高一数学课件：用二分法求方程的近似解
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3、情感目标： 在问题的发现、探究和论证的过程中，感受成功的体验，激发学 习的兴趣。
四、教学方法和教学手段
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程 中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指出， 学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一。遵 循教师为主导，学生为主体的教学原则，体现知识为载体，思维为主线，能力 为目标的教学思想。二分法是一种方法，具有极强的可操作性，因此，引导学 生自主建构、主动探索比较适合本节课知识特点，由此确定以下教学方法和教 学手段：
重点：二分法基本思想的理解；借助计算器用二分法求所给 方程近似解的步骤和过程的掌握
难点：精确度概念的理解，二分法一般步骤的归纳和概括； 疑点：方程近似解的选取
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二、学情分析和学法指导
1、高一学生通过函数和本章第一节学习，对函数的基 本性质及函数与方程的联系有了初步认识，初步具备了 数形结合思想方法考察问题的能力。
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问题10:
诸葛亮妙算
相传有一天,诸葛亮把将士们召集在一起,说: “你们中间不论谁, 从1~1024中,任意选出一个整数,记在心里,我最多提10个问题,只要求 回答‘是’或‘不是’。10个问题全答完以后，我就会‘算’出你心 里记的是哪个数。” 诸葛亮刚说完，一个谋士站起来说，他已经选 好了一个数。诸葛亮问道：“你这个数大于512？” 谋士答道： “不是。 ”诸葛亮又接连向这位谋士提了9个问题，这位谋士都一一 如实做了回答。诸葛亮听了，最后说:“你记的那个数是1。”
设计意图: 问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发
展的生长点和思维的动力，把问题作为教学出发点，创设 学生熟悉的问题组，构造认知冲突和悬念。
问题1和问题2是书96页例1的改编，意在复习方程的 根和函数零点的联系，问题3则是求解问题2中方程的根。 问题2与问题3构成的问题组是对同一方程从根的个数判断 深入到根的求法,思路自然;学生在解决问题3时,以往解方 程的方法如变形,换元等无法求解方程,引起学生认知冲突, 激起学生进一步探究的欲望.
4.判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点
近似值 a（或 b）；否则重复2～4.
定区间,取中点, 计算中点函数值,
左边异号左有根,
右边异号右有根, 值为零时它就是根, 循环下去何时停, 精确度呀来把关.
(1) 启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程， 倡导布鲁纳的发现教学：让学生作学习的主人。及时 梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成 新的认知结构。
你知道诸葛亮是怎样进行妙算的吗？
5、归纳总结，揭示新知 y
二分法
a
0
b
x
对于在区间 a,b上连续不断且 f a f b 0的函
数 y f x ,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
思考题有助于学生对于二分法在实际生活中的运用， 感受数学思想方法的应用价值。
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作业:
1:（必做）书本102页习题31A组 3－5 2: 阅读课本101页阅读材料《中外历史上的方程
求解》，并搜寻相关资料写数学小论文，参考 题目如下：《我看“逼近思想”》、《“二分法” 的应用》（选做） 《中学数学》2006年第 12期中论文《对新教材中两道例题的解答的反 思》，并提出你的观点。
2、问题调整，引出主题
问题4：函数零点的精确度与函数零点所在范围大小的关系？
a
xo
x
b
x
x x0 b a
设计意图: 一方面将研究问题进一步明确化，另
一方面为引出二分法做铺垫，同时培养学生直观想 象力。利用数轴画图出简图来，直观上就是去探求 零点所处的更小的范围辅助说明，理解为求得方程 更为精确的近似解，即求方程近似解的问题可以转 化为不断缩小零点所在范围或区间的问题。
的近似解（精确度为0.1）
变式1: 精确度改为0.01呢? 变式2: 还有其他根吗? 变式3: 精确度为0.1改为精确到0.1呢?
设计意图:(1)精心设计了阶梯型的变式问题，使学生主动参与教学
活动，思维层层深入，体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。 (2) 例题的变式2是让学生对一个具体函数或方程零点或根的探究有 更完整的认识,变式3又设置了学生熟悉但疑惑的认知冲突,及时释疑 精确到和精确度的联系和区别.
2、积极启发诱导，使学生学会观察问题、探究问题， 自主归纳总结进而得出规律
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三、教学目标分析
1、知识目标： 理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方 法，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
2、能力目标： 利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力，通过让学生概 括二分法思想和步骤培养学生的归纳概括能力；在二分法思想的 探求中培养学生探究问题的能力。
问题6： 如何缩小零点所在区间【a，b】的范围？
问题7： 将一个区间分为两个区间，你会怎么分？
设计意图:由问题5的探究解决水到渠成给出了问题6的
答案，培养学生的思维迁移和转化能力。问题7引导学生从 美的角度提出“取中点”的二分思想，让学生感受数学的 美学情趣。并让学生在自主探索和相互交流的过程中，感 受成功和失败的体验。深刻领悟到数形结合思想和转化的 思想在解决数学问题中所起的作用。
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7、小结评价，作业创新
小结评价: 1:二分法的基本概念 2:用二分法求方程的近似解的步骤，体验其中蕴涵 的算法和逼近思想
课后思考： 现有12个外观完全相同的小球，其中有一个小球的重
量与不合标准（且不知此小球相对于标准的轻重），其余 的小球重量均相同，若你只有一架天平，请你设计一个称 重方案，以最少次数找出这个特殊的小球.
7.评价和说明
1、这节课安排了温故知新、设置冲突；问题调整、直面主题； 创设情境、尝试探求；交流合作，解决问题；归纳总结、揭 示新知；应用新知、练习巩固；小结评价、作业创新等环节。 整堂课围绕数形结合、逼近、化归的数学思想方法这一主题 来展开的。
2、本设计注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体 积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课 堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思想场所。
y
o 2 2.5
3
x
湘潭县一中 马文亮
教材分析
学Βιβλιοθήκη Baidu分析 学法指导
教学 过程
教学目标
教学方法 教学手段
一、教材分析
⒈ 教材的地位和作用
用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。 为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个 层面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二 次函数入手，建立起方程的根和函数的零点的联系。 第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方 程的关系。第三层面，通过建立函数模型以及运用模 型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。
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4、合作交流，解决问题
问题8： 利用二分法不断缩小方程 ln x 2x 6 0
根的所在的范围（2，3）
问题9：当精确度为0.01时，求方程根的近似解。 Excel数据
设计意图:问题9让学生动手操作、主体参与，从不同步
长的数据中选择所需的数据，提高数据处理能力并为问题 10的解决做好脚手架；利用多媒体辅助教学有利于完善学 生认知，深刻体验二分法思想的本质，为学生自身总结归 纳步骤奠定基础，并且提高教学效率。
给定精确度 ,用二分法求函数 f x 零点近
似值的步骤如下:
1.确定区间 a,b ,验证 f a f b 0 ,给定精确度 ;
2.求区间 a,b的中点 c； 3.计算 f c ； （1）若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点；
（2）若 f a f c 0，则令 b c（此时零点 x0 a, c）. （3）若f c f b 0 ，则令 a c（此时零点 x0 c, b）.
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3、创设情境，尝试探求
问题5：2007年12月百年难遇的冰灾正面影响湘潭， 我市某山区发现从电话线路某一处发生了故 障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根 电线杆，维修工人需爬上电话杆测试，问如何 快速找到被毁坏的电话线杆？
设计意图:
(1) 问题情境的创设贴近生活，且恰时恰点，能 够激起学生新的探究激情，引出本课核心的思想 方法―二分法思想。 (2)“给学生提供活动的时（思维时间）空（思 维空间），让主体主动构建自己的认知结构，培 养学生的创造力”这是建构主义的核心观点，它 充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用。
3、教学中注重数学课程和信息技术的整合，利用几何画板软 件、excel软件、ppt课件等，画面丰富生动，使学生的多种 感官获得外部刺激，有利于完善认知结构，提高教学效率。
4、时间大致安排：问题组引入课题约3分钟，问题调整、尝 试探求约9分钟，交流合作、解决问题约10分钟，归纳总结、 揭示新知约5分钟，应用新知、练习巩固约15分钟，小结作业， 问题创新约3分钟，依据上课的具体情况可进行适当的调整。
1 教学方法： 创设问题组，设置认知冲突，采用探索讨论法进行教学，学生主 动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主 体的探究性学习活动。
2 教学手段： 为了解决数值计算复杂和图形难画等困难，借助信息技术如几何 画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。突破本课的教学重点 和难点。
附:板书设计
课题：§3.1.2 用二分法求方程的近似解
1.二分法的概念 …
2.二分法求方程 近似解的步骤 …
例题 …
变式 …
练习 …
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五、教学过程
教学流程图：
温故知新 设置冲突
问题调整 引出主题
小结评价 作业创新
应用新知 练习巩固
创设情境 尝试探求
交流合作 解决问题
归纳总结 揭示新知
1、温故知新、设置冲突
问题1：判断方程 ln x 6 0 根的个数？
问题2：判断方程 ln x 2x 6 0 根的个数？
问题3：试求方程 ln x 2x 6 0 的根？
6、应用新知，练习巩固
练习1:用二分法求函数 f(x) = x3+ 3x - 1在区间
（0，1）内的零点。（精确度为0.1）
练习2:下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
设计意图:练习1是为了巩固二分法求方程近似解的一
般步骤; 练习2是为了让学生明确二分法求近似解的使 用范围，即适用于变号零点的近似解问题。
本课正处于第二个层面，要求学生根据具体函数 的图像，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解， 沟通了函数，方程，不等式等高中的重要内容，同时 为必修3的算法学习做准备。
本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时 也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思 想等数学思想。
⒉ 教材的重点、难点和疑点
(2) 通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般 结论，遵循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了 从“特殊到一般”的推理方法。
(3) 先让学生用自己的语言归纳概括进而转化到形式化的 算法语言，不仅降低步骤归纳的难度，又给二分法的 本质理解提供了时机。
6、应用新知，练习巩固
例: 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x 3x 7
四、教学方法和教学手段
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程 中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指出， 学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一。遵 循教师为主导，学生为主体的教学原则，体现知识为载体，思维为主线，能力 为目标的教学思想。二分法是一种方法，具有极强的可操作性，因此，引导学 生自主建构、主动探索比较适合本节课知识特点，由此确定以下教学方法和教 学手段：
重点：二分法基本思想的理解；借助计算器用二分法求所给 方程近似解的步骤和过程的掌握
难点：精确度概念的理解，二分法一般步骤的归纳和概括； 疑点：方程近似解的选取
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二、学情分析和学法指导
1、高一学生通过函数和本章第一节学习，对函数的基 本性质及函数与方程的联系有了初步认识，初步具备了 数形结合思想方法考察问题的能力。
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问题10:
诸葛亮妙算
相传有一天,诸葛亮把将士们召集在一起,说: “你们中间不论谁, 从1~1024中,任意选出一个整数,记在心里,我最多提10个问题,只要求 回答‘是’或‘不是’。10个问题全答完以后，我就会‘算’出你心 里记的是哪个数。” 诸葛亮刚说完，一个谋士站起来说，他已经选 好了一个数。诸葛亮问道：“你这个数大于512？” 谋士答道： “不是。 ”诸葛亮又接连向这位谋士提了9个问题，这位谋士都一一 如实做了回答。诸葛亮听了，最后说:“你记的那个数是1。”
设计意图: 问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发
展的生长点和思维的动力，把问题作为教学出发点，创设 学生熟悉的问题组，构造认知冲突和悬念。
问题1和问题2是书96页例1的改编，意在复习方程的 根和函数零点的联系，问题3则是求解问题2中方程的根。 问题2与问题3构成的问题组是对同一方程从根的个数判断 深入到根的求法,思路自然;学生在解决问题3时,以往解方 程的方法如变形,换元等无法求解方程,引起学生认知冲突, 激起学生进一步探究的欲望.
4.判断是否达到精确度 ：即若 a b ，则得到零点
近似值 a（或 b）；否则重复2～4.
定区间,取中点, 计算中点函数值,
左边异号左有根,
右边异号右有根, 值为零时它就是根, 循环下去何时停, 精确度呀来把关.
(1) 启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程， 倡导布鲁纳的发现教学：让学生作学习的主人。及时 梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成 新的认知结构。
你知道诸葛亮是怎样进行妙算的吗？
5、归纳总结，揭示新知 y
二分法
a
0
b
x
对于在区间 a,b上连续不断且 f a f b 0的函
数 y f x ,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
思考题有助于学生对于二分法在实际生活中的运用， 感受数学思想方法的应用价值。
返回流程
作业:
1:（必做）书本102页习题31A组 3－5 2: 阅读课本101页阅读材料《中外历史上的方程
求解》，并搜寻相关资料写数学小论文，参考 题目如下：《我看“逼近思想”》、《“二分法” 的应用》（选做） 《中学数学》2006年第 12期中论文《对新教材中两道例题的解答的反 思》，并提出你的观点。
2、问题调整，引出主题
问题4：函数零点的精确度与函数零点所在范围大小的关系？
a
xo
x
b
x
x x0 b a
设计意图: 一方面将研究问题进一步明确化，另
一方面为引出二分法做铺垫，同时培养学生直观想 象力。利用数轴画图出简图来，直观上就是去探求 零点所处的更小的范围辅助说明，理解为求得方程 更为精确的近似解，即求方程近似解的问题可以转 化为不断缩小零点所在范围或区间的问题。
的近似解（精确度为0.1）
变式1: 精确度改为0.01呢? 变式2: 还有其他根吗? 变式3: 精确度为0.1改为精确到0.1呢?
设计意图:(1)精心设计了阶梯型的变式问题，使学生主动参与教学
活动，思维层层深入，体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。 (2) 例题的变式2是让学生对一个具体函数或方程零点或根的探究有 更完整的认识,变式3又设置了学生熟悉但疑惑的认知冲突,及时释疑 精确到和精确度的联系和区别.
2、积极启发诱导，使学生学会观察问题、探究问题， 自主归纳总结进而得出规律
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三、教学目标分析
1、知识目标： 理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方 法，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
2、能力目标： 利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力，通过让学生概 括二分法思想和步骤培养学生的归纳概括能力；在二分法思想的 探求中培养学生探究问题的能力。
问题6： 如何缩小零点所在区间【a，b】的范围？
问题7： 将一个区间分为两个区间，你会怎么分？
设计意图:由问题5的探究解决水到渠成给出了问题6的
答案，培养学生的思维迁移和转化能力。问题7引导学生从 美的角度提出“取中点”的二分思想，让学生感受数学的 美学情趣。并让学生在自主探索和相互交流的过程中，感 受成功和失败的体验。深刻领悟到数形结合思想和转化的 思想在解决数学问题中所起的作用。
返回流程
7、小结评价，作业创新
小结评价: 1:二分法的基本概念 2:用二分法求方程的近似解的步骤，体验其中蕴涵 的算法和逼近思想
课后思考： 现有12个外观完全相同的小球，其中有一个小球的重
量与不合标准（且不知此小球相对于标准的轻重），其余 的小球重量均相同，若你只有一架天平，请你设计一个称 重方案，以最少次数找出这个特殊的小球.
7.评价和说明
1、这节课安排了温故知新、设置冲突；问题调整、直面主题； 创设情境、尝试探求；交流合作，解决问题；归纳总结、揭 示新知；应用新知、练习巩固；小结评价、作业创新等环节。 整堂课围绕数形结合、逼近、化归的数学思想方法这一主题 来展开的。
2、本设计注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体 积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课 堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思想场所。
y
o 2 2.5
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湘潭县一中 马文亮
教材分析
学Βιβλιοθήκη Baidu分析 学法指导
教学 过程
教学目标
教学方法 教学手段
一、教材分析
⒈ 教材的地位和作用
用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。 为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个 层面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二 次函数入手，建立起方程的根和函数的零点的联系。 第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方 程的关系。第三层面，通过建立函数模型以及运用模 型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。
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4、合作交流，解决问题
问题8： 利用二分法不断缩小方程 ln x 2x 6 0
根的所在的范围（2，3）
问题9：当精确度为0.01时，求方程根的近似解。 Excel数据
设计意图:问题9让学生动手操作、主体参与，从不同步
长的数据中选择所需的数据，提高数据处理能力并为问题 10的解决做好脚手架；利用多媒体辅助教学有利于完善学 生认知，深刻体验二分法思想的本质，为学生自身总结归 纳步骤奠定基础，并且提高教学效率。
给定精确度 ,用二分法求函数 f x 零点近
似值的步骤如下:
1.确定区间 a,b ,验证 f a f b 0 ,给定精确度 ;
2.求区间 a,b的中点 c； 3.计算 f c ； （1）若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点；
（2）若 f a f c 0，则令 b c（此时零点 x0 a, c）. （3）若f c f b 0 ，则令 a c（此时零点 x0 c, b）.
返回流程
3、创设情境，尝试探求
问题5：2007年12月百年难遇的冰灾正面影响湘潭， 我市某山区发现从电话线路某一处发生了故 障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根 电线杆，维修工人需爬上电话杆测试，问如何 快速找到被毁坏的电话线杆？
设计意图:
(1) 问题情境的创设贴近生活，且恰时恰点，能 够激起学生新的探究激情，引出本课核心的思想 方法―二分法思想。 (2)“给学生提供活动的时（思维时间）空（思 维空间），让主体主动构建自己的认知结构，培 养学生的创造力”这是建构主义的核心观点，它 充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用。
3、教学中注重数学课程和信息技术的整合，利用几何画板软 件、excel软件、ppt课件等，画面丰富生动，使学生的多种 感官获得外部刺激，有利于完善认知结构，提高教学效率。
4、时间大致安排：问题组引入课题约3分钟，问题调整、尝 试探求约9分钟，交流合作、解决问题约10分钟，归纳总结、 揭示新知约5分钟，应用新知、练习巩固约15分钟，小结作业， 问题创新约3分钟，依据上课的具体情况可进行适当的调整。
1 教学方法： 创设问题组，设置认知冲突，采用探索讨论法进行教学，学生主 动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主 体的探究性学习活动。
2 教学手段： 为了解决数值计算复杂和图形难画等困难，借助信息技术如几何 画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。突破本课的教学重点 和难点。
附:板书设计
课题：§3.1.2 用二分法求方程的近似解
1.二分法的概念 …
2.二分法求方程 近似解的步骤 …
例题 …
变式 …
练习 …
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五、教学过程
教学流程图：
温故知新 设置冲突
问题调整 引出主题
小结评价 作业创新
应用新知 练习巩固
创设情境 尝试探求
交流合作 解决问题
归纳总结 揭示新知
1、温故知新、设置冲突
问题1：判断方程 ln x 6 0 根的个数？
问题2：判断方程 ln x 2x 6 0 根的个数？
问题3：试求方程 ln x 2x 6 0 的根？
6、应用新知，练习巩固
练习1:用二分法求函数 f(x) = x3+ 3x - 1在区间
（0，1）内的零点。（精确度为0.1）
练习2:下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
设计意图:练习1是为了巩固二分法求方程近似解的一
般步骤; 练习2是为了让学生明确二分法求近似解的使 用范围，即适用于变号零点的近似解问题。
本课正处于第二个层面，要求学生根据具体函数 的图像，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解， 沟通了函数，方程，不等式等高中的重要内容，同时 为必修3的算法学习做准备。
本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时 也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思 想等数学思想。
⒉ 教材的重点、难点和疑点
(2) 通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般 结论，遵循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了 从“特殊到一般”的推理方法。
(3) 先让学生用自己的语言归纳概括进而转化到形式化的 算法语言，不仅降低步骤归纳的难度，又给二分法的 本质理解提供了时机。
6、应用新知，练习巩固
例: 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x 3x 7