(word完整版)高中一年级数学必修1知识点总结,文档

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高中高一数学必修1 各章知识点总
结第一章会集与函数看法一、会集
相关看法
1、会集的含义：某些指定的对象集在一起就成为一
个会集，其中每一个对象叫元素
2、会集的中元素的三个特点：
1.元素确实定性；
2.元素的互异性；
3.元素的无序
性
说明：(1)关于一个给定的会集，会集中的元素是确定的，任何一个对象也许是也许不是这个给定的会集的元素。

(2)任何一个给定的会集中，任何两个元素都是不同
样的对象，同样的对象归入一个会集时，仅算一个元素。

(3)会集中的元素是同样的，没有先后序次，因此判断
两个会集可否同样，仅需比较它们的元素可否同样，不需
观察排列序次可否同样。

(4 会集元素的三个特点使会集自己拥有了确定性和整
体性。

3、会集的表示：{ }如{我校的篮球队员}，{太平洋,
大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示会集：A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
2．会集的表示方法：列举法与描述法。

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注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集〔即自然数集〕记作：N
正整数集N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集 R
关于“属于〞的看法
会集的元素平时用小写的拉丁字母表示如，：a 是会集A 的元素，就说a 属于会集A 记作 a∈A ，相反，a 不属于会集 A 记作 a?A
列举法：把会集中的元素一一列举出来，尔后用一个大括号括上。

描述法：将会集中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示会集的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个会集的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、会集的分类：
1．有限集含有有限个元素的会集
2．无量集含有无量个元素的会集
3．空集不含任何元素的会集例：{x|x2=－5｝
二、会集间的根本关系
1.包“含〞关系—子集
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注意：有两种可能〔1〕A 是B 的一局部，；〔2〕A与 B 是同一会集。

反之: 会集 A 不包含于会集B,或会集B 不包含会集A,记作AB或BA
2．“相等〞关系(5≥5，且 5≤5，那么 5=5)
实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素同样〞结论：关于两个会集A 与 B，若是会集A 的任何一个元素都是会集B 的元素，同时,会集 B 的任何一个元素都是会集 A 的元素，我们就说会集A 等于会集B，即：A=B
①任何一个会集是它自己的子集。

AíA
②真子集:若是 AíB,且 A1B 那就说会集A 是会集B 的真子集，记作A B(或 B A)
③若是 AíB, B Cí,那么 AíC
④若是 AíB同时BíA那么A=B
3.不含任何元素的会集叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何会集的子集，空集是任何非空会集的真子集。

三、会集的运算
1．交集的定义：一般地，由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的会集,叫做 A,B 的交集．
记作 A∩B(读作〞A交 B〞)，即 A∩B={x|x∈A，且 x∈B}．
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2、并集的定义：一般地，由全部属于会集A或属于
会集 B 的元素所组成的会集，叫做A,B 的并集。

记作：
A∪
B(读作〞A并 B〞)，即 A∪B={x|x∈A，或 x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,
A∪φ = A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
〔1〕补集：设 S 是一个会集，A 是 S 的一个子集〔即〕，由 S 中全部不属于A 的元素组成的会集，叫
做S 中子集A的补集〔或余集〕
记作： CSA即CSA ={x | x?S且x?A}
〔2〕全集：若是会集S 含有我们所要研究的各个会集的全部元素，这个会集就可以看作一个全集。

平时用
U 来表示。

〔3〕性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C
UA)∩A=Φ二、函数的相关看法
1函数的看法：设A、B 是非空的数集，若是依照某个确定的对应关系f，使关于会集A 中的任意一个数x，在会集 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从会集A 到会集 B 的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与
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x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的会集{f(x)|
x∈A } 叫做函数的值域．
注意：2 若是只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的会集；3 函数的定义域、值域要写成会集或区间的形式．定义域补充
能使函数式有意义的实数x 的会集称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依照是：(1)分式的分
母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数
式的真数必定大于零；(4)指数、对数式的底必定大于零且
不等于 1. (5)若是函数是由一些根本函数经过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x 的值
组成的会集.〔6〕指数为零底不能够够等于零(6)实责问题
中的函数的定义域还要保证明责问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域)。

组成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：〔1〕组成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，因此，
若是两个函数的定义域和对应关系完满一致，即称这两个
函数相等〔或为同一函数〕〔2〕两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完满一致，而与表示自变量和函数
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值的字母没关。

同样函数的判断方法：①表达式同样；②
定义域一致 (两点必定同时具备)
(见课本 21 页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法那么，无论
采用什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟
悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函
数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈ A)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，
y)的会集C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象 C 一般的是一条圆滑的连续曲线(或直线),也可能
是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的假设干条曲线或失散点组成。

(2)画法
A、描点法：依照函数解析式和定义域，求出x,y 的一
些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点
P(x, y)，最后用圆滑的曲线将这些点连接起来.
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B、图象变换法〔请参照必修4 三角函数〕
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称
变
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；
2、利用数形结合的方法
解析解题的思路。

提高解题的速度。

发现解题中的错误。

4．快去认识区间的看法
〔1〕区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；〔2〕无量区间；〔3〕区间的数轴表示．
5．什么叫做照射
一般地，设 A、B 是两个非空的会集，若是按某一个确定的对应法那么f，使关于会集A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：A B 为从会集A 到会集B 的一个映像。

记作“f：A B〞
给定一个会集A 到 B 的映像，若是 a∈A,b∈B.且元
素
a和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，
元素 a 叫做元素b 的原象
说明：函数是一种特其他照射，照射是一种特其他对应，①会集A、B 及对应法那么f 是确定的；②对应法那么有
“方向性〞，即重申从会集A 到会集 B 的对应，它与从B
到 A
应满足：〔Ⅰ〕会集A 中的每一个元素，在会集B 中都有
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象，并且象是唯一的；〔Ⅱ〕会集A 中不同样的元素，在集合 B 中对应的象能够是同一个；〔Ⅲ〕不要求会集B
中的每一个元素在会集A 中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：
1函数图象既能够是连续的曲线，也能够是直线、折线、失散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依照；
2 解析法：必定注明函数的定义域；
3 图象法：描点法作图
要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特点；4 列表法：采用的自变量要有代表性，应能反响定
义域的特点．
注意啊：解析法：便于算出函数值。

列表法：便于查
出函数值。

图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数〔拜会课本P24-25〕
在定义域的不同样局部上有不同样的解析表达式的函
数。

在不同样的范围里求函数值时必定把自变量代入相应
的表达式。

分段函数的解析式不能够写成几个不同样的方
程，而就写函数值几种不同样的表达式并用一个左大括号
括起来，并分别注明各局部的自变量的取值情况．〔1〕
分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；〔2〕分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域
的并集．
补充二：复合函数
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若是 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),那么 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。

比方: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7．函数单调性
〔1〕．增函数
设函数 y=f(x)的定义域为I，若是关于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2 时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间〔睇清楚课本单调区间的看法〕若是关于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当
x1<x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间
上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.
注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的
性质，是函数的局部性质；
2必定是关于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2 时，总有f(x1)<f(x2) 。

〔2〕图象的特点
若是函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数那，么说函数y=f(x)在这一区间上拥有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判断方法
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(A)定义法：
1 任取 x1，x2∈D，且 x1<x2；
2 作差 f(x1)－f(x2)；
3 变形〔平时是因式分解和配方〕；
4 定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；
5 下结论〔指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性〕．
(B)图象法(从图象上看起落)_
(C)复合函数的单调性
函数的单调性
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能够把单调性同样的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判断单调性吗？
8．函数的奇偶性
〔1〕偶函数
一般地，关于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数．
〔2〕．奇函数
一般地，关于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数．
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注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶,性也
可能既是奇函数又是偶函数。

2由函数的奇偶性定义可知，函数拥有奇偶性的一个
必要条件是，关于定义域内的任意一个x，那么－x 也必
然是定义域内的一个自变量〔即定义域关于原点对称〕．〔3〕拥有奇偶性的函数的图象的特点
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原
点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 第一确
定函数的定义域，并判断其定义域可否关于原点对称2；
确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：假设f(－x) =
f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，那么f(x)是偶函数；假设f(－x) =
－f(x) 或
f(－x)＋f(x) = 0，那么 f(x)是奇函数．
注意啊：函数定义域关于原点对称是函数拥有奇偶性
的必要条件．第一看函数的定义域可否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，(1)再依照定义判断;
(2)有时判断 f(-x)= f(x)±比较困难，可考虑依照可否有
f(-x) f(x)=0±或 f(x)/f(-x)= 1 来±判断; (3)利用定理，或
借助函数的图象判断 .
9、函数的解析表达式
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〔1〕.函数的解析式是函数的一种表示方法要，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.
〔2〕.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，若是函数解析式的构造时，可用待
定系数法；复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，
这时要注意元的取值范围；当表达式较简单时，也可用凑
配法；假设抽象函数表达式，那么常用解方程组消参的方
法求出f(x)
10．函数最大〔小〕值〔定义见课本p36 页〕
1利用二次函数的性质〔配方法〕求函数的最大〔小〕值 2 利用图象求函数的最大〔小〕值3 利用函数单调性的判断函数的最大〔小〕值：若是函数y=f(x)在区间[a，b]上单
调递加，在区间[b，c]上单调递减那么函数y=f(x)在 x=b 处
有最大值 f(b)；若是函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递加那么函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值
f(b)；
第二章根本初等函数
一、指数函数
〔一〕指数与指数幂的运算
1．根式的看法：一般地，若是，那么叫做的次
方根〔n th root〕，其中 >1，且∈ *．
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次
方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子
叫做根式〔radical〕，这里叫做根指数〔radical exponent〕，叫做被开方数〔radicand〕
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为
相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的
次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根能够合
并成±〔>0〕．由此可得：负数没有偶次方根；0的任
何次方根都是0，记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的看法就从
整数指数实行到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性
质也同样能够实行到有理数指数幂．
〔二〕指数函数及其性质
1、指数函数的看法：一般地，函数叫做指数函数〔exponential 〕，其中x 是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能够是负数、零和 1．
图象特点
函数性质
1.向 x、y 轴正负方向无量延伸
函数的定义域为R
2.图象关于原点和y 轴不对称
非奇非偶函数
3.函数图象都在x 轴上方
4.函数的值域为R+
5.函数图象都过定点〔0，1〕
6.自左向右看图象逐渐上升自左向右看图，象逐渐下降
图象上升趋向是越来越陡
图象上升趋向是越来越缓
函数值开始增添较慢，到了某一值后增添快度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以够看出：〔1〕在[a，b]上，值域是或；
〔2〕假设，那么；取遍全部正数当且仅当；
〔3〕关于指数函数，总有；
〔4〕当时，假设，那么；
二、对数函数
〔一〕对数
1．对数的看法：一般地，若是，那么数叫做以为底的对数，记作：〔—底数，—真数，—对数式〕
两个重要对数：
1常用对数：以10 为底的对数；
2自然对数：以无理数为底的对数的对
数．〔二〕对数函数
1、对数函数的看法：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是〔0，+∞〕．
注意：1 对数函数的定义与指数函数近似，都是形式定义，注意区分。

图象特点，函数性质
1.函数图象都在y 轴右侧
函数的定义域为〔0，＋∞〕
2.图象关于原点和y 轴不对称
非奇非偶函数
3.向 y 轴正负方向无量延伸
函数的值域为R
4.函数图象都过定点〔1，0〕
自左向右看，图象逐渐上升，自左向右看，图象逐渐下降
〔三〕幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
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〔1〕全部的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图
象都过点〔1，1〕；
〔2〕时，幂函数的图象经过原点，并且在区间上
是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，
幂函数的图象上凸；
〔3〕时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第
一象限内，当从右侧趋向原点时，图象在轴右方无量地
逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无量地逼近
轴正半轴．
第三章函数的应用
、方程的根与函数的零点
1、函数零点的看法：关于函数，把使成立的实
数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，
亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有
零点．
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
1〔代数法〕求方程的实数根；
2〔几何法〕关于不能够用求根公式的方程，能够将
它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
1〕△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2〕△＝0，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
高一数学必修4
正角 : 按逆时针方向旋转形成的角
3〕△＜0，方程无1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角 : 不作任何旋转形成的角
2、角的极点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴
重合，终边落在第几象限，那么称为第几象限角．
第一象限角的会集为k 360o k 360o90o , k
第二象限角的会集为第三象限角的会集为第四象限角的会集为k 360o90o k 360o180o, k
k360o180o k360o270o , k k360o270o k360o360 o, k
终边在 x 轴上的角的会集为k 180o , k
终边在 y 轴上的角的会集为k 180o90o , k
终边在坐标轴上的角的会集为k 90o, k
3、与角终边同样的角的会集为k 360o, k
4、是第几象限角，确定n
*
所在象限的方法：
n
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先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，
依次将各地域标上一、二、三、四，那么原来是第几
象限对应的标号即为终边所落在的地域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l ，那么角的弧度数的绝对值是r l．
7、弧度制与角度制的换算公式：2360o，1o，
180
180o
1o
．
8、假设扇形的圆心角
为为弧度制，半径为 r，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，那么 l r， C 2r l ， S1 lr1r 2．
22
9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的
坐标是 x, y，它与原点的距离是 r rx2y20 ，那么
sin y，
cos
x，
tan y x 0 ．r r x
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin，cos，tan．
12、同角三角函数的根本关系： 1 sin2cos21
sin21cos2,cos2 1 sin 2；2sin tan
cos
sin tan cos,cos sin ．
tan
13、三角函数的引诱公式：y
P T O M A x
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， cos 2k cos ， tan 2k tan k．1 sin 2k sin
， cos cos ， tan tan ．
2 sin sin
， cos cos ， tan tan ．
3 sin sin
， cos cos ， tan tan ．
4 sin sin
口诀：函数名称不变，符号看象限．
， cos sin ．
5 sin cos
22
， cos sin ．
6 sin cos
22
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
14、函数y sin x的图象上全部点向左〔右〕平移个单
位长度，获取函数 y sin x的图象；再将函数y sin x
的图象上全部点的横坐标伸长〔缩短〕到原来的 1 倍〔纵坐标不变〕，获取函数 y sin x的图象；再将函数 y sin x的图象上全部点的纵坐标伸长〔缩短〕到
原来的倍〔横坐标不变〕，获取函数 y sin x的图象．
函数 y sin x 的图象上全部点的横坐标伸长〔缩短〕到原
来的1倍〔纵坐标不变〕，获取函数
y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上全部点向左〔右〕平移个单位长度，获取函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上全部点的纵坐标伸长〔缩
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短〕到原来的倍〔横坐标不变〕，获取函数 y sin x
的图象．
函数 y sin x0,0 的性质：
①振幅：；②周期：2；③频率： f1；④相
2
位： x；⑤初相：．
函数 y sin x，当 x x1时，获取最小值为 y min；当
x x2时，取得最大值为 y max，那
么
1
y max y min，
2
1y
max
y
min ，x2 x1 x1
x
2 ．
22
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
性y 数sin x y cosx y tan x
质
图
象
定
义 R R x x k,k
2域
值
1,11,1R
域
当当 x2k k时，最
x 2k k 既无最大值也
y
max1；当x 2k
值2无最小值时， y max 1；当k时， y min1．
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周期性x 2k
2
k时，
y
min
1．
22
奇奇函数
偶
性
在
2k,2k
22单 k 上是增函调数；在
性
2k, 2k3
22偶函数奇函数
在2k,2 k k
上是增函数；在在 k
2
, k
2 2k,2 k
k
上是增函k
上是减函数．
数．
k上是减函
数．
对称中心
对称中心对称中心对
k,0k k
称k,0 k,0 k 对称轴22
性
对称轴 x k k无对称轴x k k
2
16、向量：既有大小，又有方向的量．
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数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0 的向量．
单位向量：长度等于 1个单位的向量．
平行向量〔共线向量〕：方向同样或相反的 非零向量．零
向量与任向来量平行．
相等向量：长度相等且
方向同样 的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法那么的特点：
首尾相连．
⑵平行四边形法那么的特点：共起点．
r
r r
r
r r ⑶三角形不等式： a
b
a b
a
b ．
⑷运算性质：①交换律：
r r
r r
；②结合律：
a b
b a
r r r r r r
r
r
r
r
r
C
a b c a b c
；③ a 0 0 a a ．
⑸坐标运算：设
r
x 1 , y 1
，
r x 2 , y 2
， 那么
r a
b
r
r
a
r ．
a b x 1 x 2 , y 1 y 2
b
18、向量减法运算：
r r
uuur uuur
uuur
a b C
C
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⑴三角形法那么的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
r r
x 2 , y 2 ，那么
r
r
x 1 x 2 , y 1 y 2 ．
a
x 1 , y 1 ， b
a b
设、 两 点 的 坐 标 分 别 为 x 1 , y 1
，
x 2
, y
2
， 那么
uuur
x 1 x 2 , y 1 y 2 ．
19、向量数乘运算：
r
的积是一个向量的运算叫做向量的
⑴实数 与向量 a
数乘，记作
r
a ．
r
r
① a
a ；
②当
r r
时，
r
时， a 的方向与 a 的方向同样；当 a 的
方向与
r 的方向相反；当
r r a
时， a 0 ．
⑵运算律：①
r r ； ② r r
r
a
a a
a a ； ③
r
r
r r a b
a
b ．
r
x, y
，那么
r x, y
x, y ．
⑶坐标运算：设 a
a
r r
r r
共线，当且仅当有
20、向量共线定理：向量 a
a
与 b
r
r
唯一一个实数 ，使 b
a ．
r
r
x 2 , y 2 ，其中 设 a
x 1, y 1 ，b
r
r r
r 共线．
向量 a 、 b b
r
r
b 0 ，那么当且仅当
x 1 y 2 x 2 y 1 0 时，
21、平面向量根本定理：若是
ur uur
e 1 、e 2 是同一平面内的两
个不共线向量， 那么关于这一平面内的任意向量 r
a ，有
r ur
uur ur 、
且只有一对实数 1 、 2 ，使 a
1 e
1
2 e 2 ．〔不共线 的向量 e 1
uur
e 2 作为这一平面内全部向量的一组基底〕
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22、分点坐标公式：设点
是线段 1 2 上的一点，
1 、 2
的坐标分别是 x 1 , y 1
， x 2 , y 2 ，当
uuur
1
uuur
2
时，点 的坐标
是
x
1
x 2 , y 1
y
2
．
1
1
23、平面向量的数量积：
⑴
r
r
r
r
r r r r o 180 o
．零向量与任向来量的
a b
a b cos
a
0, b 0,0
数量积为
．
r
和
r
都是非零向量，那么
①
r r r r
0 ．②
⑵性质：设 a
b
a
b
a b
r r r r r r r r
r r
r r 当 a 与 b 同向时， a b a b ；当 a 与 b 反向时， a b
a b ；
r r r 2 r 2 r r r ．③ r r r r ．
a a a a 或 a a a a
b a b
⑶运算律：①
r r r r
； ②
r r r r r r ； ③
a b b a
a b
a b
a b
r
r
r
r r
r r
a b c
a c
b
c ．
⑷坐标运算：设两个非零向量
r x 1 , y 1
r
x 2 , y 2
，那么
a
， b
r
r
y 1 y 2 ． a b x 1 x 2
r x, y ，那
么 r 2 x 2
2
，或 r
x 2
2
．
假设 a a
y a
y
设 r r
x 2 , y 2
，那么
r r
x 1 x 2
y 1y 2 0 ．
a
x 1, y 1 ， b
a b 设
r
r
r x 1 , y 1 ， r x 2 , y 2
r r a 、 b
都是非零向量， a
b ， 是 a 与 b 的
r r x 1x 2
y 1 y 2
夹角，那么
cos
a b
．
r r 2
2
2
2
a b
x 1 y 1 x 2 y 2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ cos
cos cos sin sin ⑵ cos
cos cos
sin sin
⑶ sin
sin cos cos sin
；；
；
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⑷ sin sin cos cos sin；
⑸ tan tan tan〔 tan tan tan1tan tan
1tan tan
⑹ tan tan tan〔 tan tan tan1tan tan
1tan tan
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：〕；〕．
⑴sin22sin cos ．
⑵ cos2cos2sin22cos2 1 1 2sin 2〔 cos2cos2 1 ，
sin21 cos2
2〕．
2
tan22 tan
⑶ 1 tan2
．
26、sin cos22 sin，其中 tan．
实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
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