江西省新余市2019-2020学年高考数学第四次押题试卷含解析

江西省新余市2019-2020学年高考数学第四次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()3,0A -，(
)
3,0B
，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r
，过点P 作与AP 垂直的直线
l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≥
B ．1x >
C ．2x ≥
D ．2x ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】
如图，连接OP ，AM ，
由题意得22MB MA BQ OP -===，
∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
2．椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）
A ．150︒
B ．135︒
C ．120︒
D ．90︒
【答案】C 【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可得14PF =，1227F F
=，再利用余弦定理即可得到结论. 【详解】
由题意，1227F F =，126PF PF +=，又22PF =，则14PF =， 由余弦定理可得222
1212
1212
164281
cos 22242
PF PF F F F PF PF PF +-+-∠=
=
=-⋅⨯⨯.
故12120F PF ︒∠=.
故选：C. 【点睛】
本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.
3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：
若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522
C ．535
D ．578
【答案】D 【解析】 【分析】
因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】
从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:
436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.
【点睛】
本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象
限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

【详解】
根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以2
90OMF ?o ，三角形2OMF 是直角三角形，
因为2MH OF ^，所以22OF MH
OM MF ??，ab c MH =，即M 点纵坐标为ab
c ，
将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22
2
2
2
a b c x b +=，解得2
b c x =，(
)
2,b ab c
c
M ， 将M 点坐标带入双曲线中可得4
2
222
1b a a c c -
=，
化简得4422b a a c -=，(
)
2
2
2422c a a a c --=，223c a =，3c
a e =D 。

【点睛】
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。

5．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，
，则a r
的取值范围是（ ）
A ．[0，1]
B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C ．[1，2]
D ．[0，2]
【答案】D 【解析】 【分析】
设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，
，构造（14a m -r r ）2≤22116
m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设2m a b =+r r r
，则2m =r
，
[]22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r
，，，
∴（14a m -r
r ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116
m +r
|m r |2m r =2＝4，所以可得：2182
m =r
，
配方可得
222111192()428482
m a m m =≤-≤+=r r r
r ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
r r ，，
又111||||
||||||||444
a m a m a m -≤-≤+r
r r r r
r 则a ∈r
[0，2]． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A ．1
B ．2
C 3
D ．2【答案】B
【解析】 【分析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】
正方体的面对角线长为，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，
，故选B. 【点睛】
本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
7．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数
C ．()f x 不是函数的最小值
D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【详解】
由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，
若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，
则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．
8．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )
A ．2
B ．3
C ．3.5
D ．
4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据表中数据，即可容易求得中位数. 【详解】
由图表可知，种子发芽天数的中位数为34
3.52
+=， 故选：C.
【点睛】
本题考查中位数的计算，属基础题. 9．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z
+为实数m ，则m =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D
．2
【答案】B 【解析】 【分析】
可设(,)z a
bi a b R =+∈，将z i z
+化简，
a b i +
由复数为实数，
0b =，
解方程即可求解 【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈，则
)22a b i z
a bi i i i z a
b +
-+=+=+=+.
00b a =⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 10．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+
D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+
【解析】 【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，
a b a b -≥+.
故本题答案为D. 【点睛】
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.
11．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦
长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11 C ．7-
D ．9-
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离
d ，结合弦长公式得
=9m =-或11m =，故选A ． 12．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．0
00(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．0
00(0,1),ln x x e x -∃∈<
D ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈≤
【答案】D 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，0
0ln x e x -≤．
故选D ．
本题考查全称命题的否定,难度容易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()2,6a =-v
，()3,b m =v ，若a b a b +=-v v v v ，则m =______.
【答案】1 【解析】 【分析】
根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得a b +r r 与a b -r r
,再结合向量的模长公式即可求得m 的值.
【详解】
向量()2,6a =-r ,()3,b m =r
则()5,6a b m +=-+r r ,()1,6a b m -=---r r
则
a b +==r r
a b -=
=r r 因为a b a b +=-r r
r r
=化简可得12611237m m -+=+ 解得1m = 故答案为: 1 【点睛】
本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.
14．已知函数254,0
()22,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围
是________． 【答案】(1,3) 【解析】 【分析】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】
函数()y f x a x =-恰有4个零点，等价于函数()f x 与函数y a x =的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：
由图象可知：实数a 的取值范围是13a <<. 故答案为：(1,3) 【点睛】
本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=．(,1,2,i k k ≤=3,,1)n -L ，若{}n a 是等比数列，数列{}n a 的通项公式n a =_______． 【答案】12n - 【解析】 【分析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】
因为211a a a -=，所以212a a =，
因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为1．
又1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-L （，
所以当i k =时，有12k k a a +=．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以1
2n n a -=，
故答案为：12n -. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目. 16．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱1BB 的中点，点F 是
棱1CC 靠近1C 的三等分点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______．
【答案】12 【解析】 【分析】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的BC a =，且BC 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。

【详解】
由题意，设底面平行四边形ABCD 的AB a =，且AB 边上的高为b ，直四棱柱1111ABCD A B C D -的高为
h ，
则直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh abh ==， 又由三棱锥1A AEF -的体积为11111111
23326
A AEF F AA E V V S h ah b abh --===⨯⨯==， 解得12abh =，即直四棱柱的体积为12。

【点睛】
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知直线l 的参数方程为1324x t
y t
=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取
相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为224πρθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
＝. （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点(1,2)P -，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||||AB PA PB +⋅的值. 【答案】（1）4320x y +-=；2
2
220x y x y +--=（2）5 【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果. 【详解】
解：（1）直线l 的参数方程为1324x t
y t
=--⎧⎨
=+⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程为4320x y +-=.
曲线C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫
=
-
⎪⎝
⎭
.转换为2cos 2sin r q q =+，转换为直角坐标方程为22220x y x y +--=.
（2）直线l 的参数方程为1324x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数），转换为标准式为315
425x t y t
⎧
=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
代入圆的直角坐标方程整理得2430t t ++=， 所以124+=-t t ，123t t =.
()
2
1212121212||||||45AB PA PB t t t t t t t t t t +=-+=
+-+=.
【点睛】
本题属于基础本题考查的知识要点：主要考查极坐标，参数方程与普通方程互化，及求三角形面积．需要熟记极坐标系与参数方程的公式，及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路．
18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面
PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.
（1）求证:OE P 平面PAB ； （2）求证:CD PA ⊥.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行； （2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直. 【详解】
（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点， 又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，
又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ； （2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD I 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ， 所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ， 所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，
PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，
所以，CD PA ⊥. 【点睛】
此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.
19．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4
B ∠=
.
（1）求AC 的长；
（2）若ABC ∆的面积为6，求sin sin CAB ACB ∠⋅∠的值. 【答案】 (1) 22AC =(2) 9
sin sin 22
CAB ACB ∠⋅∠=
【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理可得AC 的长；（2）利用面积得出ac ，结合正弦定理可得. 【详解】
解：（1）由题可知2
1cos cos212sin 8
D B B ∠=∠=-∠=-
. 在ACD ∆中，2222cos 22AC AD CD AC CD D =+-⋅∠=， 所以22AC =
（2）1
sin 62
ABC S AB BC B ∆=
⋅=，则16AB BC ⋅=.
又
sin sin sin 3
BC AB AC CAB ACB B ===
∠∠∠，
所以2
9sin sin 1622CAB ACB ∠⋅∠=⨯=.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.
20．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值． （1）求证：00ln 0x x +=；
（2）若0x x …
时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）[1,)e -+∞. 【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导，令()ln 1x
g x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在
01
12
t <<使得()00g t '=，即0
1
0t e t -
=，即得证； （2）分
00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00
1
10x a x ++-…时，转化
()n 20mi 000
1
()f x f x x x a x ==
++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零
点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解. 【详解】
（1）由题意()ln 1x
f x e x a '=-+-，
令()ln 1x
g x e x a =-+-，则1
()x
g x e x
'=-
，知()g x '为(0,)+∞的增函数， 因为(1)10g e '=->
，1202g '
⎛⎫
=<
⎪⎝⎭
， 所以，存在0112
t <<使得()00g t '=，即
010t e t -=． 所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数， 当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数，
故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '
取得最小值．
故00x t =，于是有0
01
0x e x -
=，即00
1x e x =， 所以有00ln 0x x +=，证毕．
（2）由（1）知，()ln 1x
f x e x a '=-+-的最小值为
00
1
1x a x ++-， ①当00
110x a x ++-…，即0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数， 所以()0
20min 000000
1
()ln x
f x f x e x x x a x x a x ==-+=
++， 2
000000
011111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫++-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦…， 由（1）中
01
12x <<，得00111x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭
，即()1f x >． 故0011a x x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
…
满足题意． ②当00
110x a x ++-<，即0011a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭
时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ， 且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x x
f x e x a a x e '=-+-=⇒=-+，
若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（*） 若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数， 所以()f x 的最小值为()2f x ．
注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，
（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…
， 所以201x <„，即210x -≥，
又()()
()22222222222222ln ln ln 11x
x
x
x
f x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+
()()22111x x e =--+，
而210x e ->，所以()()
221111x
x e --+>，即()21f x >．
由于在
01
12x <<下，恒有001x e x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以00111e x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭
． （ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=， 所以201x x >>，
所以由（*）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，
所以()(1)1f x f e a <=+<，不满足0x x …
时，()1f x …恒成立，故舍去． 故00111e a x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭
„满足条件．
综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞． 【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.
21．设数阵11
12021
22a
a A a a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，其中11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈L ．设{}{}12,,,1,2,,6l S e e e =⊆L L ，
其中12l e e e <<<L ，l N *∈且6l ≤．定义变换k ϕ为“对于数阵的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以1-；若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”（1k e =、2e 、L 、
l e ）．()0S A ϕ表示“将0A 经过1
e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A 、L ，以此类推，最后将1
l A -经过l e ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为()0S T A ．
（1）若01215A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；
（2）若01336A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，{}1,3S =，求()0S T A 的值；
（3）对任意确定的一个数阵0A ，证明：()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-．
【答案】（1）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭
；
（2）5-；（3）见解析. 【解析】 【分析】
（1）由01215A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，能求出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；
（2）由01336A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，{}1,3S =，求出数阵0A 经过s ϕ变化后的矩阵，进而可求得()0S T A 的值；
（3）分1112a a ≠和1112a a =两种情况讨论，推导出变换后数阵l A 的第一行和第二行的数字之和，由此能证明()0S T A 的所有可能取值的和不超过4-． 【详解】 （1）01215A ⎛⎫=
⎪⎝⎭Q ，0A 经过2ϕ变换后得到的数阵11215A --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；
（2）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经s ϕ变换后得1336⎛⎫
⎪--⎝⎭
，故()013365s T A =+--=-；
（3）若1112a a ≠，在{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -；
含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为11a -、12a -； 同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ； 不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ． 所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为
()()()()()44441112111211121112111222221a a a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+=--.
若1112a a =，则{}1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为11a -、
12a -；
不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为11a 、12a ．
所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为()()
()5
5
111211*********a a a a a a ⨯--+-⨯+=--．
同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以()0s T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----，
又因为11a 、12a 、21a 、{}221,2,,6a ∈L ，所以()0s T A 的所有可能取值的和不超过4-． 【点睛】
本题考查数阵变换的求法，考查数阵中四个数的和不超过4-的证明，考查类比推理、数阵变换等基础知识，考查运算求解能力，综合性强，难度大．
22．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a b
B c
-=. （1）求角C 的大小；
（2）若ABC V ABC V 的周长的最小值.
【答案】（1）π
3
C =（2）【解析】 【分析】 【详解】 （1）因为22cos a b
B c
-=
，所以2cos 2b c B a +=， 由余弦定理得222
222a c b b c a ac
+-+⋅
=，化简得222a b c ab +-=， 可得2221
22
a b c ab +-=，解得1cos 2C =，
又因为(0,)C π∈，所以π
3
C =
.（6分）
（2）因为1sin 2ABC S ab C =△6ab =，
则a b +≥（当且仅当a b ==时，取等号）.
由（1）得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==（当且仅当a b ==时，取等号）
，解得c ≥
所以a b c ++≥a b c ===，
所以ABC V 的周长的最小值为23．已知12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，
290AF B ∠=o ，且220
9
F AB S ∆=
． （1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．
【答案】（1）22
154
x y +=（2）45
【解析】 【分析】
（1）不妨设2,3A a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭
，计算得到2245a b =，根据面积得到a b ⋅=到答案.
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00
122
mx y x x +=
，
222
0120
4
m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】
（1
）由题意不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，
则22,33b F A c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r
，22,33b F B c ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u r ．
∵290AF B ∠=o
，∴22
22254099
b F A F B
c a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．
又2
1220
2339
F AB b S ∆=⨯⋅=
，∴a b ⋅=
∴a =2b =，故C 的方程为22
154
x y +=．
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0
OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴0
0MN y k x =-
，设直线MN 的方程为()00
0y y x m m x =-
+≠， 联立0022
,1,5
4y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222
000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22
004520x y +=，∴上式可化为(
)
22
2
0004240x mx y x x m -+-=．
∴00122mx y x x +=，22
2
0120
4m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()22000
1212042225
m y y mx y y x x m x -+=-++=
=， ()2
200001212121220000y y y my
y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
2
22
0000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝
⎭，
∴()()()222
2
22
0001020120120
00
255
m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 222000
25
m x mx y -=
()()()2222000
1020120120
24
m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=
． ∴102010204
5
PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．
【点睛】
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。