27.1 图形的相似 人教版数学九年级下册分层作业(含答案)

27.1 图形的相似
1．如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )
A．2 cm2B．4 cm2C．8 cm2D．16 cm2
【详解】设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴，
解得
则留下矩形的面积为.
故选C.
2．下列四组图形中，一定相似的是()
A．正方形与矩形B．正方形与菱形
C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形
【详解】A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，∴不一定相似；
B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，∴不一定相似；
C中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，∴不一定相似；
D中，正五边形的五条边都相等，五个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，∴一定相似．
故选D．
3．如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为()
A．2：1B．4：1C．D．1：2
【详解】解：设原矩形ABCD的长为x，宽为y，
∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
，
∴x：y=2：1
故选：A．
4．如图，正五边形与正五边形相似，若，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
【详解】解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，
所以，故可排除C和D
所以．故排除A
故选B．
5．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）
A．6B．8C．12D．10
【详解】解：设这个多边形的最短边是x，
∵两个多边形相似，
∴，
解得：x=8．
故选：B．
6．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（）
A．70°B．80°C．90°D．120°
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故选：B
7．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（）
A．B．C．D．
【详解】解：设它的最大边长为，
∵两个四边形相似，
∴，
解得，
即该四边形的最大边长为．
故选C．
8．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．a＝4，b＝8，c＝5，d＝10B．a＝2，b＝2，c＝，d＝5
C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4D．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
【详解】解：A、4×10=5×8，能成比例；
B、2×5=2×，能成比例；
C、1×4≠2×3，不能成比例；
D、1×4=2×2，能成比例．
故选C．
9．下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，5
【详解】
A选项中，因为1：12：3，所以A中的四条线段不是成比例线段；
B选项中，因为1：23：4，所以B中的四条线段不是成比例线段；
C选项中，因为2：2=3：3，所以C中的四条线段是成比例线段；
D选项中，因为2：33：4，所以D中的四条线段不是成比例线段.
故选C.
10．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【详解】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
11．下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【详解】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
12．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成
的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为__m．
【详解】解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为（60-2.4）m，∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴，
解得，x＝1.8，
故答案为：1.8
13．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）
【详解】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
14．下列图形都相似吗？为什么？
（1）所有的正方形都相似吗？
（2）所有的矩形都相似吗？
（3）所有的菱形都相似吗？
（4）所有的等边三角形都相似吗？
（5）所有的等腰三角形都相似吗？
（6）所有的等腰梯形都相似吗？
（7）所有的等腰直角三角形都相似吗？
（8）所有的正五边形都相似吗？
_____________相似，_____________不一定相似．
【详解】解：（1）正方形的四条边相等，四个角都等于90°，所以对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正方形都相似；
（2）矩形的四个角都等于90°，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似；
（3）菱形的四条边相等，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定相似；
（4）等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°，所以所有的等边三角形的对应边都成比例，对应角都相等，所以所有的等边三角形都相似；
（5）等腰三角形的两条边相等，两个底角相等，但所有等腰三角形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似；
（6）等腰梯形的两条腰相等，两对底角相等，但所有等腰梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，所以所有的等腰梯形不一定相似；
（7）所有的等腰直角三角形都有两个45°角和一个90°角，所以所有等腰直角三角形的对应角都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似；
（8）正五边形的五条边相等，五个角相等，所以所有对应边成比例，对应角都相等，所以所有的正五边形都相似．
所以（1）（4）（7）（8）一定相似；
（2）（3）（5）（6）不一定相似．
故答案为：（1）（4）（7）（8）；（2）（3）（5）（6）．
15．如图，利用右边的表格，把左边图中奔跑的小人放大一倍．
【详解】所画图形如图所示：
16．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；
(2)A′B′和BC的长；
(3)D′C′∶DC．
【详解】∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，
∴AD：A′D′=4:6=2:3;
（2）由（1）知AB: A′B′= AD：A′D′=2:3，
∵AB=6，
∴A′B′=9；
同理可得，BC＝8；
（3）∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，
∴D′C′∶DC= A′D′：AD=3:2.
17．已知矩形ABCD中，AD=3，AB=1．若EF把矩形分成两个小的矩形，如图所示，其中矩形ABEF与矩形ABCD相似，求AF∶AD的值．
【详解】设AF=x，
∵矩形ABEF与矩形ABCD相似，且AD=3，AB=1，
∴对应边成比例，即=，即=，
解得x=，
∴AF∶AD=∶3=1∶9．
故答案为1：9．。