黑龙江省双鸭山市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

高一数学（理）下学期期末考试题
（时间：120分钟总分：150分）
一、选择题（包括1--12小题，每小题5分，共60分）
1．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．在中，分别是角的对边，若则（）
A . B. C. D. 以上答案都不对
3．在空间直角坐标系中，，在点关于面对称的点的坐标为（）
A. B. C. D.
4．不等式的解集是（）
A. B. C. D.
5．设实数满足约束条件，则的最大值为（）
A．10 B．8 C．3 D．2
6．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，
则该锥体的俯视图可以是（）
7．四面体ABCD中，公共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，6，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()
A．B．C．D．
8．已知等比数列数列满足，，则（）
A．21 B．42 C．63 D．84
9．如图所示，棱长皆相等的四面体中，为的中点，
则与所成角的余弦值是( )
α∙A
B ∙
β
A. B. C. D.
10. 设是等比数列的前项和，成等差数列，且
，则等于（）
A．6 B．C． D ．10
11.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则此人将（）
A.不能作出满足要求的三角形
B. 作出一个钝角三角形
C.作出一个直角三角形
D. 作出一个锐角三角形
12．圆锥的底面半径为，母线长是底面圆周上两动点，过作圆锥的截面，当的面积最大时，截面与底面圆所成的（不大于的）二面角等于（）
A．B．C．D．
二、填空题（包括13--16小题，每小题5分，共20分）
13.正方形的边长为2，利用斜二测画法得到的平面直观图的面积为________.
14．设，且，则的最小值为____________________.
15．如图，二面角的大小是30°，线段.，
与所成的角为60°.则与平面所成的角的正弦值是 .
16．如图，为正方体，下面结论中正确的是
________________________（把你认为正确的结论序号都填上）
①平面；②平面；
③与底面所成的角的正切值是；
④二面角的正切值是；
⑤过点与异面直线和成角的直线有2条.
三、解答题（包括17—22小题，共70分）
17．（10分）关于的不等式的解为.
（1）求的值；（2）求关于的不等式的解集.
18．（本题12分）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.
（1）求证：平面；
（2）设为的中点，为的重心，
求证:面平面.
19．（本题12分）已知中，对边分别为，是边上的中线，.
（1）若且，求的长；（2）若，求的最大值．
20．（本题12分）如图所示, 四棱锥底面是直角梯形, 底面,为的中点,
（1）证明:;
（2）证明:;
（3）求三棱锥的体积.
21．（本题12分）设数列的前项和为，点在直线上，设，是数列的前项和。

（1）求数列的通项公式；
（2）求使得对所有的都成立的最小正整数；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；
若不存在，请说明理由．
22．（本题12分）如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角的平面角的正切值；
（3）求点到平面的距离．
A
B
D
1
A 1
B
1
C
高一数学期中考试答案
二、填空题（5分×4=20分）
13、-2n+4 14、6 15、 16、
三、解答题（70分）
17、（10分）
18、（12分）（1）增区间：，减区间：
（2）
19、（12分）
20、（12分）（1）直线的直角坐标方程为：；
曲线的直角坐标方程为：；
（2）距离最大值为1.5，最小值为0
21、（12分）22、设数列的前项和为，点在直线上。

（1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和。

（3）设，是数列的前项和，求使得对所有的都成立的最小正整数。

解：（1）由题意得，，即，故是等差数列，且
（2）
()()(
)()12
1
12
11232
23
22
3222
322
4
n
n n
n
n T n n ++∴-=⨯+++
--⋅=+++
--⋅
- ，从而 （3）()()()()143441111332312313231n n n n n a n n c a n n +-+-⎛⎫
=
===--+ ⎪+⎝⎭
又恒成立，则恒成立，所以
22. 17．【解析】：（1）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连． 是正三角形，．
又底面侧面，且交线为． 侧面．
连，则直线与侧面所成的角为． 在中，，解得．
此正三棱柱的侧棱长为． ……………………………………4分 注：也可用向量法求侧棱长． （2）[传统法]：过作于，连， 侧面．
为二面角的平面角． 在中，，又 ， ． 又 在中，．
故二面角的平面角的正切为3． ……………………………………9分
[向量法]：（见后）
（3）解法1：由（2）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面． 在中，．
为中点，点到平面的距离为． ……………………………………14分。