三角函数 ppt课件

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数学教育方法的核心是学生的再创 造. 教师不应该把数学当作一个已经完 成了的形式理论来教，不应该将各种定 义、规则、算法灌输给学生，而是应该 创造合适的条件，让学生在学习数学的 过程中，用自己的体验，用自己的思维 方式，重新创造有关的数学知识.
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课堂教学内容组织主要形式为： 问题情境 →学生活动 →意义建构 →数学理论→数学运用 →回顾反思
教学时应当把握好这种变化，遵循 “标准”所规 定的内容和要求，不要随意补充已被删减的知识 点．也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题 目．
例如：求定义域、值域; 已知 sin a=m 求的其他三角函数值; 用诱导公式进行复杂变换的问题等．
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（4）但是也不能放松基本的技能训练，应该让学生 记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系
（2）求该物体在t＝5s时的位置．
用什么模型描述物体的运动？
如何确定模型中的参数？
已知条件“物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时1．在图1中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置， 取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm， 周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开 始计时．
tan(＋k)＝tan，k∈Z
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例 求下列函数的周期：
①
f(x)＝sin
1 2
x；
②
g(x)＝sin(
1 2
x－
4
)；
③
h(x)＝2sin(
1 2
x－
4
)；
T＝4 T＝4 T＝4
④ f(x)＝Asin(x＋)，其中A≠0，
T＝
2 ||
＞0．
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加强几何直观，强调形数结合的思想
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问题
终边的的 位置关系
对称的位 置关系
三角函数值之间 的关系
诱导公式
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四、教学建议
准确把握教学要求
（1）与过去的教材相比，新教材强调了三角函数 是一种“数学模型”．
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（2）与以往的三角函数内容相比较，本章提出了 对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认识 的要求，加强了对借助单位圆理解三角函数的概 念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际 问题等内容．
式，能用五点法画出正（余）弦函数的图象等， 因为这是利用三角函数解决问题的基础．
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注意从数学模型的角度来认识三角函数， 突出数学思想方法在数学模型建构中的作 用．
（1）要突出数学模型思想．教学中应当充分利用章 引言提供的情境，引导学生利用学习《函数》的经验， 自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，使 学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函 数的意识，在此基础上，要充分注意运用三角函数模 型解决实际问题的教学，使学生经历运用三角函数模 型描述周期现象、解决实际问题的全过程．
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④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，
sin x/cos x=tan x．
⑤结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义； 能借助计算器或计算机画出
y=Asin（ωx+φ）的图象．
观察参数A，ω ，φ对函数图象变化的影响．
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角 函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
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三角函数 平面上的向量（简称平面向量） 三角恒等变换
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课标要求
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的 重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的 作用．在本模块中，学生将通过实例，逐步理解 三角函数的概念及其基本性质，认识三角函数与 实际生活的联系，体会三角函数在解决具有周期 变化规律的问题中的作用．
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（3）“标准”删减了任意角的余切、正割、余割， 已知三角函数求角，反三角函数符号等内容．
“标准”降低了对任意角概念，弧度制概念，同 角三角函数的基本关系式，诱导公式，三角函数 的奇偶性的要求．
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这样的处理，把重点放在使学生理解三角函数 及其基本性质、体会三角函数在解决具有周期变 化规律的问题中的作用上，而对一些细枝末节的 内容不再作过多要求．
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案例：用集合与对应的函数观点看三角函
数，这是一种“多对一”的函数；用函数 研究中的基本问题（对应关系、定义域、 值域、表示方法、图象，性质等）来理解 学习三角函数的进程；在讨论y=Asin(ωx+φ) 的图象时，渗透函数变换与图象变换 (平移、 伸缩)的关系．（需要注意分寸）
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三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研 究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现 了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步 的联系．
在本章中，充分渗透了数形结合的思想． 一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽 象数学概念的作用．
（1）在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位 圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函 数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关 系式以及三角函数的图象．
把6种三角函数减为3种等等． 意图：一方面可以让学生利用已有的经验，掌握
学习的主动权，发现数学知识的联系，加深对知 识的理解；另一方面又突出了基本的数学思想和 数学地研究问题的方法，有利于正确的数学观念 的形成．
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突出周期性
本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现 象的数学模型”，在教材中，突出了周期性，把它看成是 教材出发点和归属． 教材P4引言中“日出日落，寒来暑往…等” 生活中的摩天轮的运动圆周上的点的运动 “周而复始” “周期现象” “三角函数的应用”
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以问题为中心，充分发挥理性思维在建构 数学模型中的作用．
恰当地使用信息技术．
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案例：三角函数的应用
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例1．在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置， 取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm， 周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开 始计时． （1）求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的 函数关系；
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2．教科书的的特点
苏教版教材把本章定位为“展示建构刻
画周期性现象的数学模型的（思维）过 程”，为了保证这个定位的落实，或者说， 作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的 特点．
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采用以问题链为线索的呈现方式．
既然教材要展示“思维过程”，而思维是从问
题开始的，思维的过程就是不断地提出问题， 解决问题的过程．所以教材采用了以问题链展 开的呈现方式．注意提出问题的环节，注意问 题间的逻辑联系，强化目标（建构刻画周期性 现象的数学模型）的指向作用．
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（2）通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式． （3）借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单
调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；
另一方面以数助形，例如应用三角函数的周 期性来简化函数图象的作图．
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案例 诱导公式的推导
提出问题：由三角函数的定义可以知道：终边相 同的角的同一三角函数值相等．除此以外还有一 些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐 标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三 角函数值之间具有什么样的关系呢？
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第一章 三角函数 （约16课时）
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一、本章结构
周期现象
任意角
弧度
三角函数
三角函数线
同角三角函数关系 诱导公式 三角函数图象性质
综合运用
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二、内容与要求
（1）任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度 的互化．
（2）三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余
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案例：任意角三角函数
任意角三角函数概念无疑是本部分的核心概 念．苏教版的教材和其它的教材一样是在讲了 “任意角”、“弧度制”以后，通过对锐角三角 函数的考察后建立起任意角三角函数的概念 的．应该指出的，尽管在建立三角函数概念的程 序上看起来是相同的，只是在具体的处理方法上 有些“微妙“的差异，可是不应该小看了这里的 差异，因为这些差异正是对教材不同定位的表 现．
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三、本章内容的定位
1．引言 提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，
圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子．
提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性
运动？
明确任务：建构这样的数学模型．
教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）
研究．
教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究
的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的 （思维）过程．
y
4
O2 5 8
x
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y
4
O2 5 8
x
注：
①定义域向数轴两端无限延伸；
②周期有无数个 ——最小正周期；
③不是所有的周期函数都有最小正周期．
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三角函数的周期性： ① f(x)＝sinx 最小正周期：2 ② f(x)＝cosx 最小正周期：2 ③ f(x)＝tanx 最小正周期：
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以“数学地研究”的一般程序来组织、选 取教学内容．
实际问题 －建立数学模型 －数学模型进行研究 －利用数学模型解决实际问题
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教材充分发挥学习“函数”一章的 经验在建构 “刻画周期性现象的数学模型”中的作用，在结 构上尽可能地与“函数”一章相同．
为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材 对传统的教学内容做了“强干削枝”的处理．如 抽出“三角变换”的内容，另立一章；
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三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利 于发展学生的推理能力和运算能力．在本模块中， 学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换 公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式， 并能运用这些公式进行简单的恒等变换，发展学 生的推理和运算能力．
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本章结构 内容和要求 本章内容的定位 教学建议
弦、正切）的定义．
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二、内容与要求
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 （π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切），能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数 的周期性． ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、 最大和最小值、图象与x轴交点等）．
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教材中的问题链
（1）720°是怎样的一个角？ （2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？ （3）在本章引言中，我们用（r，l）表示点P，那
么r，l与α之间具有怎样的关系？ （4）用怎样的数学模型建立(x，y)与(r， α)之间的
关系？
（5）怎样将锐角的三角函数推广到任意角？
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向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一， 它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有 着极其丰富的实际背景．在本模块中，学生将了 解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算 的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和 物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问 题的能力．
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回顾说明： 注意简谐振动中的振幅、周期、频率、初 相的意义； 本题的难点在于初相的确定； 书写函数解析式时，需要根据自变量的实 际意义，书写定义域.
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例2．如图2，某地一天从6～14时的
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（2）要充分发挥形数结合思想方法在本章 的运用．发挥单位圆、三角函数线、图象 的作用．
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（3）运用和深化函数思想方法．
三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个 基本初等函数，教学中应当注意引导学生以数学l 中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识， 即在函数观点的指导下，学习三角函数，这对进 一步理解三角函数概念，理解函数思想方法对提 高学生在学习过程中的数学思维水平都是十分重 要的．
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案例：三角函数的性质
在很多教材中，总是通过作出三角函数的 图象，然后再由图象的观察得到三角函数 的性质的．对此，苏教版的教材做了不同 的处理．
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y
4 3
O 12 5 8
x
已知 f(1)＝3，f(37)＝? “周而复始，重复出现”
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对于 函数f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个x，都满足： f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)叫做周期函 数．T叫做这个函数的周期．