2019年福建省三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试(含答案)

2012年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试
数 学 试 题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
友情提示：
1.作图或画辅助线等需用签字笔描黑.
2.未注明精确度的计算问题，结果应为准确数.
3.抛物线()的顶点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--a
b a
c a b 4422
，，对称轴a b x 2-=.2y ax bx c =++0a ≠一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确选项，请在答题卡
的相应位置填涂）1. 在－2，－
，0，2四个数中，最大的数是( ▲ )1
2
A. －2
B. －
C. 0
D. 2
1
2
2．据《2011年三明市国民经济和社会发展统计公报》数据显示，截止2011年末三明市常住人口约为2 510 000人，2 510 000用科学记数法表示为（▲）A ． B ． 425110⨯525.110⨯C ．
Ｄ．
62.5110⨯70.25110⨯3．如图，AB //CD ，∠CDE =，则∠A 的度数为（▲）140︒A ． B ． C ． D ．140︒60︒50︒40︒
4．分式方程
的解是(▲) 52
3x x
=+A ． B ． C ． D ．2x =1x =1
2
x =2
x =-5．右图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（▲）
6．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为（▲）720︒
A
．
4
B ．5
C ．6
D ．7
7．下列计算错误的是(▲)
A B C D ==2==8．如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OA =1，∠AOB =，则图
60︒
中阴影部分的面积是（▲）
A B 16π1
3π
C D 1
6
π-13
π-9．在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们
除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（▲）
A ．
B ．
C ．
D ．
23594
91310．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在轴上，
x 若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（▲）
A ． 2个
B ． 3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11．分解因式：= ▲ ．
2x xy +12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，
若BC =6，则DE = ▲ ．
13．某校九（1）班6位同学参加跳绳测试，他们的成绩
（单位：次/分钟）分别为：173，160，168，166，175，168．这组数据的众数是 ▲ ．
14．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，∠BDE =∠CDF ，
请你添加一个条件，使DE =DF 成立．你添加的条件是 ▲
．
(不再添加辅助线和字母)15．如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线2
(0)y x
x
=
>上，且AB //轴，点P 是轴上的任意一点，
4
(0)y x x
=>y y 则△PAB 的面积为 ▲ ．
16．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，
a 的值是 ▲ ．
三、解答题（共7题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）17. (本题满分14分）
（1）计算：
；（7分）011
1)22
--+--
（2）化简：．（7分）2112(
)4416
x x x +÷-+-18. (本题满分16分)
（1）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来；（8分）　
231,110.2
x x -≤⎧⎪
⎨+>⎪⎩（2）如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－2，－1），B （－3，－3），
C （－1，－3）.
①画出△ABC 关于轴对称的△，并写出点的坐标；（4分）x 111A B C 1A ②画出△ABC 关于原点O 对称的△，并写出点的坐标.
（4
分）
222A B C 2A
19. (本题满分10分)
为了解某县2012年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生有___▲名；（2分）
（2）补全条形统计图；（2分）
（3）在抽取的学生中C级人数所占的百分比是__▲；（2分）
（4）根据抽样调查结果，请你估计2012年该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数．（4分）
20．(本题满分10分)
某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．
（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（5分）
（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？
可获得最大利润为多少元？（5分）
21. (本题满分10分)
如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆
经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知∠A =，∠B =，αβ且2+=．
αβ90︒ （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（5分）
（2）若OA =6，，求BC 的长．（5分）
3
sin 5
β=22．（本题满分12分）
已知直线与轴和轴分别交于点A 和点B ，抛物线的顶点25y x =-x y 2y x bx c =-++M 在直线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ．（1）如图①，当点M 与点A 重合时，求：
①抛物线的解析式；（4分）
②点N 的坐标和线段MN 的长；（4分）
（2）抛物线在直线AB 上平移，是否存在点M ，使得△OMN 与△AOB
2y x bx c =-++相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）
23．（本题满分14分）
在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上（不含点B ），∠BPE ＝
∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G ．1
2
（1） 当点P 与点C 重合时（如图①）．求证：△BOG ≌△POE ；（4分）
（2）通过观察、测量、猜想：= ▲ ，并结合图②证明你的猜想；（5分）
BF
PE （3）把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB =，
α求的值．（用含的式子表示）（5分） BF PE
α
2012年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试
数学试卷参考答案及评分标准
说明：以下各题除本参考答案提供的解法外，其他解法参照本评分标准，按相应给分点评
分.一、选择题(每小题4分，共40分)
1. D
2. C
3. D
4. A
5. B
6. C
7. B
8. C
9. A 10. C 二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 12. 3 13. 168 14. 答案不唯一；如：AB =AC ；或∠B =∠C ；
()x x y +或∠BED =∠CFD ；或∠AED =∠AFD 等；15. 1 16. 900三、解答题（共86分）17．（1）解：原式= ……………6分11
122
+
- =1. ……………7分
（2）解法一：原式= ……………2分11(4)(4)()442x x x x +-+⋅-+ = ……………6分44
22
x x +-+ =. ……………7分
x 解法二：原式=
……………4分
(4)(4)(4)(4)
(4)(4)2
x x x x x x ++-+-⋅
+-
=
……………6分44
2
x x ++- =.
……………7分 x 18．解：（1）解不等式①，得 ，
……………2分2x ≤解不等式②，得 -2.
……………4分
x >
不等式①，②的解集在数轴上表示如下：
……………6分
所以原不等
式组的解集为．
22x -<≤……………8分
（2）①如图所示，；
1(2, 1)A -画图正确3分，坐标写对1分；②如图所示，． 2(2, 1)A 画图正确3分，坐标写对1分；
19．解：（1）100； …………2分
（2）如图所示； …………4分
（3）30%； …………6分 （4）1430×20%＝286（人） …………9分 答：成绩为A 级的学生人数约为286人．…10分
20．解：（1）解法一：设A 种商品销售x 件，
则B 种商品销售（100- x ）件． ……………1分 依题意，得
……………3分
1015(100)1350x x +-= 解得x =30．∴ 100- x =70． ……………4分 答：A 种商品销售30件，B 种商品销售70件. ……………5分 解法二：设A 种商品销售x 件， B 种商品销售y 件． ……1分
依题意，得
……………3分
100,
10151350.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得
……………4分
30,
70.x y =⎧⎨=⎩
答：A 种商品销售30件，B 种商品销售70件. ……………5分
（2）设A 种商品购进x 件，则B 种商品购进（200- x ）件．………6分
依题意，得0≤ 200- x ≤3x
解得 50≤x ≤200 ……………7分 设所获利润为w 元，则有
w =10x +15（200- x ）= - 5x +3000 ……………8分
∵- 5＜0，∴w 随x 的增大而减小. ∴当x =50时，所获利润最大
=2750元. ……………9分
5503000w =-⨯+最大 200- x =150.
答：应购进A 种商品50件，B 种商品150件，
可获得最大利润为2750元.
……………10分
21.(1)证明:证法一：连接OC (如图①)，∴∠BOC =2∠A=2，
……2分α∴∠BOC+∠B=2+=90．∴∠BCO =90．即OC ⊥BC ．
……4分
αβ︒︒∴BC 是的⊙O 切线． ……5分证法二：连接OC (如图①)， ∵ OA =OC ， . ∴∠ACO =∠A =．
……1分α ∵ ∠BOC =∠A+∠ACO=2， ……2分α
∴∠BOC+∠B=2+=90． ……3分αβ︒ ∴∠BCO =90．即OC ⊥BC ．
……4分 ︒∴BC 是的⊙O 切线． ……5分证法三：连接OC (如图①)，
∵OA =OC ，∴∠OCA =∠A =. ……1分
α在△ACB 中，
∠ACB =－（∠A +∠B ）=－（+）180︒180︒αβ∴∠BCO =∠ACB －∠ACO =－（+）－180︒αβα
=－（2+）. ……3分
180︒αβ∵2+=90,∴∠BCO .即OC ⊥BC ． ……4分αβ︒90= ∴BC 是⊙O 的切线. ……5分证法四：连接OC ，延长BC (如图②)，∴∠ACE =∠A +∠B =+. …… 1分αβ又∵OA =OC ，∴∠OCA =∠A =.
…… 2分
α
∴∠OCE =∠OCA +∠ACE =++=2+=. … 4分
ααβαβ90 即OC ⊥BC .∴BC 是⊙O 的切线. … 5分
证法五：过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OC (如图③)，在△AEB 中，∠EAB +∠B =90. …… 1分Rt ︒
∵∠CAB =，∠B =，且 2+=90，
αβαβ︒∴∠EAB =2.∴∠EAC =∠CAB =. …… 2分αα∵OC =OA ,
∴∠OAC =∠OCA =，∠EAC =∠OCA . …… 3分α∴OC//AE . ∴OC ⊥BC . …… 4分∴BC 是⊙O 的切线. …… 5分(2)∵OC =OA =6，由(1)知，OC ⊥BC ，在△BOC 中，
Rt =，∵=，∴=． …… 8分sin βOC OB sin β35356
OB ∴OB =10．
…… 9分
∴BC ==8．
…… 10分
22．（1）解：①∵直线与轴和 轴交于点A 和点B ，
25y x =-x y ∴，． ……1分
5
(,0)2
A (0,5)
B -解法一：当顶点M 与点A 重合时，∴. ……2分
5
(,0)2
M ∴抛物线的解析式是：．即． ……4分
25(2y x =--225
54
y x x =-+-解法二：当顶点M 与点A 重合时，∴. ……2分
5
(,0)2
M ∵ ， ∴.
5
2(1)2
b -
=⨯-5b =又∵，∴.
……3分
2
4(1)04(1)
c b ⨯--=⨯-254c =-∴抛物线的解析式是：． ……4分
225
54
y x x =-+-
②∵N 在直线上，设，又N 在抛物线上，25y x =-(,25)N a a -225
54
y x x =-+-
∴． ……5分
225
2554a a a -=-+-
解得 ， （舍去）
112a =25
2a =∴． ……6分
1
(,4)2N -过N 作NC ⊥轴，垂足为C (如图①)．x ∵，∴．
1(,4)2N -1
(,0)2C ∴． ． ……7分4NC =51
222MC OM OC =-=-=
∴． ……8分
MN ===（2）存在.
………………10分
1(2,1),M - . ………………12分
2(4,3)M
23.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合,
∴OB =OP ， ∠BOC =∠BOG =90°． ……2分
∵PF ⊥BG ，∠PFB =90°，
∴∠GBO =90°—∠BGO ，∠EPO =90°—∠BGO ，
∴∠GBO =∠EPO ． ……3分
∴△BOG ≌△POE ． ……4分
（2）． ……5分
1
2BF
PE =证明：如图②，过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，
∴∠PNE =∠BOC =90°， ∠BPN =∠OCB ．
∵∠OBC =∠OCB =， ∴ ∠NBP =∠NPB ．
45︒∴NB =NP ．
∵∠MBN =90°—∠BMN ， ∠NPE =90°—∠BMN ，
∴∠MBN =∠NPE ．
……6分∴△BMN ≌△PEN ．
……7分
∴BM =PE ．∵∠BPE =∠ACB ， ∠BPN =∠ACB ，
1
2∴∠BPF =∠MPF ．
∵PF ⊥BM ，∴∠BFP =∠MFP =. 又PF =PF ，
90
∴△BPF ≌△MPF ． ……8分
∴BF =MF ． 即BF =BM ．∴BF =PE ． 即． ……9分121212
BF PE =（3）解法一：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，
∴∠BPN =∠ACB =，∠PNE =∠BOC =90°.
……10分α由（2）同理可得BF =BM ， ∠MBN =∠EPN ． ……11分12
∵∠BNM =∠PNE =90°，
∴△BMN ∽△PEN ． ……12分
∴． ……13分BM BN PE PN
=在△BNP 中，， Rt tan BN PN
α=∴．即．tan BM PE α=2tan BF PE
α=∴． ……14分1tan 2
BF PE α=解法二：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴BO ⊥PM ，∠BPN =∠ACB =. ……10分α∵∠BPE =∠ACB=，PF ⊥BM ，1212
α∴∠EPN=. ∠MBN =∠EPN=∠BPE=. 12α12
α设，
,,BF x PE y EF m ===在△PFB 中， ， ……11分
Rt tan 2BF PF α
=∵PF =PE +EF =，∴ ……12分y m +()tan
2x y m α=+在△BFE 中，， ∴.Rt tan
2EF m BF x α==tan 2m x α=⋅∴. .(tan )tan 22x y x α
α
=+2tan tan 22x y x α
α
=⋅+⋅.
……13分2(1tan )tan 22x y α
α-=⋅∴ . 即. ……14分
2tan 21tan 2x y αα=-2tan 21tan 2BF PE αα
=-解法三：如图③，过P 作PM //AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴ ∠BNP =∠BOC =90°.
∴ ∠EPN +∠NEP =90°.
又∵BF ⊥PE ，∴
∠FBE +∠BEF =90°.
∵∠BEF =∠NEP ，∴ ∠FBE =∠EPN .
…… 10分
∵PN //AC ，∴∠BPN =∠BCA =.
α又∵∠BPE =∠ACB=，∴∠NPE =∠BPE =.1212α12
α∴∠FBE =∠BPE =∠EPN =.12
α∵ ，∴ . …… 11分
sin BF FPB BP ∠=sin 2BF BP α=∵ ，∴ . …… 12分cos PN EPN PE ∠=
cos 2
PN PE α=⋅∵ ，∴ . …… 13分cos PN NPB BP
∠=cos PN BP α=⋅∴ . ∴ .cos cos 2EP BP αα⋅=⋅cos cos 2sin 2BF EP ααα
⋅=⋅∴ . …… 14分sin cos 22cos BF PE ααα⋅=。