人教高中数学A版必修一课件 第1章 1.1集合的概念 第2课时 集合的表示

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[解] (1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10，所以 A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于 8 的质数有 2,3,5,7， 所以 B＝{2,3,5,7}． (3)方程 2x2－x－3＝0 的实数根为－1，32， 所以 C＝－1，23.
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些简单集合．(重点、难点)
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自主预习 探新知
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1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用 花括号“{}” 括起来表示集 合的方法叫做列举法． 2．描述法 一般地，设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
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3．一次函数 y＝x－3 与 y＝－2x 的图象的交点组成的集合是( )
D [由yy＝＝x－－23x，， 得
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
x＝1， y＝－2，
∴两函数图象的交点组
C．{(－2,1)}
成的集合是{(1，－2)}．]
D．{(1，－2)}
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1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是 解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合 的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化 思想和分类讨论的思想．
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1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合 元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．
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[解] (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝ 2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则 方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1， 此时集合A＝{4}，满足题意．
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3．用描述法表示不等式 4x－5<7 {x|x<3} [用描述法可表示为
的解集为________．
{ x|x< 3} ．]
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合作探究 提素养
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用列举法表示集合 【例 1】 用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于 10 的非负偶数组成的集合 A； (2)小于 8 的质数组成的集合 B； (3)方程 2x2－x－3＝0 的实数根组成的集合 C； (4)一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的图象的交点组成的集合 D.
4．设集合 A＝{x|x2－3x＋a＝0}， [解] ∵4∈A，∴16－12＋a＝ 若 4∈A，试用列举法表示集合 A. 0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－ 1,4}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
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学习目标
核心素养
1.初步掌握集合的两种表示方法 1.通过学习描述法表示集合的方法，
——列举法、描述法，感受集合语言 培养数学抽象的素养．
的意义和作用．(重点) 2．借助描述法转化为列举法时的运
2．会用集合的两种表示方法表示一 算，培养数学运算的素养.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
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1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”， 其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故
k≠0， Δ＝64－64k>0，
即k<1且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}．
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(4)由yy＝ ＝x－＋23x， ＋6， 得xy＝ ＝14， . 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)， 所以D＝{(1,4)}．
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用列举法表示集合的 3 个步骤 1求出集合的元素； 2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3用花括号括起来. 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合， 一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{2，3， 5，－1}.
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用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合． [解] (1){x∈R|1<x<10}． (2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}． (3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所
以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2
＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集
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描述法表示集合的2个步骤
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2.用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
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[解] (1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为 {(x，y)|y＝－2x2＋x}．
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1．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组2x－x＋y＝y＝18， 的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合N.
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[解] (1)满足－2≤x≤2 且 x∈Z 的元素有－2，－1,0,1,2， 故 A＝{－2，－1,0,1,2}． (2)方程(x－2)2(x－3)＝0 的解为 x＝2 或 x＝3， ∴M＝{2,3}． (3)解2x－x＋y＝y＝18，， 得xy＝ ＝32， ， ∴B＝{(3,2)}． (4)15 的正约数有 1,3,5,15，故 N＝{1,3,5,15}．
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2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元 素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根． ①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意； ②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64 －64k≥0，即k≤1. 综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
A．{(－2,2)} B．{－2,2}
C．{－2}
D．{2}
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2．用描述法表示函数 y＝3x＋1
C [该集合是点集，故可表示
图象上的所有点的是( )
为{ (x，y)|y＝3x＋1} ，选C.]
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
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思考：(1)不等式 x－2<3 的解集中的元素有什么共同特征？ (2)如何用描述法表示不等式 x－2<3 的解集？ 提示：(1)元素的共同特征为 x∈R，且 x<5. (2){x|x<5，x∈R}．
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B [由x2＝4得x＝± 2，故用列 1．方程 x2＝4 的解集用列举法表 举法可表示为{ －2,2} ．] 示为( )
合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物
线y＝x2＋1上的点}．
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
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【例3】 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素， 求实数k的值组成的集合．
[思路点拨] A中只有一个元素 等―价―转→化 方程kx2－8x＋16＝0只有一解 分―类―讨→论 求实数k的值
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集合表示方法的综合应用 [探究问题] 下面三个集合： ①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？
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提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的
2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特 别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1){1}＝1.( ) (2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．( ) (3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．( ) (4){x|x2＝1}＝{－1,1}．( )
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[来自百度文库案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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2．由大于－3 且小于 11 的偶数
D [由题意可知，满足题设条
所组成的集合是( )
件的只有选项D，故选D.]
A．{x|－3<x<11，x∈Z}
B．{x|－3<x<11}
C．{x|－3<x<11，x＝2k}
D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即 {x|x<4}．
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为 x，y0≤x≤32，0≤y≤1 .
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合 是{x|x＝12n，n∈N*}．