人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(精品文档)

[解] 记f(x)＝(1－2x)5. (1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2. (2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4 －a5，所以a1＋a3＋a5＝12[f(1)－f(－1)]＝12(－1－35)＝－122. (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(1)－f(0)＝35－1＝242.
[类题通法] “赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目 要求，灵活赋给字母所取的不同值．一般地，要使展开式中项 的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有 项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和 的差．
[活学活用] 2．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
第n行中的数是C0n
，C
1 n
，C
2 n
，…，C
nn.设第n行中从左到右第
14与第15个数的比为2∶3，则C1n3∶C1n4＝2∶3，解得n＝34.
答案：34
求二项展开式中系数和
[例2] 设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值； (2)a1＋a3＋a5的值； (3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值；
[导入新知]
性质
二项式系数的性质 内容
对称性 Cmn ＝Cnn－m，即二项展开式中，与首末两端 “ 等距离 ”的两项的二项式系数 相等.
性质
内容
增减性 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式 中间一项T n+1
的二项式系数最大．
2
与最
大值 如果n为奇数，那么其展开式中间两项 T n1 与T n11
的二项式系数相等且同时取得最大值． 2
2
二项式 系数
二项展开式中各二项式系数的和等于 2n，即C0n＋C1n＋C2n ＋…＋Cnn＝ 2n.
奇数项的二项式系数之和等于偶数 项的二项式系数之和，
的和 都等于2n－1，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝Cn2＋Cn4＋C6n＋…＝2n－1 .
[化解疑难] 1．求二项式系数最大的项时，要特别注意n的奇偶性，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一 项的二项式系数最大． 2．求展开式的某一项，某一项的二项式系数，某一项的 系数是三类不同的问题，要注意区别．
1.3
1.3.2
第 一
“杨 辉三 角”
章 与二
项式
系数
的性
质
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍
4 应用落 实体验
题型一 题型二 题型三
随堂即时演练 课时达标检测
1.3 二项式定理 1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
[提出问题] (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表 示成如下形式：
与“杨辉三角”有关的问 题
[例1] 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所 指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为Sn，求S19的值．
[解]
S19＝(C
2 2
＋C
1 2
)＋(C
2 3
＋C
1 3
)＋(C
2 4
＋C
1 4
)＋…＋
(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
2
∴T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
2
10 4 k
则由Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第________
行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行 第1行 第2行 第3行 第4行
1 11 121 1331 14641
源自文库第5行
1 5 10 10 5 1
…
…
解析：由“杨辉三角”知，第1行中的数是C10，C11；第2行中
的数是C20，C21，C22；第3行中的数是C30，C31，C32，C33；…；
得33kkCCk5k5≥≥33kk＋－11CCk5k5＋－11，， ∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45(x 3 )(3x2)4＝405x 3 .
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距 离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数 都等于它“肩上”两个数的和． 问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 问题3：二项式系数的最大值有何规律？ 提示：n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大．
(1)求a1＋a2＋…＋a10； (2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2. 解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0， 故a1＋a2＋…＋a10＝－32. (2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.
＋C
2 10
＋C
2 11
)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C
3 12
＝
2＋10×9 2
＋
220＝274.
[类题通法] 解决与“杨辉三角”有关的问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角 度观察；
(2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之 间的数据的规律．
[活学活用]
二项式系数的性质
2

[例3]
已知

x

3
＋3x2
n的展开式中，各项系数和与它的
二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解] 令x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n， ∴222nn＝2n＝32，n＝5.