2020年秋苏科版数学八年级上期中复习复习专题一：动点问题

初二数学期中复习专题一：动点问题
1、运动中构造全等
1. （13 中）已知正方形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=16，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，动点P 以每秒一个单位速度从点B 出发沿射线BC 方向运动，设点P 的运动时间为t,连接PA.
（1）如图1，动点Q 同时以每秒4 个单位速度从点A 出发沿正方形的边AD 运动，求t 为何值时，以点Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB 全等；
（2）如图2，在（1）的基础上，当点Q 到达点D 以后，立即以原速沿线段DC 向点C 运动，当Q 到达点C 时，两点同时停止运动，求t 为何值时，以点Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB 全等.
2．（45南摄山月考）（8分）如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P 在线段BC 上以4cm/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以acm/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动的时间为t 秒，
①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；
②若以E、B、P 为顶点的三角形和以P、C、Q 为顶点的三角形全等，求a 的值．
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动．则点P 与点Q 会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 的何处相遇？
3．（67南南航第一）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s
的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由．
4.（一中）（8 分）如图，已知△ABC 中，AB =AC = 12 厘米，BC = 9 厘米，∠B =∠C ，点D 为AB 的中点.
（1）如果点P 在线段BC 上以3 厘米/秒的速度由B 向C 运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1 秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明；
②点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？（2）若点Q 以②的运动速度从点C 出发，点P 以原来运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC 的三边运动，求多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
5.（钟英）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，一动点E 从A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E 运动秒时，△DEB 与△BCA 全等.
6.（67南玄华中第一）如图，AB＝12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m，P、Q 两点同时出发，运动分钟后△CAP 与△ PQB 全等．
7.（67南29中期中）（2分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE
＝2，连接DE，动点P 从点B 出发，以每秒2 个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，△ABP 和△DCE 全等．
8.（45南摄山月考）（（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A→C→B 路径向终点运动，终点为B 点；点Q 从B 点出发沿B→C→A 路径向终点运动，终点为A 点．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE⊥l 于E，QF⊥l 于F．设运动时间为t 秒，则当t＝秒时，△PEC 与△
QFC 全等．
2、运动中产生等腰三角形
9.（78南建期中）（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，若AD＝3，AB＝4，CD＝8，点
P 为线段CD 上的一动点，若△ABP 为等腰三角形，求DP 的长．
10.（78南鼓求真期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、
C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变（填“大”
或“小”）；
（2）当DC 等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状也在改变，判断当∠BDA 等于多少度时，△ADE 是等腰三角形．
11.（求真）（12 分）如图，在△ABC 中，∠ACB = 90︒，AB = 10cm ，BC = 6cm ，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A——C——B——A 运动，设运动时间为t 秒（t > 0 ）
（1）当点P 在AC 上，且满足PA =PB 时，求出此时t 的值；
（2）当点P 在∠BAC 的角平分线上时，求出此时t 的值；
（3）当P 在运动过程中，求出t 为何值时，△BCP 为等腰三角形.（直接写出结果）
（4）若M 为AC 上一动点，N 为AB 上一动点，是否存在M、N 使得BM +MN 的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由.
初二数学期中复习专题一：动点问题
1、运动中构造全等
1.（1）当Q 在DA 上时，如图所示：
此时△APB≌△CQD，
∴BP＝DQ，即t = 16 - 4t ，
解得t =16
；5
（2）当Q 在CD 上时，有两种情况
如图1，当Q 在上边，则△QAD≌△PAB，∴BP＝QD，即4t - 16 =t ，
解得t =16
；3
当Q 在下边，如图2，则△APB≌△BQC，则BP＝CQ，即32 - 4t =t ，
解得t =32
；5
2.【分析】（1）①根据正方形边长为10cm 和点P 在线段BC 上的速度为4cm/秒即可求出CP 的长；
②分△BPE≌△CPQ 和△BPE≌△CQP 两种情况进行解答；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）①PC＝BC﹣BP＝10﹣4t；
②当△BPE≌△CPQ 时，
BP＝PC，BE＝CQ，
即4t＝10﹣4t，at＝6，
解得a＝4.8；
当△BPE≌△CQP 时，
BP＝CQ，BE＝PC，
即4t＝at，10﹣4t＝6，
解得a＝4；
（2）当a＝4.8 时，
由题意得，4.8t﹣4t＝30，
解得t＝37.5，
∴点P 共运动了37.5×4＝150cm，
∴点P 与点Q 在点A 相遇，
当a＝4 时，点P 与点Q 的速度相等，∴点P 与点Q 不会相遇．
∴经过37.5 秒点P 与点Q 第一次在点A 相遇．
3.【分析】（1）利用SAS 证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得
答案即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP 和△BPQ 中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
，
解得
；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得
∴
；
综上所述，存在
或
使得△ACP 与△BPQ 全等．
4.（1）①全等，若V p = V q ，则 BP = CQ
1s 时， BP = CQ = 3
∵ BC = 9
∴ CP = 9 - 3 = 6
∵D 为 AB 中点，AB =12
∴ BD = 1 AB = 6 2
∴ BD = CP
∴ ∆BPD ≅ ∆CQP (SAS )
②4cm /s ，当 BP ≠ CQ 时，设时间为 t
要使∆BPD ≅ ∆CPQ ，只要 BP = CP ， BD = CQ 即可 ⎧3t = 9 - 3t ⎧t = 3 ⎪ ⎨6 = vt ⎨ ⎪⎩v = 4
∴Q 的速度为 4cm /s
（2）24s ，第一次在 BC 边上相遇
5. 2s 或 6s 或 8s
6.【分析】设运动 x 分钟后△CAP 与△PQB 全等；则 BP ＝xm ，BQ ＝2xm ，则 AP ＝（12﹣x ）m ，分两种情况：①若 BP ＝AC ，则 x ＝4，此时 AP ＝BQ ，△CAP ≌△PBQ ；②若 BP ＝AP ，则 12﹣x ＝x ，得出x ＝6，BQ ＝12≠AC ，即可得出结果．
【解答】解：∵CA ⊥AB 于 A ，DB ⊥AB 于 B ，
∴∠A ＝∠B ＝90°，
设运动 x 分钟后△CAP 与△PQB 全等；
则 BP ＝xm ，BQ ＝2xm ，则 AP ＝（12﹣x ）m ，
分两种情况：
⎩ 2
① 若BP＝AC，则x＝4，AP＝12
﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP 与△PQB 不全等；
综上所述：运动4 分钟后△CAP 与△PQB 全等；
故答案为：4．
7.【分析】由条件可知BP＝2t，当点P 在线段BC 上时可知BP＝CE，当点P 在线段DA 上时，则有AD
＝CE，分别可得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【解答】解：
设点P 的运动时间为t 秒，则BP＝2t，
当点P 在线段BC 上时，
∵四边形ABCD 为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；
当点P 在线段AD 上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝6，CD＝4，
∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；
综上可知当t 为1 秒或7 秒时，△ABP 和△CDE 全
等．故答案为：1 或7．
故答案为：1 或 或 12．
8.【分析】根据题意化成三种情况，根据全等三角形的性质得出 CP ＝CQ ，代入得出关于 t 的方程， 求出即可．
【解答】解：分为三种情况：①如图 1，P 在 AC 上，Q 在 BC 上，
∵PE ⊥l ，QF ⊥l ，
∴∠PEC ＝∠QFC ＝90°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠EPC +∠PCE ＝90°，∠PCE +∠QCF ＝90°，
∴∠EPC ＝∠QCF ，
则△PCE ≌△CQF ，
∴PC ＝CQ ，
即 6﹣t ＝8﹣3t ，
t ＝1；
②如图 2，P 在 BC 上，Q 在 AC 上，
∵由①知：PC ＝CQ ，
∴t ﹣6＝3t ﹣8，
t ＝1；
t ﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当 P 、Q 都在 AC 上时，如图 3，
CP ＝6﹣t ＝3t ﹣8，
t ＝ ；
④当 Q 到 A 点停止，P 在 BC 上时，AC ＝PC ，t ﹣6＝6 时，解得 t ＝12．
P 和 Q 都在 BC 上的情况不存在，∵P 的速度是每秒 1cm ，Q 的速度是每秒 3cm ；
9.【分析】分AB＝AP、BP＝AP、BA＝BP 三种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：①AB＝AP 时，DP＝＝；
②BP＝AP 时，DP＝AB＝×4＝2；
③BA＝BP 时，过点B 作BH⊥CD 于H，
则BH＝AD＝3，
由勾股定理得，FP＝＝，
DP＝4﹣，或者DP′＝4+．
综上所述，DP 的值为，2，4﹣，或4+．
10.【解答】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
从图中可以得知，点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小；
故答案为：25°；小．
（2）∵∠EDC+∠EDA+∠ADB＝180°，∠DAB+∠B+∠ADB＝180°，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．
∵∠B＝∠C，
∴△ABD≌△DCE．
∴当DC＝AB＝2 时，△ABD≌△DCE．
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE 时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE 时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
102 6
2 ∵∠BAC ＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD ＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA ＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当 EA ＝ED 时，∠ADE ＝∠DAE ＝40°，
∴∠BAD ＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA ＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当∠ADB ＝110°或 80°时，△ADE 是等腰三角形．
11. 解：（1）∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，
∴由勾股定理得 AC ＝ ＝8，
如右图，连接 BP ，
当 PA ＝PB 时，PA ＝PB ＝t ，PC ＝8-t ，
在 Rt △PCB 中，PC 2+CB 2＝PB 2，
（2） 32 3 即（8-t ）2+62＝ t 2 ， 解得：t ＝ 25 ， 4 ∴当 t ＝ 25 时，PA ＝PB ； 4
解：如图 1，过 P 作 PE ⊥AB ，
又∵点 P 在∠BAC 的角平分线上，且∠C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝6cm ，
∴CP ＝EP ，
∴△ACP ≌△AEP （HL ），
∴AC ＝8cm ＝AE ，BE ＝2，
设 CP ＝x ，则 BP ＝6-x ，PE ＝x ，
∴Rt △BEP 中，BE 2+PE 2＝BP 2，
即 22+x 2＝（6-x ）2
解得 x ＝ 8 ，
3
∴CP ＝ 8 ， 3 ∴CA +CP ＝8+ 8 3 ＝ 8 ，
3
∴t ＝ 32 ÷1 = 32 （s ）；
3 3
（3）2s 或 20s 或 21.2s 或 19s
①如图 2，当 CP ＝CB 时，△BCP 为等腰三角形，
若点 P 在 CA 上，则 t ＝8-6，
解得 t ＝2（s ）；
②如图 3，当 BP ＝BC ＝6 时，△BCP 为等腰三角形，
∴AC +CB +BP ＝8+6+6＝20，
∴t ＝20÷1＝20（s ）；
③如图 4，若点 P 在 AB 上，CP ＝CB ＝6，作 CD ⊥AB 于 D ，则根据面积法求得 CD ＝4.8， 在 Rt △BCD 中，由勾股定理得，BD ＝3.6，
∴PB ＝2BD ＝7.2，
∴CA +CB +BP ＝8+6+7.2＝21.2，
此时 t ＝21.2÷1＝21.2（s ）；
④如图 5，当 PC ＝PB 时，△BCP 为等腰三角形，作 PD ⊥BC 于 D ，则 D 为 BC 的中点，
∴AP ＝BP ＝ 1 AB ＝5， 2
∴AC +CB +BP ＝8+6+5＝19，
∴t ＝19÷1＝19（s ）；
综上所述，t 为 2s 或 20s 或 21.2s 或 19s ，△BCP 为等腰三角形．
图 2
图 3 图 4 图 5
（4） 48 5
解：如图，作点B关于AC的对称点D，过D作DN⊥AB于点N，交AC于点M，则DN就是BM+MN 最小值.
∵点B 和点D 关于AC 对称
∴MC 垂直平分BD
∴BM=DM
∴BM+MN=DM+MN
根据垂线段最短，D、M、N 三点共线且垂直于AB 时最短，则高DN 长度为所求
∵S
ABD =
1
⨯DB ⨯AC =
1
⨯AB ⨯DN 2 2
∴DN =DB ⨯AC
=
12 ⨯ 8
=
48
AB 10 5。