2020-2021学年部编版5年级下数学长方体(一)知识点归纳整理,例题讲解

北师大版五年级下册数学期末复习专题讲义- 2 . 长方体（一）
【知识点归纳】
一．长方体的认识
1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。

左面的面叫左面，右面的面叫右面，上面的面叫上面，下面的面叫下面（或叫底面），前面的面叫前面，后面的面叫后面。

长方体有12条棱，这12条棱中有4条长、4条宽和4条高。

正方体的12条棱的长度都相等。

2、长方体、正方体各自的特点。

3、正方体是特殊的长方体。

因为正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。

5、棱长和的变形：
例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，
打结部分需要 10 厘米彩带，一共需要多长的彩带？
分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带
的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解决问题时首
先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长
和。

前面和后面的彩带长度 = 高的长度；左面和右面的彩带长度 = 高的长度；上面和下面的彩带长度 = 长的长度。

需要彩带的长度 = 高× 4+ 长× 2+ 宽× 2+ 打结部分长度 20 × 4+30 × 2+10=150cm
【典例讲解】
例1．一个长方体的底面周长是28cm，高是4cm．这个长方体的棱长总和是（72cm）
【分析】已知长方体的底面周长是28厘米的正方形，高4厘米，由此可知长方体的4个侧面是完全相同的长方形，这个长方体的棱长总和是（28×2+4×4）厘米．
【解答】解：28×2+4×4＝56+16＝72（cm）
答：这个长方体的棱长总和是72cm．故答案为：72．
【点评】此题主要考查长方体的棱长总和的计算
例2．如图是一个正方体铁块．
（1）它的棱长总和是多少？
（2）把它放在桌面上，占多大面积？
【分析】
（1）棱长是15cm，根据正方形棱长总和＝棱长×12，计算即可；
（2）棱长是15cm，求它放在桌面上占多大面积，就是求它的底面积，是棱长×棱长，计算即可．
【解答】解：
（1）15×12＝180（cm）答：它的棱长总和是180cm．（2）15×15＝225（cm2）
答：把它放在桌面上，占225cm2．
【点评】此题主要考查正方体底面积、棱长总和公式的应用，解答此类的题要特别注意单位．
练习：
1 、长方体的六个面一定是长方形； ( )
2 、正方体的六个面面积一定相等； ( )
3 、一个长方体 ( 非正方体 ) 最多有四个面面积相等； ( )
4 、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。

( )
7 、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。

( )
8 、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。

( )
9 、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。

（）
11 、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。

（）
12 、长方体和正方体最多可以看到 3 个面。

（）
13 、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等（）
14 、长方体（不含正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等（）
15 、一个长方体中最少有 4 条棱长度相等，最多有 8 条棱长度相等。

（）
二．展开与折叠
知识点：正方体展开共11种
1—4—1型6个
1—3—2型3个
3个2型1个楼梯形
注意：（1）田字型与凹字型的全错。

（2）正方体展开至少和最多都只剪开7条棱。

【典例讲解】
例1．下列图中，（）不是正方体的展开图．A． B．
C．
【分析】根据正方体展开图的11种特征，A图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型， C图属于正方体展开图的“3﹣3”型，B图不属于正方体展开图．
【解答】解：、是正方体展开图；
不是正方体展开图．
故选：B．
【点评】此题是考查正方体展开图的认识．正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．
三．长方体的表面积
S=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=棱长×棱长×6
5、长方体表面求法的变形
在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。

在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。

一个抽屉有 5 个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。

所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这 5 个面的面积就可以了。

通风管顾名思义是通风用的，没有上面和底面。

所以只要算四个侧面就可以了。

（1）具有六个面的长方体或正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；
（2）贴商标类型只求四周面积。

其他四个面的长方体或正方体物品：水管、烟囱等。

例如一个长方体包装盒长宽高分别为 8,4,5需要在包装盒四周贴上商标需要商标纸的面积是多少
（3）游泳池、鱼缸等类型只求四周和底面。

例如一座游泳池长宽高分别为、10m 4m 1.5m需要在池内贴上边长为
1dm 的瓷砖大约需要多少块瓷砖
（4）抽纸盒类型六个面面积减去缺口面积。

例如一款抽纸盒长宽高分别是 20cm 12cm 5cm上面有长 14cm宽 3cm 的抽纸口做这款抽纸盒需要多少硬纸片
（5）占地面积问题只求底面面积。

例如一个长方体蓄水池长 12m宽 8m深 3m这个水池占地面积多少平方米【典例讲解】
例1．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米．做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米．√（判断对错）
【分析】求玻璃的面积，就是求长方体5个面的面积，缺少上面，依据长方体的表面积公式：S＝2（ab+ah+hb ）即可求解．
【解答】解：50×40+（50×30+40×30）×2
＝2000+5400
＝7400（平方厘米）
7400平方厘米＝74平方分米
答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米．
题干的说法是正确的．故答案为：√
【点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法在实际生活中的应用．
例2．求下面立体图形的表面积．（单位：cm）
【分析】通过观察图形可知，由于上面的正方体和下面
的长方体粘合在一起，所以上面的正方体只求它的4个
面的面积，下面的长方体求6个面的面积，根据正方形
的面积公式：S＝a2，长方体的表面积公式：S＝
（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答．
【解答】解：2×2×4+（10×8+10×6+8×6）×2
＝16+（80+60+48）×2
＝16+188×2
＝16+376
＝392（平方厘米）
答：它的表面积是392平方厘米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
【练习】：
（1）一盒饼干长 20 厘米，宽15 厘米，高30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是 4 厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
（2）一种长方体硬纸盒，长 10 厘米，宽 6 厘米，高 5 厘米，有 2 平方米的硬纸板 210 张，可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口）
（3）一个通风管的横截面是边长是 0.5 米的正方形,长 2.5 米.如果用铁皮做这样的通风管 50只,需要多少平方米的铁皮?
（4）一个房间的长 6 米，宽3.5 米，高 3 米，门窗面积是8 平方米。

现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥 4 千克，一共要水泥多少千克？
（5）在一节长 120 厘米，宽和高都是 10 厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做 12节这样的通风管呢？
（6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是 21 厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？
（7）一个抽屉，长50 厘米，宽30 厘米，高10 厘米，做这样的2 个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？
（8）长方体的长为12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是200 平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
3. 一只鱼缸，棱长和为 280cm，其中，底面周长为 50cm，右面周长为 40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？
（10）一块长方形铁皮长 60 厘米，宽 40 厘米，如
图，从四个角上剪去边长是 10 厘米的正方形，然
后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？
（11）一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的
是（）个面.
四．露在外面的面
1、在观察中，通过不同的观察策略进行观察。

如:一种是看每个纸箱露在外面的面，再加到一起；
另一种是分别从正面、上面、侧面进行不同角度的观察，看每个角度都能看到多少个面，再加到一起。

2、发现并找出堆放的正方体的个数与露在外面的面的面数的变化规律。

3、求露在外面的面的面积=棱长×棱长×露在外面的面的个数。

【典例讲解】
（1）、一个正方体纸盒放在桌面上，露在外面的面有 5 个。

（）
（2）把一个棱长为 10 厘米的正方体纸盒放在墙角处（如右图），有
（）个面露在外面，露在外面的的面积是（）厘米2
（3）把 3 个棱长为 10 厘米的正方体纸箱放在墙角处（如右图），有
（）个面露在外面，露在外面的面积是（）厘米2
（4）如第3题图，3 个棱长都是 10 厘米的正方体堆放在墙角处还有没有别的摆法？露在外面的面积是否有变化？
（5）将小正方体按下面方式摆放在地上。

1 个小正方体有（）个面露在外面，
2 个
小正方体有（）个面露在外面，3 个小正
方体有（）个面露在外面。

按照这样的方式摆放，8个小正方体有（）个面露在外面。

（6）右图是校运动会的领奖台示意图，它由 4 个棱长为去分米的正
方体组成，有（）个面露在外面，露在外面的面积是（）分米2
（7）数一数，分别有几个面露在外面？
共有（）个面露在外面。

共有（）个面露在外面
五．棱长变化对表面积的影响
1、正方体
正方体的棱长扩大 n倍其棱长和也扩大 n倍表面积扩大 n ²倍体积扩大 n ³倍。

2、长方体
【典例讲解】
（1）长方体的长宽高同时扩大 n倍，其棱长和也扩大 n倍，表面积扩大 n2 倍，体积扩大 n3 倍。

（2）大正方体棱长是小正方体棱长的 2 倍则大正方体表面积是小正方体表面积的（）倍。

（3）一个长方体的长、宽、高都扩大 4 倍，它的表面积就（）。

（4）一个正方体的棱长为 4 厘米扩大为 2 倍后，其棱长和为（）厘米，表面积为（）平方厘
米比原来扩大了。

（5）一个长方体长扩大 2 倍，高扩大 4 倍，体积扩大（）倍。

六．长方体或正方体的切割组合对棱长的影响
1、切割
（1）将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加 4 条长和 4 条宽；（棱长增加的最长）
（2）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加 4 条宽和 4 条高；（棱长增加的最短）
（3）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加 4 条棱。

2、组合
（1）将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少 4 条长和 4 条宽；（棱长减少的最多）
（2）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少 4 条长和 4 条高；
（3）将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少 4 条宽和 4 条高；（棱长减少的最少）
将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少 8 条棱；
以次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16 条棱，四个组合减少 24 条棱，五个组合减少 32 条……（公式：8×（N—1））
【典例讲解】
将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为 140 厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？
分析：五个正方体棱长共有 12×5=60 条；
将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少 32 条，还剩 60-32=28 条；
即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度
为：140÷28=5cm；所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。

七．小正方体拼接
1、小正方体拼大正方体的规律
由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要 2×2×2=8 个（也就是说每条棱上放 2 个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放 3 个小正方体即 3×3×3 =27 个，依次类推接下来是 4×4×4=64 个；5×5×
5=125 个……从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。

这就要求我们能够熟记一些数的立方：
2 3 =8 3 3 =27 4 3 =64 5 3 =125 6 3 =216
7 3 =343 8 3 =512 9 3 =729 10 3 =1000
2、小正方体拼大长方体的规律
规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的 a 倍，宽是小正方体棱长的 b 倍，高是小正方体棱长的 c 倍，则，大长方体就是由 a×b×c 个小正方体组成的。

练习：
（1）用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为 9 厘米的大正方体需要（）个小正方体。

A、8 个
B、27 个
C、26 个
D、64 个
（2）一个长方体的长宽高分别是 18、12、9，如果用棱长为 3 的小正方拼一个这样的长方体，
一共需要（）块这样的小正方体。

（3）一个长方体的盒子里面长 5 分米，宽 4 分米，深 3 分米，放棱长为 5 厘米的正方体小
木块共可以放（）块。

八．立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）
1、长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。

沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。

而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。

2、正方体
无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为 2a 2不存在增加最多最少的问题。

3、从一个长方体中切出一个最大的正方体问题
应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。

【典例讲解】
在一个长是 4 厘米，宽为 3 厘米，高
为 2 厘米的长方体中切出一个最大的
正方体，该正方体的棱长和是多少？
剩余部分的表面积是多少？
练习：
（1）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（）㎡。

（2）用两个长 4 厘米、宽 4 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（）平方厘米，最小是（）平方厘米。

（3）把一根长 80 厘米，宽 5 厘米，高 3 厘米的长方体木料锯成长都是 40 厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。

（4）用两个长、宽、高分别是3 厘米，2 厘米，1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（）平方厘米。

（5）棱长是 a 的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（）。

（6）一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？
（7）把一根长 2 米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加 5.76 平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？
（8）一根1.8m 长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？
（9）一个长方体长为 1.5 分米，宽为 0.5 分米，高位 1 分米，锯三刀之后之后可以锯成 6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？
九．立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）
1、长方体
将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。

将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。

而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。

2、正方体
无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为 2a 2不存在增加最多最少的问题。

【典例讲解】
两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？
要求最省包装纸，即表面
积最小，也就是表面积比
原来单独包装时减少的表
面积最多，根据规律应该
选择第一种包装方式。

练习：
（1）把三个棱长是1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（），比原来3 个正方体表面积之和减少了（）。

（2）把三个棱长是 2 分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（），体积是（）。

（3）用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（）
（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 350 平方米。

这个正方形的表面积是多少平方米？
（5）一个长方体的长 8 厘米，宽 6 厘米，高 5.5 厘米。

将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？体积是多少？
（6）一种长方体积木，长3 厘米，宽2.5 厘米，高2 厘米。

将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最小是多少？
（7）用 3 个棱长 5 分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？
（8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少 32 平方厘米。

求所拼长方体的表面积。

（9）用两个同样的长、宽、高分别为4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
（10）用两个长 6 厘米，宽 3 厘米，高 1 厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？
（11）用 3 个棱长 4 分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比3 个正方体的表面积少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？
（12）用两个同样的长、宽、高分别为 4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
十．小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题
大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高
上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；
在顶点位置的小正方体露在外面的面有3 个；
在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2
个；
在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1 个；用总数—3 个面的—2 个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数
例如：
在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方
体有几个？
有两个面图上漆的小正方体有几个？
有一个面涂上漆的小正方体有几个？
没有涂上漆的小正方体有几个？
练习：
图一中，长方体共有（）个小正方体；其中两个
面露在外面的小正方体共有（）个；没有露在外
面的小正方体共有（）个。

图二中三个图一次有（）、（）、（）小正方
体组成。

第二个长方体中有三个面在外面得正方
体有（）个，两个面在外面的正方体有（）
个，一个面在外面的有（）个，没有露在外面
的小正方体（）。

十一. 小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化
挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不
变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3
个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。

挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增
加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2
个，挖去后会露出4 个面，所以表面积会增大。

挖去的小正方体在面上，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1 个面露在外面，挖去后会露出5 个面，所以表面积会增大。