角，所以二面角为.
【点睛】本题考查了线面垂直判定与证明，以及二面角的计算问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理。

同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线
与交于两点。

（Ⅰ）写出的方程;
（Ⅱ）若，求的值。

【答案】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，故．
若，即．而，
于是，化简得，所以．
【解析】
试题分析：（1）根据椭圆的定义，可判断点的轨迹为椭圆，再根据椭圆的基本量，容易写出
椭圆的方程，求曲线的方程一般可设动点坐标为，然后去探求动点坐标满足的方程，但如果根据特殊曲线的定义，先行判断出曲线的形状(如椭圆，圆，抛物线等)，则可直接写出其方程；（2）一般地，涉及直线与二次曲线相交的问题，则可联立方程组，或解出交点坐标，或设而不求，利用一元二次方程根与系数的关系建立关系求出参数的值(取值范围)，本题可设，根据，及满足椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系消去坐标即得.
试题解析：(1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,
长半轴为2的椭圆, 2分
它的短半轴, 4分
故曲线的方程为. 6分
(2)证明:设,其坐标满足消去并整理,得
8分
故. 10分
即，而，
于是，
解得13分
考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.
22.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x-6lnx,其中R.
(1)当=1时,判断f(x)的单调性;
(2)当=2时,求出g(x)在（0,1）上的最大值；
(3)设函数当=2时,若总有成立,求实数m 的取值范围.
【答案】（1）f(x)在上单调递增；（2）；（3）[8-5.
【解析】
【分析】
（1）当时，利用函数的导数可判断出函数在上递增.（2）当时，利用的导数求得函数的单调区间，进而求得函数的最大值.（3）将原不等式成立转化为
来求解，根据（2）的结论以及二次函数在上的最大值列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】(1)由题意知f(x)的定义域为
f′.
当a=1时,在上,f′
故f(x)在上单调递增.
（2）由lnx,当a=2时lnx,
g′由g′(x)=0,得或x=2.
当时,g′(x)>0;当时,g′(x)<0
所以在(0,1)内ln2.
(3)”总有成立”等价于”g(x)在(0,1)内的最大值不小于
h(x)在[1,2]上的最大值”,而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},
所以有即
可得即ln2,
所以实数m的取值范围是[8-5.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性以及最值，考查利用导数研究不等式恒成立和能成立问题，综合性较强，属于难题.。