苏教版八年级下册第11章反比例函数知识要点及经典例题解析

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析
知识要点梳理
知识点一：反比例函数的应用
在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．
知识点二：反比例函数在应用时的注意事项
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．
3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．
知识点三：综合性题目的类型
1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.
2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．
规律方法指导
这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．
经典例题透析
类型一：反比例函数与一次函数相结合
1．（如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．
思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．
解析：（1）∵已知反比例函数经过点，
∴，即
∴
∴A(1，2)
∵一次函数的图象经过点A(1，2)，
∴
∴
∴反比例函数的表达式为，
一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。

即,∴或。

∴或。

∴或
∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，
的取值范围是或。

总结升华：（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息是解决这类问题的关键。

举一反三：
【变式】如图2所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【答案】（1）∵M、N在反比例函数上
设一次函数解析式为
则，解得
故一次函数的解析式为
（2）由图象可知，当时，反比例函数的值大于一次函数的值．类型二：反比例函数与三角形或四边形面积问题
2．如图3，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点。

（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积。

思路点拨：（1）问联立解析式求解（2）问把△AOB的面积分成与之和来解决。

解析：（1）解方程组
得
所以A、B两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2）
（2）因为与y轴交点D的坐标是（0，2），
所以，
所以
总结升华：三角形面积不方便直接求解的时候可以考虑“割”或者“补”的方法，原则是割，补后的三角形易于找底和高。

举一反三：
【变式】如图4，和的图象与的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为，求与有什么关系？
【答案】：设点A的坐标为（），则
在，
所以
同理可得。

所以。

类型三：反比例函数与实际问题相结合
3．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动。

某化工厂2009年1 月的利润为200万元。

设2009年
1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元。

由于排污超标，该从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例。

到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图5）
(1)分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式。

(2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
思路点拨:（1）y与x之间的函数关系式分成和两段分别求解。

（2）令的解析式等于200，可以求出经过几个月，利润达到200万元；（3）找出两段函数等于100的x的值，月份只差就是资金紧张的月份。

解析：（1）当时，设，把（1,200）代入，得k=200,即，
当x=5时，y=40,当时，.
（2）当y=200时，，
所以治污改造工程顺利完工后经过8个月，该厂利润达到200万元。

（3）对于，当y=100时，x=2；对于，
当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月。

总结升华：解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.
举一反三：
【变式1】一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：
（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
（4）画出相应的函数图象．
解析：随着木板面积变小（大），压强p（Pa）将变大（小）．
（1），所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义．
（2），所以面积为时，压强是．
（3）若压强，解得，故木板面积至少要.
（4）函数图象如下图6所示：
【变式2】某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗，如右下图. （1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?
解析：（1）根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为S cm，
漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．
所以，1S d=1000
⋅，
3
3000
．
=
S
d
中，得
（2）根据题意把2
=100cm
S代入3000
S
=
d
3000
．
100=
d
d=（）．
30cm
所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．。