高中人教版数学必修4课件：第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-

α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626， 或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
[跟进训练] 3．求证：tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α＝－tan α.
[证明] 左边＝tanc－osαπ－sinα－sinαπco－sα－ α ＝－tan－αco－s αsisninααcos α＝－tan α＝右边， ∴tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α＝－tan α.
26 26 .
解决条件求值问题的两个技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求 式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进 行变形向已知式转化. 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关 键.
利用诱导公式化简或证明问题
三角函数式化简的常用方法 1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 3注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.
[跟进训练]
2．化简：
(1)sisninπ3＋πα＋sαinco2sπ－π－ααcossin－ππ－－αα ；
课堂 小结 提素 养Leabharlann 1．各诱导公式的作用 诱导公式
作用
公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值
公式四 将角转化为0～π2之间的角求值
2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象 限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐 角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆 的方便，实际上α可以是任意角．
．
－12 [由sin(π＋α)＝－12得－sin α＝－12即sin α＝12，所以sin(4π－
α)＝sin(－α)＝－sin α＝－12.]
合作 探究 释疑 难
给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cos－361π；(3)tan(－945°)． [解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝
[跟进训练] 1．求下列各三角函数值： (1)cos－116π； (2)tan(－765°)； (3)sin 43π·cos 256π·tan 54π.
[解] (1)cos－116π＝cos116π＝cos2π－π6
＝cos－π6＝cosπ6＝
3 2.
(2)tan(－765°)＝tan(－720°－45°)＝tan(－45°)＝
A．0
B．1
C．－1
D. 3
C [tan(－2 025°)＝－tan 2 025°＝－tan(5×360°＋225°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.]
3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝
.
3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.]
4．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是
C [A错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋π2，k∈Z. B错误由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)， 故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的． C正确因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 故选C.]
2．tan(－2 025°)的值为( )
1．下列命题成立的是( ) A．诱导公式二、三、四中，角α可以为任意角 B．当α为钝角时，cos(π－α)＝cos α C．若α＋β＝π，则sin α＝sin β D．若α＋β＝0，则tan α＝tan β
C [A错，因为α需使正切有意义；B错，不论α为任意角，都有 cos(π－α)＝－cos α；C正确，因为sin β＝sin(π－α)＝sin α；D错，tan β＝tan(－α)＝－tan α.]
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－31，α为第四象限角
→
求sinα－75°
→ 用sin180°＋α＝－sin α求值
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝sin
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是 否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α(其中k∈Z)．
α可知tan(kπ＋α)＝tan
【例4】 设k为整数，化简： sinkπ－αcos[k－1π－α] sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.
思路点拨：本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导 公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ －α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
α)·cos(180°－α)等于( )
m2－1 A. 2
m2＋1 B. 2
1－m2 C. 2
D．－m22＋1
(2)已知cos(α－75°)＝－
1 3
，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的
值．
思路点拨：(1) 化简已知和所求三角函数式 →
根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
法二：cos－316π＝cos－6π＋56π
＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－
3 2.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”——用公式一或三来转化； 2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； 3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
2．tan－43π等于(
第一章 三角函数
1.3 第1课时
§1 数列 三角函数的诱导公式 公式二、公式三和公式四
学习目标
核心素养
1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出 1.通过对诱导公式的推
诱导公式二、三、四 导，提升学生的数学抽
2.能够准确记忆公式二、公式三和公式 象和直观想象素养.
四．(重点、易混点) 2.通过诱导公式的应
tan(π＋α)＝ tan α
2.诱导公式三 终边关系
图示
角－α 与角 α 的终边关于 x轴 对称
公式
sin(－α)＝－sin α ， cos(－α)＝ cos α ， tan(－α)＝ －tan α
3.诱导公式四 终边关系
图示
角 π－α 与角 α 的终边关于 y轴 对称
公式
sin(π－α)＝ sin α ， cos(π－α)＝－cos α ， tan(π－α)＝－tan α
－tan 45°＝－1.
4π 25π 5π (3)sin 3 ·cos 6 ·tan 4 ＝sinπ＋π3cos4π＋π6tanπ＋π4 ＝－sinπ3×cosπ6×tanπ4 ＝－ 23× 23×1＝－34.
化简求值
【例2】 (1)化简：cos－siαntπa－nα7π＋α＝
；
(2)
化简：
cos180°＋αsinα＋360° sin－α－180°cos－180°－α.
sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)法一：cos－316π＝cos316π
＝cos4π＋76π＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－
3 2.
法二：(配角法)由于 kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π －α＝2kπ，故 cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)． 所以原式＝－－sinsinkπk＋π＋αα[－cocsoskπkπ＋＋αα ]＝－1.
＝
－1－sin2s7i0n°7＋0°ccooss7700°°＝|ccooss
70°－sin 70°－sin
70°| 70°
＝sin cos
70°－cos 70°－sin
7700°°＝－1.
给值(式)求值问题
【例3】 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋
3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用 用，培养学生的数学运
诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、 算素养.
证明问题．(难点)
自主 预习 探新 知
1．诱导公式二 终边关系
图示
角 π＋α 与角 α 的终边 关于 原点 对称
公式
sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ，
[解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)] ＝－cos(α－75°)＝13.
2．将例3(2)的条件“cos(α－75°)＝－ 13 ”改为“tan(α－75°)＝－ 5”，其他条件不变，结果又如何？
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
思考：(1)诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要 求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．下列说法中正确的是( ) A．公式二～四对任意角α都成立 B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β) C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C D．以上说法均错误
(2)化简：
1＋2sin 290°cos 430° sin 250°＋cos 790° .
[解]
(1)原式＝－sisninπ＋α－αs－in cαos－αcsoins
α α
＝－－sinsiαnα－s－incαos－αscions αα＝－1.
(2)原式＝
1＋2sin360°－70°cos360°＋70° sin180°＋70°＋cos720°＋70°
[解] 法一：(分类讨论)当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，则原 式＝ssiinn[22mmπ＋－1απc＋osα[]2cmos－21mππ－ ＋αα]
＝sinsin－πα＋cαoscoπs＋αα＝－－sinsiαnα－cocsoαs α＝－1； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.