4函数的单调性 - 中等难度 - 讲义

函数的单调性

知识讲解

一、函数单调性的定义

1.定义

如果函数

()

f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有

()()

12f x f x <，则称

()

f x 在D 内是增函数；当

12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．

2.等价形式

设[]12,,x x a b ∈，那么()()()1212

0f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；

()()()1212

0f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；

()()()12120

x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．

3.应用

即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． 1.比较函数值的大小． 2.可用来解不等式． 3.求函数的值域或最值等

二、单调性判别

1.判断前注意

讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2.用于判断的方法

定义法：

用定义法证明函数单调性的一般步骤：

①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <

②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．

子区间法：如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； 图象法：

复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 运算性质法：在公共定义域内 增函数()f x +增函数()g x 是增函数； 减函数()f x +减函数()g x 是减函数； 增函数()f x -减函数()g x 是增函数； 减函数()f x -增函数()g x 是减函数．

特殊函数：函数(0,0)b

y ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．

经典例题

一．填空题（共16小题）

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=0，且对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，若对于实数x1，x2有如下条件：

①x1＞x2，②|x1|＞|x2|，③|x1|＞x2，④x1＞|x2|，

则其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是②④．

【解答】解：∵f（x）﹣f（﹣x）=0，

∴f（﹣x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，

∵对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，

∴当x∈（﹣∞，0]时，函数为减函数，则当x∈[0，+∞）时，函数f（x）为增函数，

则①x1＞x2，不一定成立，

②|x1|＞|x2|成立，

③|x1|＞x2，不一定成立，

④x1＞|x2|成立，

故答案为：②④

2．若f（x）是R上的增函数，且f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（3，3），则不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是（﹣1，2）．

【解答】解：由题意可知f（0）=﹣1，f（3）=3．

∴﹣1＜f（x+1）＜3等价于f（0）＜f（x+1）＜f（3）

又∵f（x）是R上的增函数

∴0＜x+1＜3，∴﹣1＜x＜2

即不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是（﹣1，2）．

故答案为：（﹣1，2）

3．函数y=f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调减函数，且其图象过点（﹣3，2）和（1，﹣2），则不等式|f（x）|＜2的解集为（﹣3，1）．

【解答】解：由不等式|f（x）|＜2，

得到：﹣2＜f（x）＜2，

又因为f（x）的图象经过点（﹣3，2）和（1，﹣2），

所以f（﹣3）=2，f（1）=﹣2，

所以f（1）＜f（x）＜f（﹣3），

又f（x）在区间（﹣∞，+∞）上为减函数，

∴x∈（﹣3，1），

故答案为：（﹣3，1）

，则f（x）的单调增区间是（﹣∞，0），[1，+∞），单4．若f（x）=

＜

调减区间是[0，1]．

【解答】解：函数的图象为：

则当x＜0时，函数为增函数，

当x≥0时，f（x）=（x﹣1）2，对称轴为x=1，

则当0≤x≤1时，函数单调递减，

当x≥1时，函数单调递增，

故函数的单调递增区间为（﹣∞，0），[1，+∞），

单调递减区间为[0，1]，

故答案为：（﹣∞，0），[1，+∞）；[0，1]

5．已知函数f（x）=，

，＜

在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范

围是0＜a≤1．

【解答】解：当x≥0时，f（x）=x+a在[0，+∞）上是递增的，∴f（x）≥f（0）=a；

当x＜0时，由f（x）=ax+2a﹣1在（﹣∞，0）上也是递增的知，a＞0，且f（x）＜2a﹣1．又∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴2a﹣1≤a，解得a≤1．

综上，0＜a≤1．

故答案为：0＜a≤1．

6．若函数f（x）=，＞

，

为R上的增函数，则实数a的取值范围是[3，6）．

【解答】解：由分段函数f（x）=，＞

，

为R上的增函数，

可得＞

＞，即

＞

＜

，

可得3≤a＜6，

则a的取值范围是[3，6）．故答案为：[3，6）．