高中数学选修2-1第二章 2.2.1 练习题及答案

高中数学选修2-1第二章 2.2.1 练习题
1．已知命题甲：动点P 到两定点A ,B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点的轨迹是椭圆.命题甲是命题乙的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析：若P 点的轨迹是椭圆，则一定有|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，P 点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．设P 是椭圆x 216＋y 2
12＝1上一点，P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.
又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形． 答案：B
3．若方程x 24＋y 2
8sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A ．(π3，π
2)
B ．[π3，π2)
C ．(π6，π
2
)
D ．[π6，π2
)
解析：∵方程x 24＋y 28sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴8sin α>4，sin α>1
2.
∵α为锐角，∴π6<α<π
2.
答案：C
4．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9
a (a >0)，则点P 的轨迹是
( )
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
解析：∵a ＋9
a ≥2
a ·
9a ＝6，
当且仅当a ＝9
a ，a ＝3时取等号，
∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是线段F 1F 2；
当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是椭圆． 答案：D
5．椭圆x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，
∠F 1PF 2的大小为________．
解析：∵a 2＝9，b 2＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7， ∴|F 1F 2|＝27.
又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2.由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝22＋42－(27)2
2×2×4
＝－12
，
∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°
6．设P 为椭圆x 24＋y 2
9＝1上的任意一点，F 1,F 2为其两焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是
________．
解析：由已知得a ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2
＝9，
当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，取等号． 故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9. 答案：9
7．已知椭圆8x 281＋y 2
36＝1上一点M 的纵坐标为2.
(1)求M 的横坐标；
(2)求过M 且与x 29＋y 2
4＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 2
36＝1得
8x 281＋4
36
＝1，即x 2＝9.
∴x ＝±3，
即M 的横坐标为3或－3. (2)对于椭圆x 29＋y 2
4＝1，
焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5， 故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
a 2－5＝1.
把M 点的坐标代入得9a 2＋4
a 2－5＝1，
解得a 2＝15.
故所求椭圆的方程为x 215＋y 2
10
＝1.
8．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
解：将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62，
∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图. 由于动圆M 与已知圆B 内切，设切点为C .
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC |－|MC |＝|BM |. 而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.
根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2,0)为焦点的椭圆，且2a ＝6. ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5， ∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 2
5＝1.。