比例线段

比例线段
一.知识要点：
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两
条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质: 或
(4)合比性质:
(5)等比性质: 且
(三) 平行线分线段成比例定理
1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。

2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。

4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平
行于三角形的第三边。

这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。

首先要弄清三个基本图形。

这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或
基本图形(2): 若DE//BC，则或或或
基本图形(3): 若AC//BD，则或或或
在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。

2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。

基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则A C//DB。

二. 本讲内容所需要的计算与证明方法
计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。

2. 会利用比例式建立方程求线段的长。

证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题。

三. 例题
例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。

分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。

解:∵a:b:c=3:5:7
设a=3k, b=5k, c=7k
∵2a+3b-c=28
∴6k+15k-7k=28，∴k=2
∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
例2:若, 求的值。

解:设
则x=3k, y=4k, z=5k
∴
说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。

例3.如图,在□ABCD中,E为A B中点,,EF,A C相交于G,求。

分析:欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形。

解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)
在□A BCD中,AD BC,
∵E为A B中点，∴A E=BE
∵AD//BC，∴∠AFE=∠H
在△A EF和△BEH中
在△A EF≌△BEH(AAS)
∴AF=BH
∵，
设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K
∵AD//BC，即AF//HC
∴
∴
说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。

或取A C中点N,连结EN。

请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出。

例4.已知:如图,D是△A BC的A B边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交A C于E点。

求证: EA:EC=BF:CF
分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由平行得比例)。

为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形。

证法一: 过C作CH//AB交DF于H
∵CH//AB，即CH//BD
∴
又CH//AD，
∵
∵D是A B中点
∴AD=BD
∴
∴（等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过C作CM//FD交A B于M
∵CM//FD
∴
∵CM//ED
∴
∵D是A B中点
∴AD=BD
∴
∴EA:EC=BF:CF (等比代换)
说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法。

本题还可以过B点作A C的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证。

总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法。

例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,A E=3,AF=5,求菱形A BCD的边长。

分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路。

解: ∵菱形ABCD内接于△AEF
∴A B//CD,AB=BC=CD=A D
设菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)
∵AF=5
∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)
∵CD//AB即CD//AE
∴
且A E=3（得到相等关系）
∴(利用比例式建立了关于x的方程)
∴5x=15-3x，∴x=(解出方程)
∴菱形A BCD的边长为。

四.练习:
1.已知,求的值。

2.已知:如图,△A BC中,DE//BC。

A B=8,A D=5,EC=4,求A E的长
3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。

4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm，求MN的长。

并思考3、4两题有何区别。

5.已知:△A BC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E。

求:A E:EC。

6.已知:如图,△A BC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。

练习参考答案:
1. 2. 3. 4.
3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负; 第4题中MN为线段,只能为正。

5. 提示:
或
作DN//A C交BE于N作CO//BE交A D延长线于O
或或
作AP//BE交CB延长线于P作AQ//BC交BE延长线于Q
结论: A E:EC=3:4
6.DE=6(提示:用方程的思想方法)。