大学高数第5章

要求积分曲线经过某一点 (x0 , y0 )，就相当于求出当 x x0 时 y y0 的不定积分。条件 x x0时 y y0 称为 初始条件，记作 y xx0 y0。将初始条件代入不定积分
y F (x) C得y0 F (x0 ) C C y0 F (x0 )
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定理1 设在区间I上连续函数f (x)的原函数为F (x)，即
f (u)du F(u) C，且(x) 在I上的导函数 (x) 连续
则有
f (x)(x)dx F (x) C (1)
例1 求 I sin5 x cos xdx
解 I (sin x)5(sin x)dx 故设u=sin x，则
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验算：(sin x2 C) 2x cos x2
又如
x2 1 x3 dx
1
1 x3
(
1 3
x3
)dx
1 3
1
1 x3
d(
x3
)1

x2

u
1 3
1 du u
1 ln u C 1 ln 1 x3 C
3
3
这两个例子在求积分时把积分变量置换了一下， 这种方法称为换元积分法。
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例3
求I
x2dx 1 x6
解
I 1 3
3x2dx 1 (x3)2

1 3
( x3 )dx 1 (x3)2

1 3
d(x3) 1 (x3)2
设u=x3，则
I 1 3
du 1 u2

1 arctan u C 3

1 arctan(x3) C 3
a 1
3
axdx ax C
ln a
4

dx x

ln
x

C
exdx ex C
5 sin xdx cos x C 6 cos xdx sin x C
7 sec2 xdx tan x C
8 csc2dx cot x C
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例4 求 I (3 2x)10dx
解
I 1 (3 2x)10 d(3 2x) 1 (3 2x)11 C
2
22
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例5 解
I
求
I


dx sin x


2
sin
dx x cos
x


d( x) 2
tan x cos2
x


在力学上不定积分也有与几何上相类似的解释。 设物体作直线运动，其速度v与时间t的关系为v=f (x)。 由于速度为路程对时间的导数，即 ds f (t)，因此要
dt 求路程随时间的变化规律就归结为求f (t)的原函数，即
s f (t)dt
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例2 落体运动的速度为 v gt v0，其中v0为物体的初 速度。如果以t=0时落体所在的位置s0作为路程s的起点， 即t=0时s=s0。试求路程随时间的变化规律

ln
csc
x

cot
x

C
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对于积分 dx ，虽然得到两个表面上不同形式的 sin x
14
dx arcsin x C，其中a 0
a2 x2
a
15
dx ln x x2 a2 C，其中a 0
x2 a2
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基本积分表
16

1
dx x2
arctan x C
17
dx a2 x2

1 arctan a
x a
C
dx 1 x a
x2

3
2
x3

C
45 2
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例5 求 I (tan2 x tan x)dx 解 I tan2 xdx tan xdx
(sec2 x 1)dx ln cos x sec2xdx 1dx ln cos x
tan x x ln cos x C
f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
4. 常数因子可以提到积分记号外面，即
af (x)dx a f (x)dx （a为非零常数）
合并性质3和性质4得到
af (x) bg(x)dx a f (x)dx b g(x)dx
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f (x)dx F(x) C 其中 称为积分符号；f (x)称为被积函数；x称为积分
变量；f (x) dx称为被积表达式或积分元素；C是任意 常数，称为积分常数
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从不定积分的定义可知，求函数f (x)的不定积分， 可以归结为求f (x)的一个原函数
例如，已知 f (x) x2 ，不难看出它的不定积分是
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• 5.1 不定积分的概念 • 5.2 换元积分法 • 5.3 分部积分法 • 5.4 有理函数的积分 • 5.5 一些特殊类型函数的积分
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5.1 不定积分的概念
5.1.1 原函数与不定积分
原函数的定义
设函数f (x)在区间I上有定义。如果存在函数F (x),使得
在I上有F(x0 ) f (x) ，则称F (x)为f (x)在I上的原函数
d(tan x) 2
tan x
22
22
2
ln tan x C 2
也可以用另一种方法求这个积分
I

csc
x
csc csc
x x
cot cot
x x
dx


( csc x cot x csc2 csc x cot x
x)
dx


d(csc x cot x) csc x cot x
证
F(x) C F(x) f (x)
F(x) C是f (x) 的原函数
又设G (x)与F (x)是f (x)在区间I上的两个原函数，则有 G(x) f (x), F(x) f (x)
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从而 G(x) F(x) 0
即 G(x) F (x) 0
设F (x)是f (x)的原函数，则F (x)+ C（其中C为任意常数） 也是f (x)的原函数。这就是说，如果f (x)有一个原函数 F (x)，那么它必定有无穷多个原函数，其形式为F (x)+ C
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定理1 设F (x)是f (x)在某区间I上的一个原函数，则函 数族F (x)+ C也是f (x)在该区间上的原函数，其 中C为任一常数。反之，在区间I上f (x)的每一 个原函数都可以表达成F (x)+ C的形式
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例3 求 (x 1)2dx
解 由性质3即性质4得
(x 1)2dx (x2 2x 1)dx
x2dx 2 xdx 1dx
x3 x2 x C 3
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5.1.4 基本积分表
基本积分表
1 xadx xa1 C (a 1) 2
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5.2 换元积分法
例 求 2x cos x2dx
设所求不定积分为I，即
I 2x cos x2dx cos x2d(x2)
它是x2的导数
2xdx (x2 )dx d(x2 )
如果作变量代换，令 x2 u，那么
I cosudu sin u C 回代 sin x2 C
求已知函数原函数的方法称为不定积分法，简称 积分法。
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5.1.2 积分曲线
由于 f (x)dx F(x) C，而对于确定的C0值y=F (x)+ C0
的图形是一条曲线，因此，在几何上f (x)的不定积分是
一条曲线
y
这条曲线称为f (x)
的积分曲线。当任
意常数C取一系列
不同数值时，就可
则满足初始条件的积分曲线为 y F(x) y0 F(x0)
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例1 求斜率为2x且通过点(1, 2)的曲线方程
解 依题意欲求y=y (x)使得 y 2x 由于 (x2 ) 2x ，因此积分曲线为 y x2 C 又因曲线经过点(1, 2)，故得 2 12 C, C 1 因此得所求曲线方程为 y x2 1
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基本积分表
9 sec x tan xdx sec x C 10 csc x cot xdx csc x C
11 tan xdx ln cos x C 12 cot xdx ln sin x C
13

dx arcsin x C 1 x2
g(x)dx f (x)(x)dx f (x)d(x)
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令 u (x)
则 g(x)dx f (u)du F(u) C
F (x)C
其中，设f (x)在该区间I上具有原函数F (x)
通过这种变量代换求出不定积分的方法称为第一 类换元（积分）法。这种先凑一下微分，然后根据被 积表达式来选取合适的新变量u的积分法也称为凑微 法。
解
由
ds dt

v

gt

v0
得
s

1 2
t2

v0t

C
由初始条件 s t0 s0求得C s0
故知
s

1 2
gt 2

v0t

s0
这是物体下落的一般规律
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5.1.3 不定积分的简单性质
1. 如果将函数先积分然后再求导，其结果等于被积函数
即 ( f (x)dx) f (x) 与此等价的结果是 d( f (x)dx) d(x)dx
18
x2 a2

ln 2a
xa
C
19
sinh xdx cosh x C
20
cosh xdx sinh x C
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例4 求 I (x3 2x x 1 )dx
3x
解
I
x3dx 2
3
x2dx
3
x 2dx

1
x4

4
5
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5.2.1 第一类换元法（凑微法）
若不定积分 g(x)dx 中，被积函数g (x)是两个函数
相乘，一个是函数 (x) 的导数 (x) ，而另一个是 (x)
的函数 f (x) ，即 g(x)dx f (x)(x)
或 g(x)dx f (x)(x)dx f (x)d(x) 而且 f (x)与(x) 在所考虑的区间I上连续，则有
得到一族积分曲线
y=F (x) +C（如图）
O
y0 x0
xx
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由于(F(x) C) F(x) f (x) ，因此任意一条积分曲线 在点x的斜率都等于f (x)在该点的函数值。如果作出了f (x)的任意一条积分曲线，然后把它沿着y轴上下平行移 动，就可以得到f (x)的所有积分曲线。这种曲线在x取 同一值时有互相平行的切线，且其斜率都等于f (x)
x2dx x3 C
3 可用求导数验证，即 ( x C) x2
3
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定理2 设函数f (x)在区间I上连续，则在该区间上它 的原函数一定存在
当f (x)的原函数存在时，称f (x)在I上可积。本章 假定了被积函数均是连续，因而它是可积的。
这里可归结出连续函数的一个性质：它既是可导 的必要条件，又是可积的充分条件。
2. 如果将函数先微分然后再积分，其结果等于原来的函
数再加上一个任意常数，即 dF(x) F(x) C
只需将等式两边求微分，就得到所要证明的结果
从以上两个性质可以看出，在不计相差一个常数的
情况下，求导运算和积分预算互相抵消。可见求导数和
求积分互为逆运算。
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3. 两个函数和的积分等于它们各自的积分和，即
I u5du 1 u6 C 1 sin6 x C
6
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例2 求 I tan xdx
解
I


sin x cos x
dx


(cos x)dx cos x
故设u=cos x，则
I


du u

ln
u

C

ln
cos
x

C
同理可得 cot xdx ln sin x C
G(x) F(x) C 即得 G(x) F(x) C
由此定理可见，函数f (x)的原函数除F (x)+ C的 形式外，不再有其他形式的原函数了。
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不定积分的定义
函数f (x)的原函数的一般表达式F (x)+ C称为f (x)的不
定积分，记作 f (x)dx ，即