2019年高考理数全国卷3 及答案解析

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷
理科数学
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =
( ) A .{}1,0,1-
B .{}0,1
C .{}1,1-
D .{}0,1,2
2.若(1i)2i z +=，则=z
( ) A .1i --
B .1+i -
C .1i -
D .1+i
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
( )
A .0.5
B .0.6
C .0.7
D .0.8 4.()
()4
2
121++x x 的展开式中3x 的系数为
( )
A .12
B .16
C .20
D .24
5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134=+a a a ，则3=a
( )
A .16
B .8
C .4
D .2 6.已知曲线e ln x y a x x =+在点1（，）ae 处的切线方程为2=+y x b ，则
( )
A.–1==，a e b
B.1==，a e b
C.–11==，a e b
D.–1
1==-a e b ， 7.函数3222
x x
x y -=+在[]6,6-的图象大致为
( )
A .
B .
C .
D .
8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，⊥平面平面ECD ABCD ，M 是线段ED 的中点，则
( )
A.=BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线
B.≠BM EN ，且直线，BM EN 是相交直线
C.=BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线
D.≠BM EN ，且直线，BM EN 是异面直线
9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于
( )
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）
A.4
1
22-
B.5
122-
C.6
122-
D.7
122-
10.双曲线C ：22
4
2x y -
=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若
=PO PF ，则
PFO
△的面积为
( )
A
.4
B
.2
C
.
D
.11.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则
( )
A .2332
3log 1224f
f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
＞＞ B .23323124l 2og f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭＞＞
C .23332124log 2f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭＞＞
D .2332
3lo 122g 4f f f
--⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＞＞
12.设函数()si 5n f x x ωπ+⎛
⎫= ⎪⎝⎭
()0ω＞，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
( )
A .①④
B .②③
C .①②③
D .①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知a ，b 为单位向量，且·0=a b
，若2=c a ，则cos ,=a c . 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，12103a a a =≠，，则
10
5
S S = . 15.设12F F ，为椭圆C :
22
+13620
x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为 .
16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
1111ABCD A B C D -挖去四棱锥-O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中
心，，，，E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为30.9 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B
组小鼠给服乙离子
数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）
溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表）. 18.（12分）
ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin
sin 2
A C
a b A +=. （1）求B ；
（2）若ABC △为锐角三角形，且1=c ，求ABC △面积的取值范围.
19.（12分）
图1是由矩形ADEB ，Rt ABC △和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1=，
AB 260==∠=︒，BE BF FBC .将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如
图2.
（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且⊥平面平面ABC BCGE ； （2）求图2中的二面角--B CG A 的大小.
20.（12分）
已知函数32
()2=-+f x x ax b .
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，
求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
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21.（12分）
已知曲线C ：2
2
=x y ，D 为直线12=-y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分
别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E 205⎛⎫
⎪⎝⎭
，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做
的第一题计分。

22.[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A
，)4B π
，)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π
，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2
M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M
上，且||OP =
P 的极
坐标.
23.[选修4–5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.
（1）求222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；
（2）若222
1(2)(1)()3
x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥.
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2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷
理科数学答案解析
一、选择题 1．【答案】A
【解析】集合||11B x x =-剟
，则|1,0,1|A B =-，故选A ．
【考点】集合的交运算，解一元二次不等式
【考查能力】运算求解 2．【答案】D 【解析】 2 i 2i(1-i)2+2i
1i 1+i (1+i)(1-i)2
z =
===+，故选D ． 【考点】复数的四则运算
【考查能力】运算求解 3．【答案】C
【解析】根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用书思图表示如下：
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70
0.7100
=，故
选B ．
【考点】韦恩图的应用与概率问题 【考查能力】阅读理解 4．【答案】B
【解析】展开式中含3x 的项可以由“1与3x ”和“32x 与x ”的乘积组成，则3x 的系数
314424812C C +=+=，故选B ． 【考点】二项展开式通项公式的应用 5．【答案】C
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由531
34a a a =+，得42
34q q =+，得24q =，因为数列
{}
n a 的各项均为正数，所以2q =，又
()231112341(12=48)15a a q q a a a a q +++=+++++=+，所以11a =，所以2314a a q ==．
故选C ．
【考点】等比数列通项公式的应用 【考查能力】运算求解
6．【答案】D
【解析】因为e ln 1x y a x '=++，所以1
1x y
ae '==+，所以曲线在点()1ae ，出的切线
方程为 ( 1)(1)y a c a e x -=+-，即(1) 1y ae x =+-，所以12
1
ae b +=⎧⎨
=-⎩，解得
1
1
a e
b -⎧=⎨
=-⎩．故选D ． 【考点】导数的几何意义 7．【答案】B
【解析】因为32()22x x x f x -=+，所以3
2()()22x
x
x f x f x ---==-+，且[6,6]x ∈-，所以函数3222x x x y -=+为奇函数，排除C ；当0x ＞时；3
202()2x
x
f x x -+=＞恒成立，排除D ；44
26412812816
(4)7.971222571616
f -⨯⨯===≈++，排除A ．故选B ． 【考点】函数图像与性质的应用 8．【答案】B 【解析】取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为ECD △为正三角形，所以EO CD
⊥，
又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD 平面ABCD CD =，所以EO ⊥平面
ABCD ．设正方形ABCD 的边长为2，则EO =，1ON
=，所以
2224EN EO ON =+=．得2
EN =．过M 作CD 的重线，垂足为P ，连接BP ，
则2MP =，32CP =，所以2
2
222
2
32722BM MP BP ⎛⎛⎫=+=++= ⎪ ⎝⎭
⎝⎭．得BM =BM EN ≠．连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ,MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交
直线，故选B ．
【考点】空间线线位置关系 【考查能力】空间想象 9．【答案】C
【解析】执行程序框图1x =,0s =，011s =+=,12x =，不满足1
100
x ε=＜， 所以1111222s =+
=-，14x =，不满足1
100x ε=
＜ 所以211112242s =++=-，18x =，不满足1
100x ε=＜
所以31111122482s =+++=-，116x =，不满足1
100
x ε=＜
数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）
所以41111112248162s =+
+++=-，132x =
，不满足1
100x ε=＜ 所以51111111224816322s =+++++=-，164x =
，不满足1
100x ε=＜ 所以61111112248642s =++++⋯+=-，1128x =
，满足1
100x ε=＜ 输出61
22
s =-，故选C ．
【考点】程序框图
【考查能力】逻辑推理、运算求解 10．【答案】A
【解析】不妨设点P 在第一象限，根据题意可知26c =
，所以||OF =
又tan 2b POF a ∠==，所以等腰三角形POF 的
高222h ==，所
以
12PFO S ∆==．故选A ．
【考点】双曲线的标准方程与几何性质，三角形的面积
11．【答案】C 【解析】根据函数()f x 为偶函数可知()()3
331log log 4
log 44f f f ⎛
⎫
=-= ⎪⎝⎭
，因为23
03
2
302
2
2log 4--<<<<，且函数()f x 在(0,)+∞单调递减，所以
332122log 234f f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．
【考点】函数的单调性、奇偶性
【考查能力】化归与转化，数形结合 12．【答案】D
【解析】如图，根据题意知2πA B x x ＜…，根据图象可知函数()f x 在()02π，有且仅有3
个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据2πA B x x ＜…，有
24π29π2π55ωω＜…，得1229510ω＜
…，所以④正确；当π0,10x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，ππππ55105x ωω++＜＜，因为1229510ω＜…，所以ππ49ππ1051002
ω+＜＜，所以函数()f x 在π0,10⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，所以③正确．
【考点】三角函数的图像与性质
【考查能力】数形结合
13．【答案】2
3
【解析】设(1,0)a =，(0,1)b =
，则(2,c =
，所以2
cos ,3
a c =
=．
【考点】平面向量的数量积． 【考查能力】运算求解 14．【答案】4
【解析】等差数列{}n a 的公差为d ，由213a a =，即113a d a +=，得12d a =，所以
111105*********
1010210022454542555222
a d a a S S a d a a ⨯⨯+
+⨯====⨯⨯++⨯． 【考点】等比数列的通项公式和前n 项和公式
【考查能力】运算求解 15．
【答案】
【解析】不妨令1F ,2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，
根据题意可知4c ==
．因
为12MF F △为等腰三角形，所以易知1
28FM c ==，所以2284F M a =-=，设(, )M x y ，
则22
222
113620(4)640
x y F M x y x y ⎧+=⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪⎪⎩＞＞
，得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩M
的坐标为．
【考点】椭圆的标准方程及定义 16．【答案】118．8
【解析】由题得长方体1111-ABCD A B C D ，的体积为2664144cm ⨯⨯=（）．四边形
EFGH 为平行四边形，如图所示，连接CE ，HF ，易知四边形EFCH 的面积为
矩形11BCC B ，面积的一半，即21
6412cm 2
⨯⨯=（），所
以
数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）
21
31212cm 3
O EFGH V -=⨯⨯=四棱锥（）
，所以该模型的体积为()314412132cm -=，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8g ⨯=（）
．
【考点】空间几何体体积计算
【考查能力】空间想象，运算求解 17．【答案】解：（1）由已知得0.700.200.15a =++， 故0.35a =，
10.050.150.700.10b =---=．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
【解析】（1）根据()P C 的估计值为0.70及频率之和为1可求得a ，b 的值；
（2）根据各组区间的中点值及频率即可计算平均值． 【考点】频率分布直方图
【考查能力】识图能力，阅读理解
18．【答案】（1）解：由题意设正弦定理得sin sin sin sin 2
A C
A B A += 因为sin 0A ≠，所以sin
sin 2
A C
B += 由180A B
C ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222
B B B
=．
因为cos 02B ≠，故1
sin 22
B =，因此60B ︒=．
（2）由题设及（1）知ABC △
的面积ABC S a =△． 由正弦定理得(
)
sin 120csin 1
sin sin 2tan 2
C A a C C C ︒
-===+．
由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒︒＜＜，090C ︒︒
＜＜．
由（1）知120A C +=︒,所以3090C ︒︒
＜＜，故122
a ＜＜
，从而82ABC S △． 因此，ABC △
面积的取值范围是⎝⎭
． 【考点】正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式 【考查能力】化归与转化，运算求解 19．【答案】解：（1）由已知得AD BE ∥，CG BE ∥，所以AD CG ∥，故AD ，CG
确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面由已知得AB BE ⊥，AB BC ⊥，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）作EH BC ⊥，垂足为H ．因为EHC 平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，
所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，60EBC ∠=︒，可求得
1BH =
，EH =H 为坐标原点，HC 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则(1,1,0)A -，(1,0,0)C
，G
，CG =，(2,1,0)AC =-．设平面ACGD 的法向量为,,n x y z =（）
，则00
CG n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即0
20x x y ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩
；所以可取(3,6,n =． 【解析】（1）根据AD/CG 可证明四点共面，通过证明AB 上平面BCGE 即可证明面面垂
直；
（2）过E 作BC 的垂线，以垂足为原点，BC 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，利用向
量法求解二面角．
【考点】四点共面，面面垂直的证明，二面角的求解 【考查能力】推理论证，空间想象
20．【答案】解：（1）2
()622(3)f x x ax x x a '
=-=-
令()0f x '
=，得0x =或3a
x =
． 若0a ＞，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x ＞；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '
＜，
故()f x 在(,0)-∞，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减；若0a =，()f x 在
(,)-∞+∞单调递减；
若a 0＜，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '＞；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '
＜．故
()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞单调递增，在,03a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减．
（2）满足题设条件的a ，b 存在。

（i ）当0a …时，由（1）知()f x 在[]0,1单调递增，所以()f x 在区间[0,1]的最小值为
(0)f b =，最大值为()12.f a b =-+此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，
21a b
-+=，即0a =，1b =-．
数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）
（i ）当3a ≥时，由（1）知，()f x 在[]0,1单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值
为(0)f b =，最小值为()12.f a b =-+。

此时a ，b 满足题设条件当且仅当
21a b -+=，1b =，即4a =，1b =．
（ii ）当03a ＜＜时，由（1）知，()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，最大值
为b 或2a b -+．
若3
127
a b -+=-，1b =
，则a =，与03a ＜＜矛盾．
若3
127
a b -+=-，261a -+=
，则a =
或a =-或0a =，与03a ＜＜矛盾． 综上，当且仅当0a =，1b =-或4a =，1b =时，()f x 在[0,1]的最小值为1-，最大
值为1．
【考点】导数在研究三次函数单调性，最值中的应用 【考查能力】运算求解
21．【答案】解：（1）设1,2D t ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
，()11,A x y ，则2112x y =，2
11 2x y =， 由y x '=，所以切线DA 的斜率为1x 故11
112y k x x t
+
=-． 整理得112 -2 10tx y +=．
设()22,B x y ，同理可得2-210tx y +=． 故直线AB 的方程为2210x y -+=． 所以直线AB 过定点10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
．
（2）由（l ）得直线AB 的方程为12y tx =+，由2
12
2
y tx x
y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --= 于是122x x t +=，121x x =-，()2
1212121y y t x x t +=++=+
()212||21AB x t =-==+
设1d ，2d ，分别为点D ，E
到直线AB 的距离，则1d =
2d =
因此，四边形ADBE 的面积(
)(2121
||32
S AB d d t =+=+．
设M 为线段AB 的中点，则2
1,2M t t ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
由于EM AB ⊥，而()
2,2EM t t =-，AB 与向量(1, t)平行，所以()
220t t t +-=． 解得0t =或1t =±．
当0t =时，3s =；当1t =
±时，s =
因此，四边形ADBE
的面积是3或【考点】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系
22．【答案】解：（1）由题设可得，孤,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，
2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
剟，2M 始的极坐标方程为π3π2sin 4
4ρθθ⎛⎫=
⎪⎝⎭剟，3M 始的极坐标方程为
3π
2cos π)4ρθθ⎛=-
⎝
剟． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知：
若π04
θ
剟，则2cos θ=，解得π6θ=； 若π3π44
θ剟，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=： 若3ππ4
θ剟，则2sin θ-=5π6
θ=
综上，
P 的极坐标为π6⎫⎪
⎭或π3⎫⎪
⎭或2π3⎫⎪
⎭或5π6⎫⎪⎭。

【考点】极坐标方程求解．
23．【答案】解：（1）由于2
[(1)(1)(1)]x y z -++++
222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)((x-11) )()]1x y z x y y z z =-+++++-++++++
222
3(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦…
故由已知得2224
(1)(1)(1)3x y z -++++…，当且仅当53x =
，13y =-，1
3
z =-时等号成立．
所以222
(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为
4
3
． （2）由于2
[(2)(1)()]x y z a -+-+-
222(2)(1)()2[(2)(1)(1)( )(2) ])(x y z a x y y z a a z x =-+-+-+--+---+-
222
3(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦…
数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）
故由已知得22
2
2
(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当43a x -=，13
y a
=-，
22
3
a z -=时成立； 因此222
(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3
a +．
由题知
2(2)1
33
a +…，解得3a -…或1a -…． 【考点】基本不等式在求最值、不等式恒成立求参数问题中的应用
【考查能力】化归与转化。