3.4坐标变换

因为向量的坐标是等于终点的坐标减 去起点的坐标. 从而得到，向量的坐 标的变化公式：
u c11u' c12v' c13w' , v c21u' c22v' c23w' , w c31u' c32v' c33w'.
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五．旧坐标表示新坐标的公式(从旧坐标计算新坐标)
点 P旧坐标为 (x, y, z)，新坐标为 (x', y', z' ).
x a1 c11
y z
a2 a3
c21 c31
c12 c22 c32
c13 c23 c33
x' y' z'
.
x a1 y a2 z a3
C
x
y z
,
x
x a1
x a1
Байду номын сангаас
y z
C
1
y z
a2 a3
CT
y z
a2 a3
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即：x( y, z)的系数是e1(e2, e3)的新坐标. 而(a1c11 a2c21 a3c31， a1c12 a2c22 a3c32， a1c13 a2c23 a3c33 ) 是旧原点O的新坐标
e3' (c13 , c23 , c33 ) c13 e1 c23 e2 c33 e3.
写成矩阵的形式
c11 c12 c13
e1'
e2'
e3' e1
e2
e3
c21 c31
c22 c32
c23 c233
矩阵形式
c11 c12 c13
e1'
e2'
e3' e1
e2
y
a2
c21 x '
c22
y'
c23z' ,
这是从新坐 标求旧坐标，
z a3 c31x' c32 y' c33z'.
写成矩阵的形式
下面还会讨 论从旧坐标 来求新坐标。
x a1 c11
y z
a2 a3
c21 c31
c12 c22 c32
c13 c23 c33
x' y' z'
c21 c31
c22 c32
c23 c33
c21 c31
c22 c32
c23 c33
0 0
1 0
0 1
.
结论：Ｃ为正交矩阵
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四．向量坐标的变化公式
设向量 r QP在新旧两组坐标系里面的坐标 为：(u, v, w)和 (u',v', w' ).
点的坐标变换公式
x a1 c11x' c12 y' c13z', y a2 c21x' c22 y' c23z', z a3 c31x' c32 y' c33z'.
e2' c12 e1 c22 e2 c32 e3 ,
(a3 c31x' c32 y' c33 z' )e3
e c e '2021/4/9 3 13 1
c23 e2
c33 e3.
xe1 ye2 ze3.
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空间点坐标变换公式为：
x a1 c11x' c12 y' c13z' ,
e1O
OP OO' O'P
a1e1 a2 e2 a3e3 x' e1' y' e2' z' e3' .
因为
e1' c11e1 c21e2 c31e3 ,
(a1 c11x' c12 y' c13 z' )e1 (a2 c21x' c22 y' c23 z' )e2
从而可以得到下面一组正 交条件：
c121 c221 c321 1, e1' e1' 1 c122 c222 c322 1,
c123 c223 c323 1,
c11c12 c21c22 c31c32 0,
c12c13 c22c23 c32c33 0,
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旧坐标表示新坐标的公式:
x c11(x a1) c21( y a2 ) c31(z a3 ),
y
c12
(
x
a1
)
c22
(
y
a2
)
c32
(
z
a3
),
z c13 (x a1) c23 ( y a2 ) c33 (z a3 ).
常数项和一次项系数的意义？
旧原点和旧基本向量的新坐标。
e3
c21 c31
c22 c32
c23 c33
c11 c12 c13
矩阵
C
c21 c31
c22 c32
c23 c33
e1'
e2'
e3'
的 的的
旧 旧旧
坐 坐坐
标 标标
称为从坐标系 I 到 I ' 的过渡矩阵，它是以 e'1,e'2 ,e'3
在202I1/4/9中的坐标为各个列向量的三阶矩阵。
3.4：坐标变换
3.4.1空间直角坐标变换
在不同的坐标系下，同一个点的坐标是不同的，从而 图形的方程也是不同的。 问题1：对于给定的图形，怎样选坐标系？使得它的 方程最简单。 问题2：在不同的坐标系下，同一图形的不同方程之 间有什么关系？
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1
一．过渡矩阵
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ] O' (a1, a2 , a3 )
新坐标系[O',e1' ,e2' ,e3' ] OO' a1e1 a2 e2 a3 e3.
e3'
e3
．O'
O
e1' e2
e1
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e1' (c11, c21, c31) c11e1 c21e2 c31e3 , e2' e2' (c11, c21, c31) c12 e1 c22 e2 c32 e3 ,
c13c11 c23c21 c33c31 0. 6
因为 e1' ,e2' ,e3' 是相互垂直的三个基本向量，所 以 e1' e2' e3' 1, 即
c11 c12 c13 c21 c22 c23 1. c31 c32 c33
c11
c12
c13 c11
c12
c13
T
1 0 0
3
二．点坐标变换公式
任何一点P ,如果其旧坐标 为(x, y, z)，新坐标为 (x', y', z' ),那
么
OP xe1 ye2 ze3,
O'P x' e1' y' e2' z' e3' .
而
OO' a1e1 a2 e2 a3e3.
e3'
e3
O'
P•
P e2'
·O'
O
e1' e2
.
e1' e2' e3'
O'的旧坐标
的 旧
的的 旧旧
坐 坐坐
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标 标标
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三．过渡矩阵性质
因为 e1' , e2' , e3' 是互相垂直的单位向量, 即
ei'
e'j
1,当i 0,当i
j; j.
e1' c11e1 c21e2 c31e3 , e2' c12 e1 c22 e2 c32 e3 , e3' c13 e1 c23 e2 c33 e3.