广东省2013-2014学年高一数学寒假作业(三)

某某省2013-2014学年高一寒假作业（三）数学
一、选择题
1．函数33)(3--=x x x f 有零点的区间是（ ）
A ．（－ 1 ，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3） 2．对于函数
，下列结论中正确的是： A ．当
上单调递减 B ．当上单调递减
C ．当上单调递增
D ．
上单调递增 3．方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．函数的图像大致形状是（ ）
5．的解集是方程组⎩⎨⎧=+-=+0
302y x y x ( ) A ．{－1，2}
B ．(－1,2)
C ．{(－1,2)}
D ．{(x,y)|x= －1或y=2}
6．方程31()02
x x -=的根个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
7．函数x
2x ln )x (f -=的零点所在的大致区间是（ ） A ．
)2,1( B ． )e ,2( C ． )3,e ( D ． ),e (+∞
8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8
x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品为（ ）
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
二、填空题
9．(5分)对于定义域和值域均为
的函数，定义，，…，
，n=1，2，3，…．满足
的点称为f 的阶周期点．
(1）设则f 的阶周期点的个数是___________; (2）设
则f 的阶周期点的个数是__________ .
10．(5分)已知对于任意的a ∈R ，关于x 的方程14204
x x a a b +---+=总有实根，则实数b 的取值X 围是．
11．(5分) 已知函数21,0()1,0
x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩,若()3f m =,则实数m 的值为.
12．(5分)已知
⎩⎨⎧∉-∈=]1,0[,2]1,0[,1)(x x x x f ，若1)]([=x f f 时，∈x 。

13．(5分)长为6米、宽为4米的矩形，当长增加x 米，且宽减少
2
x 米时面积最大，此时宽减少了________米，面积取得了最大值。

14．(5分)在一定X 围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨700元，那么客户购买400吨，单价应该为 元.
三、解答题(本题包括 3 小题,共 35 分)
15．(14分)(本小题满分14分) 求2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件。

16．(8分)（本小题满分8分）某车间生产某机器的两种配件A和B，生产配件A成本费y与该车间的工人人数x成反比，而生产配件B成本费y与该车间的工人人数x成正比，如果该车间的工人人数为10人时，这两项费用y和y分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，该车间的工人人数x应为多少？
17．(13分)(本题满分13分)一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时8元，而其他与速度无关的费用是每小时128元．
(1）求轮船航行一小时的总费用与它的航行速度（公里/小时）的函数关系式；
(2）问此轮船以多大的速度航行时，能使每公里的总费用最少？
18．(12分)(12分)已知函数f(x)＝
x
ax b
(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程
f(x)＝x有唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．
19．(10分)设P ：二次函数
34)(2++-=a x x x f 在区间]1,1[-上存在零点；Q ：函数14)8(31)(23+-++-=x x a x x g 在R 内没有极值点．若“P 或Q ”为真命题，“P 且Q ”为假命题，某某数a 的取值X 围.
20．(13分)（本题满分13分）
为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为：
[)[]⎪⎩
⎪⎨⎧∈+-∈+=50,30,16004030,10,64025
123x x x x x y ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.
(Ⅰ)当[]50,30∈x 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
(Ⅱ） 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.
某某省2013-2014学年高一寒假作业（三）数学
一、选择题(本题包括 4 小题,共 20 分)
1．D
【解析】因为根据零点存在性定理可知，f(2)=8－6－3<0,f(3)=27－9－3>0，因此可知，区间端点值函数值异号，因此可知零点的区间是（2,3）,故选D
2．A
【解析】因为函数，因此可知函数分解为
都是在上递减的，因此结合单调性的性质可知成立。

对于上不是单调的，故错误
选项C中，对于，可知函数递增区间为，错误
选项D中，上单调递增，不一定成立。

只有a<0或者a=0成立
故选A. 3．C 【解析】由x 3－6x 2+9x －10=0得，x 3=6x 2－9x+10，画出y=x 3,y=6x 2－9x+10的图象，可知由图得一个交点．
故选C 。

．
4．B
【解析】易知：
所以x ＞0时，图象与y=a x 在第一象限的图象一样，x ＜0时，图象与y=a x 的图象关于x 轴对称，故选B ．
5．C
【解析】因为方程2x+y=0,x －y+3=0,组成的方程组表示的为两条直线的交点，联立方程组可知，交点坐标为（－1,2），因此解集是{(－1,2)}，选C
6．B
【解析】方程31()2x x =的根的个数，实质就是函数3y x =与1()2x y =的图像交点的个数，分别作出这两个函数的图像可知这两个函数只有一个交点，因而此方程只有一个实数根.
7．B
【解析】因为根据零点存在性定理可知，f(2)=ln2－1<0,f(e)=1－
2e >0,故可知零点的大致区间为
)e ,2(，选B.
8．B
【解析】因为由题意可知，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 1(800)8=+x y x ,那么可知当函数值最小时,x=80,故选B.
二、填空题(本题共 5 分)
9．2,4
【解析】（1）当x∈[0，1]时，=，由=x 得，x=0,1，f 的1阶周期点的
个数是2；当x∈[0，1]时，=，由=x ，得x=0,1，所以f 的阶周
期点的个数是2.
（2）当x∈[0，]时，f 1（x ）=2x=x ，解得x=0，
当x∈（，1]时，f 1（x ）=2－2x=x ，解得x=
，∴f 的1阶周期点的个数是2；
当x∈[0，]时，f 1（x ）=2x ，f 2（x ）=4x=x ，解得x=0； 当x∈（，]时，f 1（x ）=2x ，f 2（x ）=2－4x=x ，解得x=
；
当x∈（ ，
]时，f 1（x ）=2－2x ，f 2（x ）=－2+4x=x ，解得x=
；
当x∈（
，1]时，f 1（x ）=2－2x ，f 2（x ）=4－4x=x ，解得x=
．∴f 的2阶周期点
的个数是22
=4． 故答案为2，4． 10．1[,+)4
∞
【解析】因为对于任意的a ∈R ，关于x 的方程1
4204
x
x
a a
b +--
-+=总有实根，则可知分离参数1424
++=-
+x x
b a a 方程有解，则可知1
(42)4=-+-+x x b a a 通过求
解值域得到X 围是1
[,+)4
∞ 11．2±
【解析】因为函数21,0
()1,0
x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩，由于()3f m =，那么21-x =3，x=－2,或者
x+1=3,x=2,综上可知，实数m 的值为2± 12．}5{]3,2[]1,0[ 【解析】因为⎩⎨
⎧∉-∈=]
1,0[,2]1,0[,
1)(x x x x f ，那么要满足
f[f (x)]1f (x)[0,1],x [0,1],x 2[0,1],x 5=∴∈∈-∈=或，这样解得x 的取值X 围是
}5{]3,2[]1,0[
13．0.5（或
1
2
米） 【解析】由题意有：设面积为y ，则2
1(6)(4)24(08)2
2
x y x y x x x =+-⇒=-++<< 当1x =米时，2max 1242y =米 则0.52x =米。

故填0.5（或1
2
米）。

14．5000
【解析】本试题主要是考查了待定系数法的函数解析式的求解和运用。

购买1000吨，每吨为800元，1000=800k+b ； 若购买2000吨，每吨为700元，2000=700k+b ． 解方程组1000=800k+b ，2000=700k+b
得到k=－10，b=9000函数关系式为y=－10x+9000．当y=400时，解得x=5000．故答案为单价应是5000元，故答案为5000元。

三、解答题(本题包括 3 小题,共 35 分) 15．1a ≤。

【解析】（1）0a =时为一元一次方程，其根为1
2
x =-
，符合题目要求；…..3分 （2）当0a ≠时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判断式0∆≥，即440a -≥，从而1a ≤。

………….6分
①又设方程2210ax x ++=的两根为12,x x ，则由韦达定理得121221
,x x x x a a
+=-
=。

因而方程2210ax x ++=有一个负实根的充要条件是1
10a a ≤⎧⎪
⎨<⎪⎩
，得0a <。

……..9分
①②方程2
210ax x ++=有两个负根的充要条件是12010a a a
⎧⎪≤⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎪⎩，即01a <≤。

….12分
综上，2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是：1a ≤………..14分 16．当车间的工人人数为5人时，两项费用之和最少。

【解析】由题意可得，－－－－－－－－－－－－－－－－－4分
设两项费用之和为y,则y=y1+y2=
当且仅当－－－－－－－－－－－－－－－－－8分
答：当车间的工人人数为5人时，两项费用之和最少。

17．(1) (2) 此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小
【解析】 (1)设船速度为x公里/小时（x>0）时，燃料费用为Q元， (1分)则(2分)
.(6分)
(2)由(1)知,每公里的总费用 (9分)
(10分) 令,得
∴当x=20时，y取得最小值 (11分)
∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小．(13分)
18．f(x)＝
2
2
x
x+
，f[f(－4)]＝
4
3
.
【解析】本试题主要是考查了函数的解析式的求解和运用。

先分析f(x)＝
x
ax b
+
且f(2)
＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．
故(b －1)2
－4a×0＝0，即b ＝1，进而得到a 的值，得到解析式，并求解函数值。

解：∵f(x)＝
x
ax b
+且f(2)＝1，∴2＝2a ＋b. 又∵方程f(x)＝x 有唯一实数解． ∴ax 2
＋(b －1)x ＝0(a≠0)有唯一实数解．
故(b －1)2
－4a×0＝0，即b ＝1，又上式2a ＋b ＝2，可得： a ＝
12，从而f(x)＝112
x x +＝22x x +，
∴f(－4)＝
()2442⨯--+＝4，f(4)＝86＝43，即f[f(－4)]＝4
3
.
19．]0,6()8,10[-⋃--。

【解析】先求出p,q 为真时对应的a 的取值X 围，然后根据“P 或Q ”为真命题，“P 且Q ”为假命题确定p,q 一真一假，从而分两种情况：p 真q 假或p 假q 真两种情况研究出a 的取值X 围，最后求并集即可.
因为函数34)(2
++-=a x x x f 的对称轴是x ＝2，所以f(x)在区间[－1,1]上是减函数．又函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有
⎩⎨
⎧≥-≤0
)1(0
)1(f f ,…………………2分
即⎩
⎨⎧≥+++≤++-03410341a a ，解得：08≤≤-a .
即P ：08≤≤-a .8:-<⌝
a p ，或0>a ………………………4分 又函数14)8(3
1)(23
+-++-
=x x a x x g 在R 内没有极值点，则函数)(x g 在R 上是单调函数,而4)8(2)('2
-++-=x a x x g ，需016)8(42
≤-+=∆a ，解得：610-≤≤-a 即Q ：610-≤≤-a .⌝Q ：10-<a 或6->a …………8分
由题设“P 或Q ”为真命题，“P 且Q ”为假命题知：p 、Q 一真一假…………9分
①当p 真Q 假时，需⎩
⎨⎧->-<≤≤-6100
8a a a 或得：06≤<-a ………………10分
②当p 假Q 真时，需⎩
⎨⎧-≤≤->-<6100
8a a a 或得：810-<≤-a ………………12分
综上，实数a 的取值X 围为]0,6()8,10[-⋃--……………………13分 20．（Ⅰ）国家至少需要补贴700元，才能使工厂不亏损 ；
（Ⅱ）[)[]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈-+∈+==50,30,401600
30,10,640
251)(2x x x x x
x x y x P ；见解析。

【解析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
（2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．
（Ⅰ）当[]50,30∈x 时，设该工厂获利为S ，则
700)30()160040(2022---=+--=x x x x S ……（2分）
所以当[]50,30∈x 时，,0<S 因此，该工厂不会获利
所以国家至少需要补贴700元，才能使工厂不亏损 ……（4分）
（Ⅱ）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
[)[]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈-+∈+==50,30,401600
30,10,640
251)(2x x x x x
x x y x P ……（6分）。