高中数学必修一第一章第一节：集合的表示课件

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用列举法表示集合
[例1] (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x∉B，
则x＝( )
A．1
B．2
C．3
D．9
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(2)用列举法表示下列集合： ①不大于 10 的非负偶数组成的集合； ②方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点组成的集合； ④方程组xx－＋yy＝＝－1，1 的解．
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描述法
[导入新知]
描述法 (1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法． (2) 具 体 方 法 ： 在 花 括 号 内 先 写 上 表 示 这 个 集 合 元 素 的 __一__般__符__号__及_取__值__(或__变__化__)_范__围__，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的_共__同__特__征___．
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[类题通法]
用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．
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[活学活用]
已 知 集 合 A ＝ { － 2 ， － 1,0,1,2,3} ， 对 任 意 a∈A ， 有 |a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
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(2)设集合 B＝x∈N2＋6 x∈N

.

①试判断元素 1,2 与集合 B 的关系；
②用列举法表示集合 B.
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[解析] (1)选 C 观察规律，其绝对值为奇数排列，且正 负相间，且第一个为正数，故应选 C.
(2)[解] ①当 x＝1 时，2＋6 1＝2∈N； 当 x＝2 时，2＋6 2＝32∉N.所以 1∈B,2∉B. ②因为2＋6 x∈N，x∈N，所以 2＋x 只能取 2,3,6.所以 x 只 能取 0,1,4.所以 B＝{0,1,4}．
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2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范 围．
解：A 中至少有一个元素，即 A 中有一个或两个元素． 由例题可知，当 a＝0 或 a＝1 时，A 中有一个元素； 当 A 中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即 a<1. 所以 A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为{a|a≤1}．
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3．若1∈A，则a为何值？ 解：因为 1∈A， 所以 a＋2＋1＝0，即 a＝－3.
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4．是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若 不存在，说明理由．
解：因为 A＝{1}，所以 1∈A，所以 a＋2＋1＝0，即 a＝ －3.
又当 a＝－3 时， 由－3x2＋2x＋1＝0，得 x＝－13或 x＝1， 即方程 ax2＋2x＋1＝0 存在两个根－13和 1，此时 A＝ －13，1，与 A＝{1}矛盾． 故不存在实数 a，使 A＝{1}．
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1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范 围．
解：A 中至多有一个元素，即 A 中有一个元素或没有元素． 当 A 中只有一个元素时，由例题可知，a＝0 或 a＝1. 当 A 中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即 a>1. 故当 A 中至多有一个元素时，a 的取值范围为{a|a＝0 或 a≥1}．
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[解析] (1)选 B 因为 x∈A，所以 x＝1,2,3. 又因为 x∉B，所以 x≠1,3,9，故 x＝2. (2)[解] ①因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大 于 或 等 于 0 的 意 思 ， 所 以 不 大 于 10 的 非 负 偶 数 集 合 是 {0,2,4,6,8,10}． ②方程 x2＝x 的实数解是 x＝0 或 x＝1，所以方程 x2＝x 的 所有实数解组成的集合为{0,1}．
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③将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0,1)，故直 线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．
④解方程组xx－＋yy＝＝－1，1， 得yx＝＝10.， 所以用列举法表示方程组xx－＋yy＝＝－1，1 的解集为{(0,1)}．
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[活学活用]
下列 3 个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？
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解：(1)由于 3 个集合的代表元素互不相同，故它们是互不 相同的集合．
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[化解疑难]
1．描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将 它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来， 即采用描述法．首页上一页下一页末页结束
2．描述法的一般形式 其一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元 素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素 的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来． 一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下 文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.
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[活学活用]
用 列 举 法 表 示 集 合 A ＝ {(x ， y)|y ＝ x2 ， － 1≤x≤1 ， 且 x∈Z}．
解：由－1≤x≤1，且 x∈Z，得 x＝－1,0,1， 当 x＝－1 时，y＝1；当 x＝0 时，y＝0；当 x＝1 时，y＝ 1. 所以 A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．
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[多维探究] 解答上面例题时，a＝0 这种情况容易被忽视，对于方程 “ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是 a＝0，即它是一元一次方 程；二是 a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下， 才能用判别式 Δ 来解决问题． 求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：
第二课时 集合的表示
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列举法
[导入新知]
把集合的元素_一__一__列__举___出来，并用花括号“{}”括起来 表示集合的方法叫作列举法．
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[化解疑难]
使用列举法表示集合的四个注意点 (1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…， an}． (2)元素不重复，满足元素的互异性． (3)元素无顺序，满足元素的无序性． (4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较 合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的 规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为 代表，其他元素用省略号表示．
所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}． ②设被 3 除余 2 的数为 x，则 x＝3n＋2，n∈Z，但元素为 正整数，故 x＝3n＋2，n∈N.所以被 3 除余 2 的正整数集合可 表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． ③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为 0，即 xy＝0， 故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
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(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数 集时可以省略不写．例如，方程 x2－2x＋1＝0 的实数解集可表 示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直 角三角形}，{自然数}．
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[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法 (1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察 即得元素与集合的关系． 例如，集合A＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A. (2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较 复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实 数？是方程？……其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往 往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特 征，即可确定所给元素与集合的关系．
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集合表示的应用
[例 3] (1)集合 A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示 为( )
A．{x|x＝2n±1，n∈N} B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N} C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N} D．{x|x＝(－1)n－1(2n＋1)，n∈N}
(2)集合 A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是 x，且 x∈R，所以{x|y ＝x2＋1}＝R，即 A＝R；集合 B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是 y， 满足条件 y＝x2＋1 的 y 的取值范围是 y≥1，所以{y|y＝x2＋1} ＝{y|y≥1}．
集合 C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足 y ＝x2＋1 的数对．可以认为集合 C 是坐标平面内满足 y＝x2＋1 的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线 y＝x2＋1 的图象．
解：对任意a∈A，有|a|∈B. 因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}， 由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B. 又因为B中只有4个元素， 所以B＝{0,1,2,3}．
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用描述法表示集合
[例 2] (1)用符号“∈”或“∉”填空： ①A＝{x|x2－x＝0}，则 1____A，－1____A； ②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}． (2)用描述法表示下列集合： ①正偶数集； ②被 3 除余 2 的正整数的集合； ③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
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[类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1} 不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝ 2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将 k∈Z 也写进花 括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未说明的字母．
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集合与方程的综合应用
[典例] 集合 A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元 素，求 a 的取值范围．
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[解] 当 a＝0 时，原方程变为 2x＋1＝0， 此时 x＝－12，符合题意； 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 为一元二次方程， 当 Δ＝4－4a＝0，即 a＝1 时，原方程的解为 x＝－1，符合 题意． 故当 a＝0 或 a＝1 时，原方程只有一个解，此时 A 中只有 一个元素．
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(1)[解析] ①将 1 代入方程，成立；将－1 代入方程，不 成立．故 1∈A，－1∉A.
②将 x＝1，y＝2 代入 y＝x＋1，成立，故填“∈”． [答案] ①∈ ∉ ②∈
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(2)[解] ①偶数可用式子 x＝2n，n∈Z 表示，但此题要求 为正偶数，故限定 n∈N*，
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应用 落实体验
(单击进入电子文档)
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