用三元组表示稀疏矩阵的乘法

图5.17给出了一个矩阵相乘的例子。当矩阵M、N是稀疏 矩阵时，我们可以采用三元组表的表示形式来实现矩阵的相 乘。
3 0 0 5
0 2
1 0
M 0 1 0 0 N
2 0 0 0
2 4
0 0
0 6
Q 1 0
0 4
图5.17 Q=M×N
图5.18 矩阵M、N、Q的三元组表
{
OLink * row_head, *col_head; /* 行、 列链表的头指针向量 */
int m, n, len; /* 稀疏矩阵的行数、 列数、 非零元素的个数 */
}CrossList;
CreateCrossList (CrossList * M) {/* 采用十字链表存储结构， 创建稀疏矩阵M */ scanf(&m, &n, &t); /* 输入M的行数, 列数和非零元素的个数 */ M->m=m; M->n=n; M->len=t; If(!(M->row_head=(OLink * )malloc((m+1)sizeof(OLink)))) exit(OVERFLOW); If(!(M->col_head=(OLink * )malloc((n+1)sizeof(OLink)))) exit(OVERFLOW); M->row_head［ ］=M->col_head［ ］=NULL;
}TriSparMatrix；
具体算法如下：
该算法的时间主要耗费在乘法运算及累加上，其时间复杂度为O （A.len×B.n）。当A.len 接近于A.m×A.n时，该算法时间复杂度接近于 经典算法的时间复杂度O（A.m×A.n×B.n）。
稀疏矩阵的链式存储结构: 十字链表
与用二维数组存储稀疏矩阵比较，用三元组表表示的稀疏 矩阵不仅节约了空间，而且使得矩阵某些运算的运算时间比经 典算法还少。但是在进行矩阵加法、减法和乘法等运算时，有 时矩阵中的非零元素的位置和个数会发生很大的变化。如 A=A+B， 将矩阵B加到矩阵A上，此时若还用三元组表表示法， 势必会为了保持三元组表“以行序为主序”而大量移动元素。
typedef struct OLNode
{
int
row, col;
/* 非零元素的行和列下标 */
ElementType value;
struct OLNode * right, *down; /* 非零元素所在行表、列表的后继链域 */
}OLNode; *OLink;
typedef struct
经典算法中，不论M［i］［k］、N［k］［j］是否为零， 都要进行一次乘法运算，而实际上，这是没有必要的。采用三 元组表的方法来实现时，因为三元组只对矩阵的非零元素做存 储 所 以 可 以 采 用 固 定 三 元 组 表 a 中 的 元 素 （ i ， k ， Mik ） （1≤i≤m1，1≤k≤n1），在三元组表b中找所有行号为k的的对 应元素（k，j， Nkj）（1≤k≤m2，1≤j≤n2）进行相乘、 累加， 从而得到Q［i］［j］，即以三元组表a中的元素为基准， 依次 求出其与三元组表b的有效乘积。
用三元组表示稀疏矩阵的乘法
两个矩阵相乘也是矩阵的一种常用的运算。设矩阵M是 m1×n1矩阵，N是m2×n2矩阵；若可以相乘，则必须满足矩 阵 M 的 列 数 n1 与 矩 阵 N 的 行 数 m2 相 等 ， 才 能 得 到 结 果 矩 阵 Q=M×N（一个m1×n2的矩阵）。
数学中矩阵Q中的元素的计算方法如下：
n1
Q[i][j]M[i]k []N[k][j]
k1
其中： 1≤i≤m1, 1≤j≤n2。
根据数学上矩阵相乘的原理， 我们可以得到矩阵相乘的 经典算法： for(i=1; i<=m1; i++) for(j=1; j<=n2; j++)
{Q［i］［j］=0; for(k=1; k<=n1; k++) Q［i］［j］=Q［i］［j］+M［i］［k］*N［k］[j］; }
＃define MAXSIZE 1000 /*非零元素的个数最多为1000*/ ＃define MAXROW 1000 /*矩阵最大行数为1000*/
typedef struct
{ int row, col; /*该非零元素的行下标和列下标*/ ElementType e； /*该非零元素的值*/
1
0
0
0
1 Q 0
0 0
0 0 0 0 0
6 0 8 0 0
21 3
0
0
0 1
0
0
6 0
图5.19 Q=M×N
Row
1 2 3 4 (5)
Num[row] 2 1 1 1
First[row] 1 3 4 5 6
图5.20 图5.19中矩阵N对应的向量num［row］, first［row］
}Triple;
typedef struct
{ Triple data［MAXSIZE+1］; /* 非零元素的三元组表，data［0］未用*/ int first［MAXROW+1］; /* 三元组表中各行第一个非零元素所在的
位置 */ int m, n, len;/*矩阵的行数、 列数和非零元素的个数*/
这里，first［m2+1］-1表示最后一行最后一个非零元素 的存储位置。当三元组表a中第i行非零元素的列号等于三元 组表b中非零元素的行号时，则元素相乘并将结果累加。
3
0
M 1
0
0
0 0 2 0 0
0 7
1 0 0 0
0
0
0
2
0
N
0
1
பைடு நூலகம்
0
0 0 0 0
2 3 0 0
0
0 0 0 3
在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示， 该结点除了（row，col，value）以外，还要有以下两个链域：
right： down： 用于链接同一列中的下一个非零元素。
row
col
Down
Value right
113 2 2 －1
145
31 3
图5.23 十字链表的结构
十字链表的结构类型说明如下：
算法中附设两个向量num［ ］、first［ ］，其中num ［row］表示三元组表b中第row行非零元素个数（1≤row≤m2）， first［row］表示三元组表b中第row行第一个非零元素所在的 位置。显然，first［row+1］-1指向三元组表b中第row行最后一 个非零元素的位置。
first［1］=1 first［row］=first［row-1］+num［row-1］， 2≤row≤m2+1。