D42换元法54862

C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C (C C 1ln a)
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当xa时,令 xu,则ua,于是
dx x2 a2
du u2 a2
lnu
u2a2
C 1
lnxx2a2C 1
ln
a2
x x2a2

d(sx etcax)n secxtanx
同样可证
ln se x c tax n C
方法或技巧(9)
cscxdx ln cs x co x tC 或 cscxdx ln tanx C (P199 例18 )
2
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例12 求 co4sxdx.
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1 求 (a x b )m d x(m 1 ).
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = u m 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注: 当 m1时
则
F(x)d dt
d t dx
f[(t) ](t) 1
(t)
f (x)
f(x)dxF(x)C[1(x)]C [ft[] (C t) t](t)d 1t(xt ) 1(x)
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例16 求 a2x2dx(a0).
解: 令 x a sti,t n ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 itn aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acostacotdsta2 co2tsdt
a2t sin 2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sticn to 2 s x
(1 ) f(x,na x b)d x, 令 tnaxb 第
四
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t n
a xb c xd
节 讲
(3 ) f(x, a 2 x2)d x,令 xasitn或 xaco t s
(4 ) f(x, a 2 x2)d x,令 xatat或nxash t


dcosx cosx
lncoxsC
类似
coxtdx? cossinxxdx


dsin x sin x
lnsixnC
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常用的几种配元形式或技巧:
此处例1和书本194页例1,2
1
(1)f(axb)dxa
f(axb)
d(axb)
(2) f(xn)xn 1dx1 f (xn) d x n n
14
3 2
dx co2xsd2(x)8 1co 4 xd s (4 x)

3 8
x
14sin2x312sin4x C
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1si2nxco2xs等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
xdxaxdxa

1 2a


d(x a) xa
d(xxaa)

1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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例5 求 tanxdx.
解:
tanxdx
sin xdx cos x
(5 ) f(x, x2 a 2)d x,令 xase t或cxacth
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(6) f(ax)dx,令 t ax
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 2. 常用基本积分公式的补充 (P205)
(1)6taxndxlncoxsC (1)7coxdtxlnsinxC (1)8sexd cxln se x ctaxn C (1)9csxd cxln cs x c co x tC
a2 x2
a
a
a 2 arcsin x 1x a2x2C
2
a2
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例17
求
dx x2a2
(a0).
解: 令 x a ta t,t n ( 2 , 2 ),则
x 2 a 2 a 2 ta 2 t n a 2aset c
dxase2ctdt
(6 )f(tx a )sn e 2xd c x f (tanx) dtanx
(7) f(ex)exdx f (ex) d e x
(8) f(lnx)1xdx f (lnx) dln x
(9) 适当的变量代换或化简(包括降低幂次等)化成我
们熟悉的积分形式 此处例2-4和书本195页例3,5,6,7,14-20
3
例8 求 sec6xdx.
方法或技巧(6)和(9)
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x (t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 xtaxn C
5
3
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d ax
x
b

1lnaxbC a
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例2 求
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2

1 a2
dx 1(( aaxx )) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 a
du 1 u
2
1arctaunC a
1arctaxn)(C
a
a
想到公式

1
d
u u
2
arc u tC an
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例3 求 dx (a0). a2x2
解:
dx
dx

d
(
x a
)
a2 x2
a
1

(
x a
)2
1

(
x a
)
2
arcsixnC a
想到 du arcu sC in 1u2
f[(x) ](x)dx 第一类换元法 第二类换元法
f (u)du
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一、第一类换元法
定理1. 设f (u)有原函数 , u(x)可导 , 则有换元
公式
f[(x) ](x)dx f (u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d)(x)
C1
lnx x2a2 C (C C 1 2 ln a )
x a时，
dx x2 a2
lnx x2a2 C
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解:
令
x

1 t
,则
dxt21dt
原式
当x0时,
a 2 1 t4
1 t2
例9
求
dx 1 ex
.
解法1
方法或技巧(7)和(9)
dx
1 ex

(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
xln1(ex)C
解法2
dx
1 ex

ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln1 (ex)C
∴ 原式
asec2t d asetc
t
sectdt
ln se t tca t n C 1
ln
x2a2
a

x a
C1
x2 a2 x t
a
ln xx2a2 C (CC 1ln a)
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例18. 求
dx (a0). x2a2
例6
求

dx . x(12lnx)
解:
原式
=

1
dln x 2 ln
x
12d1(122llnxnx)12ln12lnxC
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例7 求
e3
x
dx.
x
方法或技巧(9)
解: 原式 = 2 e3 xd x 2 e3 xd3( x) 3
2e3 x C
f[(t) ](t)具有原函数 , 则有换元公式
f(x )d x f[( t)] ( t)d tt 1 (x )
其t中 1(x)是 x(t)的反 . 函数
证: 设f[(t) ](t)的原函数 (t), 令为
F(x) [1(x)] ( t) f[( t)] ( t)
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u)f(u),
可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
f[(x) ](x)dxF[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
方法或技巧(9)
解: co4xs(c2ox)s2(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
co4xsdx1 4(2 3 2 c2 o x 1 2 s c4 o x )d x s
f[(x) ](x)dxf((x)d )(x) (直接配元)
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例4
求

x
2
dx a
2
.
解:
1 x2 a2

1 2a
(x a ) (x a )
1(
1

1
)
( x a )( x a ) 2a xa xa
∴ 原式 =
1 2a

l1 n e ( x ) le n x ( e [ x 1 )] 两法结果一样
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例10 求 secxdx.
方法或技巧(4)和(9)
解法1
secxdx ccoos2sxxdx 1dssiinn2xx
1 21s1ixn1s1ixn d sin x
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f[难(x)求 ](x)dx易f(u求)duu(x) 若所求积分 f (u)du难求，
f[(x) ](x)dx易求,
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设 x(t)是单调可导函数 , 且 (t)0,
1ln1sinx ln 1 sx in C
2 1ln1sinx C
2 1sinx
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解法 2 secxdx sesxc(e x s x te c a ctx an xn )dx se2cxsexctaxndx
sexctaxn
解: 当xa时,令 x a se t,t c(0 , 2 ),则
x 2 a 2 a 2 s2 e t a c 2atatn
dx asettcatd nt
∴
原式

asetctatndt atant
sectdt
ln se t tca t n C 1
ln ax
x2a2 a
万 书本195页例4 能
凑
(3) f(xn)1dx1 xn
f
(xn)
1 xn
dxn
幂 法
(4 )f(sx)icno xd xs f (sinx)dsinx
(5 )f(cx)o sis xd n x f(coxs) dcosx
此处例5和书本197页例11-13
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co 2x s1 2(1co 2x)s ; si2x n 1 2(1co 2x)s ;
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn
f
(xn)1dx x
1 n
f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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1 t2
d
t
(a2t21)1 2 tdt
原式

2
1 a
2
(a2t21)1 2d(a2t2 1)
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
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小结:
1. 第二类换元法常见类型: