高中数学人教B版选修1-1学案：第一单元 疑难规律方法 第一章 Word版含答案

1解逻辑用语问题三绝招

1．利用集合——理清关系

充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：

①A是B的充分条件，即A⊆B.

②A是B的必要条件，即B⊆A.

③A是B的充要条件，即A＝B.

④A是B的既不充分也不必要条件，

即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．

或

例1“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

解析设命题p ：“x 2－3x ＋2≥0”，q ：“x ≥1”对应的集合分别为A 、B ，则A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ＝{x |x ≥1}，显然“A B ，B A ”，因此“x 2－3x ＋2≥0”是“x ≥1”的既不充分也不必要条件．

答案既不充分也不必要

2．抓住量词——对症下药

全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．

例2(1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．

(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________．

解析(1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时，

(x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0，即a ≤1.

命题q ：即方程有解，Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0，

解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1.

(2)命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0，

即4－a ≥0，即a ≤4.命题q 同(1)．

综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4.

答案(1)(－∞，－1](2)(－∞，－1]∪[2,4]

点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．

3．等价转化——提高速度

在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．

例3设p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，

x －2y ＋6≥0，

q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r 的取

值范围．

分析“q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ⊆∁R B 出发解题．

解设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合．

∵A ⊆∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ，

∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r ，

∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离

d ＝|－12|32＋42＝125

，∴r 的取值范围为0<r ≤125. 点评若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，

x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．

2判断条件四策略

1．应用定义

如果p ⇒q ，那么称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件．判断的关键是分清条件与结论．

例1设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的____________条件．

解析条件p ：x ∈M 或x ∈P ；结论q ：x ∈P ∩M .

若x ∈M ，则x 不一定属于P ，即x 不一定属于P ∩M ，所以pD /⇒q ；

若x ∈P ∩M ，则x ∈M 且x ∈P ，所以q ⇒p .

综上知，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的必要不充分条件．

答案必要不充分

2．利用传递性

充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p ⇒q ，q ⇒r ，则p ⇒r .

例2如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的____________条件．

解析依题意，有A ⇐B ⇔C ⇐D 且AD ⇒/B ⇔CD ⇒/D ，由命题的传递性可知D ⇒A ，但AD ⇒/D .于是A 是D 的必要不充分条件．

答案必要不充分

3．利用集合

运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p 以非空集合A 的形式