云南省德宏州芒市第一中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题 含答案

芒市第一中学2016年春季学期期末考试高二年级
数学试卷(文科)
制卷人：闫奇艳 审卷人：许倩
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求,请将答案写在答题卡的相应位置）
1、设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}4,3{=B ，则=B A C U
)(（ )
A.
}
3{ B 。

}
4{ C.}4,3{
D.}4,3,2{
2、已知i 为虚数单位，则=+i
i 31
（ ）
A. i 4
143- B ．
i 4
143+ C ．
i 2
123+
D ．
i 2
123- 3、在区间],[ππ-上随机取一个数x ，则事件：“0cos ≥x ”的概率为 ( ） A. 4
1 B.
4
3 C 。

2
1
D.
3
2
4、已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ ） A.
4
3 B ．
23 C ．4
3 D ．1
5、已知直线3+=kx y 与圆054622
=+--+y x y x 相交于N M ,两点，若32=MN ，
则k 的值是 ( ）
A 。

212-
或 B. 2
12--或
C 。

212或-
D.
2
12或
6、
在一次学业水平测试中，小明成绩在8060-分的概率为5.0,成绩在60
分以下的概率为3.0，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为 （ ） A 。

2.0 B 。

3.0 C 。

5.0
D 。

8.0
7、不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-≤-≥+0422
y x y x y x 所围成的平面区域的面积为
（ ）
A 。

2
3 B.2
6
C 。

6
D 。

3
8、
已知命题x
e a x p ≥∈∀],1,0[:,命题04,:2
=++∈∃a x x
R x q ，若命题""q p ∧是真命
题，则实数a 的取值范围是 （ ) A 。

]
4,[e B 。

]4,1[ C 。

),4(+∞
D.
]1,(-∞
9、执行如图所示的程序框图，输出2016
2015=s ，则判断框内应填 （ )
A.?2015≤k B 。

?2016≤k
C .?2015≥k D.
?2016≥k
10、
已知抛物线)0(22
>=p px y
的准线与圆16)3(22=+-y x 相切，
则p 的值为( ）
A.2
B. 1 C 。

0 D 。

2-
11、定义在R 上的偶函数满足)23
()23
(x f x f -=+,且1)1(=-f ，2)0(-=f ， 则)2016()3()2()1(f f f f ++++ 的值为（ ） A 。

2 B 。

1 C 。

0
D 。

2-
12、在封闭的直三棱柱1
11C B A ABC -内有一个体积为V 的球，若BC AB ⊥，
3,8,61===AA BC AB ，则V
的最大值为 （ )
A ．π4
B ．π2
9 C ．
π
6
D ．π3
32
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分,把答案填在答题卡中横线上。

) 13.函数x x y 2cos 2sin 3-=
的图象可由函数x y 2sin 2=的图象至少向右平移
个单位长度得到。

14。

若⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0
,20,)(2
x x a x x f x ，且)2()1(-=f f ，则=a。

15。

若
x x f 2cos )(cos =，则)2
1
(-f 的值为
.
16。

已知)(x f 为偶函数，当0≤x 时，x e x f x -=--1
)(,则曲线)(x f y =在点)2,1(处
的切线方程是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17。

已知数列{}n
a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*,2
)
1(N n a a S
n n n
∈+=。

（I ）求证：数列{}n
a 是等差数列 ;
（II ）设n
n
S b
21=
，n n
b b b b T
++++= 321，求n T 。

18.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i
x （单位：
千元）与月储蓄i
y （单位：千元）的数据资料，算得8010
1
=∑=i
i x
，2010
1
=∑=i i y ，
184101
=∑=i i i y x ，720210
1
=∑=i i x 。

（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程∧
∧
∧
+=a x b y ; （2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;
（3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄。

附：线性回归方程^
^
a x
b y +=中，2
2
1
1^
x
n x y
x n y x b i n i i i n
i -∑-∑=
==，-
∧-
∧
-=x b y a ，其中-
-
y x ,为样本平
均值.
19。

如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥，四边形ABCD 为正方形，点N M ,
分别为线段PB ，PC 上的点，PB MN ⊥． (Ⅰ)求证：平面⊥PBC 平面PAB ；
（Ⅱ）求证:当点M 不与点B P ,重合时，//MN ABCD 平面； （Ⅲ）当3=AB ,4=PA 时，求点A 到直线MN 距离的最小值。

20。

已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>C 与y 轴交于B
A ,两点,且2=A
B ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设点P 是椭圆C 上的一个动点,且直线PB PA ,与直线4=x 分别交于
N M ,两点，是否存在点P ，使得以MN
为直径的圆经过点)0,2(?若存在，
求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由.
21。

已知函数R x a x e
x f x
∈+-=,)(2的图象在点0=x 处的切线为bx y =。

（1）求函数)(x f 的解析式;
（2)若kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号［学
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 内切于圆O ,过点A 作圆O 的切线EP 交CB 的延长线于
P ,已知PCA EAD ∠=∠。

求证：(1）AB AD =； （2）BP DC DA
•=2。

23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为0cos sin
2
=-θθρ，点)2
,1(π
M 。

以极点
O 为原点，以极轴为
x 轴正半轴建立直角坐标系中，斜率为1-的直线
l 过点M ，且与曲线C 交于B A ,两点.
（I ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （II)求点M 到B A ,两点的距离之积．
24.（本小题满分10分)选修4-5：不等式证明选讲 已知函数12)(++-=x x x f
（1）求证：3)(3≤≤-x f ； （2）解不等式x x
x f 2)(2
-≥.
高二下学期期末文科数学答案
CB 12~11 ADAAA 10~6 BBCBC 5~1
x y 216. 2
1
15.214. 12.
13=--π
17.（1）证明：当1=n 时,12
)
1(11111=⇒+=
=a a a S a 。

当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=---1
2
112
22n n n n
n n a a S a a S
)
2(100)1)((2111112
12
≥=-∴>+=--+⇒+-+=⇒------n a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n
所以数列{}n
a 是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2）解：由(1)可得
18.解：(1)由题意知 10=n
21020
1,81080111======∴∑∑=-=-
n i i n i i y n y x n x
242810184-,80810720-1
2
2
1
2
=⨯⨯-==⨯-=-
-=-=∑∑y x n y x x n x
n
i i i n
i i
.
1
111 11
13121211 111)1(121,2
)
1(,321+=+-=+-
++-+-=++++=∴+-
=+==+=
=n n
n n n b b b b T n n n n S b n n S n a
n
n n n n n
3
.080
24
2
2
1
1^
==
-∑-∑=
∴==x
n x y
x n y x b i n
i i i n
i
4.083.02-=⨯-=-=-
∧-∧x b y a
故所求回归方程为4.03.0-=x y 。

（2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加（03.0^
>=b ），故x 与y 之间是
正相关。

(3）将7=x 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄
为（千元）
7.14.073.0=-⨯=y
19.(1)证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥.
因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥.
又AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB . 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PAB .
（2）证明：由（1）知， BC ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥ 在PBC ∆中，BC PB ⊥,MN PB ⊥， 所以//MN BC ，
又BC ⊂平面ABCD ，M N ⊄平面ABCD ，所以MN //平面ABCD . （3）解:因为//MN BC , 所以M N ⊥平面PAB ， 而AM ⊂平面PAB , 所以M N ⊥AM , 所以AM 的长就是点A 到MN 的距离, 而点M 在线段PB 上
所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离， 在Rt PAB ∆中，3,4,AB PA ==所以A 到直线MN 的最小值为125。

20.解:（1）由已知2AB =,得知22b =，1b =,
因为c a
=
,
2
22a b c =+,所以2,a =
所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=。

（2）假设存在。

设0
(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -，
所以AP 的直线方程为0
011y y x x -=+，
BP 的直线方程为0
1
1y y x x +=-,
令4x =，分别可得004(1)1y m x -=+，00
4(1)1y n x +=-，
所以0
82MN
m n x =-=-
,
线段 MN 的中点0
4(4,
)y x , 若以MN 为直径的圆经过点(2,0)，
则2
2
2
00
44(42)(0)(1)y x x -+-=-， 因为点P 在椭圆上,
所以2
20014x y +=，代入化简得0
810x -=，
所以0
8x =, 而[]0
22x ∈-，，矛盾,
所以这样的点P 不存在.
21。

解:（1）
由已知⎩⎨⎧=-=⇒⎩
⎨⎧===+=111)0(01)0(/b a b f a f ,
1)(2--=∴x e x f x。

（2）
kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立x
x f k )
(<
⇔对任意的),0(+∞∈x 恒成立 令2
2
2/2)
1)(1()1()2()(1
)()(x x e x x x e x e x x g x
x e x x f x g x
x x x ---=----=--=
=则 当),0(+∞∈x 时,01>--x e
x
恒成立,令10)(/
=⇒=x x g 当)1,0(∈x 时，)(,0)(/
x g x g <单调递减，
当)1(∞+∈，
x 时，)(,0)(/
x g x g >单调递增， 2 2)1()
(min
-<∴-==∴e k e g x f
x
e x
f a x e x f x x 2)( )(/2-=∴+-=
故实数k 的取值范围是)2,(--∞e . 22.证明略。

23。

解：（1)0 0cos sin 0cos sin 2222
=-∴=-∴=-x y θρθρθθρ
故曲线C 的直角坐标方程为x y
=2。

)1,0( 4
3 1M k π
α=∴-=
故直线l 的参数方程为)( 22143sin 12243cos 为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=-==ππ
(2）把x y =2代入)( 22143sin 12243cos
为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=-==ππ, 化简得02232
=++t t
,221=∴t t
故点M 到B A ,两点的距离之积为2.
24.(1）证明略. （2）x x x x 2122
-≥+--
当1-≤x 时，1 310322
-=∴≤≤-⇒≤--x x x x
当21<<-x 时,11 11012
-≤<-∴≤≤-⇒≤-x x x
当2≥x 时，
0322无解≤+-x x
综上所述，不等式的解集为]1,1[-。