一次函数与方程不等式知识点

一、一次函数与一元一次方程的关系
直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y b
kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b
k
-
就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系
一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

一、一次函数与一元一次方程综合
【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，
，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．0
【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，
，则a b +=______．
例题精讲
知识点睛
一次函数与方程、不等式综合
二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25
y x
=-+．
（1）画出它的图象；
（2）求出当
3
2
x=时，y的值；
（3）求出当3
y=-时，x的值；
（4）观察图象，求出当x为何值时，0
y>，0
y=，0
y<
【例4】当自变量x满足什么条件时，函数23
y x
=-+的图象在：
（1）x轴下方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．【巩固】当自变量x满足什么条件时，函数41
y x
=-+的图象在：
（1）x轴上方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．
【例5】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，
，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <
【巩固】一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x >
D ．2x <
【例6】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：
（1）当2x =时，y 的值； （2）x 为何值时，0y <？
（3）当21x -≤≤时，y 的值范围； （4）当21y -<<时，x 的值范围．
【巩固】已知一次函数23y x =-+
（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?
（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?
【例7】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ）
A ．2x >-
B ．0x >
C ．2x <-
D ．0x <
【巩固】如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．
【例8】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式1
22
x kx b >+>-的解集为______．
【巩固】直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式
21k x k x b >+的解集为______．
三、一次函数与二元一次方程（组）综合
【例9】把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）
A.无解
B.有唯一解
C.有无数个解
D.以上都有可能
【例10】已知直线3
y x
=-与22
y x
=+的交点为（-5，-8），则方程组
30
220
x y
x y
--=
⎧
⎨
-+=
⎩
的解是________．
【巩固】如图所示的是函数y kx b
=+与y mx n
=+的图象，求方程组
kx b y
mx n y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解关于原点对称的点的
坐标是________．
【例11】已知方程组
y ax c
y kx b
-=
⎧
⎨
-=
⎩
（a b c k
，，，为常数，0
ak≠）的解为
2
3
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，则直线y ax c
=+和直线
y kx b
=+的交点坐标为________．
【巩固】已知
2
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，是方程组
732
28
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解，那么一次函数y=________和y=________的交点是
________．
【例12】阅读：我们知道，在数轴上，1
x=表示一个点，而在平面直角坐标系中，1
x=表示一条直线；
我们还知道，以二元一次方程210
x y
-+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21
y x
=+的图象，它也是一条直线，如图①．
观察图①可以得出：直线1
x=与直线21
y x
=+的交点P的坐标(1，3)就是方程组
1
210
x
x y
=
⎧
⎨
-+=
⎩
的
解，所以这个方程组的解为
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
在直角坐标系中，1
x≤表示一个平面区域，即直线1
x=以及它左侧的部分，如图②；
21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．
(1)
y=2x+1x=1
x=1
(2)
(3)
回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组1
22x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；
2
y 1=2x+1
(4)
⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示220y x y ⎪
≤-+⎨⎪≥⎩
所围成的区域．
⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .
1. 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程
3kx b +=的解是x =______．
2. 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．
3.
已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ） A ．20y -<< B ．40y -<< C ．2y <- D ．4y <-
课后作业
4.
已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）
A ．5x >
B ．1
2
x < C ．6x <- D ．6x >-
5.
一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．
3
6. b 取什么整数值时，直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？
7.
已知一次函数6y kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．。