2020年四川省内江市、广安市等九市高考数学二诊试卷(理科)(有答案解析)

2020年四川省内江市、广安市等九市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，0，1，2，，则
A. 0，1，
B. 1，2，
C. 2，
D.
2.若i为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.””是“函数的图象关于直线对称”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.幻方最早起源于我国，由正整数1，2，这个数填入方格中，使得每行、
每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n阶幻方．定义为
n阶幻方对角线上所有数的和，如，则
A. 55
B. 500
C. 505
D. 5050
5.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是
A. 若，，则或
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
6.的展开式中含的项的系数为
A. B. 60 C. 70 D. 80
7.若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，则
A. B. C. 2 D.
8.周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．右图是一
个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦每--卦由三个爻组
成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻若从八卦中任
取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为
A. B. C. D.
9.在中，点P为BC中点，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若
，，则的最小值为
A. B. 2 C. 3 D.
10.如图，平面四边形ACBD中，，，，
为等边三角形，现将沿AB翻折，使点D移动至点P，且，
则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
11.若函数的图象上两点M，N关于直线的对称点在的图象上，则a
的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知抛物线C：和点，直线与抛物线C交于不同两点A，B，直线
BD与抛物线C交于另一点给出以下判断：
以BE为直径的圆与抛物线准线相离；
直线OB与直线OE的斜率乘积为；
设过点A，B，E的圆的圆心坐标为，半径为r，则．
其中，所有正确判断的序号是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．
14.某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后
分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依
次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，
则成绩在区间的学生人数是______．
15.设双曲线C：的左焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与双曲线C
的两条渐近线顺次交于A，B两点．若，则C的离心率为______．
16.已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，若时，，则不等式
的解集是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，就顾客“购
物体验”的满意度统计如表：
满意不满意
男4040
女8040
是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
为答谢顾客，该商场对某款价格为100元件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如表：
支付方式现金支付购物卡支付APP支付
频率
优惠方式按9折支付按8折支付其中有的顾客按4折支付，的顾客按6折支付，的顾
客按8折支付．
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X，求X 的分布列和数学期望．
附表及公式：．
18.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，．
求A；
若，，求b，c．
19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，是边长为2的正
三角形，，E为线段AD的中点．
求证：平面平面PBE；
若F为线段PC上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的
体积．
20.已知椭圆C的中心在坐标原点O，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点A在椭圆C上，
点B在直线上，且．
证明：直线AB与圆相切；
设AB与椭圆C的另一个交点为D，当的面积最小时，求OD的长．
21.已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．
求证：；
若时，恒成立，求a的取值范围．
22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为以O为极点，x轴正半轴为极轴建立，
极坐标系，设点A在曲线：上，点B在曲线：上，且为
正三角形．
求点A，B的极坐标；
若点P为曲线上的动点，M为线段AP的中点，求的最大值．
23.已知函数
解不等式：；
求证：
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：，
，
，
故选：D．
先根据定义域求集合A，再求补集，交集．
本题考查集合交并补，以及定义域，属于基础题．
2.答案：B
解析：解：，
，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选：B．
求三角函数值化简z，再由复数的基本概念求得的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查三角函数值的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.答案：A
解析：解：函数的图象关于直线对称，则，解得，，取，则．
””是“函数的图象关于直线对称”充分不必要条件．
故选：A．
函数的图象关于直线对称，可得，解得，即可判
断出结论．
本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.答案：C
解析：解：对于3阶幻方，共由1到，即1到9这9个连续自然数构成，且每一行都相等，
由等差数列得前n项和公式可得，这9个数字之和为，
再除以3，即可得出．
一般的n阶幻方数字之和为；
；
．
故选：C．
欲求n阶幻方对角线上数之和，只需求每一行上数之和，由n阶幻方定义可知，n阶幻方由1到，共个连续自然数构成，且每一行都相等，所以，只需求出所有数之和，再除以n，最后把10代入即可得答案．
本题以幻方题目为载体考查了归纳推理以及等差数列的性质．幻方的题很有趣味性，它的幻和的公式可记住，便于以后解此类的问题．
5.答案：D
解析：解：对于选项A：若，，则或，利用面面平行的性质的应用可得，故正确．
对于选项B：若，，，则，直接利用线面平行的判定的应用求出结果，故正确．
对于选项C：若，，，则，直接利用面面垂直的判定的应用求出结果，故正确．
对于选项D：若，，则，可能内，故错误．
故选：D．
直接利用线面和面面平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：线面和面面平行和垂直的判定和性质的应用，主要考查学生对判定和性质的应用，属于基础题型．
6.答案：B
解析：解：因为的展开式的通项公式为：；
令即，可得的系数为：，此时对应的含的项的系数为：；令即，可得的系数为：，此时对应的含的项的系数为：
；
故的展开式中含的项的系数为：．
故选：B．
先求的展开式的通项公式，进而求得结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
7.答案：A
解析：解：不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，
可得，，消去z可得，
化为，解得舍去，
即有，
则，
故选：A．
由等差数列和等比数列的中项性质，可得x，y，z的方程，消去z，解得x，y的关系，可得z，y的关系，代入求值可得．
本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算求解能力，属于基础题．
8.答案：C
解析：解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，
从八卦中任取两卦，基本事件总数，
这两卦的六个爻中恰有两个阳爻包含的基本事件个数，
这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为．
故选：C．
从八卦中任取两卦，基本事件总数，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻包含的基本事件个数，由此能求出这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
9.答案：B
解析：解：如图，连接AP，
为BC的中点，，且，
，
，且M，P，N三点
共线，
，
，当且仅当，即时取等号，
的最小值为2．
故选：B．
可画出图形，根据条件可得出，进而可得出，从而得出
，然后根据基本不等式即可得出的最小值．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点A，B，C共线，且时，可得出，考查了计算能力，属于基础题．
解析：解：因为，且，所以面PAB．
以折叠后的三棱锥是底面边长为，侧棱长为2的正
三棱柱的一部分，如图所示．
设H、K分别为上下底面的中心，O为HK的中点，在
直角三角形OHN中，
由正三角形的性质可知，
所以
故外接球的表面积
故选：A．
容易判断，折叠后面ABP与面ABC垂直，可以构造一个以三角形PAB为底面，侧棱为BC的正三棱柱，所求的外接球即为该三棱柱的外接球．球心为上下底面中心连线的中点，则问题可迎刃而解．本题考查了多面体外接球的表面积与体积的求法，本题用到了补形法，将问题转化为正棱柱的外接球问题，使得外接球的球心容易找到，问题得到了简化．
11.答案：D
解析：解：函数关于直线对称的函数为，
则函数与函数有两个交点，显然，
作出函数图象如下，
；
设上任一点坐标为，因为其导函数为，故其对应切线的斜率为：；故切线为：；
当切线过点时；
；此时对应的切线斜率为：e；
由图可知，要使函数与函数有两个交点，则需．
易知，函数关于直线对称的函数为，由题意，函数与函数有两个交点，作图观察即可得到结论．
本题主要考查函数图象的运用及函数的对称性，考查数形结合思想，属于中档题．
12.答案：C
解析：解：如图所示，设，，，
设直线BD的方程为：，
联立，化为：，
，，
线段BE的中点到抛物线的准线的距离
，
，
因此以BE为直径的圆与抛物线准线相交．不正确．
联立，化为：，
，．
设直线BD的方程为：，
联立，化为：，
，，
直线OB与直线OE的斜率乘积，因此正确．
联立，化为：．
设线段AB的中点，
，，可得．
线段AB的垂直平分线为：．
可得外接圆的圆心，即，．
点M到直线AB的距离．
，
，
，因此正确．
综上：都正确，
故选：C．
如图所示，设，，
设直线BD的方程为：，联立，化为：，利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式可得：线段BE的中点到抛物线的准线的距离
，，比较即可得出结论．
直线OB与直线OE的斜率乘积，即可判断出正误．
联立，化为：设线段AB的中点，利用根与系数的关
系、中点坐标公式可得Q，可得段AB的垂直平分线为：可得外接圆的圆心，即，利用点到直线的距离公式可得：点M到直线AB的距离利用弦长公式可得：，可得，进而判断出结论．
本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.答案：7
解析：解：画出实数x，y满足约束条件表
示的平面区域如图：
目标函数变形为，则z表示直线在y轴上截距，
截距越大，z越大，
作出目标函数对应的直线L：
由可得．
目标函数线过时，
直线的纵截距最大，z取得最大值为；
故答案为：7．
作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，z取得最大值．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题．
14.答案：20
解析：解：总人数为：，
则成绩在区间的学生人数为．
故答案为：20
每一组的频数除以概率可得总人数，总人数乘以频率可得对应组的频数．
本题考查频率直方图，根据频数求总人数，属于基础题．
15.答案：
解析：解：设，则双曲线C：
的左焦点且倾斜角为的直线为：
，
而渐近线的方程是：，
由得：
，
由得：
，
，，
，
，
，
，
则，
则．
故答案为：．
设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．
16.答案：
解析：解：令，
则，
是定义在R上的偶函数，时，，
是定义在R上的偶函数，
时，，
在上单调递减；
又不等式可化为：，
即，
由得：，
两端平方，解得，
原不等式的解集为，
故答案为：
构造函数，依题意，可知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减；而可化为
，从而可求得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的解法，突出考查等价转化思想及推理运算能力，属于中档题．
17.答案：解：因为，
所以有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．
的可能取值为40，60，80，90，
，
，
，
．
所以X的分布列为
X 40 60 80 90
P
数学期望．
解析：结合已知数据和的公式求解即可；
由题意可知，X的可能取值为40，60，80，90，然后根据顾客购买商品的支付情况，求出每个X 的取值所对应的概率，即可得到分布列和数学期望．
本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．
18.答案：解：因为．
由正弦定理可得，，
展开可得，，
因为，
所以，
即，
或舍，
故A；
因为，，
由余弦定理可得，，
解可得，，
所以或．
解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合辅助角公式即可求解；
由已知结合余弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．19.答案：解：证明：连结CE，
底面ABCD是菱形，，是边长
为2的正三角形，
，E为线段AD的中点．
，，
，，
，，
，平面ABCD，，
，平面PBE，
平面PBC，平面平面PBE．
解：由知平面ABCD，，
以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
，0，，0，，，
设b，，，，则b，，，解得，，，，
，0，，，
设平面BDP的法向量y，，
则，取，得，
设平面BDF的法向量n，，
则，取，得，二面角的余弦值为，
，解得．
，，
到平面BDP的距离，
，
，
，
三棱锥的体积为：
．
解析：连结CE，推导出，，从而平面ABCD，进而，
平面PBE，由此能证明平面平面PBE．
以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥的体积．
本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20.答案：解：证明：可设椭圆的方程为，由题意可得，，
，
则椭圆方程为，
点B在直线上，，可得直线OA的斜率必定存在，
当直线OA的斜率为0时，可得，，则，O到AB的距离为1，即
直线AB与圆相切；
当直线OA的斜率不为0时，设直线OA：，与椭圆联立，可得，
可得，，，
而，故OB的方程设为，B在直线上，可得，，可得，即，
可得O到AB的距离为，即有直线AB与圆相切．
综上可得，直线AB与圆相切；
由可得的面积为
，
上式当且仅当，即时取得等号，则的面积的最小值为1，此时A为椭圆的长轴的端点，，不妨设A为左端点，
AB：，代入椭圆方程，可得，由，则，，
则．
解析：可设椭圆的方程为，由题意可得b，c，进而得到a，即有椭圆方程，
讨论直线OA的斜率为0和不为0，设出方程，求得，，，进而判断直线AB和圆相切；
求得的面积，化简整理运用基本不等式可得最小值，以及取得最值的条件，设出直线BA 的方程，联立椭圆方程求得D的坐标，进而得到．
本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，同时考查直线和圆相切的条件，以及三角形的面积的最值求法，注意运用方程思想和基本不等式，以及两直线垂直的条件，考查运算求解能力和推理能力，属于中档题．
21.答案：解：证明：函数的定义域为，，，易知函数在上为增函数，又，
故函数存在唯一零点，使得，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，故函数在处取得最小值，依题意，，
，即，两边同时取对数得，
；
由知，当时，的最小值为
，
当，即时，此时为上的增函数，
，由知，，故，即，故满足题意；
当，即时，有两个不同的零点，，且，
则，即，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，，
注意到时，，且此时，
当时，，
，即，
又
，
而，故，即，
由于在下，恒有，故；
当时，，
，
当时，为减函数，
，与题设不符，故舍去．
综上，实数a的取值范围为．
解析：对函数求导可得，再求导可得，由的单调性及零点存在性定理可知函数存在唯一零点，由此得到函数的单调性，进而
判断其最小值在处取得，且，则，再通过取对数的方式即可得证；
显然需在上的最小值大于等于1，由可得函数的最小值为
，分的最小值小于0及最小值大于等于0讨论，当
的最小值大于等于0时，易知为上的增函数，进而易得，当的
最小值小于0时，分析可知，此时，再分及两种情况讨论，综
合即得答案．
本题主要考查函数极值与最值，不等式，导数在研究函数中的应用等基础知识，考查化归转化、分
类整合等数学思想，以及运算求解，推理论证等数学能力，
属于难题．
22.答案：解：曲线的参数方程为转换
为直角坐标方程为，
设点A在曲线：上，即点A满足的方程，
点B在曲线上，且为正三角形．
如图所示：
所以转化为极坐标为，，转换为极坐标为
设点，M为线段AP的中点，
所以，，
所以．
当时，．
解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．直接利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由于，于是原不等式可化为
，
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得；
综上，不等式的解集为；
证明：由已知条件，对任意，可得
，
又，
由于，
，
又由于，
，
解析：问题等价于，再分类讨论解不等式即可；
利用绝对值不等式的性质可得，
，又，即可得证．
本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，考查推理论证能力，属于基础题．。