中考数学专题：弧长及扇形的面积

中考数学专题：弧长及扇形的面积
聚焦考点☆温习理解 1．弧长及扇形的面积
(1)半径为r ,n °的圆心角所对的弧长公式：l ＝
n πr
180
； (2)半径为r ,n °的圆心角所对的扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝1
2lr ．
2．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,若设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,那么这个扇形的半径为
l ,扇形的弧长为2πr .
(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ； (2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl ＋πr 2． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法；
(4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 名师点睛☆典例分类
考点典例一、弧长公式的应用
【例1】（浙江省金华市第五中学九年级上册期末模拟）已知扇形的圆心角为45°,半径长为10,则该扇形的弧长为（ ） A.
34
π
B. 52
π
C.
3π D. 94
π 【答案】B
【解析】试题解析：根据弧长公式：l=
45105
=1802
ππ⨯.
故选B．
【点睛】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．
【举一反三】
（江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学九年级下学期二模）如图,在6×6的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,其中A、B、C为格点．作△ABC的外接圆⊙O,则弧BC的长为（）
A.
5
2
π B.
5
4
π C.
3
2
π D.
3
4
π
【答案】A
【解析】
考点典例二、扇形面积的计算
【例2】（广东省汕头市龙湖区九年级5月模拟）已知圆心角为120°的扇形面积为12π,那么扇形的弧长为( )
A. 4
B. 2
C. 4π
D. 2π 【答案】C
【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式可得： 2
12012π360
r π⨯⨯=,则r=6,根据弧长的计
算公式可得： πr 1206
l 4π180180
n π⨯=
==. 【点睛】本题主要考查的就是扇形的面积计算公式和弧长的计算公式,属于简单题.扇形的面积
计算公式为： 2π1
S lr 3602
n r =
= (S 为扇形的面积,l 为扇形的弧长,n 为扇形所对的圆心角的度数,r 为扇形所在的圆的半径),弧长的计算公式为： πr
l 180
n =
(l 为扇形的弧长,n 为扇形所对的圆心角的度数,r 为扇形所在的圆的半径).在计算的时候我们一定要根据实际题目选择合适的公式进行计算. 【举一反三】
（辽宁营口第12题）如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD 垂直平分OB ,垂足为点E ,连接OD 、BC ,若BC =1,则扇形OBD 的面积为 ．
【答案】
6
π
．
考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质． 考点典例三、扇形面积公式的运用
【例3】（重庆市南岸区南开（融侨）中学中考数学二模）如图,等边△ABC 内接于⊙O ,已知⊙O 的半径为2,则图中的阴影部分面积为（ ）
A. 8
23
3
π
- B.
4
3
3
π
- C.
8
33
3
π
- D.
93
4
4
π-
【答案】A
【解析】解：连接OB、OC,连接AO并延长交BC于H,则AH⊥BC．
∵△ABC是等边三角形,∴BH=3
AB=3,OH=1,∴△OBC的面积=
1
2
×BC×OH=3,则△OBA的
面积=△OAC的面积=△OBC的面积=3,由圆周角定理得,∠BOC=120°,∴图中的阴影部分面积
=
2
2402
23
360
π⨯
-=
8
23
3
π-．故选A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算,掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．
【举一反三】
(苏州市张家港梁丰初中初三数学期末）如图,半径为1的四个圆两两相切,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵半径为1的四个圆两两相切,
∴四边形是边长为2的正方形,圆的面积为π,
阴影部分的面积=2×2−π=4−π,
故选A.
考点典例四、圆锥的侧面展开图
【例4】（江苏省苏州市虎丘区立达中学中考二模）圆锥的底面半径为4cm,高为3cm,则它的表面积为（）
A. 12π cm2
B. 20π cm2
C. 26π cm2
D. 36π cm2
【答案】D
【点睛】本题考查了圆锥的计算,勾股定理,圆的面积公式,圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2的应用．
【举一反三】
（内蒙古乌兰察布市集宁七中中考数学一模）将一个半径为R,圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠）,设圆锥底面半径为r,则R与r的关系正确的是（）
A. R=8r
B. R=6r
C. R=4r
D. R=2r
【答案】C
【解析】试题解析：根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长,则
扇形的弧长是：90π
2π180
R
r
=，
即π
2π
2
R
r
=，
∴R=4r.
故选C.
考点典例五、求阴影部分的面积
【例5】(陕西西安市西北工业大学附属中学九年级五模)如图,在中,,,以中点为圆心,作圆心角为的扇形,点恰好在上,下列关于图中阴影部分的说法正确的是（）．
A. 面积为
B. 面积为
C. 面积为
D. 面积随扇形位置的变化而变化
【答案】C
【解析】作于,于,连接,如图所示：
∵,,
∴,
,
,
∴,
∴四边形是正方形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴≌,
∴四边形的面积正方形的面积,
又∵,,
∴,
∴．
∴．
故选．
【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题,正确证明
△DMG≌△DNH,得到S
四边形DGCH =S
四边形DMCN
是解题的关键．
【举一反三】
（湖南省张家界市永定区中考数学一模）已知：AB是⊙O的直径,直线CP切⊙O于点C,过点B 作BD⊥CP于D．
（1）求证：CB2=AB•DB；
（2）若⊙O的半径为2,∠B CP=30°,求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）阴影部分的面积=2
33
π-
【解析】试题分析：（1）由CP 是 ⊙O 的切线,得出∠BCD=∠BAC,AB 是直径,得出∠ACB=90°,所以∠ACB=∠CDB=90°,得出结论△ACB ∽△CDB,从而得出结论；
（2）求出△OCB 是正三角形,阴影部分的面积=S 扇形OCB -S △OCB =2
π33
-．
试题解析：
(1)提示：先证∠ACB=∠CDB=90°, 再证∠BAC=∠BCD, 得△ACB ∽△CDB, ∴
2CB AB
,CB AB DB DB CB
==⋅即
(2)解：如图,连接OC,
∵直线CP 是⊙O 的切线,∠BCP=30°, ∴∠COB=2∠BCP=60°, ∴△OCB 是正三角形, ∵⊙O 的半径为2,
∴S △OCB 3扇形OCB =
260πr 2
π3603
=, ∴阴影部分的面积=S 扇形OCB －S △OCB =2
π33
课时作业☆能力提升
1. （广东省中考数学学业一模）三角板ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°3,三角板绕直角顶点C 逆时针旋转,当点A 的对应点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动,则B 点转过的路径长为（ ）
A. 3
2
π B.
4
3
3
π C. 2π D. 3π
【答案】C
2.（江苏省苏州市高新区初中毕业暨升学考试模拟）如图,菱形ABCD放置在直线l上(AB与直线l重合),AB＝4,∠DAB＝60°,将菱形ABCD沿直线l向右无滑动地在直线l上滚动,从点A 离开出发点到点A第一次落在直线l上为止,点A运动经过的路径总长度为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画出图形即可知道,从点A离开出发点到A第一次落在直线上为止,点A运动经过的路径的长度为图中的弧线长,由此即可解决问题.
解：如图,从点A离开出发点到点A第一次落在直线l上为止,点A运动经过的路径的长度为图
中的弧线长.
由题意可知=,∠DOA
2
=120°,DO=4,
所以点A运动经过的路径的长度=,
故选D.
3.（浙江省金华市第五中学九年级上册期末模拟）如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为（）
A. π﹣ 4
B. 2
1
3
π- C. π﹣
2 D. 2
2 3
π-
【答案】C
【解析】试题解析：∵∠BAC=45°, ∴∠BOC=90°,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∵OB=2,
∴△OBC的BC边上的高为：
2
2
2,
∴2
∴S
阴影=S
扇形OBC
﹣S
△OBC
=
2
9021
2222
3602
π
π
⨯
-⨯=-.
故选C．
4. （山东省临沂市临沭县青云镇中心中学九年级第一次模拟）如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,∠CDB ＝30°,CD ＝23 ,则阴影部分图形的面积为（ ）
A. 4π
B. 2π
C. π
D.
23
π 【答案】D
【解析】连接OD .
∵CD ⊥AB ,
∴CE =DE =12
CD 3 (垂径定理), 又∵∠CDB =30°,
∴∠COB =60°(圆周角定理),
∴OC =2,
故COE BED OBD S S S S ∆∆=-+阴影扇形
6041136022OE EC BE ED π⨯=
-⋅+⋅ 2333π=- 3π=
故选：D.
5. （福建省漳州一中分校九年级数学综合）如果圆锥的母线长为6cm,底面圆半径为3cm,则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. 9πcm 2
B. 18πcm 2
C. 27πcm 2
D. 36πcm 2
【答案】B
【解析】底面圆半径为3cm,则底面周长=6π,圆锥的侧面积=×6π×6=18πcm2．
故选B．
6.（年辽宁省鞍山二十中中考数学模拟）一个圆锥形的零件,如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4cm的等边三角形,那么圆锥的表面积是（）
A. 8πcm2
B. 10πcm2
C. 12πcm2
D. 16πcm2
【答案】C
7.（天津市东丽区立德中学中考数学模拟）已知如图,圆锥的母线长6cm,底面半径是3cm,在B 处有一只蚂蚁,在AC中点P处有一颗米粒,蚂蚁从B爬到P处的最短距离是（）
A. 33cm
B. 35cm
C. 9cm
D. 6cm
【答案】B
【解析】∵圆锥的侧面展开图是一个扇形,设该扇形的圆心角为n,
则：n r
180
π
=
1
2
×2×3π,其中r=3,
∴n=180°,如图所示：
由题意可知,AB⊥AC,且点P为AC的中点, 在Rt△ABP中,AB=6,AP=3,
∴22
AB AP
+5
故蚂蚁沿线段Bp爬行,路程最短,最短的路程是35cm．
8.（吉林省长春市中考数学模拟）如图,在小正方形的边长都为1的方格纸中,△ABO的顶点
都在小正方形的顶点上,将△ABO绕点O顺时针方向旋转90°得到△A
1B
1
O,则点A运动的路径长
为_____．
【答案】5
9.（湖北省黄冈市白莲中学中考数学三模）如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC 的夹角为120°,AB长为30cm,AD长为12cm,则贴纸（两面贴）的面积是_____cm2．
【答案】504π
【解析】试题解析：设AB=R,AD=r,则有
S
贴纸=2（
1
3
πR2-
1
3
πr2）
=2
3
π（R2-r2）
=2
3
π（R+r）（R-r）
=2
3
π（30+12）（30-12）
=504π（cm2）．故答案为504π．
10.（辽宁省营口市大石桥市水源镇中考数学模拟）如图,△ABC中,∠C=90°,tanA=4
3
,以C
为圆心的圆与AB相切于D．若圆C的半径为1,则阴影部分的面积S=_____．
【答案】256 24
π
-
【解析】连接CD,
∵以C为圆心的圆与AB相切于D,⊙C的半径为1,∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,CD=1,S
扇形CEF =
2
901
3604
ππ
⨯
=,
∵tanA=
4
3
CD
AD
=,CD=1,
∴AD=3
4
,
∴在Rt△ADC中,由勾股定理可得：AC=5
4
,
又∵在Rt△ABC中,tanA=
4
3 BC
AC
= ,
∴BC=5
3
,
∴S
△ACB =
1
2
AC•BC=
25
24
,
∴S
阴影=S
△ABC
﹣S
扇形CEF
=
25256
24424
ππ
-
-=.
故答案为：256
24
π
-
.
11.（广东省韶关市南雄市中考数学模拟）如图,三个同心圆扇形的圆心角∠AOB为120o,半径
OA为6cm,C、D是圆弧AB的三等分点,则阴影部分的面积等于_____cm2．
【答案】4π
【解析】解：扇形面积=4036
360
π⨯
=4π（cm2）．
12.（广东省东莞市中堂六校中考数学三模）如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB=12cm,将△ABC以点B为中心顺时针旋转,使点C旋转到AB边延长线上的点D处,则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是_____cm2．（结果保留π）．
【答案】36π
【解析】∵∠C是直角,∠ABC=60°,
∴∠BAC=90°﹣60°=30°,
∴BC=AB=×12=6cm,
∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE,
∴S
△BDE =S
△ABC
,∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=120°,
∴阴影部分的面积=S
扇形ABE +S
△BDE
﹣S
扇形BCD
﹣S
△ABC
=S
扇形ABE ﹣S
扇形BCD=
-=48π﹣12π=36πcm2
点睛：能根据题意确定出出阴影部分的面积=S
扇形ABE ﹣S
扇形BCD
,是解题的关键.
13.（安徽省六安八中中考数学模拟）如图,在直角坐标系中,点P的坐标为（3,4）,将OP绕原点O逆时针旋转90°得到线段OP′．
（1）在图中画出线段OP′；
（2）求P′的坐标和'
PP的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）52
π. 【解析】试题分析： （1）按要求在图中画出线段OP ′即可；
（2）①根据（1）中所画线段OP ′对照图形写出点P ′的坐标即可；②先由点P 的坐标计算出OP 的长,然后根据弧长公式： l 弧长=
180
n r π计算即可. 试题解析：
（1）所画线段OP′如下图：
（2）①由图可知：点P′的坐标为（﹣4,3）；
②∵点P 的坐标为（3,4）,
∴22345+=,
又∵旋转角∠POP′=90°,
∴l 弧长PP ′=90551802
ππ⨯=. 14.（浙江省湖州市九校九年级四月联合模拟）如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切于点D,CE ⊥AD,交AD 的延长线于点E ．
（1）求证：∠BDC=∠A;
（2）若3求AD 的长,
（3）在（2）的条件下,求弧BD 的长。

【答案】（1）证明见解析；（2）43（3）2
π
3
试题解析：()1证明：连接OD,
∵CD是O切线,
∴90
∠=︒,
ODC
即90.
∠+∠=
ODB BDC
∵AB为O的直径,
∴∠=
90,
ADB
即90
∠+∠=，
ODB ADO
BDC ADO ∴∠=∠，
OA OD =，
ADO A ∴∠=∠，
.BDC A ∴∠=∠
()2CE AE ⊥，
90E ADB ∴∠=∠=， DB EC ∴，
DCE BDC ∴∠=∠， BDC A ∠=∠，
A DCE ∴∠=∠，
E E ∠=∠，
AEC CED ∴∽， .CE AE DE CE
∴= 2EC DE AE ∴=⋅，
(()222AD ∴=+，
4.AD ∴=
()3 在直角ACE 中
, CE tan A AE ∠=== 30A ∴∠=，
260,DOB A ∴∠=∠=
tan 433
BD AD A =⋅∠=⨯= OBD ∴是等边三角形,
则OD BD ==
则BD
的长是60π3180= 15.（辽宁营口大石桥市水源镇九年一贯制学校中考数学模拟） 如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 分别交线段BC,AC 于点D,E,过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,线段FD,AB 的延长线相交于点G ．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=2,DF=23,求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
8
83
3
π
-.
【解析】（1）连接AD、OD,由AB为直径可得出点D为BC的中点,由此得出OD为△BAC的中位线,再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF,从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF=1,DF=3,通过解直角三角形得出CD=2、∠C=60°,从而得出△ABC为等边三角形,再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．
（1）证明：连接AD、OD,如图所示．
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,∵AC=AB,
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点,
∴OD为△BAC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线．。