高中数学必修1第一章集合与函数概念专项练习题(附答案)

高中数学必修1第一章集合与函数概念专项练习题
一、单选题
1.若函数f(x)＝ |x +2| 的单调递增区间是（ ）
A. (0,+∞)
B. (−∞,+∞)
C. [2,+∞)
D. [−2,+∞)
2.设全集 U ={-2,-1,0,1,2} ， A ={−2,−1,0} ， B ={0,1,2} ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. {0}
B. {−2,−1}
C. {1,2}
D. {0,1,2} 3.函数 f(x)=2x
e x +e −x 的大致图像是（ ）
A. B. C. D.
4.已知集合A={x|y= √(1−x)(x +3) }，B={x|log 2x≤1}，则A∩B=（ ） A. {x|﹣3≤x≤1} B. {x|0＜x≤1} C. {x|﹣3≤x≤2} D. {x|x≤2}
5.设函数 f(x)={|x +1|,x ≤0,
|log 4x|,x〉0, 若关于 x 的方程 f(x)=a 有四个不同的解 x 1,x 2,x 3,x 4, 且 x 1<x 2<
x 3<x 4, 则 x 3(x 1+x 2)+1
x
3
2x 4 的取值范围是（ ）
A. (−1,72
] B. (−1,72
) C. (−1,+∞) D. (−∞,7
2]
6.已知全集U=N ，集合P ={1,2,3,4,6},P ={1,2,3,5,9}则P ∩(C U Q )=( )
A. {1,2,3}
B. {5,9}
C. {4,6}
D. {1,2,3,4,6} 7.函数 y =
√−x 2−3x+4
的定义域为（ ）
A. (−4，−1)
B. (−4，1)
C. (−1，1)
D. (−1，1]
8.已知实数 a >0 ， a ≠1 ，函数 f(x)=log a |x| 在 (−∞,0) 上是减函数，又 g(x)=a x +1
a x ，则下列选项正确的是( )
A. g(−2)<g(1)<g(3)
B. g(1)<g(−2)<g(3)
C. g(3)<g(−2)<g(1)
D. g(−2)<g(3)<g(1)
9.已知奇函数 y =f(x) 在 (−∞,0) 上单调递减，且 f(1)=0 ，若 a =f(log 31
8) ， b =f(log 214) ， c =f(log 23) ，则 a,b,c 的大小关系是（ ）
A. c <b <a
B. a <b <c
C. a <c <b
D. c <a <b
10.设a=√2+√3 ， M={x|x≤√10}，给出下列关系：
①a ⊂M ； ②M ⊇{a}； ③{a}∈M ； ④{Ф}⊆{a}； ⑤2a ∉M ； 其中正确的关系式共有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 11.集合 A ={−1,0,1,2,3} , B ={x|log 2(x +1)<2} ，则 A ∩
B 等于（ ）
A. {−1,0,1,2}
B. {0,1,2}
C. {−1,0,1,2,3}
D. {0,1,2,3} 12.函数 y =x
e cosx (−π≤x ≤π) 的大致图象为( )
A. B. C. D.
13.若定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是减函数，则有（ ）
A. f （3）＜f （﹣2）＜f （1）
B. f （1）＜f （﹣2）＜f （3）
C. f （﹣2）＜f （1）＜f （3）
D. f （3）＜f （1）＜f （﹣2） 14.设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件，则称f (x )为闭函数.
①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a,b ]⊆D ， 使f (x )在[a,b ]上的值域为[a,b ] ， 如果f (x )=√2x +1+k 为闭函数，那么k 的取值范围是（ ）
A. −1<k ≤−1
2 B. 1
2≤k <1 C. k >−1 D. k ＜1 15.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：
①f （x ）=sinxcosx ； ②f （x ）=2sin （x+π4）；
③f （x ）=sinx+√3cosx ； ④f （x ）=√2sin2x+1． 其中“同簇函数”的是（ ）
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ③④ 16.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A. y =−x 2+1
B. y =lg |x |
C. y =1
x D. y =e −x 17.下列函数中，是偶函数且在区间 (0,+∞) 上为增函数的是（ ） A. y =2ln x B. y =|x 3| C. y =x −1x D. y =cosx
18.已知 f(1
2x −1)=2x +3，f(m)=6 ,则 m 等于（ ） A. −1
4 B. 1
4 C. 3
2 D. −3
2 19.若函数y=x 2﹣3x ﹣4的定义域为[0，m]，值域为 [−254
,−4] ，则m 的取值范围是（ ）
A. （0，4]
B. [−
254
,−4] C. [3
2,3] D. [3
2,+∞)
20.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A. y=x 2+1
B. y=|lgx|
C. y=cosx
D. y=e x ﹣1
二、填空题
21.已知集合A={1，m+2，m 2+4}，且5∈A ，则m=________．
22.已知函数 f(x)={x +1,x ≤1
f(log 2x),x >1 ，则 f(4)= ________； f(x) 的零点为________.
23.函数f （x ）=lg （2sinx ﹣1）的定义域为________．
24.已知函数 f(x) 是定义在R 上的奇函数，当 x ≥0 时， f(x)=2x −c ，则 f(−2)= ________ 25.已知集合 A ={x|x 2−3x +2=0,x ∈R},B ={x|0<x <5,x ∈N} ,则满足条件 A ⊆C ⊆B 的集合 C 的个数为________．
26.若函数 f(x)=lnx −kx 在区间 [1,+∞) 上单调递减，则实数 k 的取值范围是________ 27.设集合A={x|x 2﹣2ax+a=0，x ∈R}，B={x|x 2﹣4x+a+5=0，x ∈R}，若A 和B 中有且仅有一个是∅，则实数a 的取值范围是________．
28.已知函数f （x ）满足f （x ﹣1）=x 2﹣x+1，则f （3）=________． 29.函数 f(x)=lg(x −3)+
(x−2)0x+1
的定义域是________
30.函数 y =√5+4x −x 2 的值域是________．
31.已知函数f （x ）= {log 2(1−x),x ≤0
f(x −1)−f(x −2),x >0
，则f （2016）=________
32.已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x≥0时，f （x ）=x 2﹣3x ．则关于x 的方程f （x ）=x+3的解集为________． 33.如果对定义在R 上的函数f （x ），对任意两个不相等的实数x 1 ， x 2 ， 都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），则称函数f （x ）为“H 函数”．给出下列函数①y=x 2；②y=e x +1；③y=2x ﹣sinx ；④f (x )={ln |x |,x ≠00,x =0
．以上函数是“H 函数”的所有序号为 ________． 34.已知函数f （x ）= {(2−a)x +1(x <1)
a x (x ≥1) 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
35.函数 y =
√3−x
log
2(x+1)
的定义域是________ .
三、解答题
36.设f （x ）=x 2﹣2|x|+3（﹣3≤x≤3） （1）证明f （x ）是偶函数； （2）指出函数f （x ）的单调增区间； （3）求函数f （x ）的值域．
37.已知函数f(x)=(x+1)(x+a)
x
为奇函数. （1）求实数a的值；
（2）当x∈[1
m ,1
n
](m>0,n>0)时，若函数f(x)的值域为[3−3m,3−3n]，求m，n的值.
38.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
39.设函数f(x)=x2−2|x−a|+3,x∈R.
（1）王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；（2）若f(x)是偶函数，求a的值；
（3）在（2）的情况下，画出y=f(x)的图象并指出其单独递增区间.
40.已知集合A={a,b,2}，B={2,b2,2a}，若A=B，求实数a，b的值.
41.设f(x)=1
4x+2
，先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
42.已知函数f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(4−2x)（a>0，且a≠1），设F(x)=f(x)−g(x)．
（1）求函数F(x)的定义域；
（2）求使函数F(x)的值为正数的x的取值范围．
43.求函数y=2x﹣3+ √13−4x的值域．
44.某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB=（1+ √3 ）百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OA 、OC 满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x （3≤x≤6）百米，OC=y 百米．
（1）试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；
（2）当x 取何值时？整个中转站的占地面积S △OAC 最小，并求出其面积的最小值．
45.已知由方程kx 2－8x ＋16＝0的根组成的集合A 只有一个元素，试求实数k 的值．
46.已知 y =f(x) 为二次函数，其图象顶点为 (1,−3) ，且过坐标原点. （1）求 y =f(x) 的解析式；
（2）求 y =f(x) 在区间 [0,m] 上的最大值.
47.设全集U=R ，集合A={x|﹣2＜x ＜2}，集合B={x|x 2﹣4x+3＞0} 求A∩B ，A ∪B ，A∩∁U B ．
48.已知函数 f(x)=√x ， g(x)=|x −2| . （1）求方程 f(x)=g(x) 的解集；
（2）定义： max{a,b}={
a,a ≥b
b,a <b .已知定义在 [0,+∞) 上的函数 ℎ(x)=max{f(x),g(x)} . ①求 ℎ(x) 的单调区间；
②若关于 x 的方程 ℎ(x)=m 有两个实数解，求 m 的取值范围.
49.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补全函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）（x∈R）的递增区间；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的值域；
（3）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
50.已知函数f(x)=|x+1|−|x|.
（1）解关于x的不等式f(x)+f(x−1)<1；
（2）若关于x的不等式f(x)−f(x−1)<m−2|x|有解，求m的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】A
13.【答案】A
14.【答案】A
15.【答案】C
16.【答案】A
17.【答案】B
18.【答案】A
19.【答案】C
20.【答案】C
二、填空题
21.【答案】3或1
22.【答案】2；-1
23.【答案】（π
6+2kπ，5π
6
+2kπ），k∈Z
24.【答案】
25.【答案】4
26.【答案】[1,+∞)
27.【答案】（﹣1，0]∪[1，+∞）
28.【答案】13
29.【答案】(3,+∞)
30.【答案】[0，3]
31.【答案】0
32.【答案】{2+ √7，﹣1，﹣3}
33.【答案】②③
34.【答案】 [ 3
2 ，2） 35.【答案】 (−1,0)∪(0,3] 三、解答题
36.【答案】 （1）证明：f （x ）的定义域为{x|﹣3≤x≤3}，关于原点对称 又f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣2|﹣x|+3=x 2﹣2|x|+3=f （x ），∴f （x ）是偶函数；
（2）解： f(x)={x 2+2x +3=(x +1)2+2(−3≤x ≤0)
x 2
−2x +3=(x −1)2+2(0<x ≤3) 作出函数的图象，如图
，
可知：f （x ）的单调增区间为[﹣1，0]和[1，3]
（3）解：由（2）知，x=±1时，函数取得最小值；x=±3时，函数取得最大值 ∴函数f （x ）的值域为[2，6]．
37.【答案】 （1）解：函数f （x ）的定义域为： {x ∈R|x ≠0} ， f(x)=(x+1)(x+a)
x
=x +a
x
+1+a ，
∴ f(−x)+f(x)=−x −a
x +1+a +x +a
x +1+a =0 ， ∴ a =−1 ；
（2）解：由（1）可知： f(x)=x −1
x ， 显然 f(x)=x −1
x 在 [1m ,1
n ] 上单调递增，
∴
{1
m −m =3−3m 1
n
−n =3−3n
，
∴ m ， n 是方程 2x 2−3x +1=0 的两个实根，且 m >n ， ∴ m =1,n =1
2 .
38.【答案】 解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时， 未租出的车辆数为 ，
所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为
，
整理得
．
所以，当x=4050时，f （x ）最大，最大值为f （4050）=307050，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元 39.【答案】 （1）解：我同意王鹏同学的看法，理由如下： f(a)=a 2+3,f(−a)=a 2−4|a|+3
若 f(x) 为奇函数，则有 f(a)+f(−a)=0 ， ∴a 2−2|a|+3=0
显然 a 2−2|a|+3=0 无解， 所以 f(x) 不可能是奇函数
（2）解：若 f(x) 为偶函数，则有 f(x)=f(−x) ∴2|a|=0 , 解得 a =0 ，
此时 f(x)=x 2−2|x|+3 ，是偶函数.
（3）解：由（2）知 f(x)=x 2−2|x|+3 ，其图象如图所示
其单调递增区间是 (−1,0) 和 (1,+∞) .
40.【答案】 解：由已知 A =B ，得 {a =2a b =b 2 （1）或 {a =b 2b =2a .（2） 解（1）得 {
a =0
b =0 或 {a =0
b =1 ， 解（2）得 {a =0
b =0 或 {a =1
4b =12
，
又由集合中元素的互异性 得 {a =0
b =1 或 {a =1
4
b =
12 . 41.【答案】解：f （0）+f （1）= ， 同理可得：f （﹣1）+f （2）= ，f （﹣2）+f （3）=
．
一般性结论：
或写成“若x 1+x 2=1，则f （x 1）+f （x 2）=
．”
证明： =
=
42.【答案】 （1）解：∵函数 f(x)=log a (x +1) ， g(x)=log a (4−2x) ∴ F(x)=f(x)−g(x)=log a (x +1)−log a (4−2x) ∴其定义域满足： {x +1>0
4−2x >0 ，解得 −1<x <2
∴函数 F(x) 的定义域为 (−1,2)
（2）解：要使函数 F(x) 的值为正数，等价于 f(x)>g(x) ，即 log a (x +1)>log a (4−2x) . ①当 a >1 时，可得 x +1>4−2x ，解得 x >1 . ∵定义域为 (−1,2)
∴实数 x 的取值范围是 (1,2)
②当 0<a <1 时，可得 x +1<4−2x ，解得 x <1 . ∵定义域为 (−1,2)
∴实数 x 的取值范围是 (−1,1)
综上，当 a >1 时，解集为 (1,2) ；当 0<a <1 ，解集为 (−1,1) 43.【答案】解：令
则
，t≥0 ∴y=
﹣3+t=﹣
t 2+t+
=﹣ （t ﹣1）2+4（t≥0）
根据二次函数的性质可知，当t=1即x=3时，函数有最大值4 故答案为：（﹣∞，4]
44.【答案】 （1）解：结合图形可知，S △BOC +S △AOB =S △AOC ．
于是， 1
2 x （1+ √
3 ）sin30°+ 1
2 y （1+ √
3 ）sin45°= 1
2 xysin75°，
解得：y= √2x
x−2 ，（其中3≤x≤6）
（2）解：由（1）知，y= √2x x−2 （3≤x≤6），
因此，S △AOC = 12 xysin75°
= 1+√34 • x 2x−2
= 1+√34
[（x ﹣2）+ 4x−2 +4] ≥2+2 √3 （当且仅当x ﹣2= 4x−2 ，即x=4时，等号成立）．
∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S △OAC 最小，最小面积是（2+2 √3 ）×104平方米． 45.【答案】解：当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，
所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.
当k≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有一个实根，
需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.
此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A 中只有一个元素4.
综上可知k ＝0或1
46.【答案】 （1）解：设 f(x) 解析式为： f(x)=a(x −1)2−3 ∵f(x) 过坐标原点 ∴f(0)=a −3=0 ，解得： a =3
∴f(x)=3(x −1)2−3=3x 2−6x
（2）解：由（1）知： f(x) 为开口方向向上，对称轴为 x =1 的二次函数 ①当 0<m <2 时， f(x)max =f(0)=0 ，当 m =2 时， f(x)max =f(0)=f(m)=0 ， ②当 m >2 时， f(x)max =f(m)=3m 2−6m
47.【答案】解：全集U=R ，集合A={x|﹣2＜x ＜2}，
集合B={x|x 2﹣4x+3＞0}={x|x ＜1或x ＞3}，
所以A∩B={x|﹣2＜x ＜1}，
A ∪B={x|x ＜2或x ＞3}，
∁U B={x|1≤x≤3}，
所以A∩∁U B={x|1≤x ＜2}
48.【答案】 （1）解：当 x ≥2 时，方程 f(x)=g(x) 为 √x =x −2 ，即 (√x −2)(√x +1)=0 ，解得 x =4 ，
当 0≤x <2 时，方程 f(x)=g(x) 为 √x =2−x ，即 (√x +2)(√x −1)=0 ，解得 x =1 ， 综上，方程 f(x)=g(x) 的解集为 {1,4} .
（2）解：① f(x)≥g(x)⇒1≤x ≤4 ， f(x)<g(x)⇒0≤x <1 或 x >4
所以 ℎ(x)=max{f(x),g(x)}={2−x,0≤x <1
√x,1≤x ≤4x −2,x >4 ，
所以， ℎ(x) 的单调递增区间为 [1,+∞) ，单调递减区间为 [0,1) .
②由①知 ℎ(x)min =ℎ(1)=1 ， ℎ(0)=2 ，当 1<m ≤2 时，方程 ℎ(x)=m 有两个实数解， 综上，实数 m 的取值范围为 (1,2] .
49.【答案】 （1）解：根据偶函数的图象关于y 轴对称，作出函数在R 上的图象， 结合图象可得函数的增区间为（﹣1，0）、减区间为（1，+∞）
（2）解：结合函数的图象可得，当x=1，或 x=﹣1时，函数取得最小值为﹣1， 函数没有最大值，故函数的值域为[﹣1，+∞）
（3）解：当x ＞0时，﹣x ＜0，再根据x≤0时，f （x ）=x 2+2x ，
可得f （﹣x ）=（﹣x ）2+2（﹣x ）=x 2﹣2x ．
再根据函数f （x ）为偶函数，可得f （x ）=x 2﹣2x ．
综上可得，f （x ）= {x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x ＞0
50.【答案】 （1）解： f(x)+f(x −1)<1⇔|x +1|−|x −1|<1
⇔{x ⩽−1−x −1−1+x <1 或 {−1<x <1x +1−1+x <1 或 {x ⩾1x +1−x +1<1
⇔x ⩽−1 或 −1<x <12⇔x <12
所以，原不等式的解集为 (−∞,12)
（2）解： f(x)−f(x −1)<m −2|x| 有解
即 |x +1|+|x −1|<m 有解
则 m >(|x +1|+|x −1|)min 即可.
由于 |x +1|+|x −1|⩾|(x +1)−(x −1)|=2 ，
当且仅当 (x +1)(x −1)≤0 ，即当 −1≤x ≤1 时等号成立，故 m >2 . 所以， m 的取值范围是 (2,+∞) .。